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湖南湘潭电机子弟中学2025-2026学年高一数学下学期期中试题
一、单选题
1．已知复数为纯虚数，则实数（ ）
A．1 B． C．0 D．1或
2．（ ）
A． B． C． D．
3．下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台
4．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ）
A． B．2 C．3 D．
5．已知向量，，，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A． B． C． D．
7．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ）
A． B． C．20 D．21
8．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．的面积为6 D．
二、多选题
9．已知复数，以下说法正确的是（ ）
A．的实部是5
B．
C．
D．在复平面内对应的点在第一象限
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．在中，若，则
C．已知向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是
D．已知a，b，c为的内角A，B，C的对边，则“”的充要条件是“”
11．如图，在棱长为1的正方体中，是线段上的动点（含端点），则（ ）

A．面 B．与是异面直线
C．的最小值为 D．三棱锥的体积为定值
三、填空题
12．复数，则的虚部为______.
13．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______．
14．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是______．
四、解答题
15．如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上 下底面圆的圆心连线的平面）是边长为6的正方形.
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的体积.
16．已知向量和夹角为，且，求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)与的夹角的余弦值．
17．在中，角，，的对应边分别为，，，．
(1)求；
(2)若，，求的面积．
18．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点.
(1)当为的中点时，求证：平面.
(2)当平面，求出点的位置，说明理由.
19．如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），相交于点.

(1)求；
(2)当点为中点时，求：的余弦值；
(3)当取得最小值时，设，求的值.
参考答案
1．B
【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得.
故选：B.
2．A
【详解】.
3．C
【详解】由题意得，圆柱的截面有可能为矩形，圆锥的截面有可能为三角形，
圆台的截面有可能为梯形，球的截面一定是圆面．
故选：C
4．C
【详解】如图，作平面直角坐标系，使A与O重合，在x轴上，且，在轴上，且，
过作，且，连接，则直角梯形为原平面图形，其面积为．
故选：C.
5．A
【详解】由题意可知，，
由，得，
解得.
6．D
【详解】对于A,如下图所示，
易得,
则，
又平面,平面,
则平面，故A满足；
对于B，如下图所示，
为所在棱的中点，连接,
易得,
则四边形为平行四边形，
四点共面，
又易知，
又平面,平面,
则平面，故B满足；
对于C,如下图所示，
点为所在棱的中点，连接,
易得四边形为平行四边形，四点共面，
且,
又平面,平面,
则平面，故C满足；
对于D，连接,
由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形，
所以与所在的直线相交，
故不能推出与平面不平行，故D不满足，
故选：D.
7．A
【详解】由棱台的几何特征可得其高为：
，
则其体积为：
.
故选：A
8．D
【详解】对于A，，
由余弦定理得，则，A正确；
对于B，，，
，由正弦定理得
，又
， ，，B正确；
又，由正弦定理得
，D错误；
，C正确；
故选：D.
9．ABC
【详解】对于A，复数的实部是5，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，在复平面内对应的点在第四象限，D错误.
故选：ABC
10．BCD
【详解】对于A，因向量既有大小又有方向，故不能比较大小，即A错误；

对于B，如图，取的中点为点，因，则，
于是，故B正确；
对于C，由与的夹角为钝角，可得，解得且，
即实数的取值范围是，故C正确；
对于D，在中，，.由和正弦定理，可得，即，故；
又由可得，由正弦定理，，即，故“”的充要条件是“”，故D正确.
11．ACD
【详解】
对于A，连接，

正方体中，，，四边形为平行四边形，则，
∵平面，平面，∴平面，
同理平面，
∵平面，，∴平面平面，
∵平面，∴平面，故A正确；
对于B，当点P在点处时，，即，故B错误；
对于C，将平面沿展开到与平面共面，连接与的交点即为P，如图，

此时，在中，，，，
由余弦定理有：
∴的最小值为，故C正确；
对于D，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，则有，
∵平面，平面，∴平面，
∴P到平面的距离等于到平面，为定值，
又的面积也为定值，∴三棱锥的体积为定值，故D正确．
故选：ACD．
12．
【详解】，
则其虚部为，
故答案为：.
13．
【详解】因为，且，，所以，
由正弦定理可得，即，
即，解得，
故答案为：.
14．6
【详解】以A作坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，设，
则，解得：，
所以.
故答案为：6
15．(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知半球的半径，圆柱的底面圆半径，高.
由球的表面积公式可得半球的曲面面积，
由圆的面积公式可得圆柱底面圆的面积，
由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积，
故该几何体的表面积.
（2）由球的体积公式可得半球的体积.
由圆柱的体积公式可得圆柱的体积.
故该几何体的体积.
16．(1)2
(2)
(3)
【详解】（1）依题意，；
（2）因，
则；
（3）因，
由（2）得，则.
17．(1)
(2)
【详解】（1）在中，，
由正弦定理可得，
又，
所以，
即，又，，
所以，即，
又，则；
（2）在中，由余弦定理可知，
即，化简可得，
解得或（舍），
则的面积.
18．(1)证明见解析；
(2)存在点M，点M为PD上靠近P点的三等分点，理由见解析.
【详解】（1）取中点为，连接，
在中，为的中点，为中点，
，
在平行四边形中，为的中点，
，
，
四边形为平行四边形，
面面，
平面；
（2）连接，相交于，连接，
面，面面面，
，，
即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点.
19．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1），由余弦定理知：
，
.
（2）设，
分别为的中点，
，
，
，
又.
.
（3）设
，
当即时，取最小值，
，
，
，
三点共线，
，
.

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