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2025-2026学年湖南省湘潭市电机子弟中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数z=m+1+（m-1）i纯虚数，则实数m=（　　）
A. 0 B. -1 C. 1 D. 2
2.=（　　）
A. B. C. D.
3.下面几何体的轴截面（过旋转轴的截面）是圆面的是（　　）
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 圆台
4.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′B′=1，A′D′=2B′C′=2，则平面图形ABCD的面积为（　　）
A.
B. 2
C. 3
D.
5.已知向量=（-1，2），=（3，1），=（x，4），若（-）⊥，则x=（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是（　　）
A. B.
C. D.
7.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（　　）
A. B. C. 20 D. 21
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，a2+b2-c2=absinC，acosB+bsinA=c，则下列结论不正确的是（　　）
A. tanC=2 B. C. △ABC的面积为6 D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z=5-4i,以下说法正确的是（　　）
A. z的实部是5 B.
C. D. z在复平面内对应的点在第一象限
10.下列说法正确的是（　　）
A. 若，则
B. 在△ABC中，若AB=AC，BC=4，则
C. 已知向量，与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是
D. 已知a,b,c为△ABC的内角A，B，C的对边，则“sinA＞sinB”的充要条件是“A＞B”
11.如图，在棱长为1的正方体AC1中，P是线段B1D1上的动点（含端点），则（　　）
A. CP∥面A1BD
B. A1P与BC是异面直线
C. A1P+PD的最小值为
D. 三棱锥P-A1BD的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数，则z的虚部为 .
13.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知a=5，B=45°，C=105°，则b= .
14.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 =4，则 的值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面）ABCD是边长为6的正方形.
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积.
16.(本小题15分)
已知向量和，则，，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）2+与的夹角θ的余弦值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a,b,c,.
（1）求A；
（2）若，求△ABC的面积.
18.(本小题17分)
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为正三角形，M为线段PD上一点，N为BC的中点．
（1）当M为PD的中点时，求证：MN∥平面PAB．
（2）当PB∥平面AMN，求出点M的位置，说明理由．
19.(本小题17分)
如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=10，∠BAC=60°，BC边上的中点为M，点N是边AC上的动点（不含端点），AM，BN相交于点P.
（1）求BC；
（2）当点N为AC中点时，求：∠MPN的余弦值；
（3）当取得最小值时，设，求λ的值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】ABC
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】-3
13.【答案】
14.【答案】6
15.【答案】解：由题意可知半球的半径R=3，圆柱的底面圆半径r=3，高h=6，
（1）由球的表面积公式可得半球的曲面面积，
由圆的面积公式可得圆柱底面圆的面积，
由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积S3=2πrh=36π，
故该几何体的表面积S=S1+S2+S3=18π+9π+36π=63π．
（2）由球的体积公式可得半球的体积，
由圆柱的体积公式可得圆柱的体积，
故该几何体的体积V=V1+V2=18π+54π=72π．
16.【答案】解：（1）∵，，，
∴==2；
（2）∵=4×4+4×2+4=28，
∴=；
（3）∵（+） ==2×2+4=8，
∴cos===．
17.【答案】A=；
．
18.【答案】证明：（1）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为正三角形，
取AP中点为E，连接EM，EB，
在△PAD中，M为PD的中点，E为AP中点，
∴，
在平行四边形ABCD中，N为BC的中点，
∴，
∴BN∥ME，BN=ME，
∴四边形BNME为平行四边形，
∴MN∥BE，MN 面PAB，BE 面PAB，
∴MN∥平面PAB；
解：（2）连接AN，BD，相交于O，连接OM，
∵PB∥面AMN，面PBD∩面AMN=OM，PB 面PBD，
∴，
即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点．
19.【答案】解：（1）∵AB=4，AC=10，∠BAC=60°，由余弦定理知：
BC2=AB2+AC2-2AB AC cos∠BAC=42+102-2×4×10×cos60°=76，
∴BC的值为；
（2）设，
∵M、N分别为BC、AC的中点，
∴，
∵，
∴，
，
又，
∴，
即∠MPN的余弦值为；
（3）设，
则，
当x=1即时，取最小值-1，
∴，
∵，
∴，
∵A，P，M三点共线，
∴，
即当取得最小值时，λ的值为．
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