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2026年齐齐哈尔市中考数学仿真试卷（四）
考生注意：
1.考试时间120分钟
2.全卷共三道大题，总分120分
3.请将答案写在答题卡的指定位置
一、单选题（每小题3分，满分30分）
1．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．2
2．下列音符中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图①是2026年春晚的武术节目《武》中某机器人的表演瞬间，图②是其局部示意图．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．超市货架上叠放着几桶方便面，其三视图如图所示，则货架上的方便面不可能有（ ）
A．7桶 B．8桶 C．9桶 D．10桶
6．如图，三根铜线、、一同穿过纸筒，BE在纸筒右边的部分上安装着一节干电池，先从左端A，B，C三个铜线头中随机选两个进行相连，再从右端D，E，F三个铜线头中随机选两个打一个结，则电路能发生短路（把电源的两端用导线直接相连，中间没有通过任何用电器）的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
8．某假日，小磊和其他六名同学轻装徒步去郊游，途中，他用18元钱买饮料为大家解渴，每人至少要分得一瓶饮料，商店只有冰红茶和矿泉水，冰红茶3元一瓶，矿泉水2元一瓶，如果18元刚好用完，则选择购买的方案有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
9．如图，折叠矩形纸片，使点B落在边上的点处，点C落在处，在折叠的过程中，点从A开始沿移动，折痕所在直线l的位置也随之变化，当直线l经过点A时，点停止移动，连接，已知，，直线l与交于点E，与所在直线交于点F，设，，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．对称轴为直线．则下列结论：①；②；③当时，关于的方程无实根；④；⑤．其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．2026年3月，国家数据局宣布我国日均（词元）调用量超万亿．较2024年初亿两年增千倍、较2025年底万亿三个月增．是处理信息的最小单元，此数据反映全面融入千行百业、中国活跃度全球领先．万亿用科学记数法表示为______．
12．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______．
13．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，连接，若，，则的长为_____．
14．如图，过原点的直线和反比例函数相交于、，延长至，使得点是中点，过作轴于，交反比例函数第一象限图象于，连接，若的面积为，则_______．
15．在中，，，，直线经过边的中点，将沿直线翻折得到（点、、分别与点、、对应），若的重心在射线上，那么到直线的距离为__________．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线直线:，在直线上取一点B，使，以点B为对称中心，作点O的对称点，过点作，交x轴于点，作轴，交直线于点，得到四边形；再以点为对称中心，作点O的对称点，过点作，交x轴于点，作轴，交直线于点，得到四边形；…按此规律下去，则四边形的面积是_________．
三、解答题(本题共8道大题，共72分)
17．(本题共2个小题，第(1)题5分，第(2)题4分，满分9分)
（1）计算：
（2）因式分解：．
18．（本题满分4分）解不等式组： ；并把解集在数轴上表示出来．

19．（本题满分5分）解一元二次方程：．
20．（本题满分8分）为落实（“健康中国”规划纲要）要求，某校开展了青少年体育锻炼与体质健康的调查，在全校范围内随机抽样调查，了解该校学生每周体育锻炼时长情况，将调查结果（每周锻炼时长）按照锻炼时长t（单位：小时）分成A，B，C，D四个组并绘制了不完整的统计图（表）（分组标准：A：；B：；C：；D：）
【整理数据】调查结果整理如下表：
锻炼时长（小时）
人数（人） 10 14
【描述数据】根据数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
【分析数据】请根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：________，________；
(2)补全条形统计图；
(3)这组数据的中位数所在的组别为 组（填“A”或“B”或“C”或“D”）；
(4)若该校共有学生1500人，估计该校学生中一周锻炼时间不少于6小时的学生人数．
21．（本题满分10分）如图，为的直径，为上的一点，，．
(1)求证：是的切线．
(2)在上取一点，满足．若，，求的长．
22．（本题满分10分），，三地在同一条公路上，地在，两地之间，且与，两地的路程相等．甲、乙两车分别从，两地同时出发，匀速行驶．甲车到达地停留1小时后以原速度继续前往地，到达地后立即调头（调头时间忽略不计），并按原路原速返回地停止；乙车经C地到达地停止，且比甲车早1小时到达地．两车距地的路程（）与所用时间（）的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1），两地的路程为________，乙车的速度为________；
（2）求图象中线段所表示的与的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）两车出发后经过多长时间相距的路程？请直接写出答案．
23．（本题满分12分）在矩形中，是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，取的中点，连接，．
提示：按照设问条件补全图形，并解答．
(1)问题初探：如图1，当时：
①连接，求证：；
②当点在边上运动时（不与点，重合），的大小会改变吗？若会改变，请说明理由；若不改变，请直接写出的度数；
(2)深入探究：当时：
①如图2，若，当时，则 ；
②如图3，若，当时，（2）①中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请求出的值；
(3)拓展探究：如图4，在菱形中，，是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，取的中点，连接，，当时，求的值．
24．（本题满分14分）如图，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C．点P为第一象限抛物线上的点，连接．
(1)直接写出结果：________，________；
(2)如图1，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，．点E，F分别为的边上的动点，且，求的最小值．
《2026年齐齐哈尔市中考数学仿真试卷（四）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C C D C A C D C
1．C
【分析】先根据数轴得出的取值范围，结合题意得出的取值范围，从答案中筛选即可．
【解答】解：根据数轴可知，，
，
将在数轴上表示出来如下：
，
∴b在a和之间．
∴选项中只有0符合条件．
2．C
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，故C符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
3．C
【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，逐个验证选项运算是否正确即可．
【解答】选项A：与不是同类项，不能合并，∴A错误；
选项B：，∴B错误；
选项C：，∴C正确；
选项D：，∴D错误；
4．C
【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
5．D
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依此即可求解．
【解答】解：观察图形可知，最底层有4桶方便面，
由主视图和左视图可知，第二层最少2桶方便面，最多4桶方便面，第3层1桶方便面．
故货架上的方便面不可能有10桶方便面．
6．C
【分析】列表得到所有等可能的结果数，从中找出符合条件的结果，再利用概率公式求解即可．
【解答】根据题意，列表如下：
√ × ×
× × ×
× × √
由上表可知，所有等可能的情况有9种，其中电路能发生短路的情况有2种，
∴P（电路能发生短路）．
7．A
【分析】本题考查了分式方程的无解问题，注意方程无解的情况有两种：一是化简后得到矛盾等式；二是解出的根为增根（使分母为零）．将分式方程先化简，得到，分和 两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：移项得：，即，
情况一：当 时，方程变为 ，
分子为，分母不为零时值不可能为零，
方程无解；
情况二：当 时，
方程两边同乘以 得，，
整理得，
，
若此解为增根，则增根为，
令，即，解得；
综上，方程无解时 或 ．
8．C
【分析】本题的等量关系为：冰红茶总价钱+矿泉水总价钱=18，冰红茶瓶数+矿泉水瓶数≥7，然后整理求非负整数解即可.
【解答】解：设买冰红茶x瓶、矿泉水y瓶，
根据题意得 ，（且x、y均为非负整数）
则，
所以有3种购买方式，故选C.
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系，讨论出符合条件的整数解.
9．D
【分析】如图，连接，表示,，可得，整理得：，此时，当时，如图，连接，同理可得解析式，再进一步判断即可.
【解答】解：如图，连接，
∵矩形，，，
∴，，，
∵，，
∴,，
∴，
整理得：，
当重合时，，此时，
∴，
当直线过时，，
当时，如图，连接，
同理可得：，
整理得：，
∴y关于x的函数图象为两段抛物线，第一段开口向上，第二段开口向下，符合题意的图象是D.
10．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、韦达定理等知识点，熟练掌握二次函数的系数与图象的关系、韦达定理的应用是解题的关键．
判断①：根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置，判断、、的符号，进而判断的符号．
判断②：利用对称轴得到，再结合得到点，将其代入抛物线方程化简．
判断③当时，方程无实根：先求出抛物线顶点纵坐标，判断与顶点纵坐标的关系，进而判断即可．
判断④：将和点代入抛物线方程化简．
判断⑤：利用韦达定理，，再结合韦达定理进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴；
∵对称轴，
∴；
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴；
∴，故①正确．
∵，，
∴；
∵在抛物线上，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴；
∴，故②错误．
∵顶点纵坐标为，，
∴；
∵，
∴；
当时，可能小于顶点的纵坐标，此时关于的方程有实根，故③错误．
∵，，
∴，故④正确．
∵，，
∴；
∵，
∴，故⑤正确．
综上，①④⑤正确，共3个．
故选：C．
11．
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，形式为，其中，为原数的位数减一．先将万亿还原，再使用科学记数法表示即可．
【解答】解：．
12．24
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．根据弧长公式列方程求解即可．
【解答】解：∵圆锥的底面圆的周长为，
∴它的侧面展开图的弧长为，
设母线的长为，
解得，
∴母线长是．
故答案为：24．
13．
【分析】过作于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，设，则，由勾股定理得，从而列出方程，求出x的值，再代入，即可求解．
【解答】解：如图，过作于，
由作法得：平分，垂直平分，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
∵，
，
解得：．
14．
【分析】过点作于点，过点作于点，设点的坐标为，则点的坐标为，根据平面直角坐标系中两点中点公式可得点的坐标为，根据轴，可知点的横坐标为，可以求出点的纵坐标为，从而可得，，根据的面积为，可得，解方程即可求出的值．
【解答】解：如下图所示，过点作于点，过点作于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
点是中点，设点的坐标为，
可得：，
解得：，
点的坐标为，
点的横坐标为，
，
，，
，
的面积为，
，
解得：．
15．或
【分析】本题考查翻折和三角形重心性质，三角形高的计算；要分类讨论，在线段上或在延长线上，且由对称性知到直线的距离就是到直线的距离，已知重心在上，且的重心在射线上，故第一种可能的情况就是与射线重合，此时在线段上，通过勾股定理和三角形面积求出到直线的距离；第二种可能的情况是与射线垂直，此时在，在延长线上，再次通过勾股定理求解即可．
【解答】解：有两种情况：
①：与射线重合，如图所示：
此时和重合，两三角形重心也重合且在线段上，过作于，
由对称性知到直线的距离就是到直线的距离，
由勾股定理知，
是的中点，
，
，
，即到直线的距离为；
②与射线垂直，如图所示，过作于，
此时的重心在射线延长线上，
易证得四边形为矩形，
，
中，由勾股定理得，
由对称性知到直线的距离就是到直线的距离，
综上所述，到直线的距离为或．
16．
【分析】根据直线的解析式求得直线和轴的夹角的大小，再根据题意求得的长，然后依据直角三角形三角函数的求法求得的长，进而求得的长，然后根据等边三角形的性质，求得，最后根据菱形的面积等于对角线积的一半即可求得．
【解答】解：过点作轴于点E，如图所示：
设点，则有，
∴，
∴，
同理可得：，
∵点为上一点，且，
∴根据题意可知：，，，，……；，
∵，轴，
∴四边形是平行四边形，
由中心对称的性质可知：，
∴四边形是菱形，
同理可得四边形、四边形，…..，四边形都是菱形，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
，
同理可得：，
，
…..；
，
∴四边形的面积，
∴四边形的面积是；
故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数的综合运用、三角函数、中心对称图形的性质及菱形的性质与判定．关键是利用中心对称的性质，以及等边三角形的性质求得线段的长，得出一般规律．
17．（1）；（2）
【分析】 （1）根据算术平方根的定义、负整数指数幂的定义、特殊角的三角函数值把算式中各部分计算出来，再根据运算法则进行计算．
（2）先将原式整理为平方差的形式，再利用平方差公式因式分解，最后提取公因式得到结果．
【解答】（1）解：
．
（2）解：
．
18．
【解答】
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴解集为：，
数轴上表示如下：

19．，
【分析】利用因式分解法求解．
【解答】解：，
，
，
，
则或，
解得，．
20．(1)10，16
(2)补全条形统计图见解析
(3)C
(4)估计该校学生中一周锻炼时间不少于6小时的学生人数为900人
【分析】（1）由统计图中的数据信息求解即可；
（2）由（1）中即可补全条形统计图；
（3）由中位数的求法确定即可；
（4）由样本估计总体即可求解．
【解答】（1）解：由统计图中的数据信息可得总人数为（人），
∴C组人数（人），
∴B组人数（人）；
（2）解：由（1）知，则补全条形统计图如图所示：
；
（3）解：由（1）可知，总共有50个数据，中位数是第25、26个数据的平均数，
∵A组10人，B组10人，C组16人，
∴第25、26个数据都在C组，即中位数所在的组别是C组；
（4）解：由题意知，50名学生中锻炼时间不少于6小时的人数为（人），
∴（人），
答：估计该校学生中一周锻炼时间不少于6小时的学生人数为900人．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理和互余关系以及等量代换，推出，即可得证；
（2）设，则，进而求出，，得到，求出，根据，求出的值，作于点，分别解和即可得出结果.
【解答】（1）证明：∵为的直径，为上的一点，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴设，则，
∴，，
∴，
∴，
由（1）可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于点，则，
∴，，
∴．
22．（1）360，60；（2）；（3）或或
【分析】（1）由图中E纵坐标可知AC，从而可知AB，由P横坐标可得乙速度；
（2）先求出H、G坐标，再求GH解析式；
（3）分三个情况讨论：①刚出发两车相距120km；②甲车停1小时再出发又与乙距120km时；③甲到B地后返回与乙相距120km时．
【解答】解：（1）∵C地在A，B两地之间，且与A，B两地的路程相等，且E、F纵坐标为180，
∴A、B两地距离为180×2＝360（km），
又P横坐标为6，
∴乙车速度为360÷6＝60（km/h），
故答案为：360，60；
（2）∵乙车经地到达地停止，且比甲车早1小时到达地，
∴，
∵甲车到达地停留1小时后以原速度继续前往地，
∴甲车行驶的时间一共为，易得甲车行驶需要，
∴甲车的速度为（），
∴点坐标为，
设线段的函数解析式为，将，代入得，
解得
∴线段的函数解析式为；
（3）有三个时刻两车距120km，分别如下：
①刚出发t小时两车距120km，
则360-（120t＋60t）＝120，
解得：t=（h），
②甲车停1小时后重新出发，
设经过的时间是x小时两车相距120km，
则120（x-1）＋60x-120＝360
解得：x＝（h）；
③甲4小时达到B地，此时乙所行路程为4×60＝240（千米），即两车此时距240千米，设再过y小时二车相距120千米，则
120y-60y＝240-120，解得y＝2，
∴两车第三次相距120千米，经过的时间是4＋y＝6（h），
综上所述，两车出发后相距120km的路程，时间分别是或或．
23．(1)①见解析；②不改变，的度数恒为
(2)①；②不成立，
(3)
【分析】（1）①先证明矩形为正方形，再证明，即可证明结论；②由已知易得，，根据，证明 ，得到，，，四点共圆，即可解答；
（2）①依题意作图，当时，此时点落在上，设，，同理（1）②得，，证明，得到 ，，求出，，即可求解；②依题意作图，当时，此时点落在的延长线上，设，，同理（2）①得，， ，证明，求出 ，，即可解答；
（3）依题意作图，如图，延长交于点，过点作交的延长线于点，证明四边形为矩形，求出，证明 ，设，则，求出 ，，进而求出，即可求解．
【解答】（1）①证明：在矩形中，，
矩形为正方形，
，，
，
由旋转可知，，
，
，
，
；
②解：不改变，的度数恒为；
，，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
．
（2）解：①依题意作图如下，
当时，此时点落在上，
，
设，，
同理（1）②得，，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
．
②不成立，
依题意作图，如图，
当时，此时点落在的延长线上，
，
设，，
，
，
，
同理（2）①得，，
，
，
，，
，
，
∴；
（3）解：依题意作图，如图，延长交于点，
过点作交的延长线于点，
则，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
由旋转可知，，，为中点，
，，
，则，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
24．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，再求出点坐标，根据正切定义可求出；
（2）过点C作轴，交于点D，过点 P作轴，交y轴于点E，导角证明，再设点P坐标为，根据相似三角形的性质求解即可；
（3）作，且使，连接，证明得到，Q，F，H共线时，的值最小，作于点G，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）解：∵抛物线经过点，
∴
解得
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
∴，，
在中，；
（2）解：如图1，过点C作轴，交于点D，过点 P作轴，交y轴于点E，
∵轴，轴，
∴，
∵，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点P坐标为，则 ，
∴，
解得（舍去）或，
∴点P坐标为；
（3）解：如图2，作，且使，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F，H共线时，的值最小，即为
作于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴．
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