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专题一 数的认识
第2课时 因数与倍数
考点知识梳理
1 因数和倍数的定义和特征
（1）因数和倍数的定义
如果自然数a（a≠0）和自然数b（b≠0）的乘积是c，那么a和 b是c的因数，c是a和b的倍数。
（2）因数和倍数的特征
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数 是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它 本身，没有最大的倍数。
①因数和倍数是相互依存的，不能单独说一个数是因数
或倍数；
②在研究因数和倍数时涉及的数一般是指非零自然数。
2 奇数和偶数的定义和性质
（1）偶数
自然数中，是2的倍数的数叫作偶数。0也是偶数。
（2）奇数
自然数中，不是2的倍数的数叫作奇数。
（3）奇数和偶数的性质
奇数＋奇数=偶数，奇数＋偶数=奇数，偶数＋偶数=偶数，
奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数。
（1）质数
只有1和它本身两个因数的自然数叫作质数，也叫作素数。最小的 质数是2。
（2）合数
除了1和它本身之外，还有别的因数的自然数叫作合数。最小的合 数是4。
（3）互质数
公因数只有1的两个数叫作互质数。
（4）分解质因数
把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
3 质数、合数
（5）分解质因数的方法
把一个合数分解质因数，通常运用短除法。分解质因数时，先用 这个合数的质因数（通常从最小的开始）去除，如果得出的商是 质数，就把除数和商写成相乘的形式；如果得出的商是合数，就 照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止，然后把除 数和最后的商写成连乘的形式。
1既不是质数也不是合数。
4 2、3、5的倍数的特征
（1）2的倍数的特征
个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数。
（2）3的倍数的特征
一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
（3）5的倍数的特征
个位上是0或5的数是5的倍数。
（1）公因数和最大公因数
几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数，其中最大的一个叫 作这几个数的最大公因数。
（2）公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个叫作 这几个数的最小公倍数。
（3）求最大公因数和最小公倍数的常用方法
①先判断是否为倍数关系；（如果两个数存在倍数关系，那么较 小的数是这两个数的最大公因数，较大的数是这两个数的最小公 倍数。例如：15和45）
5 公因数和公倍数
②再判断是否只有公因数1；（如果两个数是互质数，那么它们的 最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。例如：5和7，8 和9是互质数）
③最后应用短除法。若把所有的除数连乘起来，求得的就是它们 的最大公因数；若把所有的除数和最后的商连乘起来，求得的就 是它们的最小公倍数。
热门考点精讲
例1 在自然数1~20中，既是奇数又是合数的是（ ），既是偶数 又是质数的是（ ），（ ）既不是质数也不是合数。
奇数、偶数、质数、合数的特点
在自然数1~20中，奇数有1，3，5，7，9，11，13， 15，17，19；合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18， 20；偶数有2，4，6，8，10，12，14，16，18，20；质数有2， 3，5，7，11，13，17，19。所以既是奇数又是合数的是9，15， 既是偶数又是质数的是2。 另外，我们知道1既不是质数也不是合 数。
9，1521
对奇数、偶数、质数和合数的概念掌握不到位。
5，13，
7，47，15
4，18，26，54
5，
13，7，47
4，18，26，15，54
例2四位数7□3□既是2的倍数，又是5的倍数，同时还是3的 倍数，这个四位数是（ ）。
此题考查的是2，3，5的倍数的特征。 一个数同时是2， 3，5的倍数，这个数个位上的数字一定是0，并且各个数位上的数 字之和是3的倍数。 因为7＋3＋0=10，所以这个四位数百位上的 数字是2，5或8。
7230，7530或7830
2、3、5的倍数的特征
104，140
105，450
140，145
150，540
（答案不唯一）
140，510
例3 李老师买了44张画纸和32盒彩色铅笔，他把画纸和彩色铅 笔平均分给美术兴趣班上的每个学生，结果画纸少了1张，彩色铅 笔多了2盒。美术兴趣班最多有多少个学生？
此题考查的是最大公因数的应用。因为44张画纸平均分 会少1张，所以45张画纸正好可以平均分；因为32盒彩色铅笔平均 分会多2盒，所以30盒彩色铅笔正好可以平均分。本题要求美术兴 趣班的学生最多有多少人，实质上就是求45和30的最大公因数。
最大公因数的应用
44＋1=45（张）
32－2=30（盒）
所以45和30的最大公因数是3×5=15。
答：美术兴趣班最多有15个学生。
3×3×5
2×3×5
3. 李奶奶买芒果花了16元，王奶奶买芒果花了24元。如果她们买的芒果的单价是一样的，那么这种芒果的单价最高是多少元？ （她们购买芒果的单价和数量都是整数）
16=2×2×2×2
24=2×2×2×3
所以16和24的最大公因数是2×2×2=8。
答：这种芒果的单价最高是8元。
例4 暑假期间，婷婷和丹丹去敬老院照顾老人。7月7日她们都 去了敬老院，并约定婷婷每隔2天去一次，丹丹每隔3天去一次。
最小公倍数的应用
（1）8月份，她们第一次同时去敬老院的日子是几号？
（2）从7月7日到8月31日，她们一起去敬老院的情况共有多少 次？
此题是用最小公倍数的知识解决实际生活中的问题。婷 婷每隔2天去一次，即每3天去一次，那么经过的天数应是3的倍 数。同理，丹丹去敬老院所经过的天数应是4的倍数。由此得知两 人再一次同去敬老院的日子距离7月7日的天数就是3和4的最小公 倍数。
（1）3×4=12，从7月7日起每过12天同去一次，过24天正好是7月 31日，所以8月份她们第一次同时去敬老院的日子是8月12日。
（2）由（1）可得，两人每12天同去一次，8月31日是7月7日后第 55天，55÷12=4……7，两人同去的次数是4＋1=5（次）（应加 上7月7日的这次）。
（1）8月份，她们第一次同时去敬老院的日子是8月12日。 （2）从7月7日到8月31日，她们一起去敬老院的情况共有5次。
4. 星星小学五（1）班的同学做广播操，班长在前面领操，其他 学生排成每行8人或10人都正好是整行。已知这个班的人数不超过 50人，五（1）班共有学生多少人？
8=2×2×2
10=2×5
所以8和10的最小公倍数是2×2×2×5=40。
40＋1=41（人）
答：五（1）班共有学生41人。
对最小公倍数和最大公因数的应用场景掌握不到位。

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