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2025-2026学年天津市咸水沽二中、双港中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共9小题，共45分。
1.已知函数f（x）=cos2x，那么的值为（　　）
A. - B. C. D. -
2.已知（1+x）n的展开式中只有第6项的二项系数最大，则展开式奇数项的二项系数和为（　　）
A. 212 B. 211 C. 210 D. 29
3.从5名志愿者中选出3人分别从事翻译、导游、导购三项不同工作,则选派方案共有( )
A. 10种 B. 20种 C. 60种 D. 120种
4.若函数f（x）=lnx-在[1，3]上为增函数，则m的取值范围为（　　）
A. （-∞，-1] B. [-3，+∞） C. [-1，+∞） D. （-∞，-3]
5.某中学有甲、乙、丙、丁、戊5名学生打算前往观看篮球，足球，乒乓球三场比赛，每人看一场比赛，每场比赛都有学生前往观看，则观赛方案种数有（　　）
A. 100 B. 150 C. 180 D. 540
6.随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温、某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如表所示：
时间x 1 2 3 4 5
交易量y（万套） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为=0.24x+，则下列说法错误的是（　　）
A. 根据表中数据可知，变量y与x正相关
B. 经验回归方程=0.24x+中=0.28
C. 可以预测x=6时房屋交易量约为1.72（万套）
D. x=5时，残差为-0.02
7.为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中．由列联表中的数据计算得≈10.921．参照附表，下列结论正确的是（　　）
P（x2≥x0） 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 5.024 6.635 7.879 10.828
A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”
B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效”
C. 有99.99%以上的把握认为“药物有效”
D. 有99.99%以上的把握认为“药物无效”
8.下列说法中正确的是（　　）
①设随机变量X服从二项分布，则
②已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）且P（X＜4）=0.9，则P（0＜X＜2）=0.4
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则；
④E（2X+3）=2E（X）+3，D（2X+3）=4D（X）.
A. ②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②
9.若函数f（x）=x2-2x+alnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A. a＞1 B. -1＜a＜0 C. a＜1 D. 0＜a＜1
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.的二项展开式中的常数项为 .
11.由0，1，2三个数字组成的三位数（允许数字重复）的个数为______．
12.已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的取值范围是______．
13.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为90%，乙厂产品的合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为 ；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为 .
14.某高校进行强基招生面试，评分规则是：共设3道题，每道题答对给20分、答错倒扣10分（每道题都必须回答，但相互不影响）.设某学生每道题答对的概率都为，则该学生在面试时恰好答对2道题的概率是 ，该学生在面试时得分的期望值为 分.
15.甲袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有3个红球，1个白球和1个黑球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）.先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球.分别以A1，A2，A3表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则P（B|A1）= ，P（B）= .
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
现有4名男生、3名女生站成一排照相.
（1）两端要站女生，有多少种不同的站法？
（2）若女生甲乙相邻且都不与女生丙相邻，有多少种不同的站法？
（3）女生甲要在女生乙的右方（可以不相邻），有多少种不同的站法？
（4）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？
17.(本小题15分)
端午节赛龙舟是我国的传统习俗，一共有8支龙舟队伍，其中专业组2支，业余组6支，从中随机取出3支队伍.
（1）求既有专业组又有业余组的概率；
（2）设X表示取到业余组的个数，求随机变量X的分布列与数学期望.
18.(本小题15分)
在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，且n≠3）个，其余的球为红球.
（Ⅰ）若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；
（Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球.若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分.用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ.
19.(本小题15分)
设函数f（x）=ax-2-lnx（a∈R）
（1）若f（x）在点（e,f（e））处的切线斜率为，求a的值；
（2）当a＞0时，求f（x）的单调区间；
（3）若g（x）=ax-ex，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）.
20.(本小题15分)
已知函数.
（1）a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对任意的a∈[-2，-1），当x1，x2∈[1，e]时恒有成立，求实数m的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】60
11.【答案】18
12.【答案】（-∞，-2）∪（0，2）
13.【答案】0.18
0.86

14.【答案】
30

15.【答案】

16.【答案】720 960 2520 3720
17.【答案】解：（1）依题意，既有专业组又有业余组的概率为．
（2）X的可能取值为1，2，3，
则P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，
所以X的分布列如下：
X 1 2 3
P
E（X）=1×=．
18.【答案】解：（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件A，则．
所以，．
答：三次取球中恰有2个红球的概率为． …（4分）
（Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则，
整理得n2-7n+12=0，解得n=3（舍）或n=4．
所以红球的个数为10-3-n=3个． …（8分）
（Ⅲ）ξ的取值为2，3，4，5，6，且，，，，．
所以ξ的分布列为
ξ 2 3 4 5 6
P
所以，．…（13分）
19.【答案】解：（1）函数f（x）=ax-2-lnx的导数为f′（x）=a-，
若f（x）在点（e,f（e））处的切线斜率为，
，
得．
（2）由，
当a＞0时，令f'（x）=0解得：，
当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0．
则f（x）在上是单调减函数，在上是单调增函数，
所以，当a＞0时，f（x）的单调减区间为，单调增区间为；
（3）证明：当x＞0时，要证f（x）-ax+ex＞0，即证ex-lnx-2＞0，
令h（x）=ex-lnx-2（x＞0），只需证h（x）＞0
∵，
由指数函数及幕函数的性质知：在（0，+∞）上是增函数，
又，
∴，
h'（x）在内存在唯一的零点，也即h'（x）在（0，+∞）上有唯一零点．
设h'（x）的零点为t,则，即，
由h'（x）的单调性知：
当x∈（0，t）时，h'（x）＜h'（t）=0，h（x）为减函数，
当x∈（t,+∞）时，h'（x）＞h'（t）=0，h（x）为增函数，
所以当x＞0时，h（x）≥h（t）=et-lnt-2=-ln-2=+t-2≥2-2=0，
又，等号不成立，
∴h（x）＞0．
20.【答案】当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；当时，f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当时，f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减 （-∞，5]
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