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2025-2026学年贵州省毕节市实验高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=（　　）
A. {2} B. {1，2，3} C. {1，3} D. {2，3}
2.下列求导运算正确的是（　　）
A. （cos3）′=-sin3 B.
C. （e2x-1）′=e2x-1 D. （xlnx）′=1+lnx
3.“sin x=”是“x=”的( )条件.
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
4.若展开式的各项二项式系数和为512，则展开式中的常数项（　　）
A. 84 B. -84 C. 56 D. -56
5.现有3名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来3名同学顺序不变，不同的方法共有（　　）
A. 12种 B. 20种 C. 6种 D. 8种
6.已知直线l1：x+ay+2a-1=0，l2：ax+y+1=0，若l1∥l2，则实数a等于（　　）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 1或-1
7.把14个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为（　　）
A. 36 B. 45 C. 72 D. 165
8.已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为36π，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（　　）
A. B. C. D. [18，27]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.关于（x-1）100的展开式，下列结论正确的是（　　）
A. 展开式共有100项 B. 展开式的第2项系数为100
C. 展开式的所有项的系数之和为0 D. 展开式的所有二项式系数之和为2100
10.某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是（　　）
A. 若任意选择三门课程，则总选法为
B. 若物理和历史至少选一门，则总选法为
C. 若物理和历史不能同时选，则总选法为
D. 若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为
11.已知函数，下列说法中正确的有（　　）
A. 函数f（x）的极小值为
B. 函数f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=x-1
C. 20232024＞20242023
D. 若曲线y=f（x）与曲线y=xα无交点，则α的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有______种．
13.已知函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处取极值，且f（-1）=0，则a-b的值为 .
14.已知点P在双曲线C：（a＞0，b＞0）上，P到两渐近线的距离为d1，d2，若恒成立，则C的离心率的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知函数f（x）=-x3+3x2-4.
（1）求函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）在[-2，3]上的最大值和最小值.
16.(本小题15分)
已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=2，a5+a9=5a3.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1=1，anbn=an+2bn+1（n∈N*），求{bn}的通项公式及其前n项和Sn.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，PA=4，AB=AD=BC=2，E为棱BC上的点，且BE=BC.
（Ⅰ）求证：DE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求平面APC与平面PCD夹角的余弦值；
（Ⅲ）求点E到平面PCD的距离.
18.(本小题15分)
已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过Q（1，0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点，求△REF面积的最大值.
19.(本小题17分)
设函数f（x）=ex-ax-1（a∈R）.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若a＜1，证明：当x≥0时，.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】CD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】240种
13.【答案】-7
14.【答案】．
15.【答案】极小值为-4，极大值为0；
f（x）max=16，f（x）min=-4．
16.【答案】解：（1）设{an}的公差为d,∵a1=2，a5+a9=5a3，
∴2a1+12d=5（a1+2d），
解得d=3，
∴an=2+3（n-1）=3n-1．
（2）由anbn=an+2bn+1得，，
∴bn= … b1= … 1
=，
∴．
∴，
∴．
17.【答案】解：（Ⅰ）证明：以A为坐标原点，AB所成直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，2，0），P（0，0，4），E（2，1，0），
∴=（2，-1，0），=（2，4，0），=（0，0，4），
∵=0，=0，∴DE⊥AC，DE⊥AP，
∵AP∩AC=A，∴DE⊥平面PAC．
（Ⅱ）设平面PAC的法向量，由（Ⅰ）知=（2，-1，0），
设平面PCD的法向量=（x,y,z），
∵=（0，2，-4），=（2，4，-4），
∴，设z=1，得=（-2，2，1），
cos＜＞==，
∴二面角A-PC-D夹角的余弦值为．
（Ⅲ）=（0，3，0），平面PCD的法向量得=（-2，2，1），
∴点E到平面PCD的距离d===2．
18.【答案】
19.【答案】当a＞0时，函数f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增；
当a≤0时，函数f（x）在R上单调递增．
证明见解析．
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