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湖北省荆州市 2026年初中毕业年级调研考试数学试题
一、单选题
1．如图，数轴上的点，，，对应的实数分别是，，，，则这四个实数中最小的是（ ）
A． B． C． D．
2．楚文化源远流长，楚人尊凤崇凤，在荆州出土的楚国漆器、丝织品等器物上常见凤鸟纹：下列凤鸟纹图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一束光线射入一块透明的矩形玻璃砖发生折射现象，光的传播路径会发生改变，光线路径为（不在同一条直线上），射入光线与射出光线平行，即．若射入光线与玻璃砖边的夹角度数为，那么射出光线与玻璃砖边夹角度数为（ ）
A． B． C． D．
5．若点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：有几个人一起去买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元问人数、物价各是多少？设人数为人，物价为元，则可列出方程组为（ ）
A． B． C． D．
7．某电影院为调查最近上映的电影的受欢迎程度，设计了如下调查问卷，调查对象是来观影的人．
姓名________ 年龄________ 1．今天晚上你看的电影是________________． 2．电影好看吗？（ ） （A）很好看 （B）好看 （C）不好看 3．你买爆米花了吗？（ ） （A）买了 （B）没有 4．请用十分制为电影打分，你认为你今晚观看的电影可以打________分．
小聪同学认为这个问卷存在不足：①暴露了被调查者的姓名和年龄；②问题2的选项设置不合理，不具有对称性；③问题3与调查目的无关；④问题2与问题4在某种程度上有重复．你认为小聪同学判断正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
8．如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．将5个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形，如图，则估计与这个大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．约定：当关于的一元二次方程有实数根，且其中一个根是另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”．若在平面直角坐标系中，点，点分别在双曲线，上，直线轴，其中，是关于的“倍根方程”的两根，连接，，则的面积是（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题
11．若，则________．
12．生物学家的研究表明，植物的显性基因（指在杂合子状态下就能表现出性状的基因）对其形态的影响直接且显著．如豌豆的高茎基因（D）是显性，只要植株携带这个基因，不管是纯合子（）还是杂合子（），都会表现为高茎，不会因为有隐性矮茎基因（d）的存在而改变形态．若豌豆的父本基因是，母本基因也是，则其下一代豌豆呈现高茎形态的概率是________．
13．如图，在中，点为的中点，平分，过点作于点，连接．若，，则的长是________．
14．如图，在矩形中，，，经过点，与相切于点，交于点，交的延长线于点，，则的长是________．
15．如图1是一个轨道的示意图，四边形是矩形，对角线，交于点，，此矩形的四条边及对角线上均装有轨道，同时在点处安装了一台观测仪．小爱操作机器人以的速度沿轨道匀速运动，机器人从点出发，经过了，，三点各一次并最终到达点．记机器人运动的时间为，机器人到观测仪的距离为，机器人在轨道中转弯所用的时间忽略不计．观测仪中所记录的与的函数关系的图象如图2所示．
根据上述信息回答：
（1）机器人的运动路线是：________________________（填“”“”或“”）；
（2）当时，________．
三、解答题
16．先化简，再求值：，其中，．
17．在中，，作的平分线交于点，再作的垂直平分线，垂足为点．
(1)请用尺规作图方法，将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若点在的垂直平分线上，求证：．
18．万寿宝塔坐落于荆州市滨江公园旁，始建于明嘉靖年间．受长江河床、水位抬升及荆江大堤逐年加高加固影响，塔身现低于堤面7米，形成“塔在堤下”的独特景观．某实践小组开展测量该古塔高度的活动，测量记录如下：
活动主题 测量万寿宝塔的高度
实物图与测量示意图
测量过程 如图，塔底低于地面，在处用高为的测角仪测得塔顶端的仰角为，再向该塔正方向前进到处用原测角仪测得塔顶端的仰角为．过点向所在直线作垂线交于点．
参考数据 ，，
根据以上信息，求万寿宝塔的整体高度．
19．男生小华打算在一分钟跳绳与米跑两个项目中选择一项作为体育中考项目，为了选出自己最佳选考项目，小华记录下最近连续次一分钟跳绳和米跑的试测成绩（每次满分均为分），进行整理、描述和分析，部分信息如下：
【数据收集与整理】
信息一：一分钟跳绳试测成绩（单位：分）依次是，，，，，，，，，．
信息二：米跑试测成绩中，分与分的次数相同，分共次．
【数据描述】
【数据分析】
平均数 中位数 众数 方差
一分钟跳绳成绩
米跑成绩
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：________，________，________；
(2)为了在体育考试中取得更好的成绩，你认为小华应该如何选择？请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在函数的图象上，将线段向下平移1个单位长度后，再向右平移1个单位长度得到线段，此时点落在函数的图象上，点在轴上．
(1)点坐标为________，点坐标为________（用含的代数式表示）；
(2)求的值及直线的解析式．
21．如图，点为上一点，为直径，，点为上一点，连接并延长交于点，在点作，交的延长线于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若点为中点，，求的值．
22．【问题情境】如图，某公园矩形花坛前安装一个自动喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物线形状．
【提出问题】喷出的水距地面的高度与喷出的水与喷水装置的水平距离之间有怎样的函数关系？
【分析问题】小腾测出喷头距离地面高，喷出的水流在与点正下方点的水平距离4m处达到最高点，点距离地面2m．于是小腾以所在直线为轴，垂直于的地平线为轴，点为坐标原点建立如图1所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点，点的坐标，从而得到与函数关系式．
【解决问题】
(1)如图1，在建立的平面直角坐标系中，点的坐标为，水流的最高点的坐标为，求抛物线水流落到地面的最远落点的坐标；
(2)喷头在喷水时，点到点范围内都会有水覆盖，喷头能左右旋转，旋转角度为，喷水装置能喷灌到的区域在草坪上形成一个扇形，求扇形的面积（结果用含的式子表示）；
(3)如图2，喷水装置（在点处）前方有一矩形花坛，长为12米，宽为4米，点在的垂直平分线上移动，要使喷水装置能喷灌到的区域（扇形）能覆盖整个矩形花坛，请直接写出喷水装置到花坛的距离的取值范围？
23．如图，在中，点在边上，将沿翻折得到，点的对称点落在内，延长交所在直线于点，交所在直线于点，延长交边于点．
(1)如图1，当点在中点处时，求证：；
(2)在（1）的条件下，若，，求的长；
(3)如图2，当时，点在边上．若，直接写出的值．
24．抛物线与轴交于原点和点，点为抛物线的顶点，点，为抛物线上不重合的两个点．
(1)求的值；
(2)试判断是否存在实数使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；
(3)记点，两点之间的部分（包括，两点）为图象，点在图象上，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．
①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②图象上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点，再以最低点与点的连线为边向其上方作正方形，点到正方形边的最小距离记为．当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且时，直接写出的值．
参考答案
1．A
【详解】解：由数轴得，，，，
．
2．C
【详解】解：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，故C符合题意．
3．B
【详解】解：对选项A，，
∴ A错误；
对选项B，，
∴ B正确；
对选项C，，
∴ C错误；
对选项D，，
∴ D错误．
4．A
【详解】解：延长交于点N，
∵，
∴，
∵ 四边形是矩形，
∴ ，
∴，
5．A
【详解】解：∵平面直角坐标系中，第四象限内点的横坐标为正数，纵坐标为负数
又点在第四象限，
∴可得不等式组 ，
解不等式 ，
移项得 ，
不等式两边同除以，不等号方向改变，得，
结合，取公共解集得.
6．C
【详解】解：设人数为人，物价为元，
∵每人出8元时，总钱数比物价多3元，
∴；
∵每人出7元时，总钱数比物价少4元，
∴；
联立可得方程组，
故选：C.
7．D
【详解】逐个分析小聪的四个结论：
① ∵ 问卷要求填写姓名和年龄，会暴露调查对象的个人隐私，∴ 小聪的判断①正确；
② ∵ 问题2的选项中，正面评价有“很好看”“好看”2个，负面评价只有“不好看”1个，选项设置不具有对称性，∴ 小聪的判断②正确；
③ ∵ 本次调查目的是了解电影的受欢迎程度，“是否买爆米花”与调查目的无关，∴ 小聪的判断③正确；
④ ∵ 问题2和问题4都是调查对电影的评价，内容重复，∴ 小聪的判断④正确；
因此①②③④都正确，答案选D.
8．B
【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，
，
由旋转得，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
点在第二象限，
．
9．B
【详解】解：根据题意得大正方形的边长为，
，，，
，
估计与这个大正方形的边长最接近的整数是．
10．D
【详解】解：∵是倍根方程，
∴设方程两根为和，则方程可写为，
展开得，
对比同次项系数得，
解得，
∴ 方程两根为和，即为和，
得设直线AB的横坐标为（），
∵轴，A在上，B在上，
∴ ，
∴的长度为，
在中，以为底，点O到的水平距离为，即高为 ，
代入得
．
11．2
【详解】解： ，，且
，
解得，
将，代入得：
12．
【详解】由题意可知，父本可提供D和d两种基因，母本也可提供D和d两种基因，
所有等可能的基因组合为，，，，共种，
其中只要携带显性基因D即表现为高茎，符合条件的结果有种，
根据概率公式可得，下一代豌豆呈现高茎形态的概率为，
故答案为
13．
【详解】解：如图，延长交于点，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
点为的中点，
为的中位线，
．
14．
【详解】解：连接并延长交于，连接，
∵点都在上，且在上，
∴是的直径，
∴，
∴的半径，
∵与相切于，
∴，
矩形中，，
∴，，
∵，
∴是的中点，即，
在中，由勾股定理：，
∴．
15．
【详解】解：∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，，
∵ 四边形是矩形，
∴ ，，
机器人从出发，时，说明第一段走了到达距为的点，
若先走，则到、、的距离均为，后续的变化无法达到图象所示的最高点，
∴ 第一段为，此时，
从继续运动，要使达到最大值，需到达点（），
∴ 第二段为，
从继续运动，从降为，到达点（），
∴ 第三段为，
最后从到达，
∴ 运动路线为．
∵ 机器人速度为，
∴ 当时，机器人运动了，
∵ ，
∴ 机器人已过点，在上且，
∵ ，
∴ ．
16．；
【详解】解：原式
，
，，
原式．
17．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）证明：垂直平分，
，，
，平分，，
，
在和中，，
，
，
．
18．万寿宝塔的整体高度为
【详解】解：在中，，
，
在中，，
万寿宝塔的整体高度为．
19．(1)，，
(2)见解析
【详解】（1）解：根据众数是出现次数最多的数，所以，
∵分与分的次数相同，分共次
∴
∴
中位数的定义将数据从小到大排列，可得中位数为，所以，
（2）应选择“一分钟跳绳”项目．
理由：两组试测成绩数据中，平均数、方差相同，而“一分钟跳绳试测成绩”数据的中位数、众数比“米跑试测成绩”数据大，数据集中在（分）多，选择“一分钟跳绳”项目考试可能取得更好的成绩．
20．(1)，
(2)，直线的解析式为
【详解】（1）解：根据题意得，点的坐标为 ，即；
点的坐标为，即；
（2）解：点与点都在函数图象上，
，
，，
点坐标为，点坐标为，
设直线的解析式为，则有，
解得：，
直线的解析式为．
21．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，则．
，
，
而
又点为半径外端点
为的切线．
（2）设，则，．
，
，
在中，
即，
解得：（不合题意，舍去）
，
在中，
22．(1)点的坐标为
(2)
(3)
【详解】（1）解：抛物线顶点为，
设抛物线解析式为，
抛物线过点，
，
，
，
，
，
当水流落到地面时，，
，
，
或，
或（舍去），
点C的坐标为．
（2）解：由（1）知，水流落到地面的最远距离，
扇形半径，
旋转角，
，
，
，
扇形的面积为．
（3）解：以点O为坐标原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
设，
，为中点，
，
四边形为矩形，，
，，
扇形半径为10，圆心角为，
扇形边界与对称轴夹角为，
要使点在扇形内，
，
，
，
要使点在扇形内，
，
，
，
，
，
，
，
即．
23．(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
将沿翻折得到，
，，
，
，即，
点是中点，
，
，
在延长线上，、、共线，
，
在和中：，，，
．
（2）解：由(1)知，
，，，
，，
，即，
，
延长交所在直线于点，交所在直线于点，
、、、四点共线，
，
，
，
，
．
（3）解：设，，则，
，
设，，则，
，
延长交延长线于点，
，
，
又，
，
，
，
，
，
将沿翻折得到，
，，
、、共线，、、共线，
，，
，，
、、共线，、、共线，
，，
，
在和中：，，，
，
，
平分，
点到和的距离相等，
，
又和以、为底时，高相同，
，
，
，
．
24．(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)①；②或
【详解】（1）解：∵ 抛物线过点，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由(1)得抛物线解析式为，
∴ ，，
∴ ，
令，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 方程无实数根，
∴ 不存在实数使得．
（3）① 解：∵ ，
∴ 顶点，对称轴为直线，
∵ 点在图象上，
∴ ，
∴ ，
∵ 抛物线开口向下，
∴ 图象的最高点为，，
当时，，最低点在点处，
，
∴ ，
当时，，最低点在点处，
，
∴ ，
∴ ．
② 解：当时，最低点为，对称点，
以为边向上作正方形，此时在正方形上方，
点到正方形各边距离中，到上边的距离最小，
，
令，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当时，最低点为，对称点，
以为边向上作正方形，此时在正方形上方，
点到正方形各边距离中，到上边的距离最小，
，
令，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
综上，或．

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