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2025-2026学年甘肃省兰州市安宁区西北师范大学附属中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数为虚数单位）的虚部是（　　）
A. B. C. D.
2.在△ABC中，点D为AB的中点，点O为△ABC的重心，则=（　　）
A. B. C. D.
3.已知tanθ=-2，则cos2θ=（　　）
A. B. C. D.
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知，，c=1，则C=（　　）
A. B. C. D. 或
5.已知α∈（0，π），且3cos2α-8cosα=5，则sinα=（　　）
A. B. C. D.
6.已知在△ABC中，2B=A+C，b2=ac，则△ABC的形状是（　　）
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
7.已知，则=（　　）
A. B. C. D.
8.在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则 的取值范围是（　　）
A. [-5，3] B. [-3，5] C. [-6，4] D. [-4，6]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，，，则下列说法正确的是（　　）
A. 若∥，则λ=-2 B. 向量与的夹角为
C. 若，则 D.
10.已知α∈（，π），且cos2α-cos2α=，则（　　）
A. tanα=- B. sin2α= C. cos2α= D. tan2α=-
11.如图，点P是△ABC所在平面内的一点，AB=2，AC=4，∠CAB=120°，D、E分别为边AC、BC的中点，AE与BD交于点M，则（　　）
A. BC=28 B. 在上的投影向量等于
C. ∠AMB=60° D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设O是原点，向量、对应的复数分别为2-3i，-3+2i，那么，向量对应的复数是 ．
13.已知 ，且 与 夹角为钝角，则x 的取值范围是 ．
14.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且a2+bc=b2+c2，若D是∠BAC的角平分线与BC的交点，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量=（，-1），||=4，＜，＞=.
（1）求 和|+|的值；
（2）求+与的夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
已知tanα=，cosβ=且0＜α＜，＜β＜2π.
（1）求tan2α的值；
（2）求α+β的值.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x-1（x∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知a=2，b2+c2-a2=bc,O为△ABC的外心.
（1）求A；
（2）求△BOC的面积；
（3）求△ABC周长的取值范围.
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,向量，且，点D为边AB上一点.
（1）求角C的大小；
（2）若CD是C的角平分线，c=9，△ABC的周长为19，求CD的长度；
（3）若D是边AB上靠近点A的一个三等分点，CD=tAD，求实数t的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】AC
11.【答案】BCD
12.【答案】5-5i
13.【答案】 且
14.【答案】
15.【答案】；；
．
16.【答案】解：（1）∵tanα=，
∴．
（2）∵cosβ=，＜β＜2π，
∴=，
∴，
∴=，
∵0＜α＜，＜β＜2π，
∴，
∴．
17.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=2sinxcosx+2cos2x-1，得
f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x-1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）
所以函数f（x）的最小正周期为π．
因为f（x）=2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，
又f（0）=1，f（）=2，f（）=-1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x0）=2sin（2x0+）
又因为f（x0）=，所以sin（2x0+）=
由x0∈[，]，得2x0+∈[，]
从而cos（2x0+）=-=-．
所以cos2x0=cos[（2x0+）-]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．
18.【答案】A= （4，6]
19.【答案】．
．
[，2）
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