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专题四 比与比例
第10课时 比例和比例尺
考点知识梳理
1 比例的意义和性质
（1）比例的意义
表示两个比相等的式子叫作比例。
（2）比例的各部分的名称
组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外 项，中间的两项叫作比例的内项。
（3）比例的基本性质
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本 性质。
①组成比例的四个项都不能为0；
②判断两个比能否组成比例，一般是看两个比的比值是否相等； 还可以假设两个比能成比例，看外项乘积与内项乘积是否相等， 如相等，说明假设成立，两个比能组成比例，反之不能组成比 例。
（4）解比例
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出 这个比例中的那个未知项。
求比例中的未知项，叫作解比例。
解比例的过程：①根据比例的基本性质，把两个内项、两个外项 分别相乘，列出等式（有未知项的乘积一般写在等号左端）；② 根据解简易方程的方法，求出未知项的值。
（5）比和比例的区别与联系
名称 比 比例
意义 表示两个数相除 表示两个比相等的式子
项数 两项：前项和后项 四项：两个外项和两个内项
基 本
性 质 内 容 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积
用 途 化简比的依据 解比例的依据
解法 前项÷后项=比值 内项=外项的积÷另一个内项
外项=内项的积÷另一个外项
2 正比例和反比例
（1）成正比例的量
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两 种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫 作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系。
（2）成反比例的量
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两 种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的 量，它们的关系叫作反比例关系。
（3）正比例和反比例的区别与联系
名称 正比例 反比例
不
同
点 意义不同 两种相关联量中，相对应的两个数的比值一定，也就是商一定 两种相关联量中，相对应的两个数的乘积一定
变化方向 不同 一种量扩大（或缩小），另一种量也随之扩大（或缩小） 一种量扩大（或缩小），另一种量反而随之缩小（或扩大）
关系式不 同 xy=k（一定，且不为0）
图象不同 一条经过原点的直线 一条光滑的曲线
相同点 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化
（4）判断两种量成正比例关系、反比例关系或不成比例的方法
两
种
量


（1）比例尺的意义
一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。
求比例尺时，图上距离和实际距离的长度一定要化成相同的单 位；在求图上距离或实际距离时，所设的未知数x的单位通常要 与已知数所使用的单位相同。
3 比例尺
（2）比例尺的分类
①按表现形式分：数值比例尺和线段比例尺。
线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面 上相对应的实际距离。例如： ，表示图上1 cm的距离相当 于地面上20 km的实际距离。
②按功能分：放大比例尺和缩小比例尺。
放大比例尺：指图上距离大于实际距离的比例尺。放大比例尺的 后项通常是1，如：100 ∶1。
缩小比例尺：指图上距离小于实际距离的比例尺。缩小比例尺的 前项通常是1，如：1 ∶10000。
热门考点精讲
例1 下面的两个比可以组成比例的是（ ）。
比例的意义
A． 9 ∶12和12 ∶18 B． 0.4 ∶0.5和4 ∶5
方法一：根据比例的意义，两个相等的比可以组成比 例。分别求出各项的比值，若比值相等，那么就说明可以组成比 例；否则，不能组成比例。
方法二：根据比例的基本性质“两个外项的积等于两个内项的 积”，先假设每组中的两个比可以组成比例，再分别计算每个假 设成立的比例的两个外项的积和两个内项的积，若相等，那么说 明假设成立，可以组成比例；否则，不能组成比例。
B
B. 0.25 ∶0.2和5 ∶4
C. 12 ∶8和4.5 ∶3
D. 7 ∶8和14 ∶16
A． 1 B． 3 C． 4 D． 36
A
B
D
A． a ∶c=d ∶b
D． a ∶c=b ∶d
例2（1）在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项 是8，另一个内项是（ ）。
比例的基本性质
（2）如果a×9=b×8，那么a ∶b=（ ） ∶（ ）。
（1）比例中两个外项互为倒数，说明两个外项的积是 1，根据比例的基本性质，两个内项的积也是1，据此得到另一个 内项。
（2）因为a×9=b×8，根据题目和比例的基本性质可以得知， a和9是比例的两个外项，b和8是比例的两个内项，据此进行解 答。
解比例
24
例3解比例。
（3）3.2 ∶0.6=x ∶4.5
本题考查利用比例的基本性质解比例。第二小题是比例 的另一种形式，运算时交叉相乘。

（3）3.2 ∶0.6=x ∶4.5
解：0.6x=3.2×4.5
0.6x=14.4
0.6x÷0.6=14.4÷0.6
x=24
3. 解比例。
（1）25 ∶7=x ∶35
解：7x=25×35
7x=875
7x÷7=875÷7
x=125
（2）x ∶0.75=81 ∶25
解：25x=0.75×81
25x=60.75
25x÷25=60.75÷25
x=2.43
解：9x=0.3×8.1
9x=2.43
9x÷9=2.43÷9
x=0.27
例4 下面各题中的两种量之间是否有比例关系？如果有，成什 么比例关系？
（1）修一条水渠，已经修的长度与剩下的长度。
正比例和反比例的意义
（2）比例尺一定，两地的图上距离与实际距离。
（3）抄一段文字，平均每分钟抄的字数与所用的时间。
（4）圆锥的底面积一定，它的体积与高。
判断两种相关联的量之间成什么比例关系，就看这两个 量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值 （商）一定，这两种相关联的量成正比例关系；如果是乘积一 定，这两种相关联的量成反比例关系。如果既不是比值一定，也 不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例关系。
（1）已经修的长度＋剩下的长度=水渠的全长（一定），和一 定，所以修一条水渠，已经修的长度与剩下的长度没有比例关 系。
（2）图上距离∶实际距离=比例尺（一定），比值一定，所以比例 尺一定，两地的图上距离与实际距离成正比例关系。
（3）平均每分钟抄的字数×所用的时间=总字数（一定），乘积 一定，所以抄一段文字，平均每分钟抄的字数与所用的时间成反 比例关系。
（1）没有比例关系。（2）成正比例关系。（3）成反比例 关系。（4）成正比例关系。

√




√

比例尺
方法1：2.5×60000 = 150000（cm）=1500（m）
5. （1）武汉是全国重要的高铁枢纽，展现出令人惊叹的“中国 速度”。在一幅交通地图上，量得武汉至长沙高铁线路长为4.5 cm，实际武汉到长沙的高铁线路全长360 km。这幅地图的比例尺 是多少？
360 km=36000000 cm
4.5 ∶36000000=1 ∶8000000
答：这幅地图的比例尺是1 ∶8000000。
（2）在一幅比例尺为1 ∶5000的地图上，量得一个长方形操场的长 是5 cm，宽是2.5 cm，这个操场的实际面积是多少平方米？
250×125=31250（m2）
答：这个操场的实际面积是31250 m2。
（3）一个长是2.5 mm、宽是1.5 mm的长方形精密零件，将它画 在比例尺是30 ∶1的图纸上，图上周长是多少厘米？
（7.5＋4.5）×2=24（cm）
答：图上周长是24 cm。

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