资源简介

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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 下册第4章
课标要求 1.理解平均数、中位数、众数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，知道它们是对数据集中趋势的描述。 2.体会刻画数据离散程度的意义，会计算一组简单数据的离差平方和、方差。 3.经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则 对数据进行分类的方法。 4.通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴含的信息。 5.体会样本与总体的关系，知道可以用样本平均数估计总体平均数，用样本方差估计总体方差。 6.会计算四分位数，了解四分位数与箱线图的关系，感悟百分位数的意义。 7.能解释数据分析的结果，能根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流。
内容分析 本单元属于初中数学“统计与概率”模块，是学生在数据收集、整理基础上开展数据分析的关键内容，也是衔接中小学统计知识的重要桥梁。教材以“数据特征分析—数据分布呈现—统计思想应用”为主线，系统编排了统计量计算、数据分类、图表解读与总体估计等内容，层层递进构建了数据分析的知识体系，既落实计算技能，也渗透统计思想，是培养学生数据意识的重要载体。
学情分析 八年级学生已具备基础的算术运算与初步数据处理经验，对平均数、条形图等内容有一定认知，且在生活中接触过各类统计数据，具备学习基础。但学生抽象思维仍在发展，对加权平均数权重、方差的波动意义、样本估计总体等概念理解易停留在表面，存在机械套用公式、不会结合情境选择统计量等问题，需通过生活化情境与探究活动引导突破难点。
单元目标 （一）教学目标 1.理解平均数、中位数、众数、方差等统计量的意义，掌握其计算方法，能结合情境合理选择统计量描述数据特征，发展数据意识与运算能力。 2.掌握箱线图、频数直方图的解读方法，能从图表中提取信息、分析数据分布，提升数据分析与直观想象素养。 3.理解用样本估计总体的统计思想，能运用统计知识解决实际问题，发展数学建模与应用意识。 4.在数据分析中体会统计的随机性，培养理性思考、合作探究的能力，形成用数据说话的科学态度。 （二）教学重点、难点 重点：理解各类统计量的意义，掌握平均数、方差、频数分布的计算方法，能结合情境选择统计量分析数据，解读统计图表信息。 难点：理解加权平均数的权重意义、方差刻画数据波动的本质，灵活选择统计量解决实际问题，理解用样本估计总体的统计思想。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1平均数、中位数、众数24.2方差14.3数据分类14.4四分位数与箱线图24.5数据的频数分布24.6总体的平均数与方差的估计14.7统计的简单应用1第4章小结与复习1综合与实践估计池塘中鱼的数量1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1 平均数、中位数、众数（1）1.理解算术平均数、加权平均数的概念，掌握两类平均数的计算方法，能运用加权平均数解决实际问题。 2.经历从实际情境中抽象平均数概念的过程，体会“权”对平均数的影响，发展数据分析与数学建模能力。 3.感受统计知识在生活中的应用价值，培养用数据说话的理性思维，提升数学应用意识与核心素养。能运用平均数与加权平均数解决实际问题。任务一：复习导入，回顾什么是平均数。 任务二：探究新知，探究平均数与加权平均数。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.1 平均数、中位数、众数（2）1.掌握中位数、众数的计算方法，能准确求解两组及以上数据的中位数，识别众数。 2.对比分析平均数、中位数、众数的特点，能结合实际情境选择恰当的统计量分析数据，发展数据分析素养。 3.体会统计知识在生活中的应用价值，培养用数据理性分析问题的思维，提升数学应用意识。1.能准确求解两组及以上数据的中位数，识别众数。 2.能结合实际情境选择恰当的统计量分析数据，发展数据分析素养。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，探究中位数与众数。 任务三：例题精讲，运用新知。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.2 方差1.理解方差概念，掌握方差计算公式，能正确计算数据的离差平方和与方差。 2.理解方差的统计意义，会用方差比较两组数据的稳定性，解决实际问题。 3.经历方差概念形成过程，提升数据分析与运算能力，培养统计思维。1.能正确计算数据的离差平方和与方差。 2.会用方差比较两组数据的稳定性，解决实际问题。任务一：复习导入，求平均数。 任务二：探究新知，了解什么是方差. 任务三：例题精讲，求方差。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3 数据分类1.理解组内离差平方和、组间离差平方和的含义，掌握其计算方法。 2.能运用“组内离差平方和最小”的原则对数据进行合理分组。能运用“组内离差平方和最小”的原则对数据进行合理分组。任务一：情境导入，认真思考。 任务二：探究新知，探究数据分类. 任务三：巩固练习，课堂小结4.4 四分位数与箱线图(1)1.理解百分位数、四分位数的概念，掌握其计算方法，落实数据分析素养。 2.能根据数据个数和排列情况，正确计算第25、50、75百分位数，提升数据处理能力。能根据数据个数和排列情况，正确计算第25、50、75百分位数。任务一：情境导入。 任务二：探究新知，探究四分位数。 任务三：例题精讲，进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 四分位数与箱线图(2)1.理解四分位差的概念与统计意义，掌握箱线图的构成与解读方法。 2.能利用四分位差比较数据的离散程度，会根据数据绘制箱线图，提升数据处理与可视化能力。1.掌握箱线图的构成与解读方法。 2.能利用四分位差比较数据的离散程度，会根据数据绘制箱线图。 任务一：复习导入。 任务二：探究新知，探究箱线图。 任务三：例题精讲，进行绘制。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5.1 频数与频率1.理解频数、频率的概念，掌握其计算方法，落实数据分析素养。 2.能对实际数据进行频数统计与频率计算，提升数据整理与处理能力。 3.体会频数与频率在描述数据分布、分析实际问题中的作用，培养用统计思维解决问题的意识。能对实际数据进行频数统计与频率计算。任务一：情境导入，数据分类。 任务二：探究新知，探究频数与频率。 任务三：例题精讲，进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5.2 频数直方图1.理解频数直方图的概念，掌握其绘制步骤，落实数据分析素养。 2.能对实际数据进行分组、列频数分布表并绘制频数直方图，提升数据整理与可视化能力。能对实际数据进行分组、列频数分布表并绘制频数直方图。任务一：情境导入。 任务二：探究新知，理解频数直方图的概念。 任务三：例题精讲，进行绘制。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 总体的平均数与方差的估计1.理解用样本平均数、样本方差估计总体平均数与方差的统计思想，落实数据分析素养。 2.掌握样本平均数、样本方差的计算方法，能运用抽样估计解决实际问题，提升数据处理与统计推断能力。1.能运用样本平均数、样本方差估计总体平均数与方差。 2.能运用抽样估计解决实际问题。任务一：复习回顾。 任务二：探究新知，总体的平均数与方差的估计。 任务三：例题精讲，进行估计。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.7 统计的简单应用1.理解用样本频率估计总体频率的方法，掌握散点图的绘制与解读，落实数据分析素养。 2.能运用抽样估计解决实际问题，通过散点图分析变量关系，提升数据处理与统计决策能力。1.能用样本频率估计总体频率，掌握散点图的绘制与解读。 2.能运用抽样估计解决实际问题，通过散点图分析变量关系。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，探究统计的简单应用。 任务三：例题精讲，进行估计与绘制。 任务四：巩固练习，课堂小结。第4章 小结与评价1.系统梳理本单元核心知识点，构建完整的数据分析知识体系，落实数据分析素养。 2.能熟练运用平均数、方差、频数分布、抽样估计等知识解决实际问题，提升数据处理与综合应用能力。 3.体会统计知识在实际问题中的应用价值，培养严谨的统计思维与知识整合能力。1.能构建完整的数据分析知识体系。 2.能熟练运用平均数、方差、频数分布、抽样估计等知识解决实际问题。 任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。综合与实践：估计池塘中鱼的数量1.理解标记重捕法的原理，掌握用样本频率估计总体数量的计算方法。 2.能通过模拟试验探究标记重捕法的过程，提升动手实践、合作探究与数据处理能力。1.能用样本频率估计总体数量的计算方法。 2.能通过模拟试验探究标记重捕法的过程。任务一：情境导入。 任务二：认真思考, 合作探究。 任务三：合作交流，进行估计。
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第4章 数据分析
小结与评价
01
教学目标
02
知识图谱
03
思考回顾
04
注意事项
05
课堂练习
06
作业布置
01
教学目标
系统梳理本单元核心知识点，构建完整的数据分析知识体系，落实数据分析素养。
01
能熟练运用平均数、方差、频数分布、抽样估计等知识解决实际问题，提升数据处理与综合应用能力。
02
体会统计知识在实际问题中的应用价值，培养严谨的统计思维与知识整合能力。
03
02
知识图谱
教材P176
03
思考回顾
1.举例说明平均数、中位数、众数的意义，如何计算一组数据的中位数、众数、加权平均数？
公司总经理最关心的是公司月工资的总额，所以作为公司的总经理关注的是员工月工资数据的平均数。
平均数：看整体平均水平
中位数：看中间水平
众数：看最多情况
03
思考回顾
普通员工关注的是自己的收入在本公司职工群体中的位置，中位数能帮助职工了解自己的工资收入是“中上”还是“中下”水平，所以作为普通员工会关注员工月工资数据的中位数。
应聘者关注的是该公司员工月工资的众数，因为应聘者最想知道的是公司发给大多数员工的工资数,这也是一般的应聘者将会拿到的工资，所以作资为应聘者会关注员工月工资数据的众数。
03
思考回顾
把一组数据按从小到大的顺序排列，那么位于中间位置的数（如果数据的个数是奇数），或者中间位置两个数的平均数（如果数据的个数是偶数），称为这组数据的中位数.
在一组数据中，出现次数最多的数叫作这组数据的众数.
03
思考回顾
求一组数据的平均数时，可用不同的数据乘它们的权数再相加，这样求得的平均数称为加权平均数.
一般地，若n个数据的权数分别是，则其加权平均数记为
.
03
思考回顾
牛刀小试：数据0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是（　　）
A．2和2.4
B．2和2
C．1和2
D．3和2
B
03
思考回顾
2.举例说明离差平方和与方差是如何刻画数据的离散程度的，如何计算一组数据的离差平方和与方差？
=(x1)2+()2+…+(xn)2.
s=(x1)2+()2+…+(xn)2.
方差越大，数据分布越分散；方差越小，数据越集中稳定。
03
思考回顾
取一组数据：2，4，6
1.先算平均数:=4
2.离差平方和:=8
3.方差：=
新增一组数据：3，4，5
1.先算平均数:=4
03
思考回顾
牛刀小试：数据：3，5，5，7，该组数据离差平方和为________，样本方差为_______。
8
2.离差平方和:=2
3.方差：=
两组平均数相同，后者离差平方和、方差更小，数据更紧凑，离散程度更低。
2
03
思考回顾
3.对数据进行分类应遵循什么分组原则？把一组数据分成两组，这组数据的离差平方和与组内离差平方和、组间离差平方和有什么关系
“组内离差平方和最小”原则
=+.
牛刀小试：已知离差平方和=28，组内离差平方和=16，则组间离差平方和=_________。
12
03
思考回顾
4.举例说明如何计算一组数据的四分位数.一组数据的第三四分位数减去第一四分位数的差能刻画这组数据的什么特征？
解：把这组数据从小到大排列：
150，154，161，165，168，172，175，178，180，182.
这组数据的中位数是×(168+172）=170，即第二四分位数是170.
因为×10=2.5，所以第3个数161是第一四分位数.
因为×10=7.5，所以第8个数178是第三四分位数.
数据：165，154，175，172，168，150，178，182，161，180.
03
思考回顾
一组数据的第三四分位数减去第一四分位数的差可以用来刻画这组数据的分散程度，第三四分位数减去第一四分位数的差越大，这组数据就越分散.
牛刀小试：一组数据分别为106，113，96，98，100，102，104，111，则这组数据的下四分位数是（　　）
A．113 B．99 C．102 D．98
B
03
思考回顾
5.举例说明频数和频数分布的意义，如何绘制频数直方图，并利用频数直方图解释数据中蕴含的信息？
例：班级 20 名学生身高 (cm)：
152、155、155、158、160、160、160、162、163、163
165、165、165、165、168、168、170、172、172、175
频数：每组内数据个数。如 164~167cm 区间有 4 人，频数为 4。
频数分布：统计各组对应频数，展现数据分布疏密情况。
03
思考回顾
绘制频数直方图的一般步骤
(1) 找出所给数据中的最大值和最小值，求最大值与最小值的差确定统计量的范围；
(2) 确定组数和组距并进行分组；(数据个数在100以内，一般分5至12组)
(3) 统计每组中数据的频数；
(4) 根据分组和频数，绘制频数直方图.
组距为宽，频数为高。矩形越高，频数越大；矩形越低，频数越少。
03
思考回顾
牛刀小试：某中学为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了他们1min仰卧起坐的次数，制成的频数分布直方图
如图所示，已知该校九年级共有600名学生，请据此估计，该校九年级学生1min仰卧起坐次数在50 60之间的人数大约是（　　）
A．80 B．100
C．200 D．220
B
03
思考回顾
6.举例说明如何用样本估计总体平均数和总体方差.
例子：估算全校 800 名学生每日睡眠时间，抽取 10 名学生作为样本
样本数据（h）：7，6.5，7.5，8，7，6.8，7.2，7，7.3，6.7
1.估计总体平均数
样本均值：==7.1(h)
用样本平均数7.1，估计全校学生平均每日睡眠约7.1小时。
2.估计总体方差
样本方差：
03
思考回顾
s= =0.166
用样本方差0.166，估计全校学生睡眠时间的波动离散程度。
牛刀小试：随机抽查某班5名同学，记录自己家中一周内用水量，分别为：，，，，．如果该班有40名学生，估计一周内该班全体同学家中用水总量约为　 　．
100
04
注意事项
1.平均数与加权平均数的意义不同. 当一组数据中不同的数重复出现时，我们用权数的大小来反映重复次数的多少；通常也用权数来反映一组数据中不同成分的比例或重要性.
2.平均数、中位数、众数从不同方面反映了数据的集中趋势.
3.把一组数据分类，应使组内离差平方和最小.
4.要善于利用频数直方图解释数据中蕴含的信息.绘制频数直方图时，要注意组距的选取.若组距选择太宽，则从直方图中无法读取有用信息；若组距选择太窄，则直方图中可获取的信息少.
5.一般地，当样本容量足够大时，可以用样本估计总体.
05
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为93分，期中考试成为90分，期末考试成绩为95分，按照平时、期中、期末所占比例为10%，30%，60%计算小丽本学期的总评成绩应该是（　　）
A．92.5分
B．92.8分
C．93.1分
D．93.3分
D
05
课堂练习
2.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是，则射击成绩比较稳定的是（　　）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
D
05
课堂练习
3.小明家在五月下旬搬进了新房，为了解六月份的用电情况，他在六月份连续几天的同一时刻记录电表的示数，如下表：
根据表格估计，他家六月份的总用电量约为（　　）
A．3295度 B．3045度 C．143度 D．138度
D
日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日
示数（度） 98 103 108 112 117 121
05
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.某小组6名学生的数学考试成绩(单位：分)分别为88，98，90，92，90，96老师决定将这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布.若按照以下分组方式：第一组{88，90，90，92}，第二组{96，98}，则组内离差平方和为　 　.
10
05
课堂练习
5.下列说法中，正确的是　 　.
①在频数直方图中，各个长方形的高度表示各组的组距；
②在频数直方图中，当把组距看成“1”时，长方形高度的数值=频数；
③在频数直方图中，每一组的两个边界值的平均数称为该组的组中值；
④在频数直方图中，可以只标出组中值，不标出组界.
②③④
05
课堂练习
6.某次考试以70分为合格分数线，全班的总平均分为76分，而所有成绩合格学生的平均分为81分，所有成绩不合格学生的平均分为66分，为了减少不合格的学生人数，老师给每位学生的成绩加上5分，加分之后，所有成绩合格学生的平均分变为85分，所有成绩不合格学生的平均分变为69分，已知该班学生人数在30到40人之间，则该班有学生
　 　人．
36
05
课堂练习
7.有甲、乙两个箱子，其中甲箱内有98颗球，分别标记号码1~98，且号码为不重复的整数，乙箱内没有球。小明从甲箱内拿出m颗球放入乙箱后，乙箱内球的号码的中位数为40，若此时甲箱内剩有a颗号码小于40的球，和b颗号码大于40的球。
（1）当m=49时，求a，b的值。甲箱内球的号码的中位数能否为40？请说明理由。
（2）若甲箱内球的号码的中位数与乙箱内球的号码的中位数都是x，求x的值。
【综合拓展类作业】
05
课堂练习
（1）解：甲箱内有球：9849=49(颗)，
∵乙箱内球的号码中位数为40，
∴乙箱内小于、大于40的各有(491)÷2=24(颗)。
∴=3924=15(颗)，=4915=34(颗)。
甲箱内球的号码的中位数不能为40。理由如下：
∵a≠b，40号球在乙箱内，甲箱内有49颗球，
∴甲箱内球的号码的中位数不能为40
05
课堂练习
（2）解：由(1)可知：当甲、乙箱内球的号码的中位数相同时，甲、乙箱内球的数量应该都是偶数。设在甲箱内球的号码小于x的数量是c颗，则大于x的数量也是c颗；在乙箱内球的号码小于x的数量是d颗，则大于x的数量也是d颗，则在全部98颗球中，号码小于x的数量是(c+d)颗，大于x的数量也是(c+d)颗，即1~98的中位数是x。
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.在学校举办的“数学思维挑战赛”中，有19 名选手进入决赛，前9名将晋级更高一级比赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名选手想知道自己能否晋级，除了知道自己的成绩外，他还需要了解这19 名学生成绩的（　　）
A．平均数
B．中位数
C．众数
D．方差
B
06
作业布置
2.关于箱线图的描述，下列说法正确的是（　　）
A．箱线图中顶端和底端的两条线分别表示全部数据中的最大值与最小值
B．最顶端和最底端线段中间的距离表示四分位差
C．上下四分位数之间的高度反映了中间50％数据的集中程度
D．中位数越靠近上四分位数，说明中间50％的数据中的后半部分越分散
C
06
作业布置
3.已知一组数据的方差为，数据为：1，0，3，5，x，那么x等于（　　）
A．2或5.5
B．2或5.5
C．4或11
D．4或11
A
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.某校在一次班班有歌声评比活动中，A，B两班各项得分如表．
（1）如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两个班级的排名顺序怎样
（2）若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“精神面貌”“演唱质量”“整体规范”三个项目在总分中的占比为2：6：2，那么两个班级的排名顺序又怎么样
精神面貌 演唱质量 整体规范
A 86 91 87
B 90 85 92
06
作业布置
（1）解：A班级的平均数：（分）
B班级的平均数：（分）
所以B班级的成绩高于A班级的成绩.
（2）解：A班级的平均数：(分)
B班级的平均数：(分)
所以A班级的成绩高于B班级的成绩
07
板书设计
数据的集中趋势：
数据的离散程度：
数据分类：
四分位数、箱线图：
数据的频数分布：
估计与预测：
第4章 小结与评价
习题讲解书写部分
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第4章 数据分析
第4章 小结与评价
学习目标与重难点
学习目标：
1.系统梳理本单元核心知识点，构建完整的数据分析知识体系，落实数据分析素养。
2.能熟练运用平均数、方差、频数分布、抽样估计等知识解决实际问题，提升数据处理与综合应用能力。
3.体会统计知识在实际问题中的应用价值，培养严谨的统计思维与知识整合能力。
学习重点：
梳理数据分析单元的知识脉络，强化各知识点的内在联系，掌握核心统计量的计算与应用。
学习难点：
综合运用统计知识解决实际问题，构建系统的统计知识体系，提升统计思维的应用能力。
教学过程
一、知识图谱
二、思考回顾
教材第176页
1.举例说明平均数、中位数、众数的意义，如何计算一组数据的中位数、众数、加权平均数？
【牛刀小试】数据0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是（　　）
A．2和2.4 B．2和2 C．1和2 D．3和2
2.举例说明离差平方和与方差是如何刻画数据的离散程度的，如何计算一组数据的离差平方和与方差？
【牛刀小试】数据：3，5，5，7，该组数据离差平方和为________，样本方差为_______。
3.对数据进行分类应遵循什么分组原则？把一组数据分成两组，这组数据的离差平方和与组内离差平方和、组间离差平方和有什么关系
【牛刀小试】已知离差平方和=28，组内离差平方和=16，则组间离差平方和=________。
4.举例说明如何计算一组数据的四分位数.一组数据的第三四分位数减去第一四分位数的差能刻画这组数据的什么特征？
【牛刀小试】一组数据分别为106，113，96，98，100，102，104，111，则这组数据的下四分位数是（　　）
A．113 B．99 C．102 D．98
5.举例说明频数和频数分布的意义，如何绘制频数直方图，并利用频数直方图解释数据中蕴含的信息？
【牛刀小试】某中学为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了他们仰卧起坐的次数，制成的频数分布直方图如图所示，已知该校九年级共有600名学生，请据此估计，该校九年级学生仰卧起坐次数在之间的人数大约是（　　）
A．80 B．100 C．200 D．220
6.举例说明如何用样本估计总体平均数和总体方差.
【牛刀小试】随机抽查某班5名同学，记录自己家中一周内用水量，分别为：，，，，．如果该班有40名学生，估计一周内该班全体同学家中用水总量约为　 　．
三、注意事项
1.平均数与加权平均数的意义不同. 当一组数据中不同的数重复出现时，我们用权数的大小来反映重复次数的多少；通常也用权数来反映一组数据中不同成分的比例或重要性.
2.平均数、中位数、众数从不同方面反映了数据的集中趋势.
3.把一组数据分类，应使组内离差平方和最小.
4.要善于利用频数直方图解释数据中蕴含的信息.绘制频数直方图时，要注意组距的选取.若组距选择太宽，则从直方图中无法读取有用信息；若组距选择太窄，则直方图中可获取的信息少.
5.一般地，当样本容量足够大时，可以用样本估计总体.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为93分，期中考试成为90分，期末考试成绩为95分，按照平时、期中、期末所占比例为10%，30%，60%计算小丽本学期的总评成绩应该是（　　）
A．92.5分 B．92.8分 C．93.1分 D．93.3分
2.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是，则射击成绩比较稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3.小明家在五月下旬搬进了新房，为了解六月份的用电情况，他在六月份连续几天的同一时刻记录电表的示数，如下表：
日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日
示数（度） 98 103 108 112 117 121
根据表格估计，他家六月份的总用电量约为（　　）
A．3295度 B．3045度 C．143度 D．138度
选做题
4.某小组6名学生的数学考试成绩(单位：分)分别为88，98，90，92，90，96老师决定将这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布.若按照以下分组方式：第一组{88，90，90，92}，第二组{96，98}，则组内离差平方和为　 　.
5.下列说法中，正确的是　 　.
①在频数直方图中，各个长方形的高度表示各组的组距；
②在频数直方图中，当把组距看成“1”时，长方形高度的数值=频数；
③在频数直方图中，每一组的两个边界值的平均数称为该组的组中值；
④在频数直方图中，可以只标出组中值，不标出组界.
6.某次考试以70分为合格分数线，全班的总平均分为76分，而所有成绩合格学生的平均分为81分，所有成绩不合格学生的平均分为66分，为了减少不合格的学生人数，老师给每位学生的成绩加上5分，加分之后，所有成绩合格学生的平均分变为85分，所有成绩不合格学生的平均分变为69分，已知该班学生人数在30到40人之间，则该班有学生　 　人．
【综合拓展类作业】
7.有甲、乙两个箱子，其中甲箱内有98颗球，分别标记号码1~98，且号码为不重复的整数，乙箱内没有球。小明从甲箱内拿出m颗球放入乙箱后，乙箱内球的号码的中位数为40，若此时甲箱内剩有a颗号码小于40的球，和b颗号码大于40的球。
（1）当m=49时，求a，b的值。甲箱内球的号码的中位数能否为40？请说明理由。
（2）若甲箱内球的号码的中位数与乙箱内球的号码的中位数都是x，求x的值。
五、作业布置
1.在学校举办的“数学思维挑战赛”中，有19 名选手进入决赛，前9名将晋级更高一级比赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名选手想知道自己能否晋级，除了知道自己的成绩外，他还需要了解这19 名学生成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
2.关于箱线图的描述，下列说法正确的是（　　）
A．箱线图中顶端和底端的两条线分别表示全部数据中的最大值与最小值
B．最顶端和最底端线段中间的距离表示四分位差
C．上下四分位数之间的高度反映了中间50％数据的集中程度
D．中位数越靠近上四分位数，说明中间50％的数据中的后半部分越分散
3.已知一组数据的方差为，数据为：－1，0，3，5，x，那么x等于（　　）
A．－2或5.5 B．2或－5.5 C．4或11 D．－4或－11
4.某校在一次班班有歌声评比活动中，A，B两班各项得分如表．
精神面貌 演唱质量 整体规范
A 86 91 87
B 90 85 92
（1）如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两个班级的排名顺序怎样
（2）若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“精神面貌”“演唱质量”“整体规范”三个项目在总分中的占比为2：6：2，那么两个班级的排名顺序又怎么样
答案解析
课堂练习：
1.【答案】D
【解析】解：小丽本学期的总评成绩应该是93×10%+90×30%+95×60%=93.3（分），
故答案为：D.
2.【答案】D
【解析】解：∵
其中最小，即丁的射击成绩比较稳定。
故答案为：D .
3.【答案】D
【解析】解：(度) ；
故答案为：D.
4.【答案】
【解析】解：第一组数据为{88，90，90，92}，
第一组数据的平均数为：，
第一组的离差平方和为：(88-90)2+(90-90)2+(90-90)2+(92-90)2=4+0+0+4=8，
第二组数据为{96，98}，
第二组数据的平均数为：
第二组的离差平方和为：(96-97)2+(98-97)2=1+1=2
因此组内离差平方和为8+2=10.
故答案为：10.
5.【答案】②③④
【解析】解：①：频数直方图中，长方形的高度表示频数，组距是每组的区间长度，①错误；
②：当组距为 “1” 时，长方形高度的数值等于该组的频数，②正确；
③：组中值是一组两个边界值的平均数，用于代表该组数据的集中趋势，③正确；
④：频数直方图中，可通过组中值简化标注（无需标注组界），④正确.
故答案为：②③④.
6.【答案】36
【解析】解：设成绩合格学生有x人，成绩不合格学生有y人，给不合格的学生加上5分成为合格学生有n人，
由题意可得：81x+66y=76(x+y)，
解得：x=2y，
加分后可得：（76+5）（x+y）=85(x+n)+69(y-n)，
整理得：x+4n-3y=0，
把x=2y代入得：y=4n，
全班人数为：x+y=3y=12n，
∵该班学生人数在30到40人之间，
∴30≤12n≤40，解得：，
∵n为整数，
∴n=3，
∴全班人数为：x+y=3y=12n=12×3=36.
故答案为：36.
7.【答案】（1）解：甲箱内有球：9849=49(颗)，
∵乙箱内球的号码中位数为40，∴乙箱内小于、大于40的各有(491)÷2=24(颗)。
∴=3924=15(颗)，=4915=34(颗)。
甲箱内球的号码的中位数不能为40。理由如下：
∵a≠b，40号球在乙箱内，甲箱内有49颗球，
∴甲箱内球的号码的中位数不能为40
（2）解：由(1)可知：当甲、乙箱内球的号码的中位数相同时，甲、乙箱内球的数量应该都是偶数。设在甲箱内球的号码小于x的数量是c颗，则大于x的数量也是c颗；在乙箱内球的号码小于x的数量是d颗，则大于x的数量也是d颗，则在全部98颗球中，号码小于x的数量是(c+d)颗，大于x的数量也是(c+d)颗，即1~98的中位数是x。
作业布置：
1.【答案】B
【解析】解：由于总共有19个人，且他们的分数互不相同，第9名的成绩是中位数，要判断是否进入前9名，故应知道中位数的多少，
故答案为：B.
2.【答案】C
【解析】解：A：箱线图中最顶端和最底端的两条线分别表示全部数据中的最大值与最小值，故原说法错误；
B：最顶端和最底端线段中间的距离表示极差，原说法错误；
C：上下四分位数之间的高度反映了中间50％数据的集中程度，说法正确；
D：中位数越靠近上四分位数，说明中间50％的数据中的后半部分越集中，原说法错误；
故答案为：C.
3.【答案】A
【解析】根据平均数和方差的公式列出关于x，m的方程求解．
【解答】设数据的平均数为m，则①
整理得②
把①代入②，解得：x=-2或5.5．
故选A．
4．【答案】（1）解：A班级的平均数：（分）
B班级的平均数：（分）
所以B班级的成绩高于A班级的成绩.
（2）解：A班级的平均数：(分)
B班级的平均数：(分)
所以A班级的成绩高于B班级的成绩
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分课时教学设计
《小结与评价》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 本节课是湘教版八年级下册《数据分析》单元复习课，以知识图谱的形式系统梳理了本单元的核心内容，涵盖数据收集、整理、描述、分析、估计与预测的完整统计流程，整合了集中趋势（平均数、中位数、众数）、离散程度（方差、离差平方和）、数据分类、四分位数、频数分布、抽样估计等核心知识点。教材通过结构化的知识图谱与思考回顾问题，帮助学生构建完整的统计知识体系，强化知识间的内在联系，为后续统计应用与概率学习奠定基础，同时聚焦数据分析核心素养的综合提升。
学习者分析 八年级学生已完成本单元所有新授课的学习，对平均数、方差、频数分布、抽样估计等知识点有基本掌握，但存在知识点零散、知识间关联理解不足、实际应用能力薄弱等问题。学生对单一知识点的计算较为熟练，但在综合运用统计知识解决实际问题、构建知识体系方面存在困难，需要通过复习课帮助其梳理脉络、查漏补缺，提升统计思维的系统性与应用能力。
教学目标 1.系统梳理本单元核心知识点，构建完整的数据分析知识体系，落实数据分析素养。 2.能熟练运用平均数、方差、频数分布、抽样估计等知识解决实际问题，提升数据处理与综合应用能力。 3.体会统计知识在实际问题中的应用价值，培养严谨的统计思维与知识整合能力。
教学重点 梳理数据分析单元的知识脉络，强化各知识点的内在联系，掌握核心统计量的计算与应用。
教学难点 综合运用统计知识解决实际问题，构建系统的统计知识体系，提升统计思维的应用能力。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识图谱教师活动1： 教师讲授： 学生活动1： 认真听讲活动意图说明：在知识体系的指导下，学生可以更有针对性地进行学习。当学生掌握某个领域的知识时，可以清晰地了解需要学习的内容和顺序，避免盲目学习造成的时间和精力浪费。环节二：思考回顾教师活动2： 1.举例说明平均数、中位数、众数的意义，如何计算一组数据的中位数、众数、加权平均数？ 平均数：看整体平均水平 中位数：看中间水平 众数：看最多情况 教师举例：公司总经理最关心的是公司月工资的总额，所以作为公司的总经理关注的是员工月工资数据的平均数。 普通员工关注的是自己的收入在本公司职工群体中的位置，中位数能帮助职工了解自己的工资收入是“中上”还是“中下”水平，所以作为普通员工会关注员工月工资数据的中位数。 应聘者关注的是该公司员工月工资的众数，因为应聘者最想知道的是公司发给大多数员工的工资数,这也是一般的应聘者将会拿到的工资，所以作资为应聘者会关注员工月工资数据的众数。 【回顾】中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，那么位于中间位置的数（如果数据的个数是奇数），或者中间位置两个数的平均数（如果数据的个数是偶数），称为这组数据的中位数. 众数：在一组数据中，出现次数最多的数叫作这组数据的众数. 加权平均数：求一组数据的平均数时，可用不同的数据乘它们的权数再相加，这样求得的平均数称为加权平均数. 【牛刀小试】数据0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是（　　） A．2和2.4　　　　B．2和2　　　　C．1和2　　　　D．3和2 2.举例说明离差平方和与方差是如何刻画数据的离散程度的，如何计算一组数据的离差平方和与方差？ 教师举例：方差越大，数据分布越分散；方差越小，数据越集中稳定。 取一组数据：2，4，6 1.先算平均数:=4 2.离差平方和:=8 3.方差：= 新增一组数据：3，4，5 1.先算平均数:=4 2.离差平方和:=2 3.方差：= 两组平均数相同，后者离差平方和、方差更小，数据更紧凑，离散程度更低。 【回顾】离差平方和：=(x1)2+()2+…+(xn)2. 方差：s=(x1)2+()2+…+(xn)2. 【牛刀小试】数据：3，5，5，7，该组数据离差平方和为________，样本方差为_______。 3.对数据进行分类应遵循什么分组原则？把一组数据分成两组，这组数据的离差平方和与组内离差平方和、组间离差平方和有什么关系 【回顾】分组原则：“组内离差平方和最小”原则 关系：=+. 【牛刀小试】已知离差平方和=28，组内离差平方和=16，则组间离差平方和=_________。 4.举例说明如何计算一组数据的四分位数.一组数据的第三四分位数减去第一四分位数的差能刻画这组数据的什么特征？ 教师举例：165，154，175，172，168，150，178，182，161，180. 解：把这组数据从小到大排列： 150，154，161，165，168，172，175，178，180，182. 这组数据的中位数是×(168+172）=170，即第二四分位数是170. 因为×10=2.5，所以第3个数161是第一四分位数. 因为×10=7.5，所以第8个数178是第三四分位数. 【回顾】一组数据的第三四分位数减去第一四分位数的差可以用来刻画这组数据的分散程度，第三四分位数减去第一四分位数的差越大，这组数据就越分散. 【牛刀小试】一组数据分别为106，113，96，98，100，102，104，111，则这组数据的下四分位数是（　　） A．113　　　　B．99　　　　C．102　　　　D．98 5.举例说明频数和频数分布的意义，如何绘制频数直方图，并利用频数直方图解释数据中蕴含的信息？ 教师举例：班级20名学生身高(cm)： 152、155、155、158、160、160、160、162、163、163 165、165、165、165、168、168、170、172、172、175 频数：每组内数据个数。如164~167cm区间有4人，频数为4。 频数分布：统计各组对应频数，展现数据分布疏密情况。 【回顾】绘制频数直方图的一般步骤 (1) 找出所给数据中的最大值和最小值，求最大值与最小值的差确定统计量的范围； (2) 确定组数和组距并进行分组；(数据个数在100以内，一般分5至12组) (3) 统计每组中数据的频数； (4) 根据分组和频数，绘制频数直方图. 组距为宽，频数为高。矩形越高，频数越大；矩形越低，频数越少。 【牛刀小试】某中学为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了他们仰卧起坐的次数，制成的频数分布直方图如图所示，已知该校九年级共有600名学生，请据此估计，该校九年级学生仰卧起坐次数在之间的人数大约是（　　） A．80　　　　B．100　　　　C．200　　　　D．220 6.举例说明如何用样本估计总体平均数和总体方差. 教师举例： 例子：估算全校800名学生每日睡眠时间，抽取10名学生作为样本 样本数据（h）：7，6.5，7.5，8，7，6.8，7.2，7，7.3，6.7 1.估计总体平均数 样本均值：==7.1(h) 用样本平均数7.1，估计全校学生平均每日睡眠约7.1小时。 2.估计总体方差 样本方差：s=(7)2+(6.5)2+(7)2+=0.166 用样本方差0.166，估计全校学生睡眠时间的波动离散程度。 【牛刀小试】随机抽查某班5名同学，记录自己家中一周内用水量，分别为：，，，，．如果该班有40名学生，估计一周内该班全体同学家中用水总量约为　 　．学生活动2： 认真思考，举手回答问题 回顾平均数、中位数、众数 认真听讲 认真思考，举手回答问题 认真听讲 回顾什么是离差平方和和方差 认真思考，举手回答问题 认真听讲 认真思考，举手回答问题 认真听讲 回顾四分位数的特征 认真思考，举手回答问题 回顾绘制频数直方图的一般步骤 认真听讲 认真思考 认真思考，举手回答问题 认真听讲 活动意图说明：通过反复回顾和思考，学生可以对所学知识进行更深入的理解，发现其中的内在联系和规律，形成更加稳固的知识体系。环节三：注意事项教师活动3： 教师讲授： 1.平均数与加权平均数的意义不同. 当一组数据中不同的数重复出现时，我们用权数的大小来反映重复次数的多少；通常也用权数来反映一组数据中不同成分的比例或重要性. 2.平均数、中位数、众数从不同方面反映了数据的集中趋势. 3.把一组数据分类，应使组内离差平方和最小. 4.要善于利用频数直方图解释数据中蕴含的信息.绘制频数直方图时，要注意组距的选取.若组距选择太宽，则从直方图中无法读取有用信息；若组距选择太窄，则直方图中可获取的信息少. 5.一般地，当样本容量足够大时，可以用样本估计总体.学生活动4： 认真听讲活动意图说明：归纳注意事项，提醒学生，帮助学生更好地掌握知识。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 【知识技能类作业】 必做题 1.小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为93分，期中考试成为90分，期末考试成绩为95分，按照平时、期中、期末所占比例为10%，30%，60%计算小丽本学期的总评成绩应该是（　　） A．92.5分　　　　B．92.8分　　　　C．93.1分　　　　D．93.3分 2.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是，则射击成绩比较稳定的是（　　） A．甲　　　　B．乙　　　　C．丙　　　　D．丁 3.小明家在五月下旬搬进了新房，为了解六月份的用电情况，他在六月份连续几天的同一时刻记录电表的示数，如下表： 日期2日3日4日5日6日7日示数（度）98103108112117121
根据表格估计，他家六月份的总用电量约为（　　） A．3295度　　　　B．3045度　　　　C．143度 　　　　D．138度 选做题： 4.某小组6名学生的数学考试成绩(单位：分)分别为88，98，90，92，90，96老师决定将这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布.若按照以下分组方式：第一组{88，90，90，92}，第二组{96，98}，则组内离差平方和为　 　. 5.下列说法中，正确的是　 　. ①在频数直方图中，各个长方形的高度表示各组的组距； ②在频数直方图中，当把组距看成“1”时，长方形高度的数值=频数； ③在频数直方图中，每一组的两个边界值的平均数称为该组的组中值； ④在频数直方图中，可以只标出组中值，不标出组界. 6.某次考试以70分为合格分数线，全班的总平均分为76分，而所有成绩合格学生的平均分为81分，所有成绩不合格学生的平均分为66分，为了减少不合格的学生人数，老师给每位学生的成绩加上5分，加分之后，所有成绩合格学生的平均分变为85分，所有成绩不合格学生的平均分变为69分，已知该班学生人数在30到40人之间，则该班有学生　 　人． 【综合拓展类作业】 7.有甲、乙两个箱子，其中甲箱内有98颗球，分别标记号码1~98，且号码为不重复的整数，乙箱内没有球。小明从甲箱内拿出m颗球放入乙箱后，乙箱内球的号码的中位数为40，若此时甲箱内剩有a颗号码小于40的球，和b颗号码大于40的球。 （1）当m=49时，求a，b的值。甲箱内球的号码的中位数能否为40？请说明理由。 （2）若甲箱内球的号码的中位数与乙箱内球的号码的中位数都是x，求x的值。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.在学校举办的“数学思维挑战赛”中，有19 名选手进入决赛，前9名将晋级更高一级比赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名选手想知道自己能否晋级，除了知道自己的成绩外，他还需要了解这19 名学生成绩的（　　） A．平均数　　　　B．中位数　　　　C．众数　　　　D．方差 2.关于箱线图的描述，下列说法正确的是（　　） A．箱线图中顶端和底端的两条线分别表示全部数据中的最大值与最小值 B．最顶端和最底端线段中间的距离表示四分位差 C．上下四分位数之间的高度反映了中间50％数据的集中程度 D．中位数越靠近上四分位数，说明中间50％的数据中的后半部分越分散 3.已知一组数据的方差为，数据为：－1，0，3，5，x，那么x等于（　　） A．－2或5.5　　B．2或－5.5　　C．4或11 　　　　D．－4或－11 【综合拓展类作业】 4.某校在一次班班有歌声评比活动中，A，B两班各项得分如表． 精神面貌演唱质量整体规范A869187B908592
（1）如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两个班级的排名顺序怎样 （2）若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“精神面貌”“演唱质量”“整体规范”三个项目在总分中的占比为2：6：2，那么两个班级的排名顺序又怎么样
教学反思 复习课结束后，通过课堂提问、练习反馈以及课后作业批改情况来看，大部分学生对三角形基础知识的记忆和简单应用有明显提升，能较好完成基础题目，说明知识梳理环节达到一定效果 。小组讨论和例题讲解环节，部分学生积极参与，思维活跃，在分析问题和解决问题能力上有进步，合作学习也增强了他们的交流与团队协作能力。 然而，教学中也暴露出一些问题。对于基础薄弱学生，复杂知识点的复习仍存在困难，如在全等三角形证明中添加辅助线，他们难以理解和运用，后续需加强个别辅导 。教学进度把控上，由于部分内容讲解耗时较多，导致留给学生自主练习和总结的时间稍显不足，部分学生对知识的内化不够充分 。在教学方法上，虽采用多种方式结合，但创新性不足，未能充分满足所有学生学习需求 。 后续教学中，要更加关注基础薄弱学生，制定个性化辅导计划；合理规划教学内容和时间，给学生更多自主思考和练习时间；不断创新教学方法，如引入数学实验、信息技术手段等，增强课堂趣味性和吸引力，提高复习效果 。
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