资源简介

2025-2026学年北京师范大学燕化附属中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.数列1，3，7，15，…的一个通项公式是（　　）
A. B. C. D.
2.在数列{an}中，已知an=n2-n-50，则-8是该数列的（　　）
A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 非任何一项
3.已知{an}为等差数列，记Sn为其前n项和，若，则a3=（　　）
A. 3 B. 7 C. 13 D. 21
4.用数学归纳法证明“对任意的n∈N*，12+22+32+ +（2n）2=”，第一步应该验证的等式是（　　）
A. B.
C. D.
5.学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为（　　）
A. B. C. D.
6.已知等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3等于( )
A. － B. 1 C. －或1 D. －1或
7.一个人工智能语音识别系统有两个独立的模块用于识别命令.模块一正确识别命令的概率为0.9，模块二正确识别命令的概率为0.85.若两个模块同时识别某个命令，则至少有一个正确识别的概率为（　　）
A. 0.985 B. 0.765 C. 0.220 D. 0.015
8.已知{an}是公比为q（q≠1）的等比数列.则“ n∈N*，恒成立”是“a1是{an}的一个最值”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.如果函数f（x）满足：对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”.在下列函数：
①f（x）=x+1
②
③f（x）=x2
④f（x）=2x
中是“保等比数列函数”的个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.投掷一枚均匀的骰子六次，存在k使得1到k次的点数之和为6的概率是p,则p的取值范围是（　　）
A. 0＜p＜0.25 B. 0.25＜0＜0.5 C. 0.5＜p＜0.75 D. 0.75＜p＜1
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在等差数列中，若，则此数列的前13项之和为______．
12.随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），若P（2≤X＜4）=0.3，则P（X≤0）=
13.甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，则恰有一个人译出密码的概率 .
14.在数列{an}中，a1=2，且，则a1000= .
15.已知{an}是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为Sn，且.给出下列四个结论：
①；
②存在一个正数m0使得对任意的n∈N*，都有Sn＜m0；
③数列{an}单调递减；
④对任意的n∈N*，n≥2，都有an-1+an+1＞2an.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知数列{an}是等差数列，且a7=-13，a14=1.
（1）求{an}的通项公式；
（2）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.
17.(本小题14分)
某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p
（2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，分别估计X=0，1，2的概率.
18.(本小题14分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b2=a4，b3=a7，求数列{an+bn}的前n项和Tn.
条件①：a1=-3；
条件②：an+1-an=2；
条件③：S2=-4.
19.(本小题14分)
为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表：
男生 81 84 86 86 88 91
女生 72 80 84 88 92 97
用频率估计概率，样本估计总体，回答如下问题.
（Ⅰ）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；
（Ⅱ）从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（＞90分）的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，与表中男生组成新的男生样本，方差记为，若新抽到的男生的成绩为87分，试比较、、的大小关系.（只需写出结论）
20.(本小题14分)
某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估.现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制，且均为整数）及对应的“行业评级”（评级越高，代表性能越优），整理数据如下表：
性能评分x 行业评级 公司数
90≤x≤100 5 10
80≤x＜90 4 m
70≤x＜80 3 n
60≤x＜70 2 20
0≤x＜60 1 10
（Ⅰ）当m=30时，在这100家公司中，
（i）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率；
（ii）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记X为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求X的分布列和数学期望EX；
（Ⅱ）用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的平均值”为Y，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为，设“Y＜”的概率为p1，“Y＞”的概率为p2，请根据表中信息比较p1与p2的大小.（结论不要求证明）
21.(本小题15分)
设无穷数列{ an} 的前n项和为 Sn，{in}为单调递增的无穷正整数数列，记 An=-（n=1，2，…），定义Ω={j∈N*|Sk-Sj≥0，k=j+1，j+2，…}.
（Ⅰ）若an=n,in=n2（n=1，2， ），写出A1，A2的值；
（Ⅱ）若（n=1，2， ），求Ω；
（Ⅲ）设sgm（x）=，求证：对任意的无穷数列{an}，存在数列{in}，使得{sgn（An）} 为常数列.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】26
12.【答案】0.2．
13.【答案】
14.【答案】5
15.【答案】①③④
16.【答案】an=2n-27 最小值-169
17.【答案】 P（X=0）=0.05，P（X=1）=0.35，P（X=2）=0.6
18.【答案】解：（Ⅰ）由题意，不能选择①③作为已知条件，否则题目条件不完善．
若选择①②作为已知条件．
∵a1=-3，an+1-an=2，
∴数列{an}是以a1=-3为首项，公差d=2的等差数列．
∴an=2n-5．
若选择②③作为已知条件．
∵an+1-an=2，
∴数列{an}是以a1为首项，公差为d=2的等差数列．
∵S2=-4，∴a1+a2=-4，则2a1+d=-4，
解得a1=-3，∴an=2n-5；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=2n-5，
设等比数列{bn}的公比为q，则b2=a4=3，b3=a7=9，
∴，．
∴等比数列{bn}的通项公式为．
可得．
∴Tn=（a1+b1）+（a2+b2）+ +（an+bn）
=（a1+a2+ +an）+（b1+b2+ +bn）
=[-3+（-1）+ +（2n-5）]+（1+3+ +3n-1）
==．
19.【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）分布列见解析，；
（Ⅲ）．
20.【答案】（i）；（ii）X的分布列为：
X 0 1 2
P
期望为 p1＜p2
21.【答案】解：（Ⅰ）因为an=n,in=n2（n=1，2， ），所以A1=9，A2=35．
（Ⅱ）由题意知，．
若j为奇数，则，所以j Ω．
若j为偶数，则当k=j+1，j+2， 时，
，所以j∈Ω．
所以Ω={x|x=2m,m=1，2， }．
（Ⅲ）证明：（1）若Ω为有限集，设其最大元素为m（若Ω为空集，取m=0），
则当j=m+1，m+2， 时，存在k＞j满足Sk-Sj＜0．
令，
则，．所以sgn（An）=-1（n=1，2， ）；
（2）若Ω为无限集，设Ω={j1，j2， }，其中j1＜j2＜ ，
记，则Bn≥0（n=1，2， ）．
①若数列{Bn}中只有有限项为正数，记m=max{n∈N*|Bn＞0}
（若{Bn}中没有正数项，取m=0），则Bm+n=0（n=1，2， ）．
令in=jm+n（n=1，2， ），则．
所以sgn（An）=0（n=1，2， ）；
②若数列{Bn}中有无穷项为正数，将这些项依次记为，其中t1＜t2＜ ，
则．
令，则．
所以sgn（An）=1（n=1，2， ）．
综上所述，对任意的无穷数列{an}都存在数列{in}，使得{sgn（An）}为常数列．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑