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2025-2026学年宁夏吴忠市利通区秦宁中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共9小题，共46分。
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3=10，S5=30，则数列{an}的公差为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.已知，则P（AB）=（　　）
A. B. C. D.
3.已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+1，则a4=（　　）
A. 11 B. 23 C. 35 D. 47
4.函数y=f（x）在点（x0，y0）处的切线方程y=2x+1，则等于（　　）
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
5.某班开展“学党史，感党恩”演讲活动，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲，则A组不第一个演讲的方法数为（　　）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 18
6.已知函数f（x）=xcosx-sinx，则的值为（　　）
A. B. - C. -1 D. -π
7.函数y=x3-2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是（　　）
A. （0，3） B. （0，） C. （0，+∞） D. （-∞，3）
8.我国南宋数学家杨辉1261年所的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，已知第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前56项和为（　　）
A. 2060 B. 2038 C. 4084 D. 4108
9.在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1 a4=32，a2+a3=12，则下列说法错误的是（　　）
A. q=2 B. 数列{Sn+2}是等比数列
C. S8=510 D. 数列{lgan}是公差为2的等差数列
二、多项选择题：本大题共2小题，共12分。
10.下列说法正确的是（　　）
A. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有24种报名方法
B. 4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，则这三个项目的冠军共有64种不同结果
C. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，共有24种报名方法
D. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，共有24种报名方法
11.关于的二项展开式，下列说法正确的有（　　）
A. 展开式各项系数的和为256 B. 展开式中奇数项的二项式系数和为8
C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含x2项的系数为54
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f（x）=3x+lnx在点P（x0，y0）处的切线斜率为4，则x0= .
13.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1=1，且an=，则解下5个环所需的最少移动次数为______．
14.已知函数f（x）=lnx-ax+1，若a=1，则f（x）的零点个数为 ；若f（x）有两个不同的零点，则a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的面积的最大值．
16.(本小题15分)
两个数列{an}，{bn}，a1=b1=1，已知数列{an}为等比数列且a4=8，数列{bn}的前n项和为Sn，又满足_____在①（n≥2）；②b3=5：③bn-bn-1=2（n≥2）这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列{bn}唯一确定，并解答下列问题.
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）记cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
注：请考生从给出的条件①、②、③中任选一个作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选条件对应的题号涂黑，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17.(本小题15分)
已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），离心率e=，直线l交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点.

（1）求椭圆C的方程；
（2）若l不过O点且不平行于坐标轴，记线段AB的中点为M，求证：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（3）若OA⊥OB，求△AOB面积的取值范围.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=2lnx-ax.
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若a＞0，f（x）≤eax-x2恒成立，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=AD=2，∠A=60°，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使得平面A1BE⊥平面BCDE（如图2）．
（Ⅰ）求证：A1O⊥CE；
（Ⅱ）求直线A1B与平面A1CE所成角的正弦值；
（Ⅲ）侧棱A1C上是否存在点P，使得BP∥平面A1OF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】BD
11.【答案】ABD
12.【答案】1
13.【答案】16
14.【答案】1
0＜a＜1

15.【答案】解：（1）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．
整理得：（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
利用正弦定理得：a2-b2=c2-bc，
即：，
由于：0＜A＜π，
解得：A=．
（2）由于，
所以：a2=b2+c2-2bccosA，
整理得：12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，
所以：=3．
16.【答案】选①或③，，bn=2n-1

17.【答案】解：（1）因为椭圆C的左右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），
所以c=1，又，所以a2=2，b2=c2=1，
所以椭圆C的方程为．
（2）证明：设直线l：y=kx+m,（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
所以Δ=
=＞0，可得1+2k2＞m2，
由韦达定理得，
所以，
所以线段AB的中点M的坐标为，即，
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为，
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
（3）由（2）可知，（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
其中，
又直线l：y=kx+m,（k≠0）上有点A（x1，y1），B（x2，y2），
所以
=，
若OA⊥OB，则，即，
所以，此时，
则原点O到AB的距离为，
又
=，
所以
=
=，
不妨设，
因为k2＞0，所以，
所以，
由对勾函数单调性以及复合函数单调性可知，f（t）在上单调递增，在上单调递减，
又,
所以△AOB面积的取值范围．
18.【答案】（1）x-y-2=0 （2）当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减 （3）
19.【答案】解：（Ⅰ）如图1，在等腰梯形ABCD中，
∵BC∥AD，，∠A=60°，E为AD中点，
∴△ABE为等边三角形．
如图2，∵O为BE的中点，
∴A1O⊥BE．
又∵平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE=BE，
所以A1O⊥平面BCDE，所以A1O⊥CE；
（Ⅱ）如图2，连结OC，由已知得CB=CE，又O为BE的中点，
∴OC⊥BE．
由（Ⅰ）知A1O⊥平面BCDE，
∴A1O⊥BE，A1O⊥OC，
∴OA1，OB，OC两两垂直．
以O为原点，OB，OC，OA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图2）．
∵BC=2，易知．
∴，
∴．
设平面A1CE的一个法向量为n=（x，y，z），
由得即
取z=1，得．
设直线A1B与平面A1CE所成角为θ，
则．
所以直线A1B与平面A1CE所成角的正弦值为．
（Ⅲ）如图3，假设在侧棱A1C上存在点P，使得BP∥平面A1OF．
设，λ∈[0，1]．
∵，
∴．
易证四边形BCDE为菱形，且CE⊥BD，
又由（Ⅰ）可知，A1O⊥CE，所以CE⊥平面A1OF．
所以为平面A1OF的一个法向量．
由，得．
所以侧棱A1C上存在点P，使得BP∥平面A1OF，且．
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