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模拟冲刺试题 2026年初中数学中考复习备考
一、单选题
1．下列四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．下列各图所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图（不考虑花纹因素）一样的是（ ）
A．B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组在安全的前提下测得，验证了斑马线是由一组平行线组成的．这种验证方法依据的基本事实是（ ）
A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等
5．下列调查中，只适宜采用全面调查的是（ ）
A．了解一批日光灯管的使用寿命 B．了解全国九年级学生的视力状况
C．调查长江流域的水质状况 D．检查运载火箭的各零部件
6．已知方程，下列选项中是此方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的半径，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，直线交于B，C两点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展．经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少元．当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，“漏壶”是一种古代计时器，壶内壁有刻度，在它内部盛一定量的水，水从壶底的小孔匀速漏出，人们根据壶中水面的位置计算时间．用t表示漏水时间，h表示壶内底面到水面的高度，下列图象能表示h与t的变化关系的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
二、填空题
11．实数（“27”依次不断出现）中，其中无理数有______个．
12．如图，正五边形的边长为2，经过点，则阴影部分扇形的的长为_____．
13．如图，将一组邻边长分别为5和12的两个矩形和矩形拼成“”形图案，则线段的长为_____．
14．如图，点为轴上一点，点在反比例函数的图象上，将沿翻折，使点恰好落在上点处．若，则的值为______．
15．如图，在中，，其中，，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是__________．
三、解答题
16．计算：．
17．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18．如图，在菱形中，分别是边上的点，且．
求证：．
19．如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角、俯角都为，摄像头高度，识别的最远水平距离．
(1)小玲站在离摄像头水平距离点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线处），请问小玲的身高约为多少厘米？
(2)身高的小婷，头部高度为，当她直立站在离摄像头最远处点Q时，小婷能被摄像头识别吗？请说明理由．（结果精确到．参考数据：，，）
20．如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为C，，垂足为E，连接．

(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
21．人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来．为培养学生创新思维，提升科学素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析：
(1)【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：_____．（请填写序号）
①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩；
②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩；
③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩；
④分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成，，，四组进行整理如表：
组别
成绩（分）
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图．
(2)【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
①抽取学生竞赛成绩的样本容量为_____；请补全频数分布直方图；
②抽取的样本数据中位数所在组别是_____组；
(3)扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是_____度；
(4)若竞赛成绩分以上（含分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数．
22．【问题背景】
央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人玩具的需求，某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具．
素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元．
素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍．
【问题解决】
(1)求购进A，B两种机器人玩具的单价；
(2)因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共40个，且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍，那么购进A种机器人玩具和B种机器人玩具各多少个时花费最少？最少花费为多少元？
23．如图1，一次函数与反比例函数 的图象相交于点， 两点，点C为线段中点，连接．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)如果一个矩形的长、宽之比为2：1，我们把该矩形称为“倍边矩形”．在平面内是否存在点（点P在直线AB上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，二次函数的图象经过点和点，与轴交于另一点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在轴上方的二次函数图象上有一动点．
①如图，作射线，当平分时，求点的坐标；
②如图，连接，，设点的横坐标为，当为锐角三角形时，求出的取值范围．
25．已知四边形中，E，F分别是，边上的点，与交于点．
(1)【问题发现】如图1，四边形是正方形，，______；
(2)如图2，四边形是矩形，，，，______；
(3)【拓展探究】如图3，四边形是平行四边形，，求证：．
请写出完整的证明过程，以下思路仅供参考．
思路一：在的延长线上取点M，使，
思路二：在线段上取点N，使．
(4)【解决问题】如图4，，，，，求．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C B D A A D B D
1．A
【详解】解：∵ 实数大小比较中，负数小于0，0小于正数，
∴ 先排除负数和，
∵ ，，
∴，可得，
∴ 四个数中最大的数是．
2．A
【分析】根据简单几何体的三视图即可判定．
【详解】解：A选项的几何体的主视图和左视图是一样的，故符合题意；
B、C、D选项的几何体的主视图和左视图是不一样的，故都不符合题意．
3．C
【分析】本题考查整式的基本运算，需根据合并同类项法则、同底数幂除法法则、单项式乘法法则、完全平方公式逐一判断选项．
【详解】解：选项A，∵与不是同类项，不能合并，
∴该选项不符合题意；
选项B，∵，
∴该选项不符合题意；
选项C，∵，运算正确，
∴该选项符合题意；
选项D，∵，
∴该选项不符合题意．
4．B
【分析】根据平行线的判定定理解答即可．
【详解】解：，且为同位角，
根据同位角相等，两直线平行，判定直线是平行的．
5．D
【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用场景，解题思路是根据调查是否具有破坏性，范围大小，是否对结果精度有极高要求来判断选择．
【详解】解：∵调查一批日光灯管的使用寿命具有破坏性，无法对所有灯管进行测试，
∴不适宜全面调查，A错误；
∵全国九年级学生人数多，调查范围过大，
∴不适宜全面调查，B错误；
∵长江流域水域范围广，无法对全流域水质逐一检查，
∴不适宜全面调查，C错误；
∵运载火箭各零部件的质量直接关系发射安全，必须保证每个零件都合格，对精度要求极高，
∴只适宜采用全面调查，D正确．
6．A
【分析】本题考查了二元一次方程的解，分别把各选项的值代入方程中计算即可判断．
【详解】解：A、把代入方程得，，
∴是方程的解，该选项符合题意；
B、把代入方程得，，
∴不是方程的解，该选项不合题意；
C、把代入方程得，，
∴不是方程的解，该选项不合题意；
D、把代入方程得，，
∴不是方程的解，该选项不合题意．
7．A
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，结合半径相等证明为等边三角形，求出的度数，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接，，
由作图可知直线是线段的垂直平分线，
，
，
，
为等边三角形，
，
与分别是弧所对的圆周角和圆心角，
.
8．D
【分析】本题考查了列分式方程．
先根据已知条件分别表示出100元费用下电动汽车和燃油车的行驶路程，再结合“电动汽车可行驶总路程是燃油车的9倍”这一核心等量关系列方程即可．
【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为元，
∴燃油车平均每公里的加油费为元，
∵100元充电费对应的电动汽车行驶路程为公里，100元加油费对应的燃油车行驶路程为公里，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，
∴可列方程．
故选：D．
9．B
【分析】根据题意，可知随的增大而减小，且变化均匀，据此可判断对应的函数图象．
【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，
∴随的增大而匀速地减小，选项B图象适合表示与的对应关系．
10．D
【分析】求出点坐标，待定系数法求出函数解析式，结合函数图象，逐一进行判断即可.
【详解】解：∵点在直线上，且B的横坐标为3，
∴点的纵坐标为3，
∴，
∵轴，
∴，
把，，代入，得
，解得，
∴，
∴，；
由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，故；
即；
综上：只有选项D错误.
11．
【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，对所给实数逐一化简判断，即可得到无理数的个数.
【详解】解：∵ ，是无限不循环小数，因此是无理数；
是有限小数，属于有理数；
，整数属于有理数，因此是有理数；
是有限小数，属于有理数；
（“27”依次不断出现）是无限循环小数，属于有理数；
综上，无理数共有个.
12．
【分析】利用正五边形的性质求出，，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为2，
∴，，
∴阴影部分扇形的的长为．
13．
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理，延长交于H，证明四边形是矩形，再求出、的长，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：如图所示，延长交于H，
∵矩形和矩形的一组邻边长分别为5和12，
，，，，
，，
，四边形是矩形，
，，
，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】如图，过作轴于，结合对折可得：，，，进一步求解，从而可得答案.
【详解】解：如图，过作轴于，
∵，
∴，
∵，结合对折：
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴.
15．4
【分析】通过证明，可得，可求的长，由三角形的面积公式和二次函数的相知可求解最大值．
【详解】解：过点作直线于，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴面积，
∴当时，面积的最大值为，
16．
【详解】解：
17．，整数解为
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示其解集，确定公共部分并得到不等式组的整数解.
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集
∴原不等式组的解集是．
∴整数解为．
18．证明见解析
【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到，再由线段的和差关系证明，则可利用证明，据此由全等三角形对应边相等可证明．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
19．(1)小玲的身高约是厘米
(2)小婷能被摄像头识别，理由见解析
【分析】（1）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据三角函数求出即可求出，进而可求出小玲的身高；
（2）过Q作的垂线分别交仰角线，俯角线于点C，G，交水平线于点H，在中，根据三角函数求出，，即可求出，进而可确定小婷头部以下的高度，进而即可判断．
【详解】（1）解：如图，过M作的垂线分别交仰角线，俯角线于点E，D，交水平线于点F，
由题意得，，
四边形是矩形，
，，
在中，，，
，
，
答：小玲的身高约是厘米；
（2）解：小婷能被摄像头识别，理由如下：
如图，过Q作的垂线分别交仰角线，俯角线于点C，G，交水平线于点H，
由（1）可知，四边形是矩形，
，，
在中，，，
，
同理，
，，
小婷头部以下的高度为：，
，且小婷身高，
小婷整个头部都在摄像头视角范围内，
小婷能被摄像头识别．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，三角函数的定义，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）连接，根据切线的性质得到，从而可得，再根据等腰三角形的性质和平行线的性质，即可证得答案；
（2）连接，先证明，则，根据三角函数的定义，可求得的长，最后根据勾股定理可求得的长，从而得到答案．
【详解】（1）连接，
直线是的切线，切点为C，
，
又，
，
，
，
，
，
平分；

（2）连接，
是的直径，
，
又，
由（1）得，
，
在中，，
，
在中，，
．

21．(1)④；
(2)①总样本容量为，补全频数分布直方图见解析；②；
(3)；
(4)估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数是人．
【分析】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键．
（1）根据样本具代表性，避免偏差，即可得出答案；
（2）根据频数分布直方图可知样本容量，完成统计图即可；因为样本容量为，那么中位数为第，人成绩的平均数，由于组人数人，组人数人，中位数就在组；
（3）用组对应的圆心角的度数是；
（4）根据样本估计总体可知，用乘分以上（含分）的人数占比，即可求解．
【详解】（1）分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩，覆盖全校不同层次，避免因单一班级或年级的特殊性导致偏差，其他选项均存在局限性（如仅抽取一个班级、年级或性别）；
故答案为：④；
（2）①总样本容量为，
因此组的人数，
补全频数分布直方图如下：
，
故答案为：；
②样本容量，那么中位数为第，人成绩的平均数，由于组人数人，组人数人，
抽取的样本数据中位数所在组别是组；
故答案为：；
（3）扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是；
故答案为：；
（4）（人），
答：估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数是人．
22．(1)购买一个A种机器人玩具价格为50元，一个B种机器人玩具价格为60元
(2)购进A种30个、B种10个花费最少，最少花费2100元
【分析】（1）根据 “数量总价单价”列出代数式，再根据“玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍”列出等量关系式解出答案；
（2）将其中一种机器人的数量设出来，另一个由“两种机器人玩具共40个”列出代数式，再根据题意列出不等式求出设的值的取值范围，再列出一次函数，根据一次函数的增减性求出答案．
【详解】（1）解：设购买一个A种机器人玩具价格为x元，则购买一个B种机器人玩具价格为元，
根据题意得： ，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元），
答：购买一个A种机器人玩具价格为50元，一个B种机器人玩具价格为60元
（2）解:设购进A种个，则B种个，
由题意： ，
解得，
且， ，
∴，m为整数，
设总花费为w元： ，
，w随m增大而减小，
取最大值30时，花费最少，，
此时：A种30个，B种（个），
最少花费： 元；
答：购进A种30个、B种10个花费最少，最少花费2100元．
23．(1)直线的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)
(3)存在，点 、点 或点 、点
【分析】（1）利用一次函数与反比例函数的交点求出反比例函数表达式，将点代入反比例函数中，求出点的坐标，再利用点点待定系数法求出直线的解析式；
（2）利用一次函数解析式求出点的坐标，再利用坐标的特点求出的面积，再利用三角形的中线平分三角形的面积求解；
（3）过点作x轴的平行线，分别过点作的垂线，垂足为点，构造一线三等角得到，利用相似比分类讨论，求得点的坐标，利用中点公式求出点的坐标．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，
将点代入，解得，
∴反比例函数的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
即点，
设直线的表达式为，
将点，点分别代入表达式，得，
解得，
∴直线的表达式为：．
（2）解：连接OA、OB，
令，则，解得，即点，
则，
点为线段中点，
，
则；
（3）解：存在，理由如下：
由题意得，，，
过点作x轴的平行线，分别过点作的垂线，垂足为点，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点，点，
∴线段中点的坐标为，即，
∵四边形为倍边矩形，
∴点是线段的中点，
①当和的相似比为1：2时，
设，，
则，，
则且，
解得：，，
则点，
由中点坐标公式得：点；
即点、点；
②当和的相似比为2：1时，
设，，
则，，
则且
解得：，，
则点、点
综上，点、点或点、点．
24．(1)
(2)①；②时为锐角三角形
【分析】（1）把、代入，解方程组求出、的值即可得出答案；
（2）①连接，交于，根据二次函数解析式求出，进而求出，根据平分，结合等腰三角形“三线合一”的性质求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，联立直线与二次函数的解析式求出点坐标即可；
②设的中点为，连接，当时，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，利用两点间距离公式列方程求出的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：将、代入，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：①如图，连接，交于，
由（1）可知，，
∴当时，，
解得：或，
∴，
∵，，
∴，，
∴，是等腰三角形，
∵平分，
∴，即为的中点，
∵，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式得，，
解得：，（与点重合，舍去），
∴．
②设的中点为，连接，
∵，，
∴，
∵点C的横坐标为，
∴，
当时，，
∴，
解得：或，
∴时，为锐角三角形．
25．(1)1
(2)
(3)完整的证明过程见解析
(4)
【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可求解；
（2）根据矩形的性质证明，即可求解；
（3）思路一：在的延长线上取点M，使，结合平行四边形的性质证明，即可证明；思路二：在线段上取点N，使，与交于点H，通过导角计算可证明，即可证明；
（4）连接，过点C作，，M，N为垂足，与交于点H，构造矩形，得，，进一步推得，则，通过计算得，，根据勾股定理可得，根据题目易得，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是正方形，，
，，，
，，
∴，
∴，
，
；
（2）解：四边形是矩形，，，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
∴ ，
则；
（3）证明：思路一：在的延长线上取点M，使，
∴，
四边形是平行四边形，
，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
思路二：在线段上取点N，使，与交于点H，
∴，
四边形是平行四边形，
，
，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（4）如图，连接，过点C作，，M，N为垂足，与交于点H，设，
，，，，
，
，
∵，
∴四边形是矩形，
，，
∵，
∴，
又∵，
，
∴，
∴，，
根据勾股定理得，
解得，舍去，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质并根据题意构造合适的辅助线是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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