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重庆市礼嘉中学2025-2026学年高二下学期期中数学试题
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A． B． C．0 D．1
2．圆周率是圆的周长与直径的比值，是数学中经典的无理数，近似值为3.1415926…，若用圆周率的前6位数字3、1、4、1、5、9设置一个6位数的密码，则不同的密码有（ ）个
A．180 B．360 C．1440 D．720
3．关于的展开式，下列说法不正确的是（ ）
A．二项式系数和为256 B．所有项系数之和为
C．二项式系数最大值为70 D．常数项为第四项
4．已知函数的大致图象如图所示，则（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
5．在线教育平台部署了三款智能批改系统（甲、乙、丙），其批改一道数学题的正确率分别为90%、80%、70%.平台根据题目难度等级随机调用系统，调用甲、乙、丙的概率依次为0.5、0.3、0.2.现随机抽取一道题目，则该题目被正确批改的概率为（ ）
A．0.81 B．0.82 C．0.83 D．0.84
6．，下列说法正确的是（ ）
A．0是极大值点 B．是极大值点
C．是极小值点 D．是极大值点
7．掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件A为“两次的点数之和大于6”，事件B为“两次点数中的最小点数为3”，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数有两个极值点且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．我校高二5名同学（包含甲、乙、丙、丁、戊），下列说法正确的是（ ）
A．5名同学报名参加机器人和足球两个兴趣小组，每人只能选1个小组，则不同的报名方法有20种
B．5名同学排成一排，甲乙相邻且丙丁不相邻，则不同的排法有24种
C．5名同学排成一排，甲站最中间，则不同的排法有24种
D．将5名同学分配到3个班级进行爱国主义教育，每班至少1名同学，则不同的分配方法有240种
10．甲袋中有4个红球，6个白球，乙袋中有3个红球，7个白球.先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球.设表示“从甲袋取出的球是红球”，表示“从甲袋取出的球是白球”，B表示“从乙袋取出的球是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．，为对立事件
C． D．
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当且仅当时，方程有两个不等的实根
C．对区间上任意两个实数，都有
D．设，则恒成立
三、填空题
12．春节期间，某家庭准备了5个不同的马年新春红包，从中选择3个分别装入3个不同的红包袋中，每个红包袋装1个红包，则不同的装法种数是______（用数字作答）
13．函数在区间上单调递增，则a的取值范围是______.
14．当时，将展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角”：
若在的展开式中，项的系数为10，则实数______.
四、解答题
15．已知：函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)求在的最大值.
16．已知的展开式中，第4项为常数项.
(1)求含的项；
(2)求展开式中系数最大的项.
17．已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数存在最小值，且该最小值大于0，求实数a的取值范围.
18．已知函数，（）
(1)讨论的单调性；
(2)当时，是否存在实数a，使时既有最大值又有最小值，若存在请求出a的范围，若不存在请说明理由；（）
(3)当时，若恒成立，求b的取值范围.
19．已知为正整数，且，，.
(1)若，求及值；
(2)若方程恰好表示16个不同的双曲线，求的值；
(3)设，，不等式对任意恒成立，求的最小值.
参考答案
1．B
【详解】函数，求导得，
所以.
2．B
【详解】因为1出现了两次，所以不同的密码有个.
3．D
【详解】二项式系数之和为，故A正确；
令，可得各项系数之和为，故B正确；
，二项式系数最大值为，故C正确；
展开式的通项公式为，
令，得，即常数项为第五项，故D错误．
4．A
【详解】由题意可知函数在上单调递增，在上单调递减，极大值点为，极小值点为，
所以的两根为，，且，
所以，所以，
由题意可得函数与轴的交点位于轴的正半轴，所以.
综上，，，，.
5．C
【详解】记批改正确为事件，调用甲、乙、丙记为事件，，．
由全概率公式
．
6．D
【详解】，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则0不是极值点，A错误；
是极小值点，B错误；
是极大值点，C错误；
是极大值点，D正确．
7．C
【详解】事件，，
事件，，所以.
8．A
【详解】因为，
令，
则有，
由题意可知是此方程的两个正根，
所以，
两边取自然对数，得，
即，
令，因为，
所以，
所以，
则，即为，
所以，
所以，
令，
则
，
令，
则，
所以在上单调递减，
又当趋于时，趋于0，
所以，即，
所以在上单调递减，
所以.
9．BC
【详解】选项A：每名同学有2种报名选择，由分步乘法计数原理，总报名方法为种，A错误.
选项B：先将甲乙捆绑，内部排列共种；将甲乙整体与戊全排列，共种，排完后产生3个空位；
将丙丁插入空位保证不相邻，共种，总排法为种，B正确.
选项C：甲在最中间位置固定，剩余4名同学在其余4个位置全排列，共种排法，C正确.
选项D：先分组再分配，分组分两类：①3,1,1型，分组数为种；②2,2,1型，分组数为种，共25种分组，
再将3组分配到3个班共A33=6种，总分配方法为种，D错误。
10．ABD
【详解】选项A，若发生（从甲袋取出红球放入乙袋），乙袋原有3红7白，加入1个红球后变为4红7白，共11个球，则，A正确.
选项B，从甲袋只取出1个球，取出的球只能是红球或白球，和互斥，且必有一个发生，满足对立事件的定义，B正确.
选项C，若发生（从甲袋取出白球放入乙袋），乙袋变为3红8白，共11个球，
因此，则，C错误.
选项D，根据全概率公式，
其中，，代入得，D正确.
11．AD
【详解】对于A：，
又 ，所以 ，故A正确；
对于B：由方程有两个不等的实根，所以，
即与有两个不同的交点，
由，当，解得，当，解得，
所以在单调递增，在单调递减，所以，
当时，，当时，，
作出的图像：
由图可知：，即，故B错误；
对于C：由，所以 ，
不妨设，所以，所以，即证，
即，即，即证单调递增，
又在单调递减，在单调递增，故C错误；
对于D：由，所以，
令，即，令，
所以，由 ，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以，
所以，故D正确.
12．60
【详解】对于第一个红包袋装红包，我们可以从5个红包任选一个放入，有5种选择，
对于第二个红包袋装红包，剩余4个红包可选，有4种选择，
对于第三个红包袋装红包，剩余3个红包可选，有3种选择.
根据分步乘法计数原理，总装法种数为.
13．
【详解】由题意，在中，，
函数在区间上单调递增，
∴即在上恒成立，
∴在上恒成立，
在中，，
∵当时，，，
∴，即在上单调递增，
∴在处取最大值，，
∴，
∴的取值范围是.
14．
【详解】由广义杨辉三角，可得，
因为的展开式中，的项为，
所以，即，解得.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由题意，
在中，，
，，
∴在处的切线方程为，
即.
（2）由题意及（1）得，，
在中，，，
当时，解得或，
当即时，函数单调递减，
当即或时，函数单调递增，
∴函数在处取极大值，
∵，，
，
∴在处取最大值，最大值为.
16．(1)
(2)
（1）解：由二项式的展开式的通项为，
因为二项展开式的第4项为常数项，所以当时，可得，解得，
所以展开式的通项为，
令，解得，所以展开式中含的项为.
（2）解：设展开式中第项的系数最大，则满足，
由不等式，可得，
整理得，解得，
由不等式，可得，
整理得，解得，
综上可得，因为，所以，
将代入通项公式，可得.
17．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
函数在处取得极小值，极小值.
（2）可知，
当时，在上恒成立，即在上单调递增，此时不存在最小值，
当时，令，即，解得，
则当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
在处取得极小值，也是最小值，
最小值，
令函数，则，
可知函数在上单调递减，可知时，，且，
所以存在，使，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
因为时，，，
所以在时，，所以实数a的取值范围为.
18．(1)答案见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)
【详解】（1）可知函数定义域为，则，
当时，在上，函数在上单调递减，
在上，函数在上单调递增，
当时，在上，函数在上单调递增，
在上，函数在上单调递减，
当时，在上恒成立，且仅，所以函数在上单调递增，
当时，在上，函数在上单调递增，
在上，函数在上单调递减.
综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）可知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
可知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时有最大值，没有最小值，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，要使在既有最大值又有最小值，
需满足，即，
由，化简得，
令，则，
令，则，
可知在上，函数在上单调递减，
可知，所以函数在上恒为正，
即在上，函数在上单调递增，
因为，即在上，
所以在上无解，即在时，不存在实数a，使时既有最大值又有最小值.
（3）当时，，则，
当时，函数在上单调递增，时，时，
所以存在实数，使，即，化简得，
此时在上，函数在上单调递减，
在上，函数在上单调递增，
在时，函数取得最小值，
可知恒成立，等价于，
由，得，
令，可知函数在上单调减，且，
所以的解集为，
可知，解得，
可知，令，可得，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，，则，
所以实数的取值范围为.
19．(1)，
(2)或
(3)
【详解】（1）当时，，求导可得，
所以，
，，，
所以.
（2）因为，所以，同理，
因此方程化简可得，
对于正整数，只有当时，，此时方程表示双曲线，
设集合中不同元素的个数为，则不同的有序对 共有个，每个对应一个不同的双曲线，
由题意可知，可得，即恰有4个不同的值，
当时，，即；当时，，即；
当时，，即；当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即，
当时，不同值的个数大于4，因此或.
（3）已知，，
两边求导可得，两边同乘可得，
令，代入可得，
所以，
对两边求导可得，
两边同乘可得，
令，代入可得，
所以，
因此
，
设数列，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，，
所以数列的最大值为，
不等式对任意恒成立，则要大于等于数列的最大值，
所以的最小值为.

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