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模拟预测试题 2026年初中数学中考复习备考
一、单选题
1．下列选项中等于7的有理数是（ ）
A．7 B． C． D．
2．神舟十三号飞船在近地点高度200000m，远地点高度356000m的轨道上驻留了6个月后，于2022年4月16日顺利返回．将数字356000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列品牌公司的图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．某商场的休息椅如图所示，它的左视图是（ ）
A．B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点B的坐标是（﹣5，2），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于于x轴对称的△A2B2C2，则点B的对应点B2的坐标是（　　）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）
7．运动会将至，小亮为班级打气助威，制作了如图所示的“助威牌”，其中五边形为正五边形，三角形为正三角形，延长交CD于，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的一条弦，半径交于点，且，连接，，，则阴影部分的周长为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且与轴交于点，下列结论中：①；②；③（为任意实数）；④若抛物线经过，则关于的一元二次方程的两个根分别是，．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．计算：=_______．
12．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在左右，那么可以估算出m的值为_________．
13．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________．
14．如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和的交点，且，则______度．
15．如图，为的直径，，，是上的一点，连接．若，阴影部分的面积是_________．
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，则的值为_________．
17．如图，正六边形的边长为，是边上一动点，过作交于，作交于，连接．给出下列结论：①；②；③当时，；④在移动的过程中，的最小值是．其中正确的有_________．
三、解答题
18．计算：
19．如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交于点．判断四边形的形状，并说明理由．

20．如图，点A在反比例函数 图象上，过点A作垂直于x轴于点B．已知，．
(1)求k的值．
(2)点C是反比例函数 的图象上一点，点 D，E在x 轴上，，．若，求点C的坐标．
21．“五一”国际劳动节来临之际，某校开展以“勤学乐干，劳动光荣”为主题的实践活动，并对学生“一周参与家务劳动时间”进行问卷调查．以下是对问卷调查数据收集、整理与描述的过程．
【收集数据】在全校学生中随机抽取若干名学生进行问卷调查．
【整理数据】将问卷数据进行整理，根据劳动时间x（单位：min）将其分为以下四组：A组，B组，C组，D组．
【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下不完整的条形图和扇形图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次共抽取了 名学生进行问卷调查，并补全条形统计图．
(2)在扇形图中求C组所对圆心角的度数．
(3)估计该校1500名学生中一周参与家务劳动时间不低于1小时的人数．
22．某班数学兴趣小组学习勾股定理后，对构成直角三角形三边长a，b，c（c为斜边长）为正整数的情况进行深入探究．
【特例发现】
(1)①；②；③；④；…它们都满足 ，若，则 ．
【提出问题】
该兴趣小组进一步探究发现，当时，总能找到正整数b，c使 于是该小组成员提出问题：当或时，是否存在正整数b，c，满足
【解决问题】
小组成员给出了当时，不存在正整数b，c，满足的证明过程．
证明：假设存在正整数b，c满足
移项得：
因式分解：
∵b，c为正整数且
∴
∵或
∴，，解得，与假设相矛盾；或，．
综上所述，不存在正整数b，c，满足
(2)请类比上面的方法证明：当时，不存在正整数b，c，满足．
23．如图，在中，，是的角平分线．以O为圆心，为半径作．
(1)求证：是的切线．
(2)已知交于点E，延长交于点 D．若，，求的长．
24．图1是抛物线形拱桥平面示意图，当拱顶离水面时，水面宽．此时桥拱与水面的交点分别为点 A 和点 B，拱顶为点 C．
(1)请从下列两种方案中任选一种，在图2中画出平面直角坐标系，并求出所选方案中的抛物线解析式．
方案一：以点A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系；
方案二：以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(2)当水面下降时，水面宽度增加多少？
25．如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，其中点 B，点C的对应点分别为点E 和点D，连接．
(1)当时，求的度数．
(2)如图2，当点 D落在边 上时，求 的长．
(3)如图3，延长交 于点F．
①求证：点 F为 的中点；
②连接，当时，直接写出的长．
26．已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，作直线．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点作轴，交抛物线于另一点，求点到直线的距离．
(3)如图2，是轴正半轴一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为．
①求关于的函数解析式；
②当时，请直接写出的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B C D D B A A C
1．A
【分析】本题要求选出数值等于的选项，只需直接对比各选项给出的数值即可得到结果
【详解】解：选项A的数值为，符合题意；
选项B的数值为，不等于，不符合题意；
选项C的数值为，不符合题意；
选项D的数值为，不符合题意
2．A
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：356000＝3.56×105．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．B
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答．
【详解】解：．既是中心对称图形也是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．是中心轴对称图形，但不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．不是中心对称图形是轴对称图形，故该选项符合题意；
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了三视图的识别，熟练掌握和运用三视图的识别方法是解决本题的关键．
根据从左侧看到的图形，即可判定．
【详解】解：此商场的休息椅的左视图为C，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了单项式除以单项式、单项式乘单项式等知识点，掌握相关运算法则即可．
【详解】解：，故A错误；
，故B错误；
不是同类项，不能合并，故C错误；
，故D正确；
故选：D
6．D
【分析】首先利用平移的性质得到△A1B1C1中点B的对应点B1坐标，进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2中B2的坐标，即可得出答案．
【详解】解：把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，
此时点B（-5，2）的对应点B1坐标为（-1，2），
则与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2中B2的坐标为（-1，-2），
故选D．
【点睛】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握变换规律是解题关键．
7．B
【分析】本题考查了正多边形的内角问题，根据题意求出该正五边形的每个内角度数为：，即可求解；
【详解】解：∵五边形为正五边形，
∴该正五边形的每个内角度数为：；
∴；
∵三角形为正三角形，
∴；
∴；
∴；
故选：B
8．A
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，弧长，直角三角形的性质．连接，利用证明，推出，由，得到，利用勾股定理求出，再由阴影部分的周长，计算即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，即，
∴（负值舍去），
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵阴影部分的周长，
∴阴影部分的周长．
故选：A．
9．A
【分析】本题考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解题的关键．
根据从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．再根据概率公式求解即可．
【详解】解：从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．
∴，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为．
故选：A．
10．C
【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及由二次函数图象与性质确定系数及式子符号、函数最大值定义、函数与方程的关系等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
先由二次函数图象与性质判定符号，进而判断①错误；令时，由图象中点的位置即可判断②正确；由最大值定义即可判断③正确；由函数图象与方程的关系即可判断④正确，从而得到答案．
【详解】解：由抛物线开口向下，可得；
由抛物线对称轴是直线，可得，结合即可确定；
由抛物线与轴交点在正半轴上，可得；
综上可得，故①错误；
二次函数图象与轴交于点，对称轴是直线，
二次函数图象与轴另一个交点为，
则当时，，故②正确；
由可得，则，
又抛物线开口向下，对称轴是直线，
当时，抛物线有最大值，为，
则由最大值定义，当时（为任意实数），，故③正确；
由抛物线的对称性可知，若抛物线经过，则抛物线必定经过，
关于的一元二次方程的两个根就是抛物线与直线的交点的横坐标，
当抛物线经过和时，关于的一元二次方程的两个根分别是，，故④正确；
综上所述，结论中正确的是②③④，共3个，
故选：C．
11．
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，分别计算两个项后，再进行有理数减法运算即可.
【详解】解：.
12．12
【分析】大量重复试验后，随机事件发生的频率会稳定在概率附近，可根据概率公式列出方程求解即可．
【详解】解：大量重复试验后发现，摸到红球的频率在左右，
任意摸出一个球，摸到红球的概率为，
∴
解得：，
经检验符合题意；
∴m的值为12．
13．且
【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，列出不等式求解即可得到的取值范围．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
，
解得；
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得；
综上，实数的取值范围为且．
14．
【分析】利用矩形的性质和角平分线的定义可得，是等边三角形，进而得到，，即得到，再根据角的和差关系即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴ ，，
∴，是等边三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴．
15．
【分析】连接，过点D作于点F，根据圆周角定理得出，解直角三角形得出，根据直角三角形的性质求出，根据求出结果即可．
【详解】解：连接，过点D作于点F，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
．
16．
【分析】过点作轴于点，轴于点，证明，利用全等三角形对应边相等建立方程求出点坐标，代入反比例函数解析式即可求解．
【详解】解：过点作轴于点，轴于点，
，，
四边形是矩形，
，，，
四边形是正方形，
，，
，，
.，
在和中，
，
，
，，
矩形是正方形；
，，
，，
设正方形的边长为，则，
点的坐标为，
，，
，
，
解得，
点的坐标为，
反比例函数的图象经过点，
．
17．①③④
【分析】结论①利用正六边形内角性质和平行线同位角相等，结合平角定义，算出，验证正确；结论②：如下图作辅助线，三角形为等边三角形，四边形为平行四边形，，求出的值；
【详解】解：结论①：正六边形每个内角为，
由，，得，，
∴，故①正确；
结论②，如图连接，交于点，
则均为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵是正六边形的一条长对角线，它与边的夹角，
∴在中，，
∴是等边三角形，，
∵，，
∴，
∵，
∴为平行四边形，，
同理：为平行四边形，，
∴，
∵，
∴，故②错误，
当时， ，
又，
为等边三角形，
，故③正确；
结论④：过点作 交于点，
设()，
在 中，，
， ，
，
在 中， ，
，
，
，
当时， 有最大值，
有最小值 ，
的最小值为，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④
18．
【详解】解：原式.
19．菱形，理由见详解
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形等知识．根据已知条件证明，得到，进而证明四边形是平行四边形，即可证明平行四边形是菱形．
【详解】解：四边形是菱形．
证明：∵四边形是矩形，
，
，
∵点是的中点，
，
又，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴平行四边形是菱形．
20．(1)
(2)
【分析】（1）先求出点A的坐标，再根据待定系数法求解即可；
（2）先根据平行线的性质求出，，进一步可得，根据相似三角形的性质得出，即可得出的长，即点C的纵坐标，最后根据点C在反比例函数的图象上即可求解．
【详解】（1）解：∵垂直于x轴，，，
∴点A的坐标为，
∵点A在反比例函数 图象上，
∴，
解得．
（2）解：∵点 D，E在x 轴上，，，垂直于x轴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，即点C的纵坐标为2，
∵点C是反比例函数 的图象上一点，
∴点C的横坐标为，
∴．
21．(1)这次共抽取了200名学生进行问卷调查，补全条形统计图见解析
(2)
(3)1350
【分析】（1）用B组的人数除以B组所占百分比即可，可得总人数，用调查的总人数乘可得C组人数，进而求得A组人数，再补全条形统计图；
（2）用乘C组所占百分比；
（3）用样本估计总体进行计算．
【详解】（1）解：（名），所以这次共抽取了200名学生进行问卷调查，
C组人数：（名），A组人数：（名），
补全条形统计图即可如下：
（2），
C组所对圆心角是；
（3）（名），
该校1500名学生中一周参与家务劳动时间不低于1小时的学生约有1350名．
22．(1)
(2)
见解析
【分析】（1）直接利用勾股定理计算正整数的值即可；
（2）类比题目给出的证明方法，使用反证法，先假设存在正整数满足等式，再通过平方差公式因式分解，讨论正整数因数分解，推出矛盾，证明结论.
【详解】（1）解：∵，，为斜边长，满足，且为正整数，
∴，
∴（负值舍去）；
（2）解：假设存在正整数，满足，
移项得，
利用平方差公式因式分解得；
∵，为正整数且
∴
∵
∴，，解得，与假设相矛盾，
故不存在正整数b，c，满足.
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点O作于F，由题意可知，再根据角平分线的性质可得，即可得证；
（2）先根据平行线的性质和角的等量代换求得，再根据三线合一求得，再由角平分线的性质和角度计算可得，进而根据解直角三角形可得的长，即可求得的长．
【详解】（1）证明：过点O作于F，
∵，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，即，
∴在中，，即，
∴，
∴．
24．(1)方案一：,图见解析；方案二：,图见解析
(2)
【分析】（1）方案一，根据顶点坐标为，设解析式为，将点代入求出a值即可得；方案二，根据顶点坐标为，设解析式为，将点代入求出a值即可得；
（2）根据当水面下降时，求出y 的值，把y值代入解析式求出x的值，再求出下降前和下降后的差值即可．
【详解】（1）解：方案一，如图，
根据题意可知，抛物线与x轴的交点为，，顶点坐标为，
设解析式为，
将点代入得，
解得：，
则抛物线解析式为；
方案二，如图，
根据题意可知，，，顶点坐标为，
设解析式为，
将点代入得，
解得：，
则抛物线解析式为；
（2）解：如图，以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系，
当水面下降时，，
将代入得：，
解得：，
∴水面宽度增加米．
25．(1)
(2)
(3)①见解析：②
【分析】（1）首先根据旋转性质，等腰三角形性质，结合三角形内角和定理即可计算的度数．
（2）先由勾股定理计算的长度，过点C作于点F，由，求出，得，得，即得．
（3）①连接，由，得点F在的外接圆上，得，得，即得F是的中点，②解：过点A作于点H，过点E作交延长线于点I，证明，得，得，由勾股定理求出，得，得，证明，得，证明，得，即得．
【详解】（1）解：由旋转知，，，
．
（2）解：∵中，，，，
∴．
过点C作于点F，
则，
∴，
∴，
由旋转性质得：，
当在上，，
∴ ．
（3）解：①证明：连接，
由旋转性质得，，
∴，
∵的延长线交于点F，
∴点F在的外接圆上，
∴，
，
，
∴，
是的中点；
②解：过点A作于点H，过点E作，交延长线于点I，由已知得，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
解得（），
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
26．(1)；
(2)；
(3)①；
②或；
【分析】（1）利用已知点和点坐标，直接代入抛物线的一般式，通过二元一次方程组求解未知系数和，得到完整解析式；
（2）先通过抛物线与轴交点条件求出点坐标，再根据轴性质得到点纵坐标，代入抛物线求点坐标；求出直线解析式之后，利用直线得到夹角的几何特征，通过等腰直角三角形的边长关系计算点到直线的距离，避免复杂的点到直线公式运算；
（3）①利用轴的性质，直接用横坐标表示点坐标，将面积转化为以为底，为高的直角三角形面积；分两种情况讨论：点在点左侧（）时点在轴上方，点在点右侧（）时点在轴下方，分别计算长度，得到分段面积函数；
②分别代入两段面积函数解不等式：时，二次函数开口向下，最大值为2，因此恒成立，只需的不等式得到对应区间；时，二次函数开口向上，同时解和两个不等式，取符合的公共区间，最后合并两个区间得到最终结果．
【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于点，，
将点坐标代入抛物线解析式中，可得方程组，解得，
抛物线解析式为．
（2）解：抛物线对称轴为直线，且轴，点坐标为，点与点关于直线对称，
，，
令，即，
，解得，，
，
设直线解析式为，代入点，
，
解得，
直线解析式为，
过点作于点，
， ，
，为等腰直角三角形：
，
点到直线距离为．
（3）解：①点横坐标为，且在轴正半轴，
因此，且，
轴，交直线于点，可得，
线段长度为，
当时，点在轴上方，长度为，
，
当时，点在轴下方，长度为，
，
因此关于的函数解析式为：
②当时，
当时，
由，
得，
，
解得，，结合，得
；
由，
，
，
解得，为任意数，
两部分取公共部分：；
当时，
由得，
，
解得，或；
由，
，
；
取两者公共部分：，
综上，的取值范围是或．
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