资源简介

(共50张PPT)
课题名称：5.3.1正方形
第五章
初中数学
学习目标
能运用相关知识进行简单的证明与计算，解决与正方形相关的实际问题；
02
理解正方形的定义，掌握正方形的性质与判定定理，明确正方形与矩形、菱形、平行四边形的联系与区别；
01
03
培养逻辑推理能力与空间观念，掌握“先证矩形/菱形，再补条件”的正方形判定思路。
引入新课
动手试一试，你能做到吗？
趣味挑战
给你一张正方形的彩色纸，你能通过折叠，然后只剪一刀，就剪出如图所示的正方形孔吗？
探索奥秘
这个有趣的折纸问题背后，其实隐藏着我们今天要学习的几何图形的奥秘。让我们一起去探索其中的原理吧！
趣味挑战
给你一张正方形的彩色纸，你能通过折叠，然后只剪一刀，就剪出如图所示的正方形孔吗？
探索奥秘
这个有趣的折纸问题背后，其实隐藏着我们今天要学习的几何图形的奥秘。让我们一起去探索其中的原理吧！
引入新课
温故而知新
矩形 · 定义与性质
有一个角是______的平行四边形是矩形；矩形的对角线_____ ________________，四个角都是______。
菱形 · 定义与性质
有一组______相等的平行四边形是菱形；菱形的对角线_______________，四条边都______。
直角
相等且互相平分
直角
邻边
互相垂直平分
相等
引入新课
温故而知新
矩形 · 判定定理
① 对角线________________的平行四边形是矩形；
② 有三个角是直角的四边形是矩形（或________________的四边形是矩形）。
菱形 · 判定定理
① 对角线_________________的平行四边形是菱形；
② 四条边都相等的四边形是菱形（或_______________的四边形是菱形）
有一个角是直角
三个角是直角
有一组邻边相等
四条边相等
引入新课
01
矩形的性质回顾
角：四个角都是直角
对角线：相等且互相平分
对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形（有两条对称轴）
02
菱形的性质回顾
边：四条边都相等，对边互相平行
对角线：互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形（有两条对称轴）
知识梳理
引入新课
03
矩形的判定方法
定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形
判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
04
菱形的判定方法
定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
探究新知
问题1：思考与发现
①我们已经学习过哪些特殊的平行四边形？
答案：矩形、菱形
③是否存在一组邻边相等的特殊的矩形？若存在，它是什么图形？
答案：存在，它是正方形
②是否存在一个角是直角的菱形？若存在，它是什么图形？
答案：存在，它是正方形
请在图中填上各种图形的名称和转化的条件。
问题2：特殊四边形的“家族关系”
四边形
平行四边形
梯形
矩形
菱形
正方形
两组对边分别平行
只有一组对边平行
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
从图中我们可以清晰地看到，正方形处于特殊平行四边形家族的“核心”位置。
问题2：特殊四边形的“家族关系”
定义：我们把有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形（square）。
问题3：什么是正方形？
特殊的矩形
正方形首先是一个平行四边形，并且“有一个角是直角”，所以它符合矩形的判定条件。
特殊的菱形
正方形的定义中包含“有一组邻边相等”的条件，结合其平行四边形的属性，它也是一个特殊的菱形。
性质的融合
正方形兼具了矩形和菱形的所有特征。因此，矩形和菱形的性质，在正方形上都能体现。
问题3：什么是正方形？
正方形、矩形、菱形的关系
包含关系 (集合视角)
平行四边形 { 矩形 正方形 , 菱形 正方形 }
矩形
“ 角特殊 ”
定义核心：四个角都是直角。
是“角完美”的平行四边形。
菱形
“ 边特殊 ”
定义核心：四条边都相等。
是“边完美”的平行四边形。
正方形
“ 边、角都特殊 ”
兼具矩形和菱形的全部特性。
是最完美的平行四边形。
探究新知
问题4：如何判定一个四边形是正方形？
核心思路：先证矩形 / 菱形，再补充条件
01 / 矩形法
有一组邻边相等的矩形是正方形。
对角线互相垂直的矩形是正方形。
02 / 菱形法
有一个角是直角的菱形是正方形。
对角线相等的菱形是正方形。
03 / 定义法
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
判断题（对的在括号内画“√”错的在括号内画“×”）：
(1) 对角线互相垂直，一个角是直角的四边形是正方形； ( )
(2) 如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形； ( )
(3) 如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形； ( )
(4) 四条边相等，并且有一个角是直角的四边形是正方形。 ( )
【知识拓展】做一做
×
√
√
√
典例精析
例1已知：如图5-19，在Rt△ABC中， 是 的平分线，DE⊥BC,DF⊥AC，垂足分别是E,F。
求证：四边形CFDE是正方形。
分析：由已知条件容易判定四边形CFDE是
图5-19 矩形，要进一步证明矩形CFDE是正
方形，只需要说明一组邻边相等。
证明：因为
所以
典例精析
而
所以四边形CFDE是矩形（三个角是直角的
四边形是矩形）。
又因为 是 的平分线，则
所以 （为什么？）
所以四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。
课堂练习
必做题：
1.已知：如图， 和 都是等腰直角三角形， 。求证：四边形 是正方形。
证明：是等腰直角三角形，，
，，
是等腰直角三角形，，
，，
课堂练习
，同理，
又，
四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形），
又，
矩形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。
求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形。
连接正方形的对角线、，
课堂练习
，同理，
又，
四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形），
又，
矩形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。
课堂练习
2.
四边形是正方形，
，，
、、、分别是、、、的中点，
，，，，
课堂练习
，，，，
，四边形是菱形，
又，
，
菱形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。
课堂练习
选做题：
3.如图，正方形的边长为，点在边上，连接，过点作，与的延长线相交于点，连接，与边相交于点，与对角线相交于点．若，则的长为（ ）
A．2
B．
C．
D．
C
课堂练习
选做题：
4.如果一个平行四边形是对角线相等的菱形，那么它一定是（ ）
A. 普通的平行四边形
B. 普通的矩形
C. 正方形
D. 普通的梯形
C
课堂练习
选做题：
5.在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O。下列给出的条件中，不能判定四边形 ABCD 为正方形的是（ ）
A. OA=OB=OC=OD，且 AC ⊥ BD
B. AB=BC=CD=DA，且 ∠A = 90°
C. AD // BC，AB=CD，且 AC=BD
D. AB=BC=CD=DA，且 AC=BD
C
课堂练习
选做题：
6.在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O。那么 ∠AOB 和 ∠OAB 的度数分别是（ ）
A. 90° 和 45°
B. 60° 和 45°
C. 90° 和 60°
D. 45° 和 45°
A
课堂小结
1. 正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2. 正方形的判定方法：
定义法：平行四边形 + 一组邻边相等 + 一个直角；
矩形法：矩形 + 一组邻边相等（或对角线互相垂直）；
菱形法：菱形 + 一个直角（或对角线相等）；
对角线法：对角线互相垂直平分且相等的四边形。
知识梳理
课堂小结
3.特殊平行四边形的关系：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形。
4.易错点提醒：判定正方形需同时满足矩形和菱形的条件，不可仅用单一条件（如仅对角线垂直、仅四边相等、仅四角为直角都不能判定为正方形）。
知识梳理
课后提升
【知识技能类作业】 必做题：
1.下列命题中是真命题的是( ) .
A. 矩形的对角线互相垂直
B. 菱形的对角线相等
C. 正方形的对角线相等且互相垂直
D. 四边形的对角线互相平分
C
课后提升
【知识技能类作业】 必做题：
2.在四边形 ABCD 中 ,O是对角线的交点,下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( ) .
A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD
B.AD∥BC, ∠A= ∠C
C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
C
课后提升
【知识技能类作业】 必做题：
3.如图 19-3-14所示 ,E 是正方形 ABCD 的边 AD上任意一点 , EF⊥BD 于点 F, EG⊥AC于点G,若 AB= 10 cm ,则四边形 EFOG 的周长是 ______________.
20cm
课后提升
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，在正方形中，为对角线上一点，连接并延长交于点，若，则的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
C
课后提升
5.如图，将一个边长为10cm的正方形活动据架（边框粗细忽略不计）拉动成四边形ABCD，若∠BAD＝60°，则AC=___________cm．
10
【知识技能类作业】选做题：
课后提升
6.如图 19-3-19所示 ,在四边形 ABCD 中 ,AB=BC,对角线 BD 平分 ∠ABC,P 是 BD上一点,过点 P 作 PM ⊥AD,PN ⊥CD,垂足分别为 M,N.
①求证 : ∠ADB= ∠CDB;
②若 ∠ADC= 90°,求证 : 四边形 MPND 是正方形 .
【知识技能类作业】选做题：
课后提升
解答：① 证明：
已知 ， 平分 ，因此 。
在 和 中：
根据 SAS（边角边）全等判定定理，。
课后提升
由全等三角形的对应角相等，得 。
② 证明：四边形 是正方形
已知 ，，因此 。
又已知 ，
因此四边形 中，。
根据三个角为直角的四边形是矩形，得四边形 是矩形。
由①的结论，，即 平分 。
又 ，，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
得 。
根据一组邻边相等的矩形是正方形，矩形 是正方形。
课后提升
7.如图，在正方形ABCD和 ECGF中，点B，C，G在同一条直线上，P是线段AF的中点，连接DP，连接EP并延长，交AD于点Q．请证明：
（1）四边形ECGF是矩形．
（2）当∠DPE＝90°时，四边形ECGF是正方形．
【综合拓展类作业】
课后提升
解答：
(1) 证明：四边形 是矩形
已知四边形 是正方形，因此 ，即 。
又因为点 在同一条直线上，所以 是 的延长线，
故 ，即 。
已知四边形 是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得四边形 是矩形。
【综合拓展类作业】
课后提升
(2) 证明：当 时，四边形 是正方形
① 证明
因为四边形 是正方形，所以 ；
又因为四边形 是平行四边形，所以 。
由于 共线，故 ，因此 ，进而
（平行于同一直线的两直线平行）。
由 ，得内错角相等：。
【综合拓展类作业】
课后提升
已知 是 的中点，故 。
根据 ASA（角边角）全等判定，得 ，因此 ，（即 是 的中点）。
② 利用垂直平分线得
【综合拓展类作业】
课后提升
已知 ，故 ；
又因为 是 的中点，所以 是线段 的垂直平分线。
根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得 。
③ 证明矩形 邻边相等，从而为正方形
因为四边形 是正方形，所以 。
由线段和差关系：，；
【综合拓展类作业】
课后提升
结合 、，得 ，因此 。
由(1)知四边形 是矩形，根据矩形对边相等的性质，得 。
又由 得 ，因此 ，即矩形 的一组邻边 。
根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可证得四边形 是正方形。
【综合拓展类作业】
课后提升
8. 如图将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使B点落在CD边上一点E，压平后得到折痕MN，当．
(1) 求NE的长；
(2) 连AN、AE，NG⊥AE，垂足为G，求GN的长；
(3) 直接写出AM的长度．
【综合拓展类作业】
课后提升
解答：建立符合图形的坐标系：（左上）、（左下）、（右下）、（右上），则 （ 边上，）。
1) 求 的长
设 在 上，坐标为 （ 为下横边 ）。
由折叠性质 ：
（ 到 的距离）
（ 到 的距离）
【综合拓展类作业】
课后提升
列方程：
两边平方化简：
因此 （或 ）。
(2) 求 的长
步骤1：求 的长度
，，由勾股定理：
【综合拓展类作业】
课后提升
步骤2：求 的面积
用鞋带公式计算 、、 构成的三角形面积：
代入坐标：
【综合拓展类作业】
课后提升
步骤3：用面积法求高
，故 是 边上的高，由面积公式 ：
解得：
【综合拓展类作业】
课后提升
(3) 求 的长度
设 在 上，坐标为 （ 为上横边 ）。
由折叠性质 ：
两边平方化简：
到 的距离为 （或 ）。
选做题：
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine中小学教育资源及组卷应用平台
分课时学案
课题 5.3.1正方形 单元 第五单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习 目标 1.理解正方形的定义，掌握正方形的性质与判定定理，明确正方形与矩形、菱形、平行四边形的联系与区别； 2.能运用相关知识进行简单的证明与计算，解决与正方形相关的实际问题 3.培养逻辑推理能力与空间观念，掌握“先证矩形/菱形，再补条件”的正方形判定思路。
评价设计 1. 优秀 良好 合格 待改进 2. 优秀 良好 合格 待改进 3. 优秀 良好 合格 待改进
教学过程
导入新课 【引入思考】 情境引入：给你一张正方形的彩色纸，你能通过折叠并一刀剪出如图所示的正方形孔吗？ 回顾旧知： (1) 有一个角是______的平行四边形是矩形；矩形的对角线______，四个角都是______。 (2) 有一组______相等的平行四边形是菱形；菱形的对角线______，四条边都______。 (3) 矩形的判定定理：______的平行四边形是矩形；______的四边形是矩形。 (4) 菱形的判定定理：______的平行四边形是菱形；______的四边形是菱形。
新知讲解 问题1：回顾并思考： 我们已经学习过哪些特殊的平行四边形？ 是否存在一组邻边相等的特殊的矩形？若存在，它是什么图形？ 是否存在一个角是直角的菱形？若存在，它是什么图形？ 完成图形转化填空，梳理四边形的从属关系：请在图5-18中填上各种图形的名称和转化的条件。 正方形的定义：我们把_____________________，并且有一个角是_____________的_____________叫作正方形（square）。正方形既是________，又是____________。 问题2： 探究正方形的判定定理 （1）正方形的判定定理： 根据图5-18的填空，我们可以得到一些正方形的判定定理，如： 有一组___________的矩形是正方形，对角线互相________的矩形是正方形。 有一个角是_______的菱形是正方形，对角线__________的菱形是正方形。 你还得到哪些判定一个四边形是正方形的定理？把它们写下来，与你的同伴交流。 【总结】 矩形法：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。 菱形法：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。 定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 【知识拓展】做一做 判断题（对的在括号内画“√”错的在括号内画“×”）： (1) 对角线互相垂直，一个角是直角的四边形是正方形； () (2) 如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形； () (3) 如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形； () (4) 四条边相等，并且有一个角是直角的四边形是正方形。 () 典例精析 例1已知：如图5-19，在Rt△ABC中， 是 的平分线，DE⊥BC,DF⊥AC，垂足分别是E,F。 求证：四边形CFDE是正方形。 分析：由已知条件容易判定四边形CFDE是 图5-19 矩形，要进一步证明矩形CFDE是正方形，只需要说明一组邻边相等。 证明：因为 所以 而 所以四边形CFDE是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）。 又因为 是 的平分线，则 所以 （为什么？回答： ） 所以四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。 【知识点利用】 本题思路：先证矩形，再证邻边相等，是判定正方形的经典思路。 一题多解：先证，，得平行四边形；再由得矩形，结合得正方形；或先由、平行四边形得菱形，再由得正方形。
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 必做题： 1.已知：如图， 和 都是等腰直角三角形， 。求证：四边形 是正方形。 2.求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形。 选做题： 3.如图，正方形的边长为，点在边上，连接，过点作，与的延长线相交于点，连接，与边相交于点，与对角线相交于点．若，则的长为（ ） A．2 B． C． D． 【综合拓展类作业】 4.如果一个平行四边形是对角线相等的菱形，那么它一定是（ ） A. 普通的平行四边形 B. 普通的矩形 C. 正方形 D. 普通的梯形 5.在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O。下列给出的条件中，不能判定四边形 ABCD 为正方形的是（ ） A. OA=OB=OC=OD，且 AC ⊥ BD B. AB=BC=CD=DA，且 ∠A = 90° C. AD // BC，AB=CD，且 AC=BD D. AB=BC=CD=DA，且 AC=BD 6.在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O。那么 ∠AOB 和 ∠OAB 的度数分别是（ ） A. 90° 和 45° B. 60° 和 45° C. 90° 和 60° D. 45° 和 45°
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 课本知识点 （2）本课主要学习方法或数学思想
课堂作业 作业内容： 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列命题中是真命题的是( ) . A. 矩形的对角线互相垂直 B. 菱形的对角线相等 C. 正方形的对角线相等且互相垂直 D. 四边形的对角线互相平分 2.在四边形 ABCD 中 ,O是对角线的交点,下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( ) . A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD B.AD∥BC, ∠A= ∠C C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D.AO=CO,BO=DO,AB=BC 3.如图 19-3-14所示 ,E 是正方形 ABCD 的边 AD上任意一点 , EF⊥BD 于点 F, EG⊥AC于点G,若 AB= 10 cm ,则四边形 EFOG 的周长是 . 选做题： 4.如图，在正方形中，为对角线上一点，连接并延长交于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5.如图，将一个边长为10cm的正方形活动据架（边框粗细忽略不计）拉动成四边形ABCD，若∠BAD＝60°，则AC＝ cm． 5.如图，将一个边长为10cm的正方形活动据架（边框粗细忽略不计）拉动成四边形ABCD，若∠BAD＝60°，则AC＝　 　cm． 6.如图 19-3-19所示 ,在四边形 ABCD 中 ,AB=BC,对角线 BD 平分 ∠ABC,P 是 BD上一点,过点 P 作 PM ⊥AD,PN ⊥CD,垂足分别为 M,N. ①求证 : ∠ADB= ∠CDB; ②若 ∠ADC= 90°,求证 : 四边形 MPND 是正方形 . 解： 【综合拓展类作业】 7.如图，在正方形ABCD和 ECGF中，点B，C，G在同一条直线上，P是线段AF的中点，连接DP，连接EP并延长，交AD于点Q．请证明： （1）四边形ECGF是矩形． （2）当∠DPE＝90°时，四边形ECGF是正方形． 解： 8. 如图将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使B点落在CD边上一点E，压平后得到折痕MN，当． (1) 求NE的长； (2) 连AN、AE，NG⊥AE，垂足为G，求GN的长； (3) 直接写出AM的长度． 解：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题：5.3.1正方形
课型： 新授课 设计时间： 年 月 日
学习核心内容
学习目标 评价设计（指向学习目标）
1.理解正方形的定义，掌握正方形的性质与判定定理，明确正方形与矩形、菱形、平行四边形的联系与区别； 2.能运用相关知识进行简单的证明与计算，解决与正方形相关的实际问题 3.培养逻辑推理能力与空间观念，掌握“先证矩形/菱形，再补条件”的正方形判定思路。 1. 优秀 良好 合格 待改进 2. 优秀 良好 合格 待改进 3. 优秀 良好 合格 待改进
学习过程设计
环节一：引入新课 情境引入：给你一张正方形的彩色纸，你能通过折叠并一刀剪出如图所示的正方形孔吗？ 回顾旧知： (1) 有一个角是______的平行四边形是矩形；矩形的对角线______，四个角都是______。 (2) 有一组______相等的平行四边形是菱形；菱形的对角线______，四条边都______。 (3) 矩形的判定定理：______的平行四边形是矩形；______的四边形是矩形。 (4) 菱形的判定定理：______的平行四边形是菱形；______的四边形是菱形。 解答： (1) 直角；相等且互相平分；直角 (2) 邻边；互相垂直平分；相等 (3) 有一个角是直角（或对角线相等）；三个角是直角（或对角线相等且互相平分） (4) 有一组邻边相等（或对角线互相垂直）；四条边相等（或对角线互相垂直平分） 设计意图： 通过复习矩形、菱形的核心知识，为正方形的学习搭建知识桥梁，同时以折纸情境激发学生探究兴趣，自然引入正方形的新课。 环节二：新知探究 问题1：回顾并思考： 我们已经学习过哪些特殊的平行四边形？ 是否存在一组邻边相等的特殊的矩形？若存在，它是什么图形？ 是否存在一个角是直角的菱形？若存在，它是什么图形？ 师生互动解答： 已学的特殊平行四边形：矩形、菱形。 存在，一组邻边相等的矩形是正方形。 存在，一个角是直角的菱形是正方形。 引导学生完成图形转化填空，梳理四边形的从属关系：请在图5-18中填上各种图形的名称和转化的条件。 图形转化转化条件目标图形四边形 → 平行四边形两组对边分别平行平行四边形四边形 → 梯形只有一组对边平行梯形平行四边形 → 矩形有一个角是直角（或对角线相等）矩形平行四边形 → 菱形有一组邻边相等（或对角线互相垂直）菱形矩形 → 正方形有一组邻边相等（或对角线互相垂直）正方形菱形 → 正方形有一个角是直角（或对角线相等）正方形
正方形的定义：我们把有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形（square）。正方形既是矩形，又是菱形。 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 明确：正方形是特殊的平行四边形，同时是特殊的矩形、特殊的菱形。 知识点辨析1：正方形与矩形、菱形的关系 包含关系：平行四边形矩形正方形菱形正方形 核心区别：矩形“角特殊”，菱形“边特殊”，正方形“边、角都特殊”，同时满足矩形和菱形的所有性质。 问题2：探究正方形的判定定理 （1）正方形的判定定理： 根据图5-18的填空，我们可以得到一些正方形的判定定理，如： 有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形。 有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形。 你还得到哪些判定一个四边形是正方形的定理？把它们写下来，与你的同伴交流。 结合图形关系，总结判定定理： 矩形法：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。 菱形法：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。 定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 【知识拓展】做一做 判断题（对的在括号内画“√”错的在括号内画“×”）： (1) 对角线互相垂直，一个角是直角的四边形是正方形； ( ) (2) 如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形； ( ) (3) 如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形； ( ) (4) 四条边相等，并且有一个角是直角的四边形是正方形。 ( ) 详细解析： (1) 错误。反例：对角线互相垂直且有一个直角，但不是平行四边形的筝形，不满足正方形的条件，需补充“平行四边形”或“矩形”等前提。 (2) 正确。菱形本身满足“四边相等、对角线垂直”，若对角线相等，则符合“对角线相等的菱形是正方形”的判定。 (3) 正确。矩形本身满足“四角直角、对角线相等”，若对角线垂直，则符合“对角线垂直的矩形是正方形”的判定。 (4) 正确。四边相等的四边形是菱形，有一个直角的菱形是正方形，因此该四边形是正方形。 设计意图：通过回顾旧知梳理知识脉络，引出正方形的定义、性质与判定，结合判断题辨析易错点，帮助学生构建完整的特殊平行四边形知识体系，理解正方形与矩形、菱形的内在联系。 环节三：典例精析 例1已知：如图5-19，在Rt△ABC中， ， 是 的平分线，DE⊥BC,DF⊥AC，垂足分别是E,F。 求证：四边形CFDE是正方形。 分析：由已知条件容易判定四边形CFDE是 图5-19 矩形，要进一步证明矩形CFDE是正方形，只需要说明一组邻边相等。 证明：因为 所以 而 所以四边形CFDE是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）。 又因为 是 的平分线，则 所以 （为什么？） 所以四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。 【知识点利用】 本题思路：先证矩形，再证邻边相等，是判定正方形的经典思路。 一题多解：先证，，得平行四边形；再由得矩形，结合得正方形；或先由、平行四边形得菱形，再由得正方形。 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 已知：如图， 和 都是等腰直角三角形， 。求证：四边形 是正方形。 证明： 是等腰直角三角形，， ，， 是等腰直角三角形，， ，， ，同理， 又， 四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）， 又， 矩形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。 求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形。 连接正方形的对角线、， 四边形是正方形， ，， 、、、分别是、、、的中点， ，，，， ，，，， ，四边形是菱形， 又， ， 菱形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。 选做题： 3.如图，正方形的边长为，点在边上，连接，过点作，与的延长线相交于点，连接，与边相交于点，与对角线相交于点．若，则的长为（ C ） A．2 B． C． D． 【综合拓展类作业】 4.如果一个平行四边形是对角线相等的菱形，那么它一定是（ ） A. 普通的平行四边形 B. 普通的矩形 C. 正方形 D. 普通的梯形 【答案】C 【解析】“对角线相等的平行四边形”是矩形，既是矩形又是菱形的平行四边形必定是正方形。 5.在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O。下列给出的条件中，不能判定四边形 ABCD 为正方形的是（ ） A. OA=OB=OC=OD，且 AC ⊥ BD B. AB=BC=CD=DA，且 ∠A = 90° C. AD // BC，AB=CD，且 AC=BD D. AB=BC=CD=DA，且 AC=BD 【答案】C 6.在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O。那么 ∠AOB 和 ∠OAB 的度数分别是（ ） A. 90° 和 45° B. 60° 和 45° C. 90° 和 60° D. 45° 和 45° 【答案】A 环节五：课堂总结 1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2. 正方形的判定方法： 定义法：平行四边形 + 一组邻边相等 + 一个直角； 矩形法：矩形 + 一组邻边相等（或对角线互相垂直）； 菱形法：菱形 + 一个直角（或对角线相等）； 对角线法：对角线互相垂直平分且相等的四边形。 3.特殊平行四边形的关系：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，包含关系为：平行四边形矩形、菱形正方形。 4.易错点提醒：判定正方形需同时满足矩形和菱形的条件，不可仅用单一条件（如仅对角线垂直、仅四边相等、仅四角为直角都不能判定为正方形）。
作业内容： 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列命题中是真命题的是( C ) . A. 矩形的对角线互相垂直 B. 菱形的对角线相等 C. 正方形的对角线相等且互相垂直 D. 四边形的对角线互相平分 2.在四边形 ABCD 中 ,O是对角线的交点,下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( C ) . A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD B.AD∥BC, ∠A= ∠C C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D.AO=CO,BO=DO,AB=BC 3.如图 19-3-14所示 ,E 是正方形 ABCD 的边 AD上任意一点 , EF⊥BD 于点 F, EG⊥AC于点G,若 AB= 10 cm ,则四边形 EFOG 的周长是 20cm . 选做题： 4.如图，在正方形中，为对角线上一点，连接并延长交于点，若，则的度数为（ C ） A． B． C． D． 5.如图，将一个边长为10cm的正方形活动据架（边框粗细忽略不计）拉动成四边形ABCD，若∠BAD＝60°，则AC＝　 10 　cm． 6.如图 19-3-19所示 ,在四边形 ABCD 中 ,AB=BC,对角线 BD 平分 ∠ABC,P 是 BD上一点,过点 P 作 PM ⊥AD,PN ⊥CD,垂足分别为 M,N. ①求证 : ∠ADB= ∠CDB; ②若 ∠ADC= 90°,求证 : 四边形 MPND 是正方形 . 解答： ① 证明： 已知 ， 平分 ，因此 。 在 和 中： 根据 SAS（边角边）全等判定定理，。 由全等三角形的对应角相等，得 。 ② 证明：四边形 是正方形 已知 ，，因此 。 又已知 ，因此四边形 中，。 根据三个角为直角的四边形是矩形，得四边形 是矩形。 由①的结论，，即 平分 。 又 ，，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得 。 根据一组邻边相等的矩形是正方形，矩形 是正方形。 【综合拓展类作业】 7.如图，在正方形ABCD和 ECGF中，点B，C，G在同一条直线上，P是线段AF的中点，连接DP，连接EP并延长，交AD于点Q．请证明： （1）四边形ECGF是矩形． （2）当∠DPE＝90°时，四边形ECGF是正方形． 解答： (1) 证明：四边形 是矩形 已知四边形 是正方形，因此 ，即 。 又因为点 在同一条直线上，所以 是 的延长线，故 ，即 。 已知四边形 是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得四边形 是矩形。 (2) 证明：当 时，四边形 是正方形 ① 证明 因为四边形 是正方形，所以 ； 又因为四边形 是平行四边形，所以 。 由于 共线，故 ，因此 ，进而 （平行于同一直线的两直线平行）。 由 ，得内错角相等：。 已知 是 的中点，故 。 根据 ASA（角边角）全等判定，得 ，因此 ，（即 是 的中点）。 ② 利用垂直平分线得 已知 ，故 ； 又因为 是 的中点，所以 是线段 的垂直平分线。 根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得 。 ③ 证明矩形 邻边相等，从而为正方形 因为四边形 是正方形，所以 。 由线段和差关系：，； 结合 、，得 ，因此 。 由(1)知四边形 是矩形，根据矩形对边相等的性质，得 。 又由 得 ，因此 ，即矩形 的一组邻边 。 根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可证得四边形 是正方形。 8. 如图将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使B点落在CD边上一点E，压平后得到折痕MN，当． (1) 求NE的长； (2) 连AN、AE，NG⊥AE，垂足为G，求GN的长； (3) 直接写出AM的长度． 解答：建立符合图形的坐标系：（左上）、（左下）、（右下）、（右上），则 （ 边上，）。 1) 求 的长 设 在 上，坐标为 （ 为下横边 ）。 由折叠性质 ： （ 到 的距离） （ 到 的距离） 列方程： 两边平方化简： 因此 （或 ）。 (2) 求 的长 步骤1：求 的长度 ，，由勾股定理： 步骤2：求 的面积 用鞋带公式计算 、、 构成的三角形面积： 代入坐标： 步骤3：用面积法求高 ，故 是 边上的高，由面积公式 ： 解得： （用点到直线的距离公式验证： 方程为 ， 到直线的距离为 ，结果一致） (3) 求 的长度 设 在 上，坐标为 （ 为上横边 ）。 由折叠性质 ： 列方程： 两边平方化简： 到 的距离为 （或 ）。 最终答案 (1) （或 ） (2) (3) （或 ）
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
板书设计： 5.3.1 正方形 板书设计 主板书 5.3.1 正方形 定义 有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形 正方形 矩形、正方形 菱形、正方形 平行四边形 兼具矩形、菱形全部性质 正方形判定 定义法：平行四边形 + 邻边相等 + 一个直角 矩形法：矩形 + 邻边相等 / 对角线⊥ 菱形法：菱形 + 一个直角 / 对角线相等 对角线法：对角线互相垂直平分且相等 解题核心思路 先证矩形→证邻边相等→正方形 先证菱形→证一个直角→正方形 易错警示 单一条件不能判定正方形，需同时满足矩形 + 菱形双重条件 副板书（右侧留白） 旧知填空、典例简图、课堂关键例题结论
教学反思： 本节课以折纸情境导入，结合矩形、菱形旧知回顾搭建知识桥梁，循序渐进引出正方形的定义、性质与判定，知识脉络清晰。课堂中梳理了平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属包含关系，将正方形判定按定义法、矩形法、菱形法分类归纳，搭配判断题、典例证明分层训练，有效培养了学生的逻辑推理能力，帮助学生构建了完整的特殊四边形知识体系，多数学生能掌握正方形基础判定与简单证明方法。 本节课仍存在些许不足，部分学生对四类特殊四边形的从属关系容易混淆，对 “仅凭单一条件不能判定正方形” 的易错点理解不够透彻，课堂留给学生自主辨析、合作探究的时间偏少。另外课后折叠综合拓展题难度梯度稍大，基础薄弱学生难以跟上思路，后续教学可增加实物折纸实操环节，让学生直观感知图形转化，同时精简难题、增加当堂基础小练习，分层设计任务，兼顾不同层次学生的学习需求。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑