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2025-2026学年海南省海口市龙华区华侨中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.方程的解集是（　　）
A. {3} B. {1} C. {1，9} D. {1，3}
2.已知函数f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A. f（x）在区间（x1，x3）上单调递减 B. f（x）在x=x5处取得极大值
C. f'（x）在区间（x3，x4）上单调递减 D. f'（x）在x=x6处取得极小值
3.已知双曲线，设其两个实轴端点和两个虚轴端点构成集合S，从S中任取三个不同的点记为A，B，C，若△ABC为直角三角形，则该双曲线的离心率为（　　）
A. B. C. D.
4.将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现偶数点”，事件B为“两次出现的点数和为9”，则P（A|B）=（　　）
A. B. C. D.
5.已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（　　）
A. 1 B. - C. D. -1
6.某医学院安排甲、乙，丙、丁4名学生去A，B，C三所医院实习，要求每所医院至少有1名学生，其中学生甲不能去A医院，则不同的安排方式有（　　）种.
A. 20 B. 24 C. 32 D. 36
7.设函数y=f′（x）是y=f′（x）的导数，经过探究发现，任意一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象都有对称中心（x0，f（x0）），其中x0满足f″（x0）=0，已知函数，则
=（　　）
A. 2025 B. 2026 C. D.
8.已知定义在R上的函数f（x）的导数为f′（x），f（1）=e,且对任意的x满足f'（x）-f（x）＜ex，则不等式f（x）＞xex的解集是（　　）
A. （-∞，1） B. （-∞，0） C. （0，+∞） D. （1，+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，下列结论正确的是（　　）
A. a2=60 B.
C. D. a1+a3+a5=364
10.下列说法正确的是（　　）
A. 4名学生和2名老师站成一排拍照，2位老师相邻但不在两端，不同的排法有144种
B. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有35种
C. 由0，1，2，3，4所组成的无重复数字的4位偶数，不同的4位偶数共有72个
D. 将6个相同的篮球分给3个班级，每班至少分1个，不同的分法共有10种
11.对于函数f（x）=x2lnx,下列说法正确的是（　　）
A. 当时，
B. 若f′（x）是函数f（x）的导数，则f′（x）≤2x2-x
C. 若，则f（x）=ax2（x+e2）有两个解
D. 设h（x）=2f（x）-tx3，h（x）＞0至少有三个整数解，则t＜ln2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数，则曲线y=f（x）在点M（π，0）处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 .
13.对于随机事件A，B，若，则P（B）= .
14.足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动.某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙3名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外2人中的1人，接球者再等可能地传给另外2人中的1人，如此一直进行.假设每个球都能被接住，经过4次传递后，足球又被传回给甲，则不同的传递方式共有 种：设在第n（n≥2）次传球后有an种情况球在甲手中，则an= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=ax3+2bx+6在x=-1处取得极大值10.
（1）求a,b的值；
（2）求f（x）在[-2，2]上的最值.
16.(本小题15分)
已知的展开式中所有项的二项式系数和为64.
（1）求n的值，并求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的常数项.
17.(本小题15分)
数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}为正项等比数列，其前n项和为Tn，已知S5=15，a7=11，T2=6，b3=8.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）今，求数列{cn}的前2n项和R2n.
18.(本小题17分)
甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品.
（1）从甲、乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率；
（2）若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱，再从乙箱中任取1个产品，
①求取出的这个产品是正品的概率；
②如果已知从乙箱中取出的产品是正品，那么从甲箱中取出的2个产品是1个正品1个次品的概率是多少？
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=aln2x-xlnx+x.
（1）若a＞0，讨论f（x）的单调性；
（2）若a∈（0，1），证明：f（ea）＜1.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】BD
12.【答案】
13.【答案】．
14.【答案】6
．

15.【答案】a=2，b=-3；
最大值为10，最小值为2
16.【答案】160x3 172
17.【答案】an=2n-3，bn=2n R2n=2n2-3n+
18.【答案】解：（1）甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品，
从甲、乙箱中各随机取出1个产品，
其中至少有1个次品的概率为P=1-；
（2）①设事件A=“从乙箱中取出一个正品”，事件B1=“从甲箱中取出两个正品”，
B2=“从甲箱中取出一个正品、一个次品”，B3=“从甲箱中取出两个次品”，
则B1，B2，B3两两互斥，且B1∪B2∪B3=Ω，
则，，，
则P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3）
=；
②P（B2|A）=．

19.【答案】（1）当0＜a＜时，f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；当a=时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2a）上单调递增，在（2a，+∞）上单调递减 （2）证明：要证明f（ea）=a3-aea+ea＜1，即证（1-a）ea＜1-a3，
又a∈（0，1），则只需证ea＜1+a+a2，即证＞1，
令g（a）=，则g'（a）==，
当a∈（0，1）时，g'（a）＞0，故g（a）在（0，1）上单调递增，
所以g（a）＞g（0）=1，原式得证
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