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2025-2026学年湖南省株洲市第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设集合M={x|x＞-1}，集合N={x|-2＜x＜1}，则M∩N=（　　）
A. （-2，-1） B. （-1，1） C. （-1，+∞） D. （-2，+∞）
2.已知复数z满足（z+1）i=1+i,则z=（　　）
A. i B. -i C. 1+i D. 2-i
3.已知向量，，且，则m=（　　）
A. 1 B. -1 C. D.
4.若，则sin2α=（　　）
A. B. - C. D. -
5.已知表面积为14π的圆锥，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥的高为（　　）
A. B. C. D.
6.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x+x-1，则不等式f（x-1）＜2的解集为（　　）
A. （0，2） B. （-∞，2）
C. （2，+∞） D. （-∞，0）∪（2，+∞）
7.函数y=1+2sinx，的值域是（　　）
A. [-1，1] B. [0，1] C. D. [0，2]
8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+c2=b2+2accosC且a=2bsinA，则A=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列结论正确的是（　　）
A. 若随机变量Y的方差D（Y）=2，则D（3Y+2）=8
B. 若随机变量η服从正态分布N（5，σ2），且P（η＜2）=0.1，则P（2＜η＜8）=0.8
C. 从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为X，则
D. 若变量X服从二项分布，则X的分布列可表示为，k=0，1，2，3，4
10.若存在直线y=kx+b,使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足F（x）≥kx+b≥G（x），则称此直线y=kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”，已知函数f（x）=x2（x∈R），g（x）=（x＜0），h（x）=2elnx,下列命题为真命题的是（　　）
A. F（x）=f（x）-g（x）在（-，0）内单调递增
B. f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为-5
C. f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是[-4，0]
D. f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y=2-e
11.1694年瑞士数学家雅各布 伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（-a,0），F2（a,0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线，已知点P（x0，y0）是a=1时的双纽线C上一点，下列说法正确的是（　　）
A. 双纽线C的方程为（x2+y2）2=2（x2-y2）
B.
C. 双纽线C上满足|PF1|=|PF2|的点有2个
D. |PO|的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，抛物线的准线与双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于A、B两点.若△AFB为直角三角形，则双曲线的离心率为______．
13.已知f（x）=lnx，g（x）=x2+mx+（m＜0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点为（1，f（1）），则m的值为______．
14.2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕，参赛选手甲、乙进入了半决赛，半决赛采用五局三胜制，当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为p（0≤p≤1），比剉局数的期望值记为f（p），则f（p）的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，AC=5，cosC=，B=．
（1）求AB的长；
（2）求△ABC的面积S△ABC．
16.(本小题15分)
已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的上顶点为B（0，1），离心率为，左焦点为F1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且△PF1Q的面积为，求直线l的方程.
17.(本小题15分)
如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=，F为PA的中点，PD=，AB=AD=CD=1，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N.
（1）求证：AC∥平面DEF；
（2）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由.
18.(本小题17分)
我们知道，函数y=f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x）为奇函数，有同学发现了更一般结论：函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x+a）-b为奇函数．试根据此结论解答下列问题：
（1）若函数y=g（x）满足对任意的实数m，n，恒有g（m+n）=g（m）+g（n）-1，求g（0）的值，并判断此函数图象是否中心对称图形？若是，请求出对称中心坐标；
（2）若（1）中的函数还满足m＞0时，g（m）＞1，求不等式g（3x2-2x-1）＞1的解集；
（3）在（1）的条件下，若函数，h（x）与g（x）的图象有3个不同的交点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）其中x1＜x2＜x3，且，求g（1）值．
19.(本小题17分)
若数列An：a1，a2，…，an（n∈N*，n≥2）满足a1=0，|ak+1-ak|=1（k=1，2，…，n-1），则称An为L数列.记S（An）=a1+a2+…+an.
（1）若A5为L数列，且a5=0，试写出S（A5）的所有可能值；
（2）若An为L数列，且an=0，求S（An）的最大值；
（3）对任意给定的正整数n（n≥2），是否存在L数列An，使得S（An）=0？若存在，写出满足条件的一个L数列An；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】-2
14.【答案】
15.【答案】解：（1）在△ABC中，∵cosC=，∴sinC=．
由正弦定理可得，∴AB=．
（2）在△ABC中，A=π-（B+C）．
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=．
△ABC的面积S△ABC==28．
16.【答案】解：（1）由题意可知，解得．
所以椭圆C的方程为．
（2）设直线l的方程为x=my+1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由，得（m2+5）y2+2my-4=0，
Δ=4m2+16（m2+5）＞0恒成立，，y1y2=，
所以|，
因为，
所以，所以，
整理得5m4+14m2-19=0，解得m2=1或（舍去），
所以m=±1，
所以直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．

17.【答案】证明见解答 存在点Q，
18.【答案】解：（1）取m=n=0，得g（0）=g（0）+g（0）-1，所以g（0）=1，取m=x，n=-x，得g（0）=g（x）+g（-x）-1，于是g（-x）-1=-（g（x）-1），
即y=g（x）-1是奇函数，
所以g（x）是中心对称图形，其对称中心为（0，1）；
（2）若m＞0时，g（m）＞1，则g（n+m）=g（n）+g（m）-1＞g（n），
所以g（x）是R上的单调递增函数，
由g（3x2-2x-1）＞1=g（0）得3x2-2x-1＞0，解得x＞1或x＜-，
所以不等式的解集为（-）∪（1，+∞）；
（3）因为h（x）+h（-x）=+=2，于是h（-x）-1=-（h（x）-1），
所以h（x）的图象也是以（0，1）为中心的对称图形，
又g（x）的图象也是以（0，1）为中心的对称图形，
因此B（0，1），x1+x3=0，y1+y3=2y2=2，
|AC|=2|BC|=2=2，
解得x3=2，
∴g（x3）=h（x3）=，即g（2）=，
又g（2）=2g（1）-1，
∴g（1）=．
19.【答案】（1）满足条件的L数列A5，及对应的S（A5）分别为：
（i） 0，1，2，1，0．S（A5）=4；（ii） 0，1，0，1，0．S（A5）=2；
（iii） 0，1，0，-1，0．S（A5）=0；（iv） 0，-1，-2，-1，0．S（A5）=-4；
（v） 0，-1，0，-1，0．S（A5）=-2；（ vi） 0，-1，0，1，0．S（A5）=0．
因此，S（A5）的所有可能值为：-4，-2，0，2，4．…（5分）
（2）由于An为L数列，且a1=an=0，|ak+1-ak|=1（k=1，2，…，n-1），
故n必须是不小于3的奇数．…（7分）
于是使S（An）最大的An为：0，1，2，3，…，k-2，k-1，k,k-1，k-2，…，3，2，1，0．…（9分）
这里n=2k+1≥3（k、n∈N*），并且S（An）=2[1+2+3+…+（k-1）]+k=k2，
∴k=．
因此，S（An）max=（）2，（n为不小于3的奇数）．…（11分）
（3）令ck=ak+1-ak（k=1，2，…，n-1），则ck=±1，于是由a1=0，
得a2=c1，
a3=a2+c2=c1+c2，
a4=a3+c3=c1+c2+c3，
…
an=an-1+cn-1=c1+c2+…+cn-1，
故S（An）=a1+a2+a3+…+an，
=（n-1）c1+（n-2）c2+（n-3）c3+…+2cn-2+cn-1，
=[（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+2+1]+（n-1）（c1-1）+（n-2）（c2-1）+（n-3）（c3-1）+…+2（cn-1-1）+（cn-1-1），
=-[（n-1）（1-c1）+（n-2）（1-c2）+（n-3）（1-c3）+…+2（1-cn-2）+（1-cn-1]．，
因ck=±1，故1-ck（k=1，2，…，n-1）为偶数，
所以（n-1）（1-c1）+（n-2）（1-c2）+（n-3）（1-c3）+…+2（1-cn-2）+（1-cn-1）为偶数．
于是要使S（An）=0，必须为偶数，
即n（n-1）为4的倍数，亦即n=4m,或n=4m+1（m∈N*）．…（14分）
（i）当n=4m（m∈N*）时，L数列An的项在满足：a4k-1=a4k-3=0，a4k-2=1，a4k=-1（k=1，2，…，m）时，S（An）=0．…（16分）
（ii）当n=4m+1（m∈N*）时，L数列An的项在满足：a4k-1=a4k-3=0，a4k-2=1，a4k=-1（k=1，2，…，m），a4m+1=0时S（An）=0．…（18分）
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