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2025-2026学年四川省宜宾市叙州区第二中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.计算的值是（　　）
A. 41 B. 61 C. 62 D. 82
2.5名运动员进行3项体育运动比赛，每项只设有冠军和亚军各一名，那么各项冠军获得者的不同情况的种数为（　　）
A. 53 B. 35 C. D.
3.用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的四位偶数有（　　）个.
A. 16 B. 12 C. 10 D. 8
4.如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，则下列结论中正确的是（　　）
A. 函数y=f（x）的图象在x=0处切线的斜率小于零
B. 函数y=f（x）在区间（-2，2）上单调递增
C. 在x=-2时，函数y=f（x）取得极大值
D. 在x=1时，函数y=f（x）取得极值
5.把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（　　）
A. 4种 B. 6种 C. 21种 D. 35种
6.甲、乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲、乙到同一社区的不同安排方案共有（　　）
A. 6种 B. 18种 C. 36种 D. 72种
7.若（1+x）8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a3+a5+a7=（　　）
A. 127 B. 128 C. 129 D. 256
8.已知f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导数，且 x∈R，f′（x）＞1，f（3）=2，则不等式f（x）＞x-1的解集为（　　）
A. （-∞，2） B. （2，+∞） C. （-∞，3） D. （3，+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.判断下列命题正确的是（　　）
A. 函数的极大值一定比极小值大
B. 对于可导函数f（x），若f′（x0）=0，则x0为函数的一个极值点
C. 若f′（x）＞0在（a,b）内恒成立，则函数f（x）在（a,b）内一定没有极值
D. 一元三次函数在R上可能不存在极值
10.3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（　　）
A. 共有60种不同的坐法 B. 空位不相邻的坐法有32种
C. 空位相邻的坐法有24种 D. 两端不是空位的坐法有12种
11.对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是函数f′（x）的导数，若方程f′′（x）=0有实数解x0，则称（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数f（x）=x3-x2-12x+，则下列说法正确的是（　　）
A. f（x）的极大值为
B. f（x）有且仅有2个零点
C. 点（，2）是f（x）的对称中心
D. f（）+f（）+f（）+…f（）=4046
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（x-3）5的二项展开式中x3项的系数为 .
13.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）
14.若函数f（x）=xex-（m-1）e2x存在唯一极值点，则实数m的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知公比为2的等比数列{an}满足 a1，a2+，a3成等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和Sn.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=ax-lnx,a∈R.
（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）试判断函数f（x）的单调性.
17.(本小题15分)
如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P为BC的中点.
（1）证明：A1B∥平面APC1；
（2）求点A1到平面APC1的距离.
18.(本小题17分)
已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右顶点，C为椭圆的上顶点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l：x=my+3交椭圆于M，N两点，直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，求的值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=的一个极值点是x=2．
（Ⅰ）求a与b的关系式，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a＞0，g（x）=a2ex-2，若存在x1，x2∈[0，3]，使得|f（x1）-g（x2）|＜成立，求实数a的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】CD
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】90
13.【答案】72
14.【答案】（-∞，1）
15.【答案】解：（1）由题意，可知a2=a1 2=2a1，
a3=a1 22=4a1，
∵a1，a2+，a3成等差数列，
∴2（a2+）=a1+a3，
即2（2a1+）=a1+4a1，
解得a1=1，
∴an=1 2n-1=2n-1，n∈N*．
（2）由（1）可得，nan=n 2n-1，
则Sn=1 a1+2 a2+…+n an
=1 20+2 21+3 22+…+n 2n-1，
2Sn=1 21+2 22+…+（n-1） 2n-1+n 2n，
两式相减，
可得-Sn=1 20+1 21+1 22+…+1 2n-1-n 2n
=-n 2n
=-（n-1） 2n-1，
∴Sn=（n-1） 2n+1．
16.【答案】y=x+1．
当a≤0时，函数f（x）的减区间为（0，+∞），无增区间；
当a＞0时，函数f（x）的增区间为，减区间为．
17.【答案】连接A1C，交AC1于点O，连接PO，则O为A1C的中点，
又点P为BC的中点，所以PO∥A1B，
而PO 平面APC1，A1B 平面APC1，
所以A1B∥平面APC1
18.【答案】（1） （2）
19.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=，则，
因为f（x）的一个极值点是x=2，所以，所以b=a,
所以，
①当a=-2时，f'（x）≤0，故f（x）单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意；
②当a＜-2时，令f'（x）=0，解得x=2或x=-a,其中2＜-a,列表如下：
x （-∞，2） 2 （2，-a） -a （-a,+∞）
f'（x） - 0 + 0 -
f（x） ↘ ↗ ↘
③当a＞-2时，令f'（x）=0，解得x=2或x=-a,其中-a＜2，列表如下：
x （-∞，-a） -a （-a,2） 2 （2，+∞）
f'（x） - 0 + 0 -
f（x） ↘ ↗ ↘
综上所述，b=a≠-2；
当a＜-2时，f（x）的单调递增区间为（2，-a），单调递减区间为（-∞，2）和（-a,+∞）；
当a＞-2时，f（x）的单调递增区间为（-a,2），单调递减区间为（-∞，-a）和（2，+∞）．
（Ⅱ）考虑在[0，3]的最值，
由（Ⅰ）可知，a＞0时，f（x）在（0，2）单调递增，在（2，3）单调递减，
又因为f（0）=-a＜0，，f（0）＜f（3），
所以f（x）在[0，3]的最大值为，最小值为f（0）=-a,
因为g（x）=a2ex-2在[0，3]单调递增，
所以g（x）在[0，3]的最大值为g（3）=a2e,最小值为，
因为存在x1，x2∈[0，3]，使得成立，
即存在x1，x2∈[0，3]，使得成立，
即，又因为a＞0，解得0＜a＜3，
所以a的取值范围是（0，3）．
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