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陕西榆林市府谷县2025- 2026学年度第二学期期中质量抽样监测 九年级数学
一、单选题
1．16的算术平方根是（ ）
A．4 B． C． D．2
2．如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．五棱柱
3．如图，已知；射线交于点，点在上，交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，是的中线，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知点和点在一次函数（k为常数，且）的图象上，若，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，四边形内接于，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数（为常数，且）的部分与的对应值如下表：
… 1 …
… 7 0 …
则下列关于二次函数的说法不正确的是（ ）
A．函数图象的开口向上 B．函数图象的对称轴为直线
C．当时，的值随值的增大而减小 D．当时，
二、填空题
9．因式分解：________．
10．将如图所示的图形绕其中心点旋转一定角度后会与原图形重合，则这个角度可以是_____．（写出一个符合题意的角度即可）
11．我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．如图，由边长分别为、的两个正方形和两个长、宽分别为、的矩形无缝隙、无重叠地拼成边长为的正方形，若，则的值为_____．
12．如图，在菱形中，连接，若，则菱形的面积为_____．
13．如图，点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，轴于点，点是的中点，点在轴上，连接，若四边形的面积为3，则的值为_____．
14．如图，在矩形中，，点是矩形内的动点，连接、、，且与始终互余，则的最小值为_____．
三、解答题
15．计算：．
16．解不等式组：
17．化简：．
18．如图，已知四边形，利用尺规作图法在边上求作一点，连接、，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
19．如图，在正方形中，对角线、交于点，点、分别在、上，连接、，且，求证：．
20．中国四大传统节日指春节、清明节、端午节、中秋节．某班举办传统节日手抄报展览，共有春节、清明节、端午节、中秋节四个主题，要求每名学生选择主题进行手抄报创作．班长将正面分别印有．春节，．清明节，．端午节，．中秋节的四张不透明卡片背面朝上放在桌子上洗匀，这四张卡片背面完全相同．
(1)该班小明同学从这四张卡片中随机抽取一张，则他抽到．春节的概率为_____；
(2)若该班班长准备制作两个主题的手抄报，他从这四张卡片中同时随机抽取两张，创作对应主题的手抄报，请用列表或画树状图的方法，求该班班长创作的手抄报主题恰好是．端午节和．中秋节的概率．
21．文元塔位于府谷香炉山森林公园内，登塔可观赏香炉山景点及府谷、保德两县景观．某数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识测量文元塔的高度，活动报告如下：
活动主题 测量文元塔的高度
测量过程及示意图 如图，在点处竖立一根高为的标杆，文元塔顶端点、标杆的顶端点与地面上的点在同一条直线上，在点处竖立一根高为的标杆，文元塔顶端点、标杆的顶端点与地面上的点在同一条直线上．
测量数据
图形说明 ，点在同一水平线上，图中所有点在同一平面内
请你根据以上活动报告，求出文元塔的高度．
22．随着环保意识的增强和科技的进步，新能源汽车逐渐成为了人们出行的新选择，为了满足新能源汽车的充电需求，某充电站计划购进甲、乙两种充电桩共50台，已知甲充电桩的价格为1500元/台，乙充电桩的价格为1000元/台．设该充电站购进甲充电桩台，购进这两种充电桩所需的总费用为元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若该充电站管理员要求购进甲充电桩的数量不少于乙充电桩数量的4倍，求购买这两种充电桩所需的最少费用．
23．每年的4月24日为“中国航天日”，近年来我国航空事业取得重大突破，大大激发了国民对航天的热情和兴趣，某学校积极开展了航空航天知识竞赛，并从参加竞赛的学生中随机抽取了40名学生的竞赛成绩（满分100分），进行统计后，绘制出如下不完整的统计表和频数分布直方图：
分组 成绩/分 频数 组内平均成绩/分
6 65
8 74
83
10 97
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上表中_____，所抽取学生竞赛成绩的中位数位于_____组，并补全频数分布直方图；
(2)求所抽取的学生竞赛成绩的平均数；
(3)若该校共有880名学生参加了此次航空航天知识竞赛，请你估计成绩高于80分的学生人数．
24．如图，在中，以的中点为圆心，为直径作，与交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
25．校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等．如图是某数学兴趣小组设计的一款抛物线形状的校门正面示意图，该校门由抛物线和左右对称的矩形门房、及中间的电动推拉门（完全拉开时，为图中阴影部分，即矩形）构成，点与点都在抛物线上，且两点关于抛物线的对称轴对称．已知，抛物线的最高点到地面的距离为．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点在轴上．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知电动推拉门的高度为（即），求点到抛物线的竖直距离．
26．【问题探究】
(1)如图1，点是四边形内一点，连接、、，，，．若，则的长为_____；
(2)如图2，在四边形中，，点是四边形内一点，连接、、、，，，，，求的长；
【问题解决】
(3)如图3，某开发商要在所建小区留出一块形如四边形的绿地，为了美观，计划沿对角线铺设一条鹅卵石小路（宽度忽略不计），已知铺设成本为150元/，现要估计铺设这条鹅卵石小路的预算，需要求出的长．已知，，，，，
求铺设这条鹅卵石小路所需的费用．
参考答案
1．A
【详解】解：16的算术平方根4．
故选：A．
2．D
【详解】解：由题意知，
上下底面是五边形，
故该几何体是五棱柱．
3．A
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
4．C
【详解】解：．
5．A
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．B
【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，且时，，即随的增大而增大，
∴，
又∵一次函数中，常数项，说明函数图象与轴交于负半轴，
∴该一次函数的图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限．
7．A
【详解】解：，
，
四边形内接于，
，
故选：A．
8．C
【详解】解：∵二次函数解析式为，将表格中和代入解析式得
，
解得，
∴二次函数解析式为，
∵，
∴ 函数图象开口向上，选项A正确；
函数图象的对称轴为直线，选项B正确；
∵函数开口向上，对称轴为直线，
∴当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，因此选项C错误；
当时，，因此选项D正确．
9．
【详解】解：．
10．（答案不唯一）
【详解】解：将如图所示的图形绕其中心点旋转一定角度后会与原图形重合，则这个角度可以是．
11．13
【详解】解：， ，
．
12．
【详解】解：连接交于点，
∵菱形中，
∴，
∴，
∴.
13．－6
【详解】解：如图：
∵点是的中点，点在轴上，
∴轴，，
又∵轴，
∴，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∵点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，
∴．
14．
【详解】解：∵与始终互余，
∴，
以中点为圆心，为半径作，连接，与交于点，则点在矩形内部的上运动，
∴，
∵在中，，又，
∴当点与点重合时最小为．
15．
【详解】解：原式，
．
16．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集为．
17．
【详解】解：原式
．
18．见解析
【详解】解：如图所示，作线段的垂直平分线交于点，连接，
点即为所求．
19．见解析
【详解】证明：四边形是正方形，
．
在和中，
，
，
．
20．(1)
(2)
【详解】（1）解：∵小明同学从这四张卡片中随机抽取一张，
∴他抽到．春节的概率为．
（2）解：画树状图如下：
由图可知共有种等可能的结果，其中该班班长创作的手抄报主题恰好是．端午节和．中秋节的结果有种，
（该班班长创作的手抄报主题恰好是．端午节和．中秋节）．
21．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
解得，
文元塔的高度为．
22．(1)
(2)70000元
【详解】（1）解：设该充电站购进甲充电桩台，购进这两种充电桩所需的总费用为元，
根据题意，得
，
与之间的函数关系式为．
（2）解：由题意可得，
解得，
在中，，
的值随值的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值为（元），
购买这两种充电桩所需的最少费用为70000元．
23．(1)16，，见解析
(2)82分
(3)572名
【详解】（1）解：，
∵随机抽取了40名学生，即中位数是成绩从小到大排序后的第20和21位的成绩的平均数，
∴中位数位于组（或）；
补全频数直方图如下：
（2）解： （分），
答：所抽取的学生竞赛成绩的平均数为82分．
（3）解：（名），
答：估计成绩高于80分的学生人数为572名．
24．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
．
是的直径，
，
，
，
，即，
是的切线．
（2）解：，
，
，即．
，
，
，则．
在中，，
的半径为．
25．(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的函数表达式为（或）．
（2）解：，
点的坐标为．
当时，，
答：点到抛物线的竖直距离为．
26．(1)3
(2)
(3)元
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
过点作交的延长线于点，如图所示：
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在左侧作，且，连接，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作交的延长线于点，则，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点作于点，则，
∵，
∴，即与重合，
∴，
∴，
∵铺设成本为150元/，
∴（元），
∴铺设这条鹅卵石小路所需的费用为元．

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