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2025-2026学年高一下学期人教A版数学期末复习训练卷（1）
范围：人教A版必修二全册（详解附后）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数在复平面对应点为，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
4．在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则m与n相交
6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的
7．一圆台上下底面半径为另一圆锥的底面半径也为.若圆台的母线与圆锥的母线长相等，则圆台与圆锥体积比为（ ）
A． B．3 C． D．7
8．在中，，，，点在边上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在中，角、、的对边分别为、、，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形或直角三角形
B．若，则是锐角三角形
C．若为锐角三角形，则
D．若有两解，，，则
10．某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下.
甲:众数为83，平均数为82.
乙:中位数为82，众数为80.
丙:中位数为85，平均数为82.
丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2.
甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ）.
A．该三棱台的侧面积为 B．该三棱台的高为
C．该三棱台的体积为 D．若点在棱上，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量满足＝，＝，则在上投影向量的模为______.
13．银行储蓄卡的密码由6位数字组成.小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，但记得密码的最后1位是偶数，小王不超过2次就按对的概率为__________.
14．已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形（如图所示），则顶点对应的点到轴的距离是______.
四、解答题
15．（13分）设复数，，其中为虚数单位．
(1)若是纯虚数，求．
(2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．
16．已知，，与的夹角为.
(1)求；
(2)若向量与相互垂直，求实数的值.
17．（15分）为优化假期安排，调整学生学习节奏，提升综合素养，贵州省九个市州于2026年4月1号至3号首次实施春假制度.某中学为了解春假期间学生外出体验的情况，随机选取了该校高一及高二共100名同学并对其进行了问卷调查，将外出时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图算出的值并估计该校学生春假外出时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数；
(2)若外出时间在内的男女比例为3∶2，现利用分层随机抽样的方法选取5名同学进行访谈，然后再从这5名同学中随机选取2人在访谈会中发言，求发言的同学为一男一女的概率.
18．（17分）在中，内角的对边分别是.
(1)求的值；
(2)若，求周长的最大值.
19．（17分）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．

(1)若为中点，求证：平面；
(2)若，求证；
(3)求异面直线与所成角的余弦值．
2025-2026学年高一下学期人教A版数学期末复习训练卷（1）（解析版）
范围：人教A版必修二全册
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数在复平面对应点为，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出复数，代入计算即可.
【详解】由在复平面对应点为，可得，
则，所以虚部为.
2．某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设男生人数为，女生人数为，由题设可得女生及格人数，据此可得答案.
【详解】因男生，女生比例为.
设男生人数为，女生人数为，因全体学生的及格率为，
则及格学生人数为，又男生及格率为，则男生及格人数为，
女生及格人数为：，则女生及格率为.
3．已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
【答案】D
【分析】按分类，结合第百分位数的定义逐项分析判断.
【详解】对于A，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第3个数4，A可能；
对于B，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第3、4个数的平均数4，B可能；
对于C，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第4个数4，C可能；
对于D，，无论取何值，该组数据由小到大排列的第5个数不可能为4，因此不可能为，D不可能.
4．在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在中，由余弦定理得，
三角形面积，则，
即，
，
，
，
．
5．若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则m与n相交
【答案】C
【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断可得答案.
【详解】对于A，B，若，则m与n可能平行、相交或异面，故A，B错误；
对于C，D，若，，则，且m与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误．
6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的
【答案】B
【分析】通过正弦定理将角化为边得，再结合余弦定理即可得结果.
【详解】由，可得，则，
则，则A为钝角，
故的形状是钝角三角形.
7．一圆台上下底面半径为另一圆锥的底面半径也为.若圆台的母线与圆锥的母线长相等，则圆台与圆锥体积比为（ ）
A． B．3 C． D．7
【答案】D
【详解】设，因为，所以.
设圆台高为，母线长为，.
设圆锥高为，.
所以，.
圆台体积.
圆锥体积.
所以.
8．在中，，，，点在边上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】，应用向量数量积的运算律求得，进而得到，构建直角坐标系，设并标注相关点坐标，应用向量数量积的坐标表示得，根据二次函数的性质求范围.
【详解】由，可得，
又，，可得，
∴，故，
以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，
∴，设，
∴，
∴，
设，显然其在上单调递减，在上单调递增，
所以其最小值为，最大值为，
则的取值范围是.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在中，角、、的对边分别为、、，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形或直角三角形
B．若，则是锐角三角形
C．若为锐角三角形，则
D．若有两解，，，则
【答案】ACD
【分析】利用正弦边角关系及二倍角正弦公式，结合三角形内角的性质判断A；根据余弦定理即可判断B；由已知得，结合正弦函数的性质判断C；根据三角形解的个数有判断D．
【详解】A：由正弦边角关系得，又，
所以或，
则为等腰三角形或直角三角形，正确，
B：若，则，即，
所以为钝角，则为钝角三角形，错误；
C：由三角形为锐角三角形，则，则，
所以，正确，
D：由有两解，则，正确．
10．某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下.
甲:众数为83，平均数为82.
乙:中位数为82，众数为80.
丙:中位数为85，平均数为82.
丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2.
甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】BD
【分析】分别结合甲、乙、丙、丁四人已知的众数、中位数、平均数、方差的统计性质，逐一验证是否存在得分低于分的可能性，由此判断哪名实习生一定满足五天得分均不低于分的合格要求.
【详解】对于A：若甲有四个工作日的得分为，则剩余的那个工作日的得分为，
故甲的考核不一定合格，A错误；
对于B：将得分排序后，第三个为，且至少有两个，这两个必然是最小的两个数，
因此所有得分均不低于，故乙的考核一定合格，B正确；
对于C：丙的中位数为，平均数为，其得分可以为，
故丙的考核不一定合格，C错误；
对于D，由于丁有一个工作日的得分为，且平均数为，
若有一个工作日的得分为，由，
可知其方差必超过了，所以丁连续五个工作日的得分均不低于，
故丁的考核一定合格，D正确.
11．如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ）.
A．该三棱台的侧面积为 B．该三棱台的高为
C．该三棱台的体积为 D．若点在棱上，则的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据正棱台的性质求侧面积、高、体积判断ABC，把等腰梯形与展开置于同一平面，用平面的性质求解判断D．
【详解】对于A，在等腰梯形中，过向作垂线，垂足为E，
在中，
，
所以等腰梯形的面积为，
所以，所以A正确；
对于B，正三棱台中，取上、下底面的中心，，
连接，，，
则，，高，
所以B错误；
对于C，因为，，
所以三棱台的体积，所以C正确；
对于D，把等腰梯形与展开置于同一平面，连结，
易知，，，
而边的中点到点的距离，
因此当点为线段与的交点时，
的最小值为，所以D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量满足＝，＝，则在上投影向量的模为______.
【答案】
【分析】根据投影向量计算即可.
【详解】在上的投影向量的模为.
13．银行储蓄卡的密码由6位数字组成.小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，但记得密码的最后1位是偶数，小王不超过2次就按对的概率为__________.
【答案】/0.4
【分析】不超过2次就按对，包含第一次就按对和第一次按错第二次按对，分别求出概率后相加.
【详解】密码的最后1位是偶数，即为五个中的一个，
不超过2次就按对，包含第一次就按对，概率为，第一次按错，第二次按对，概率为，
所以“不超过2次就按对”的概率是.
14．已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形（如图所示），则顶点对应的点到轴的距离是______.
【答案】
【分析】根据斜二测画法的规则进行计算即可.
【详解】过点C'作轴交轴于点，如下图所示：
设正三角形的边长为，则，解得，
在中，，
，
由正弦定理，
即，可得，
因此，顶点对应的点到轴的距离是.
四、解答题
15．（13分）设复数，，其中为虚数单位．
(1)若是纯虚数，求．
(2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对进行分母实数化，根据是纯虚数构造方程组求出，进而求出复数，再求出；
（2）求出复数，根据其在复平面内对应的点位于第四象限构造不等式组求解．
【详解】（1），
若为纯虚数，则，解得，
故，
．
（2），
已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，
则，解得，
．
16．（15分）已知，，与的夹角为.
(1)求；
(2)若向量与相互垂直，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由数量积的定义可得，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解即可；
（2）根据向量垂直可得，结合数量积的运算律求解即可.
【详解】（1）因为，，，
则，所以.
（2）若向量与相互垂直，
则，即，解得.
17．（15分）为优化假期安排，调整学生学习节奏，提升综合素养，贵州省九个市州于2026年4月1号至3号首次实施春假制度.某中学为了解春假期间学生外出体验的情况，随机选取了该校高一及高二共100名同学并对其进行了问卷调查，将外出时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图算出的值并估计该校学生春假外出时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数；
(2)若外出时间在内的男女比例为3∶2，现利用分层随机抽样的方法选取5名同学进行访谈，然后再从这5名同学中随机选取2人在访谈会中发言，求发言的同学为一男一女的概率.
【答案】(1)，平均数为，众数为8，中位数为
(2)
【分析】（1）根据频率和为1，可求，结合频率分布直方图可求平均数，众数和中位数；
（2）先确定抽取的男生女生人数，列出总的选法，结合古典概率可求答案.
【详解】（1）频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为 1，组距都是 2，
，解得；
平均数：；
众数是频率分布直方图中最高矩形的中点，故众数为8；
前两组的频率和，
前三组的频率和，
因此中位数在内，设中位数为，
则，解得，即中位数为；
（2）在内的男女比例为3∶2，人数，其中男生18人，女生12人；
利用分层随机抽样的方法选取5名同学中，男生3人，女生2人，
记男生为，女生为，从5人中选2人的总选法为：
共10种；
其中“一男一女” 的选法为：共6种；
设事件“发言的同学为一男一女”，则.
故所求概率为.
18．（17分）在中，内角的对边分别是.
(1)求的值；
(2)若，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理求解；
（2）利用两角和差的正弦公式化简得到，从而求出，利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，从而得到周长的最大值.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，所以；
（2）因为，
所以，
，
，
，
解得，
因为，所以，
所以，
则，
因为，
所以，
所以，所以，
所以，当且仅当时，取等号，
所以周长的最大值为.
19．（17分）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．

(1)若为中点，求证：平面；
(2)若，求证；
(3)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面平行判定定理证明结论；
（2）取的中点，连接，再由线面垂直判定定理可证平面，从而得证；
（3）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值；
【详解】（1）连接交于点，连接，
因为是正方形，所以为中点，
所以在中，为中位线，，
又平面，平面，平面；

（2）取的中点，连接，
因为为正三角形，所以，
又，则，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以；
（3）取的中点，因为为中点，
所以在中，为中位线，所以，，
所以为异面直线与所成角（或其补角），
在中，，，，
由余弦定理可得，
又，所以为锐角，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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