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重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．展开式中含项的系数为
A．15 B．30 C．60 D．120
3．函数的零点个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区且每个社区至少1人最多2人，则不同的安排方法有（ ）种.
A．90 B．60 C．150 D．140
5．已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
6．若事件M，N满足，，则（ ）
A． B． C． D．
7．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，当时，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．某校高二年级要从7名班干部（其中5名男生，2名女生）中任选3人参加学校优秀班干部评选（每人被选中的机会均等），记A=“男生甲被选中”，B=“女生乙被选中”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．事件A与事件B相互独立
C． D．至少一名女生被选中的概率为
11．设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
三、填空题
12．已知曲线在处的切线方程为，则_______.
13．我国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中记载了“杨辉三角”，在如图所示的“杨辉三角”中，除每行两端的数值外，每一个数值等于其肩上两数之和，若第n行所有数字之和为128，则______.
14．已知对于，都有，则的最大值为___________．
四、解答题
15．已知的展开式中，各项二项式系数之和为64.
(1)求展开式中所有项的系数和；
(2)求展开式中的常数项.
16．5名男生和3名女生一起合影.
(1)排成一排，女生互不相邻，有多少种排法？
(2)排成一排，恰有两名女生相邻，有多少种排法？
(3)若这8人身高均不相等，排成两排，每排4人，为了不被遮挡住，后排每个人的身高都比对应前排的人要高，有多少种排法？（注：所有结果均要求算出具体数字）
17．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若在定义域内单调递增，求实数a的取值范围.
18．科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案．
(1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回．
（ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率；
（ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率；
(2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率．
19．已知函数．
(1)若函数有个零点，求的取值范围；
(2)令，讨论的单调性；
(3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值．
参考答案
1．B
【详解】根据导数的定义：函数在处的导数为，
所以．
2．C
【详解】二项式的二项展开式的通项公式为，
则展开式中含项的系数为.
故选：C．
3．C
【详解】函数的定义域为R，求导得，
函数在R上单调递减，而当时，，
所以函数的零点个数为1.
4．A
【详解】5人只能按照2，2，1分组，分组方法有，将分好的3组分别派往3个不同社区：，
则不同安排方法共有
5．B
【详解】对求导得，当时，，，
曲线在处的切线方程为.
设切线与相切于点，对求导得，
由切线斜率为得，解得，
将切点代入切线方程得，解得.
6．D
【详解】由，得，
由，得，
因此.
7．B
【详解】由题设，，，，
令且，可得，
所以有，则上递增；
有，则上递减；
又，故.
故选：B
8．A
【详解】令函数，
而，函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，
当从大于0的方向趋近于0时，；当时，，则函数有唯一零点，
函数在上单调递增，当时，恒成立，
当时，，不符合题意，因此，函数有唯一零点，
函数中，依题意，，则，，
由当时，恒成立，得函数与函数有相同零点，
则，即，于是，
令函数，求导得，当且仅当时取等号，
函数在上单调递增，，
所以的最大值为.
9．AB
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误.
10．ACD
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，，显然，事件A与事件B相互不独立，B错误
对于C，，C正确；
对于D，没有女生被选中的概率为，因此至少一名女生被选中的概率为，D正确.
11．ACD
【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选：ACD.
12．7
【详解】由曲线在处的切线方程为，
得，，
所以.
13．7
【详解】在“杨辉三角”中，第n行所有数字之和为，
因此，所以.
14．
解：因为，此时，即，
令，设，函数定义域为，
可得，因为函数在上单调递增，又，所以，
即，整理得，
设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，单调递增，
所以当时，取极小值也是最小值，最小值，
即，则的最大值为．
15．(1)729
(2)160
【详解】（1）由展开式的各项二项式系数之和为64，得，解得，
取，得展开式中所有项的系数和为.
（2）由（1）得展开式的通项，
由，解得，所以所求常数项为.
16．(1)14400
(2)21600
(3)2520
【详解】（1）排5名男生，有种方法；在每个排列形成的6个间隙中任取3个排3名女生，有种方法，
所以排成一排，女生互不相邻的排法种数是.
（2）排5名男生，有种方法；
从3名女生中任取2名作为整体与另一名女生插入6个间隙中的两个，有种方法，
所以排成一排，恰有两名女生相邻排法种数是.
（3）8人排成两排，每排4人，相当于8人排成4列，每列2人，
从8人中任取2人，按矮的在前，高的在后，排第1列，
从余下6人中任取2人，按矮的在前，高的在后，排第2列，
再从余下4人中任取2人，按矮的在前，高的在后，排第3列，
最后2人，按矮的在前，高的在后，排第4列，
所以不同排法种数是.
17．(1)递减区间为，递增区间为；极小值为1，无极大值；
(2).
【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得，
当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，
所以函数的递减区间为，递增区间为，在取得极小值，无极大值.
（2）函数的定义域为，
由函数在上单调递增，得，
令函数，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以实数a的取值范围是.
18．(1)（i）；（i i）
(2)
【详解】（1）（i）设事件为“取出的人的档案中有女生档案”，则为“取出的人的档案中没有女生档案”.
第一个档案袋内有份男生档案和份女生档案，总共份档案.
第一次取到男生档案的概率为，因为不放回，此时剩下份档案，
其中男生有份，所以第二次取到男生档案的概率为，那么.
所以.
（ii）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率
设事件为“第次取出的档案是女生”，事件为“取出的人的档案中有女生档案”.
根据条件概率公式.
计算，即取出的人档案中有女生且第次取出的是女生的概率.
分两种情况：第一种情况，第一次取男生第二次取女生，概率为；
第二种情况，第一次取女生第二次取女生，概率为.
所以.
已知，则.
（2）设事件为“从第二个档案中取出的档案是女生”.
分两种情况：
若从第一个档案袋中取出的是男生档案，概率为，
此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案，
那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为.
若从第一个档案袋中取出的是女生档案，概率为，
此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案，
那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为.
所以.
19．(1)
(2)①当时，在上单调递增，在上单调递减；
②当时，在和上单调递增，在上单调递减；
③当时，在上单调递增；
④当时，在和上单调递增，在上单调递减；
(3)整数的最大值为
【详解】（1）的定义域为，令，即，
设，则有个零点等价于与的图象有个交点，
，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以的最大值为，
当时，；当时，，
所以，当时，与与的图象有个交点，即有个零点．
（2），定义域为，
，
①当时，，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，令，得，，
令，得或；令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
③当时，，
所以在上单调递增；
④当时，令，得，，
令，得或；令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
（3）当时，不等式恒成立，
即，
即，
设，
，
令，，
所以在上单调递增，
因为，，
所以存在唯一一点，使，即，
所以，
所以当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，即，
所以，所以整数的最大值为．

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