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湖南邵东市第一中学2025-2026学年高二下学期第一次监测数学试卷
一、单选题
1．已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线与直线平行，则（ ）
A．2 B．或2 C． D．或1
3．的展开式中的系数是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
4．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列满足，，，记，为数列的前n项和，则（ ）
A．63 B．127 C．255 D．256
6．“”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设分别是椭圆C：的左、右焦点，圆与椭圆C在第一象限内的交点为，延长与椭圆C交于点，若，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
8．已知函数，若恒成立，则ab的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．e
二、多选题
9．若复数，则下列结论正确的是（ ）
A．z的虚部为 B．z的共轭复数为
C． D．
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最小正周期为
C．是的一条对称轴
D．向右平移个单位得到的函数是奇函数
11．如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点在线段上运动，下列选项正确的是（ ）
A．，，，四点共面
B．存在点，使得
C．平面截正方体所得的截面图形是五边形
D．点到平面的距离是
三、填空题
12．现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的安排方式共有__________种．
13．已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______．
14．抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于A，B两点（其中点位于第一象限），，是线段的中点，且点纵坐标为2，则________.
四、解答题
15．已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128．
(1)求展开式中含项的系数；
(2)求展开式的第六项．
16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知、、成等差数列.
(1)若，，求的面积.
(2)求证:.
17．如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，．
(1)证明：；
(2)求二面角的大小．
(3)在线段上是否存在一点E，使得DE与平面BCD所成角的正弦值为，若存在求出该点的位置，若不存在请说明理由？
18．已知函数．
(1)证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．已知双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，点为圆上一动点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点可以作双曲线的两条切线，，且切点分别为，．
（i）设直线，的斜率分别为，，求的值；
（ii）设，分别交圆于点，，试探究是否为定值？若是，请求出这个定值．
参考答案
1．A
【详解】，，
所以阴影部分所表示的集合为
2．C
【详解】因为直线与直线平行，
根据两直线平行的充要条件可得，解得或，
当时，代入可得与，两条直线平行且不重合，符合题意；
当时，代入可得与，两条直线重合，不符合题意.
所以
3．C
【详解】展开式的通项为，
所以的展开式中的系数为.
4．C
【详解】根据题意，三人的选择组合共有种，
其中看同一部电影的情况有种，
所以三人看同一部电影的概率为．
5．A
【详解】由题意得，两边同时取对数得
，
设，且有，
，
，，则，
满足，所以是以2为公比，1为首项的等比数列，
即，.
6．A
【详解】圆，圆心为，半径，
到坐标原点的距离为2的点的轨迹是圆，圆心，半径，
圆上恰有一点到坐标原点的距离为2，则圆与圆相切，
有，或，
当时，化简得，解得或；
当时，化简得，方程无解，
则圆上恰有一点到坐标原点的距离为2，有或，
所以“”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的充分不必要条件.
7．A
【详解】如图，连接，
线段是圆O的直径，所以，
设，所以，
在直角三角形中，，整理得，
在直角三角形中，，
，得，即．
故选：A.
8．B
【详解】函数的定义域为R，求导得，
则，解得，于是，
又，则，，
不等式，
令，依题意，恒成立，
当时，，函数在R上单调递增，
而时，，不恒成立；
当时，恒成立，则，；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
因此，，令函数，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
因此的最大值是，此时，
而，故的最大值是.
9．BC
【详解】对于A，z的虚部为，故A错误；
对于B，z的共轭复数为，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
10．AB
【详解】观察图象可得函数的最小值为，最大值为，所以，故选项A正确；
观察图象可得函数的最小正周期，故选项B正确；
由，得，又，所以，
将点代入中，得，
所以，，又，所以，
故函数，
令，，可得，，
所以不是函数的一条对称轴，故选项C错误；
函数的图象向右平移个单位，
所得函数解析式为，
由函数定义域为，定义域关于原点对称，又
所以函数不是奇函数，故选项D错误.
故选：AB.
11．BC
【详解】对于选项A：因为与为异面直线，所以，，，四点不共面，故A错误；
对于选项B：建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
设，，可得，
又因为，，，，则，
可得，，
假设存在点使得，则，
整理得，解得（舍去），或，
所以存在点，使得，故B正确；
对于选项C：如图，直线与，的延长线分别交于，，
连接，分别交，于，，连接，，
则五边形即为所求的截面图形，故C正确．
对于选项D：设点到平面的距离为，
由正方体的棱长为2可得，，
且，
可得，，
由，即，可得，
所以点到平面的距离是，故错误．
12．
【详解】若甲安排在星期五，则不同的安排方法有种，
若甲不安排在星期五，则不同的安排方法有种，
故不同的安排方法有种.
13．
【详解】当时，，则函数在上的值域为．
因为函数的值域是R，故在上的值域需要包含，
所以解得．
故实数a的取值范围是．
14．
【详解】方法一：由题知，设，则，，
延长交准线于点，过作，过作，
则，，显然相似于，
所以，即，所以，所以，
所以，所以，
所以直线的斜率为，
设，，则，
得，所以，
所以，
又因为，所以.
方法二：由题知，
设直线的倾斜角为，则有，
所以直线的斜率为，由方法一，
得.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由二项式性质得二项式系数之和是，根据题目可得二项式系数之和是128，
可得，解得，则变为，
由二项式定理得的通项公式为，
令，解得，代入可得含项的系数为.
（2）令，解得，代入通项公式可得.
16．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可得，将，代入可得，
则，
因为，所以，
所以的面积为；
（2）由余弦定理及可得，
由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
则，
所以，
即，
化简可得.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，的中点
【详解】（1）直三棱柱中，侧棱面，面，.
假设，，
，，，
，故.
又，，平面，
平面，平面，.
（2）如图所示：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
各点坐标为：,
则，
设平面的一个法向量为，
则：，令，得，故.
设平面的一个法向量为，
则：，取，得，故.
所以，
由图易知二面角为锐二面角，故，
所以二面角的大小为.
（3）设在线段上，令，，得，
则.
设线面角为，由（1）知平面的法向量为.
，
所以，
解得，符合要求，
所以存在满足条件的点，为线段的中点.
18．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）函数的定义域为.
.
令，则.
令，得，所以；
令，得，所以.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得最小值，最小值为.
当时，，所以.
又，所以当时，.
当时，.
其简图如下：
所以有唯一解，即在曲线的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于，
即在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等.
（2）当时，不等式恒成立，即.
令，则
.
令，则.
因为，所以，
又，所以.
所以是增函数，所以.
因为，所以恒成立，所以是增函数，
所以，即的最小值为.
所以实数的取值范围是．
19．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）是，1
【详解】（1）双曲线的右焦点，渐近线方程为，
由题意可得，
又因为，所以，，
故双曲线的标准方程为.
（2）（i）设，由题意知切线的斜率一定存在，
设过点与双曲线相切的切线方程为，代入双曲线中消去得：
，
则由得：，
化简得：，
则，为上述方程的两个根，故，
而，所以.
（ii）为定值1.
证明：当斜率为0或者斜率不存在时，根据对称性可知，
此时，即；
当，都存在时，设，，的中点为，
由，即，
设过点的切线方程为，代入双曲线方程，
由（i）得，又，
得，解得，代回化简得过点的切线方程为，
同理，过点的切线方程为，
所以得，，
所以切点弦所在的直线方程为，所以，
因此，即，，三点共线，
又由（i）可知与均为直角三角形，故，，
则，，而，
所以，故，，
所以，即.
综上，为定值1.

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