资源简介

2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z=i（1+i），则的虚部为（　　）
A. 1 B. -1 C. i D. -i
2.已知向量满足，则与的夹角为（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
3.已知α，β，γ是三个不同的平面，a,b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（　　）
A. 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B. 若a⊥α，b⊥α，则a∥b
C. 若a∥α，b α，则a∥b D. 若a∥α，a∥β，则α∥β
4.在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，c=1，b=2，A=60°，则△ABC的外接圆半径是（　　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5.如图，平行四边形ABCD中，，，E为CD的中点，则=（　　）
A. B. C. D.
6.记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a,b,c,已知a=2b-2ccosA，则角C为（　　）
A. B. C. D.
7.在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a,b,c,若，，则b+c的取值范围是（　　）
A. （0，2] B. C. D. （3，6]
8.已知三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，AB=BC，∠ABC=90°，PA=2AC，三棱锥P-ABC的体积为，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是（　　）
A. 12π B. 16π C. 20π D. 36π
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下判断，其中正确的有（　　）
A. AD⊥面ABB1A1
B. A1B∥D1C
C. AD1与B1C是异面直线
D. A1C与平面ABCD夹角正弦为
10.下列说法中不正确的有（　　）
A. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
B. 若，，则
C. 若b2+c2＞a2，则△ABC不一定是锐角三角形
D.
11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知2b2=a2+c2，则下列选项正确的是（　　）
A. sin2B=2sinAsinCcosB B.
C. 2cos2B=cos2A+cos2C D. sin（A-B）sinC=sin（B-C）sinA
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，为单位向量，且，则= .
13.将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是______．
14.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为三角形ABC内一点（包括边界），O为BC的中点，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=a2+2a-3+（a-1）i,a∈R.
（1）若z是纯虚数，求a的值；
（2）若z+2i在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围.
16.(本小题15分)
如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P为BC的中点.
（1）证明：A1B∥平面APC1；
（2）求点B到平面APC1的距离.
17.(本小题15分)
已知向量=（1，0），=（1，2），=+2.
（Ⅰ）若（λ+）∥，求实数λ的值；
（Ⅱ）若（+）⊥（μ+），求实数μ的值.
18.(本小题17分)
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=3，点P为DD1的中点.
（1）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；
（2）求直线A1B与平面BDD1B1所成的角的正弦值；
（3）在直线BB1上是否存在点Q使得PQ⊥平面ACP，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,，a=4.
（1）求B的大小；
（2）设∠ABC的角平分线BE交AC于点E.
①求△ABC面积的取值范围
②求线段BE长的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】ABC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】．
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】a=-3 （-1，1）
16.【答案】证明：连接A1C交AC1于点O，连接PO，
因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，
所以侧面ACC1A1为矩形，所以O为A1C的中点．
又因为点P为BC的中点，
故PO∥A1B．
因为PO 平面APC1，A1B 平面APC1，
所以A1B∥平面APC1
17.【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
18.【答案】证明：因为在矩形ABCD中，AB=AD=1，
因此底面ABCD为正方形，因此AC⊥BD，
又因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，
AC 平面ABCD，因此DD1⊥AC，
又因为BD∩DD1=D，BD，DD1 平面BDD1B1，
因此AC⊥平面BDD1B1，又AC 平面PAC，
因此平面PAC⊥平面BDD1B1 存在，且
19.【答案】 ①；②
第1页，共1页

展开更多......

收起↑