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2025-2026学年福建省厦泉五校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.（1+5i）i的虚部为（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 6
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若a=，b=，，则B的大小为（　　）
A. B. C. D. 或
3.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C'D'=2，则下列说法正确的是（　　）
A.
B. AB=2
C. 四边形ABCD的面积为
D. 四边形ABCD的周长为
4.如图，D是△ABC的边AC的中点，点E在BD上，且，则（　　）
A.
B.
C.
D.
5.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
6.已知三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（　　）
A. B. C. D.
7.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对称中心为O，以O为圆心作半径为1的圆，点M为圆O上任意一点，则的取值范围为（　　）
A. [-6，4]
B. [0，8]
C. [-8，0]
D.
8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若EF=2，sin∠ACF=，则AC=（　　）
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知z1，z2都是复数，下列选项中正确的是（　　）
A. 若z1z2=0，则z1=0或z2=0 B. 若，则z1=z2
C. 若，则z1+z2是实数 D. 若，则|z1|=|z2|
10.△ABC的内角，A，B，C所对边分别为a,b,c,下列说法中正确的是（　　）
A. 若sinA＞sinB，则A＞B
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形
C. 若a2+b2-c2＞0，则△ABC是锐角三角形
D. 若，则△ABC是等腰直角三角形
11.下列说法正确的是（　　）
A. 已知向量，，且，则x=-2
B. 向量，，则“的夹角为锐角”是“x＞-3”的充要条件
C. 若，S△AOC、S△ABC分别表示△AOC、△ABC的面积，则S△AOC：S△ABC=1：6
D. 在△ABC中，向量与满足，且，则△ABC为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量， 的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．
13.在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为______．
14.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=5，点O为其外接圆的圆心，已知=12，则当角C取到最大值时△ABC的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
知复数z1=5+10i,复数z2在复平面内对应的点为Z（3，-4）.
（1）若复数z2是关于x的方程x2+mx+n-1=0的一个根，m、n∈R，求m+n的值；
（2）若复数z满足，求复数z的共轭复数.
16.(本小题15分)
已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中.
（1）若，且，求；
（2）若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知____.
（1）求B；
（2）若D为AC的中点，，c=2，求△ABC的面积.
18.(本小题17分)
如图A、B是在沿海海面上相距海里的两个哨所，B位于A的正南方向.A哨所在凌晨1点发现其南偏东30°方向处有一艘走私船，同时，B哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于A点南偏西30°的D点，且A与D相距海里，试求：
（1）刚发现走私船时，走私船与哨所A的距离；
（2）刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？
（3）若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从C向北偏东15°方向逃車，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？
19.(本小题17分)
现有一几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如图所示），且正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.
（1）若AB=6，PO1=2，求该几何体的体积.
（2）若正四棱锥的侧棱长为6，PO1=2.
（i）求正四棱锥P-A1B1C1D1的侧面积.
（i）若Q，N分别是线段A1B1，PB1上的动点，求AQ+QN+NC1的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】AD
11.【答案】ACD
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】5
15.【答案】解：（1）z2=3=4i,z2=3-4i,
因为复数z2是关于x的方程x2+mx+n=1=0的一个根，
所以（3-4i）2+m（3-4i）+n-1=0，
即3m+n-8-（4m+24）i=0，
即，
解得m=-6，n=26，所以m+n=20；
（2）由题意可得，
∴．
16.【答案】解：（1）因为，且，所以设，
所以，
解得λ=±2，
所以或．
（2）由，得，
所以，
因为，，可得，
因为k＞0，所以，
当且仅当，时取等号．
所以．
设与夹角为θ，则此时．
17.【答案】B= 3
18.【答案】解：（1）根据点C在点A的南偏东30°，在点B的东北方向，可得∠ABC=45°，∠CAB=45°，∠ACB=105°，
由正弦定理，得=，
结合sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=，
代入上式，解得海里，即走私船C与观测点A的距离为海里；
（2）由（1）的结论，AC=海里，
因为△ADC中，AD=海里，∠DAC=60°，
即DC2=AC2+AD2-2AC×AD×cos60°=900，解得DC=30海里，
结合∠ADC=30°，可知刚发现走私船时，走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东60°方向上；
（3）设t小时后缉私艇在M处追上走私船，则，∠DCM=120°+15°=135°，
在△CDM中，由余弦定理得DM2=DC2+MC2-2DC×MC×cos135°，
即，化简得，解得．
因此，缉私艇至少需要小时追上走私船．
19.【答案】312； （i）；（ii）．
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