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第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动
1.★（2026·广东清远期末）如图是建筑工地上常用的一种“深坑打夯机”，电动机带动两个滚轮匀速转动将夯杆从深坑中提上来，当夯杆底端即将到达坑口时，两个滚轮彼此分开，将夯杆释放，夯杆底端刚到坑口时开始下落，夯杆只在重力作用下运动，夯杆底端落回深坑底且不反弹，接着两个滚轮再次压紧，将夯杆提上来，如此周而复始。已知坑深h＝6.4 m，不计因打夯引起的深度变化，则夯杆每次落回坑底的速度大小为（　　）
A.6.4 m/s B.8 m/s
C.11.2 m/s D.12 m/s
2.（2026·河北邯郸期末）洞洞弹力球（如图）是一种弹性很好的玩具。将洞洞弹力球从一定高度由静止释放，若不考虑空气阻力，洞洞弹力球与地面碰撞后以原速率弹回，恰可上升至原高度，以向下为正方向，下列关于该过程的v-t图像正确的是（　　）
3.（2026·浙江台州期末）如图所示，某同学为测量一个地洞的深度，将两个石块1、2用长为L＝0.5 m的不可伸长的细线相连。用手抓住石块2使其与洞口边缘等高，让石块1悬挂在其正下方，将两石块由静止释放，测得二者落到地洞底部的时间差约为Δt＝0.02 s，试估算地洞的深度约为（　　）
A.6 m　　B.20 m C.31 m　　D.49 m
4.（2026·广东潮州期末）在校运动会中，某同学以2.20 m的跳高成绩达到了运动健将的标准，经了解，该同学身高1.91 m，据此可估算出他离地时竖直向上的速度最接近（　　）
A.1 m/s B.3 m/s C.5 m/s D.7 m/s
5.（2026·辽宁辽阳期末）为了研究自由落体运动，小张在离水平地面不同高度处将四个小球同时由静止释放，已知相邻两个小球及小球1与地面之间的距离均相同，如图所示。不计空气阻力，经过t1、t2、t3、t4，1、2、3、4四个小球依次碰到地面，则t1∶t2∶t3∶t4为（　　）
A.1∶∶∶2
B.1∶2∶3∶4
C.1∶∶∶
D.1∶（－1）∶（－）∶（2－）
6.（2026·黑龙江哈尔滨期末）如图所示，设打开水龙头后水连续不断地从管口由静止开始下落，在距离管口L和4L的两处，分别取一段极短的相等长度的水流，其对应的水的质量分别为m1和m2，不考虑空气阻力的影响，则m1∶m2为（　　）
A.1∶1 B.1∶2
C.2∶1 D.4∶1
7.★（2026·贵州黔南期末）塔吊是建筑工地的常见设施，工作时有可能掉落物体，工作人员必须佩戴安全帽。如图所示，假设某时刻塔吊正以3 m/s的速度竖直向上提升货物，货物上一小零件突然脱落，脱落点距离地面5.4 m。不计空气阻力，g取10 m/s2，下列说法正确的是（　　）
A.小零件从脱落到落地过程中运动的时间为 s
B.小零件脱落后在空中的运动为自由落体运动
C.小零件脱落之后做竖直上抛运动
D.小零件从脱落到落地运动的路程为5.4 m
8.（2025·四川南充三模）如图甲所示，将A、B两小球从空中同一位置以相等速率v0在0时刻分别竖直向上和竖直向下抛出，它们的v-t图像如图乙所示，已知B球在2t0时触地，重力加速度为g，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A.抛出点到地面的高度为2g
B.A球在2t0时回到抛出点
C.落地前B球相对A球做匀加速直线运动
D.B球在第一个t0内和第二个t0内的位移之比为1∶3
9.（2026·福建漳州模拟）图甲为意大利著名建筑物比萨斜塔，相传伽利略在此做过自由落体实验。如图乙所示，现将两个小铁球P和Q用长L＝3.25 m不可伸长的轻绳连接，从与比萨斜塔的塔顶等高的A处将悬吊Q球的P球由静止释放。测得Q球落地的时间t＝3.2 s，忽略空气阻力，g取10 m/s2，求：
（1）比萨斜塔的高度H；
（2）P、Q球落地的时间差Δt；
（3）P球从释放到刚落地过程中的平均速度大小。
10.（2026·山东烟台期末）如图所示，水平地面上一辆平板车以v＝2 m/s的速度向前匀速行驶，t＝0时刻，在平板车前端M的正前方s＝4 m距离处有一个小球在离地面H＝6.8 m高度处正以v0＝10 m/s的初速度竖直向上抛出。已知平板车上表面离地高度为h＝0.55 m，车身长度L＝3.5 m，取重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力。
（1）求小球落在平板车上的位置到车身前端M的距离；
（2）为了避免小球落在平板车上，小球竖直向上抛出的同时，小车开始做匀加速直线运动，求平板车的加速度a所满足的条件。
第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动
1.C　夯杆底端从坑口自由下落至坑底，仅在重力作用下运动，可视作自由落体运动。由匀加速直线运动公式得v2＝2gh，代入数据得v＝11.2 m/s，故C正确。
2.C　洞洞弹力球先向下做自由落体运动，落地后以原速率向上做竖直上抛运动，恰回到原高度，图像斜率即加速度均是竖直向下的重力加速度g，下降与上升过程v-t图像斜率相同，且均为正值，故C正确。
3.C　设地洞深度为h，则h－L＝g，h＝g，t2－t1＝Δt，联立解得h≈31 m，故C正确。
4.C　该同学的成绩h1＝2.20 m，该同学重心高度h2＝ m≈0.95 m，弹跳高度Δh＝h1－h2＝1.25 m，此同学向上跳起看成是匀减速直线运动，最高点速度为零，有v2＝2gΔh，代入数据解得v＝5 m/s，故C正确。
5.A　根据自由落体运动规律h＝gt2可得t＝，由于小球下落高度之比为1∶2∶3∶4，则时间之比为t1∶t2∶t3∶t4＝1∶∶∶2，故A正确。
6.C　根据v2＝2gh可得水流流经这两处时的速度之比v1∶v2＝1∶2，相同时间内，流过的水的体积相同，即v1·Δt·S1＝v2·Δt·S2，可知两段水流的截面积之比S1∶S2＝2∶1，因此相同长度的质量之比m1∶m2＝2∶1，故C正确。
7.C　小零件脱落后做竖直上抛运动，取竖直向上为正方向，则－h＝v0t－gt2，即解得t＝ s或t＝ s（舍去），故A错误，C正确；自由落体运动是初速度为零，物体只受重力作用的运动，小零件脱落后有向上的初速度，做竖直上抛运动，故B错误；小零件上升的高度h1＝＝0.45 m，则路程s＝2h1＋5.4 m＝6.3 m，故D错误。
8.B　根据题意，由运动学公式可得，抛出点到地面的高度为h＝v0·2t0＋g＝2v0t0＋2g，故A错误；根据题意，结合图乙，由对称性可知，A球在2t0时回到抛出点，故B正确；取竖直向下为正方向，A球的速度为vA＝－v0＋gt，B球的速度为vB＝v0＋gt，则落地前B球相对A球的速度为v＝vB－vA＝2v0，即落地前B球相对A球做匀速直线运动，故C错误；根据题意，由运动学公式可得，B球在第一个t0内位移为x1＝v0t0＋g，B球在第二个t0内的位移x2＝h－x1＝v0t＋g，可知，B球在第一个t0内和第二个t0内的位移之比不是1∶3，故D错误。
9.（1）54.45 m　（2）0.1 s　（3）16.5 m/s
解析：（1）由静止释放P球后，Q球做自由落体运动，
则H－L＝gt2
解得H＝54.45 m。
（2）由静止释放P球后，P球做自由落体运动，
则H＝g（t＋Δt）2
解得Δt＝0.1 s。
（3）P球从释放到刚落地的过程中的平均速度大小＝
解得＝16.5 m/s。
10.（1）1 m　（2）a≥0.8 m/s2
解析：（1）设小球经过时间t落在小车上，取竖直向上为正方向，则有－（H－h）＝v0t－gt2
解得t＝2.5 s或t＝－0.5 s（舍去）
平板车运动的位移为x1＝vt＝5 m
则小球落在平板车上的位置到车身前端M的距离为
x2＝x1－s＝1 m。
（2）设平板车的最小加速度为a0，则小车运动位移满足条件为L＋s＝vt＋a0t2
解得a0＝0.8 m/s2
则平板车的加速度应满足a≥0.8 m/s2。
1 / 1第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动
1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的规律，并能解决实际问题。 2.理解竖直上抛运动的对称性和多解性。
考点一　自由落体运动
知识速记
1.运动特点：初速度为　　　　，加速度为　　　　的匀加速直线运动。
2.基本规律
匀变速直线运动 自由落体运动
v＝v0＋at v＝　　　
x＝v0t＋at2 x＝　　　
v2－＝2ax v2＝　　　
　〔人教版必修第一册P48演示改编〕一个两端封闭的玻璃管（也称牛顿管），其中一端有开关，玻璃管可以与外界相通，把质量不相同的铁片和羽毛放到玻璃管中，玻璃管竖直放置，如图所示，让铁片和羽毛从玻璃管上方同时开始下落，判断下列说法的正误。
（1）玻璃管内存在空气时，金属片和羽毛均做自由落体运动。（　　）
（2）玻璃管内存在空气时，金属片和羽毛下落的加速度相同。（　　）
（3）玻璃管抽成真空后，金属片和羽毛下落一样快。（　　）
（4）玻璃管抽成真空后，在北京和赤道分别做该实验，铁片下落的时间相同。（　　）
训练落实
1.〔人教版必修第一册P53 ·T4改编〕用照相机拍摄从某砖墙前的高处自由落下的石子，拍摄到石子在空中的照片如图所示。由于石子的运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹AB。已知石子从地面以上2.5 m的高度下落，每块砖的平均厚度为6 cm，则（g取10 m/s2）（　　）
A.图中径迹长度约为0.06 m B.A点离释放点的高度约为0.5 m
C.曝光时石子的速度约为6.3 m/s D.照相机的曝光时间约为0.01 s
2.如图所示，一根直棒长度为10 m，用手提着其上端，在其下端的正下方10 m处有一长度为6 m的、内径比直棒大得多的空心竖直管子，放开后让直棒做自由落体运动（不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2）。求：
（1）直棒下端下落至空心管上端时所用的时间；
（2）直棒通过该空心管所用的时间。
考点二　竖直上抛运动
要点深化
1.竖直上抛运动的基本性质
运动特点 初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动
运动性质 匀变速直线运动
v-t图像
基本规律 （1）速度与时间的关系式：v＝v0－gt。 （2）位移与时间的关系式：x＝v0t－gt2。 （3）速度与位移关系式：v2＝2gh
2.竖直上抛运动的对称性
（2026·海南三亚模拟）音乐喷泉以其高水柱、丰富的灯光和音乐表演而著名，吸引了众多游客前来观赏和拍照。已知某喷泉能达到的最大高度为50 m，当水到达最高点后水流从四周散开，喷泉出水口与地面在同一水平面，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则喷泉水从开始喷射到落地的时间大约是（　　）
A. s B.10 s
C.2 s D. s
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
★“长征二号”丙运载火箭，上面有六颗02批卫星和一颗商业遥感卫星。若“长征二号”丙运载火箭及其卫星总长为43 m，发射塔高100.0 m，点火后经5.0 s火箭离开发射塔。假设火箭离开发射塔的过程中做匀加速运动，忽略空气阻力的变化，取重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
（1）火箭离开发射塔瞬间的速度大小；
（2）若火箭刚离开发射塔瞬间，某个发射用到的部件完成使命要从火箭尾部自然脱落，求该零件脱落后经多长时间落地。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.竖直上抛运动的研究方法 分段法上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动全程法初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2（以竖直向上为正方向） 若v＞0，物体上升，若v＜0，物体下落 若h＞0，物体在抛出点上方，若h＜0，物体在抛出点下方
2.竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。
　〔多选〕（2026·湖北黄石联考）某同学从教学大楼的5楼将一小玩具从窗口竖直向上抛出，抛出后第2 s内玩具的位移为－5 m（取竖直向上为正方向）。已知每层楼高度约为3 m，忽略空气阻力，重力加速度大小g＝10 m/s2，则玩具抛出后距窗口3 m的时间可能是（　　）
A.s B.s
C.s D.s
（2026·江苏扬州期中）如图所示，离地面足够高处有一竖直的空管，管长为24 m，M、N为空管的上、下两端，空管受外力作用，由静止开始竖直向下做匀加速直线运动，加速度大小为2 m/s2。同时在M处一个大小不计的小球沿管的轴线以初速度v0竖直上抛，不计一切阻力，取g＝10 m/s2。求：
（1）若小球上抛的初速度为10 m/s，从抛出开始计时，经过多长时间从管的N端穿出？
（2）若此空管的N端距离地面64 m高，欲使在空管到达地面时小球必须落到管内，在其他条件不变的前提下，求小球的初速度v0大小的范围。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动
考点一
知识速记
1.0　g　2.gt　gt2　2gx
教材情境辨析
　（1）×　（2）×　（3）√　（4）×
训练落实
1.C　由题图可看出径迹长度约为Δx＝2d＝0.12 m，故A错误；A点离释放点的高度约为h＝2.5 m－0.06×8.6 m＝1.984 m，故B错误；曝光时石子的速度约为v2＝2gh，解得v≈6.3 m/s，故C正确；由于AB长度较小，故可以近似将石子在AB段的运动看作做匀速直线运动，故时间为 t＝ s＝0.019 s，故D错误。
2.（1）1.41 s　（2）0.87 s
解析：（1）直棒下端下落至空心管上端（下落高度h1＝10 m）的过程，
根据自由落体位移公式可得h1＝g
解得t1＝ s≈1.41 s。
（2）直棒上端下落至空心管下端（下落高度h2＝26 m）的过程，根据自由落体位移公式可得
h2＝g
解得t2≈2.28 s
直棒通过该空心管所用的时间为
Δt＝t2－t1＝0.87 s。
考点二
要点深化
【例1】　C　喷泉水喷射后做竖直上抛运动，根据运动时间的对称性，结合h＝gt2可得喷泉水从开始喷射到落地的时间大约为2t＝2 s，故C正确。
【例2】　（1）40 m/s　（2）10 s
解析：（1）设发射塔高为h，火箭离开发射塔瞬间的速度为v，
则根据平均速度公式得＝，解得v＝40 m/s。
（2）方法一：分段法
零件脱离火箭后做上抛运动，其上升到最高点的位移
d＝＝80 m
所以零件运动到最高点时离地高度为H＝h＋d＝180 m
上升的时间t1＝＝4 s
下降的时间t2＝＝6 s
所以脱落后到落地时间为10 s。
方法二：整体法
根据－h＝vt－gt2
得t＝10 s。
强化训练
　ABC　取竖直向上为正方向，第2 s内的位移为－5 m，可得第2 s内中间时刻，即1.5 s的瞬时速度为v1.5＝－5 m/s，由v1.5＝v0－gt，代入数据可得竖直上抛的初速度为v0＝10 m/s，由竖直上抛运动的对称性可知离抛出点3 m的时刻一共有3个，在抛出点上方时h＝v0t－gt2，将h＝3 m代入上式，解得t1＝s或t2＝s，若在抛出点的下方，则h＝－3 m，解得t＝s，故A、B、C正确。
【例3】　（1）4 s　（2）29 m/s≤v0≤32 m/s
解析：（1）取向下为正方向，设小球从抛出经t时间从N端穿出，则小球下落的高度h1＝－v0t＋gt2
空管下落的高度h2＝at2
h1－h2＝L
联立得－v0t＋gt2－at2＝L
代入数据解得t＝4 s（t＝－1.5 s舍去）。
（2）设空管经t'时间到达地面，则有H＝at'2
解得t'＝＝8 s
小球在t'时间下落高度为h＝－v0t'＋gt'2
分析可知小球落入管内条件是
64 m≤h≤（64＋24）m
解得29 m/s≤v0≤32 m/s
所以小球的初速度大小必须在29 m/s≤v0≤32 m/s范围内。
1 / 1(共47张PPT)
第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动
目标要求
1. 掌握自由落体运动和竖直上抛运动的规律，并能解决实际问题。
2. 理解竖直上抛运动的对称性和多解性。
目 录
CONTENTS
考点一　自由落体运动
考点二　竖直上抛运动
课时跟踪检测
考点一　自由落体运动
知识速记
1. 运动特点：初速度为 ，加速度为 的匀加速直线运动。
2. 基本规律
匀变速直线运动 自由落体运动
v＝v0＋at v＝
x＝v0t＋at2 x＝
v2－＝2ax v2＝
0　
g　
gt　
gt2　
2gx　
　〔人教版必修第一册P48演示改编〕一个两端封闭的玻璃管（也称牛顿
管），其中一端有开关，玻璃管可以与外界相通，把质量不相同的铁片和
羽毛放到玻璃管中，玻璃管竖直放置，如图所示，让铁片和羽毛从玻璃管
上方同时开始下落，判断下列说法的正误。
（1）玻璃管内存在空气时，金属片和羽毛均做自由落体运动。
（　×　）
（2）玻璃管内存在空气时，金属片和羽毛下落的加速度相同。
（　×　）
（3）玻璃管抽成真空后，金属片和羽毛下落一样快。 （　√　）
（4）玻璃管抽成真空后，在北京和赤道分别做该实验，铁片下落的时间
相同。 （　×　）
×
×
√
×
训练落实
1. 〔人教版必修第一册P53·T4改编〕用照相机拍摄从某砖墙前的高处自由
落下的石子，拍摄到石子在空中的照片如图所示。由于石子的运动，它在
照片上留下了一条模糊的径迹AB。已知石子从地面以上2.5 m的高度下
落，每块砖的平均厚度为6 cm，则（g取10 m/s2）（　　）
A. 图中径迹长度约为0.06 m
B. A点离释放点的高度约为0.5 m
C. 曝光时石子的速度约为6.3 m/s
D. 照相机的曝光时间约为0.01 s
√
解析： 　由题图可看出径迹长度约为Δx＝2d＝0.12 m，故A错误；A点离
释放点的高度约为h＝2.5 m－0.06×8.6 m＝1.984 m，故B错误；曝光时
石子的速度约为v2＝2gh，解得v≈6.3 m/s，故C正确；由于AB长度较小，
故可以近似将石子在AB段的运动看作做匀速直线运动，故时间为 t＝ s
＝0.019 s，故D错误。
2. 如图所示，一根直棒长度为10 m，用手提着其上端，在其下端的正下方
10 m处有一长度为6 m的、内径比直棒大得多的空心竖直管子，放开后让
直棒做自由落体运动（不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2）。求：
（1）直棒下端下落至空心管上端时所用的时间；
答案： 1.41 s　
解析： 直棒下端下落至空心管上端（下落高度h1＝10 m）的过程，
根据自由落体位移公式可得h1＝g
解得t1＝ s≈1.41 s。
（2）直棒通过该空心管所用的时间。
答案： 0.87 s
解析：直棒上端下落至空心管下端（下落高度h2＝26 m）的过程，根据自由落体位移公式可得
h2＝g
解得t2≈2.28 s
直棒通过该空心管所用的时间为
Δt＝t2－t1＝0.87 s。
考点二　竖直上抛运动
要点深化
1. 竖直上抛运动的基本性质
运动特点 初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运
动，下降阶段做自由落体运动
运动性质 匀变速直线运动
v-t图像
基本规律 （1）速度与时间的关系式：v＝v0－gt。
（2）位移与时间的关系式：x＝v0t－gt2。
（3）速度与位移关系式：v2＝2gh
2. 竖直上抛运动的对称性
（2026·海南三亚模拟）音乐喷泉以其高水柱、丰富的灯光和音乐表演
而著名，吸引了众多游客前来观赏和拍照。已知某喷泉能达到的最大高度
为50 m，当水到达最高点后水流从四周散开，喷泉出水口与地面在同一水
平面，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则喷泉水从开始喷射到落
地的时间大约是（　C　）
C
A. s B. 10 s
C. 2 s D. s
解析：喷泉水喷射后做竖直上抛运动，根据运动时间的对称性，结合h＝
gt2可得喷泉水从开始喷射到落地的时间大约为2t＝2 s，故C正确。
★“长征二号”丙运载火箭，上面有六颗02批卫星和一颗商业遥感卫
星。若“长征二号”丙运载火箭及其卫星总长为43 m，发射塔高100.0
m，点火后经5.0 s火箭离开发射塔。假设火箭离开发射塔的过程中做匀加
速运动，忽略空气阻力的变化，取重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
（1）火箭离开发射塔瞬间的速度大小；
答案： 40 m/s　
解析： 设发射塔高为h，火箭离开发射塔瞬间的速度为v，
则根据平均速度公式得＝，解得v＝40 m/s。
（2）若火箭刚离开发射塔瞬间，某个发射用到的部件完成使命要从火箭
尾部自然脱落，求该零件脱落后经多长时间落地。
答案： 10 s
解析：方法一：分段法
零件脱离火箭后做上抛运动，其上升到最高点的位移d＝＝80 m
所以零件运动到最高点时离地高度为H＝h＋d＝180 m
上升的时间t1＝＝4 s
下降的时间t2＝＝6 s
所以脱落后到落地时间为10 s。
方法二：整体法
根据－h＝vt－gt2
得t＝10 s。
1. 竖直上抛运动的研究方法
分
段
法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动
下降阶段：自由落体运动
全
程
法 初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－
gt2（以竖直向上为正方向）
若v＞0，物体上升，若v＜0，物体下落
若h＞0，物体在抛出点上方，若h＜0，物体在抛出点下方
2. 竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能
处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注
意这个特性。
　〔多选〕（2026·湖北黄石联考）某同学从教学大楼的5楼将一小玩具从
窗口竖直向上抛出，抛出后第2 s内玩具的位移为－5 m（取竖直向上为正
方向）。已知每层楼高度约为3 m，忽略空气阻力，重力加速度大小g＝10
m/s2，则玩具抛出后距窗口3 m的时间可能是（　　）
A. s B. s
C. s D. s
√
√
√
解析： 　取竖直向上为正方向，第2 s内的位移为－5 m，可得第2 s内
中间时刻，即1.5 s的瞬时速度为v1.5＝－5 m/s，由v1.5＝v0－gt，代入数据
可得竖直上抛的初速度为v0＝10 m/s，由竖直上抛运动的对称性可知离抛
出点3 m的时刻一共有3个，在抛出点上方时h＝v0t－gt2，将h＝3 m代入上
式，解得t1＝s或t2＝s，若在抛出点的下方，则h＝－3
m，解得t＝s，故A、B、C正确。
（2026·江苏扬州期中）如图所示，离地面足够高处有一竖直的空管，
管长为24 m，M、N为空管的上、下两端，空管受外力作用，由静止开始
竖直向下做匀加速直线运动，加速度大小为2 m/s2。同时在M处一个大小不
计的小球沿管的轴线以初速度v0竖直上抛，不计一切阻力，取g＝10 m/s2。
求：
（1）若小球上抛的初速度为10 m/s，从抛出开始计时，经过多长时间从管
的N端穿出？
答案： 4 s　
解析： 取向下为正方向，设小球从抛出经t时间从N端穿出，则小球下
落的高度
h1＝－v0t＋gt2
空管下落的高度h2＝at2
h1－h2＝L
联立得－v0t＋gt2－at2＝L
代入数据解得t＝4 s（t＝－1.5 s舍去）。
（2）若此空管的N端距离地面64 m高，欲使在空管到达地面时小球必须落到管内，在其他条件不变的前提下，求小球的初速度v0大小的范围。
答案： 29 m/s≤v0≤32 m/s
解析：设空管经t'时间到达地面，则有H＝at'2
解得t'＝＝8 s
小球在t'时间下落高度为
h＝－v0t'＋gt'2
分析可知小球落入管内条件是
64 m≤h≤（64＋24）m
解得29 m/s≤v0≤32 m/s
所以小球的初速度大小必须在29 m/s≤v0≤32 m/s范围内。
课时跟踪检测
1. ★（2026·广东清远期末）如图是建筑工地上常用的一种“深坑打夯
机”，电动机带动两个滚轮匀速转动将夯杆从深坑中提上来，当夯杆底端
即将到达坑口时，两个滚轮彼此分开，将夯杆释放，夯杆底端刚到坑口时
开始下落，夯杆只在重力作用下运动，夯杆底端落回深坑底且不反弹，接
着两个滚轮再次压紧，将夯杆提上来，如此周而复始。已知坑深h＝6.4
m，不计因打夯引起的深度变化，则夯杆每次落回坑底的速度大小为（　）
A. 6.4 m/s B. 8 m/s
C. 11.2 m/s D. 12 m/s
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√
解析： 夯杆底端从坑口自由下落至坑底，仅在重力作用下运动，可视
作自由落体运动。由匀加速直线运动公式得v2＝2gh，代入数据得v＝11.2
m/s，故C正确。
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2. （2026·河北邯郸期末）洞洞弹力球（如图）是一种弹性很好的玩具。
将洞洞弹力球从一定高度由静止释放，若不考虑空气阻力，洞洞弹力球与
地面碰撞后以原速率弹回，恰可上升至原高度，以向下为正方向，下列关
于该过程的v-t图像正确的是（　　）
√
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解析： 　洞洞弹力球先向下做自由落体运动，落地后以原速率向上做竖
直上抛运动，恰回到原高度，图像斜率即加速度均是竖直向下的重力加速
度g，下降与上升过程v-t图像斜率相同，且均为正值，故C正确。
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3. （2026·浙江台州期末）如图所示，某同学为测量一个地洞的深度，将
两个石块1、2用长为L＝0.5 m的不可伸长的细线相连。用手抓住石块2使
其与洞口边缘等高，让石块1悬挂在其正下方，将两石块由静止释放，测
得二者落到地洞底部的时间差约为Δt＝0.02 s，试估算地洞的深度约为
（　　）
A. 6 m B. 20 m
C. 31 m D. 49 m
√
解析： 　设地洞深度为h，则h－L＝g，h＝g，t2－t1＝Δt，联立解
得h≈31 m，故C正确。
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4. （2026·广东潮州期末）在校运动会中，某同学以2.20 m的跳高成绩达
到了运动健将的标准，经了解，该同学身高1.91 m，据此可估算出他离地
时竖直向上的速度最接近（　　）
A. 1 m/s B. 3 m/s
C. 5 m/s D. 7 m/s
√
解析： 　该同学的成绩h1＝2.20 m，该同学重心高度h2＝ m≈0.95
m，弹跳高度Δh＝h1－h2＝1.25 m，此同学向上跳起看成是匀减速直线运
动，最高点速度为零，有v2＝2gΔh，代入数据解得v＝5 m/s，故C正确。
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5. （2026·辽宁辽阳期末）为了研究自由落体运动，小张在离水平地面不
同高度处将四个小球同时由静止释放，已知相邻两个小球及小球1与地面
之间的距离均相同，如图所示。不计空气阻力，经过t1、t2、t3、t4，1、2、
3、4四个小球依次碰到地面，则t1∶t2∶t3∶t4为（　　）
A. 1∶∶∶2
B. 1∶2∶3∶4
C. 1∶∶∶
D. 1∶（－1）∶（－）∶（2－）
√
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解析： 　根据自由落体运动规律h＝gt2可得t＝，由于小球下落
高度之比为1∶2∶3∶4，则时间之比为t1∶t2∶t3∶t4＝
1∶∶∶2，故A正确。
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6. （2026·黑龙江哈尔滨期末）如图所示，设打开水龙头后水连续不断地
从管口由静止开始下落，在距离管口L和4L的两处，分别取一段极短的相
等长度的水流，其对应的水的质量分别为m1和m2，不考虑空气阻力的影
响，则m1∶m2为（　　）
A. 1∶1 B. 1∶2
C. 2∶1 D. 4∶1
√
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解析： 　根据v2＝2gh可得水流流经这两处时的速度之比v1∶v2＝
1∶2，相同时间内，流过的水的体积相同，即v1·Δt·S1＝v2·Δt·S2，可
知两段水流的截面积之比S1∶S2＝2∶1，因此相同长度的质量之比
m1∶m2＝2∶1，故C正确。
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7. ★（2026·贵州黔南期末）塔吊是建筑工地的常见设施，工作时有可能掉
落物体，工作人员必须佩戴安全帽。如图所示，假设某时刻塔吊正以3 m/s
的速度竖直向上提升货物，货物上一小零件突然脱落，脱落点距离地面
5.4 m。不计空气阻力，g取10 m/s2，下列说法正确的是（　　）
A. 小零件从脱落到落地过程中运动的时间为 s
B. 小零件脱落后在空中的运动为自由落体运动
C. 小零件脱落之后做竖直上抛运动
D. 小零件从脱落到落地运动的路程为5.4 m
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解析： 小零件脱落后做竖直上抛运动，取竖直向上为正方向，则－h＝
v0t－gt2，即解得t＝ s或t＝ s（舍去），故A错误，C正确；自
由落体运动是初速度为零，物体只受重力作用的运动，小零件脱落后有向
上的初速度，做竖直上抛运动，故B错误；小零件上升的高度h1＝＝
0.45 m，则路程s＝2h1＋5.4 m＝6.3 m，故D错误。
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8. （2025·四川南充三模）如图甲所示，将A、B两小球从空中同一位置以
相等速率v0在0时刻分别竖直向上和竖直向下抛出，它们的v-t图像如图乙所
示，已知B球在2t0时触地，重力加速度为g，忽略空气阻力。下列说法正确
的是（　　）
A. 抛出点到地面的高度为2g
B. A球在2t0时回到抛出点
C. 落地前B球相对A球做匀加速直线运动
D. B球在第一个t0内和第二个t0内的位移之比为1∶3
√
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解析： 　根据题意，由运动学公式可得，抛出点到地面的高度为h＝v0·2t0
＋g＝2v0t0＋2g，故A错误；根据题意，结合图乙，由对称性可
知，A球在2t0时回到抛出点，故B正确；取竖直向下为正方向，A球的速度
为vA＝－v0＋gt，B球的速度为vB＝v0＋gt，则落地前B球相对A球的速度为v
＝vB－vA＝2v0，即落地前B球相对A球做匀速直线运动，故C错误；根据题
意，由运动学公式可得，B球在第一个t0内位移为x1＝v0t0＋g，B球在第
二个t0内的位移x2＝h－x1＝v0t＋g，可知，B球在第一个t0内和第二个t0
内的位移之比不是1∶3，故D错误。
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9. （2026·福建漳州模拟）图甲为意大利著名建筑物比萨斜塔，相传伽利
略在此做过自由落体实验。如图乙所示，现将两个小铁球P和Q用长L＝
3.25 m不可伸长的轻绳连接，从与比萨斜塔的塔顶等高的A处将悬吊Q球的
P球由静止释放。测得Q球落地的时间t＝3.2 s，忽略空气阻力，g取10
m/s2，求：
（1）比萨斜塔的高度H；
答案： 54.45 m　
解析： 由静止释放P球后，Q球做自由落体运动，
则H－L＝gt2
解得H＝54.45 m。
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（2）P、Q球落地的时间差Δt；
答案： 0.1 s　
解析：由静止释放P球后，P球做自由落体运动，则H＝g（t＋Δt）2
解得Δt＝0.1 s。
（3）P球从释放到刚落地过程中的平均速度大小。
答案： 16.5 m/s
解析： P球从释放到刚落地的过程中的平均速度大小＝
解得＝16.5 m/s。
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10. （2026·山东烟台期末）如图所示，水平地面上一辆平板车以v＝2 m/s
的速度向前匀速行驶，t＝0时刻，在平板车前端M的正前方s＝4 m距离处
有一个小球在离地面H＝6.8 m高度处正以v0＝10 m/s的初速度竖直向上抛
出。已知平板车上表面离地高度为h＝0.55 m，车身长度L＝3.5 m，取重
力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力。
（1）求小球落在平板车上的位置到车身前端M的距离；
答案： 1 m　
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解得t＝2.5 s或t＝－0.5 s（舍去）
平板车运动的位移为x1＝vt＝5 m
则小球落在平板车上的位置到车身前端M的距离为x2＝x1－s＝1 m。
解析： 设小球经过时间t落在小车上，取竖直向上为正方向，则有－
（H－h）＝v0t－gt2
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（2）为了避免小球落在平板车上，小球竖直向上抛出的同时，小车开始
做匀加速直线运动，求平板车的加速度a所满足的条件。
答案： a≥0.8 m/s2
解析：设平板车的最小加速度为a0，则小车运动位移满足条件为L＋s＝vt＋
a0t2
解得a0＝0.8 m/s2
则平板车的加速度应满足a≥0.8 m/s2。
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