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2025-2026学年甘肃省定西市岷县第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知向量，，且，则=（　　）
A. B. C. D.
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（　　）
A. 矩形的直观图是矩形 B. 三角形的直观图是三角形
C. 相等的角在直观图中仍然相等 D. 长度相等的线段在直观图中仍然相等
3.在平行四边形ABCD中，点E为AB的中点，DE与AC的交点为F.设，，则向量等于（　　）
A. B. C. D.
4.设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1=1-2i,则的虚部为（　　）
A. B. C. D.
5.已知集合，B={x|0≤x≤π}，则A∩B=（　　）
A. B. C. D.
6.已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，若不等式≥m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A. -8≤m≤1 B. m≤-8或m≥1 C. -1≤m≤8 D. m≤-1或m≥8
7.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）相邻两个零点之间的距离为，将y=f（x）的图象向右平移个单位长度，所得的函数图象关于y轴对称，则φ的一个值可能是（　　）
A. π B. C. D. -
8.“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案：
方案甲：第一次提价m%，第二次提价n%；方案乙：第一次提价n%，第二次提价m%；
方案丙：第一次和第二次均提价；
方案丁：第一次提价（2m+2n）%，第二次降价（m+n）%；
其中0＜n＜m＜50，则四个方案中提价最多的方案为（　　）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题中正确的是（　　）
A. 棱柱的侧面一定是平行四边形
B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C. 棱锥的各侧面一定有一个公共点
D. 棱台各侧棱的延长线交于一点
10.下列结论正确的是（　　）
A. 是第三象限角
B. 若tanα=2，则
C. 若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为
D. 终边经过点（m,m）（m＞0）的角的集合是
11.若复数，则（　　）
A.
B.
C. z在复平面内对应的点位于第一象限
D. 复数ω满足|ω|=1，则|ω-z|的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.cos21°+cos22°+cos23°+…+cos290°= .
13.函数的图象为C，如下结论中正确的是 .（写出所有正确结论的编号）
①图象C关于直线对称；
②图象C关于点对称；
③函数f（x）在区间内是增函数；
④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C；
⑤函数|f（x）+1|的最小正周期为.
14.用[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]=1，[-2.9]=-3.则[sin10°]+[sin20°]+[sin30°]+…+[sin2030°]的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数，x∈R.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；
（3）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，求函数在[0，2π]上所有零点之和.
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=60°，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P.
（1）求中线BN的长；
（2）求∠MPN的余弦值.
17.(本小题15分)
随着机动车数量的增加，对停车场所的需求越来越大.如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一座半径为60米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建一个边落在BC和CD上的长方形停车场PQCR.
（1）设∠PAB=θ，试写出停车场PQCR的面积S与θ的函数关系式；
（2）求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值（数据精确到个位）.
（注：
18.(本小题17分)
已知正三角形ABC，边长为3，点D、E在边AB上（如图），AD=1，∠ACD=∠DCE=θ.
（Ⅰ）求CD的长，sinθ的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求DE的长.
19.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,面积为S，已知b2=2S+abcosC.
（1）求A；
（2）若BC边上的高为1且3bcosC=ccosB，求△ABC的面积S.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】．
13.【答案】①②③．
14.【答案】-84．
15.【答案】 最大值为，最小值为
16.【答案】
17.【答案】 长方形停车场PQCR面积的最大值为4000、最小值为3315
18.【答案】，
19.【答案】解：（1）因为b2=2S+abcosC且
所以b2=ab（sinC+cosC），即b=a（sinC+cosC），
由正弦定理得sinB=sinA（sinC+cosC），
所以sin（A+C）=sinA（sinC+cosC），
sinAcosC+cosAsinC=sinAsinC+sinAcosC，
所以cosAsinC=sinAsinC，
因为在△ABC中，C∈（0，π），A∈（0，π），所以sinC＞0，sinA＞0，
所以sinA=cosA，即tanA=1，因为A∈（0，π），所以．
（2）3bcosC=ccosB，由正弦定理得3sinBcosC=sinCcosB，3tanB=tanC，
在△ABC中，作AH⊥BC于点H，AH为BC边上的高，即AH=1，
设CH=x,BH=a-x,因为3tanB=tanC，所以，所以4x=a,
所以H为BC上的四等分点，所以，
因为Rt△ABH中，，
Rt△ACH中，，
且
=，所以，
所以，
因为a＞0，所以，
所以．
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