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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学七年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A. 2x-y=3 B. x+3=2 C. D. 2x+y+3z=16
2.下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
3.点（2，-1）所在象限为（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.下列各式变形正确的是（　　）
A. 如果mx=my，那么x=y B. 如果x-3=y-3，那么x-y=-6
C. 如果x=6，那么x=3 D. 如果x-3=y，那么x=y+3
5.数学源于生活，寓于生活，用于生活.下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A. 测量跳远成绩
B. 木板上弹墨线
C. 弯曲河道改直
D. 两钉子固定木条
6.如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOC=35°，则∠AOD的度数为（　　）
A. 55°
B. 125°
C. 65°
D. 135°
7.某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中CD与地面l平行，AM∥BC，∠MAC=62°，∠BCD=64°，若要使得AB与地面l也平行，则∠BAC的度数为（　　）
A. 54° B. 56° C. 62° D. 64°
8.如图，△ABC的周长为15cm,将△ABC沿BA方向平移3cm至△A′B′C′，则四边形A′BCC′周长为（　　）
A. 24cm
B. 21cm
C. 18cm
D. 15cm
9.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
10.下列命题是真命题的是（　　）
A. 如果两个角的和是平角，那么这两个角是邻补角
B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.的相反数是 ．
12.比较大小： ______-8．
13.点P（-3，-7）到y轴的距离为 .
14.如图，杯子内液体表面AB与杯子下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上.已知∠HFB=20°，∠FED=65°，则∠GFH的度数是 .
15.点P（m2-4，m-1）在直角坐标系的y轴负半轴上，则点P坐标为 .
16.用一根长为28米的铁丝围成一个长方形，使长方形的长比宽多4米，此时长方形的面积为 平方米.
17.如图，正方形ABCD的面积为3，点A在数轴上，且表示的数为-2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，与数轴交于点E（点E在点A的右侧），则点E所表示的数为 ．
18.关于x,y的二元一次方程组的解满足x-y=4，则k= .
19.如图，AD∥BC，点E是BC上一点，点G是平面内一点，且∠GEC=40°，作∠BEG的角平分线，它所在直线与直线AD交于点F，则∠DFE= .
20.如图，在四边形ABDC中，AB∥CD，点E在CA的延长线上，连接DE交AB于点F，∠EFA=55°，点P，Q在CD上，连接FP，FQ，已知∠PFD=15°，∠FQP=∠QFP，下列结论：①∠FEA与∠ECD互为同位角；②CE∥BD；③AF平分∠EFQ；④∠FQD=55°.其中所有正确结论的序号为 .
三、计算题：本大题共3小题，共26分。
21.计算下列各式：
（1）；
（2）.
22.解下列方程组：
（1）；
（2）.
23.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与坐标轴交于A（-4，0），B（0，m）两点，且点C（2，3）是AB的延长线上的一点.
【问题探究】如图（1）我们可以用面积法求点B的坐标，方法如下：
过点C作CN⊥x轴于点N，我们可以由点A，C的坐标，直接得出△AOC的面积为______；
过点C作CQ⊥y轴于点Q，S△AOB=BO AO=2m,S△BOC=BO CQ=m.
∵S△AOC=S△AOB+S△BOC，∴可得关于m的一元一次方程为2m+m=6，解这个方程，可得点B的坐标为______.
（1）请阅读后完善填空：
【问题迁移】
（2）如图（2），若在直线AB上.请你仿照（1）中的方法，求点P的纵坐标；
【问题拓展】
（3）如图（3），点N在直线AB上，点M是第三象限的一点，且点M的坐标为（-2，-2），连接OM，连接NM交x轴于点K，当S△KOM=时，求点N的坐标.
四、解答题：本题共4小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
24.(本小题8分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，点A平移到点D的位置，B、C点平移后的对应点分别是点E、F.
（1）作出平移后的△DEF；
（2）连接BE、CF，线段BE、CF的数量关系是______；
（3）画格点H，使得直线AH∥BC.
25.(本小题8分)
根据解答过程填空.
已知：如图，∠D+∠3=180°，AE平分∠BAD交CD于点F，∠4=∠E.
求证：∠B=∠DCE.
证明：∵∠D+∠3=180°（①______），
∴AD∥BC（②______），
∴∠1=③______（④______），
∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠1=∠2（⑤______），
∴∠2=⑥______（等式的基本事实），
∵∠4=∠E（已知），
∴∠2=∠4（等式的基本事实），
∴AB∥CD（⑦______），
∴∠B=∠DCE（⑧______）.
26.(本小题8分)
综合与实践：设计制作纸盒方案
素材一：如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形.
素材二：①所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料.
②制作纸盒后没有剩余材料.
问题解决：
为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个.
问题一：初探材料用量
纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数）
m个横式无盖纸盒 2 m 3m
n个竖式无盖纸盒 n 4n
问题二：再探关系
需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计
______ ______ 300
（1）请完善上述表格，并写出m、n之间满足的关系式：______；
方案选择：
（2）能否用这300张纸板制作这两种纸盒，使得到的竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍，且材料没有剩余，如果可以，请设计你的分配方案；如果不能，请说明理由.
27.(本小题10分)
如图，已知直线AB∥CD，M、N分别为直线AB、CD上的点，点P为直线CD之间的一点，连接PM、PN，且∠BMP+∠DNP=90°.
（1）如图1，求证：PM⊥PN；
（2）如图2，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，∠PNH的平分线NK交EF于K，求证：∠KNH-∠BMP=∠PND；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠EGB的平分线GQ与∠MPN的邻补角∠MPT的平分线PQ交于点Q，若∠EKN+∠GQP=173°，求∠PNH-∠EHD的度数.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】-
12.【答案】＜
13.【答案】3．
14.【答案】45°
15.【答案】（0，-3）．
16.【答案】45．
17.【答案】-2
18.【答案】2
19.【答案】70°或110°
20.【答案】③④．
21.【答案】-3 9
22.【答案】解：（1），
把①代入②得：3x+3x-2=8，
6x=10，
，
把代入①得：y=3，
∴方程组的解为：；
（2），
方程组化简为：，
①+②得：x=4，
把x=4代入①得：，
∴方程组的解为：．

23.【答案】6，（0，2） P（-，） 点N的坐标为（-，）或（-56，-26）
24.【答案】 相等
25.【答案】已知 同旁内角互补，两直线平行 ∠ E 两直线平行，内错角相等 角平分线的定义 ∠ E 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等
26.【答案】 可以得到竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍，此时60张纸板裁成正方形，240张纸板裁成长方形
27.【答案】过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠BMP=∠MPQ，∠DNP=∠NPQ，
已知∠BMP+∠DNP=90°，
∴∠MPQ+∠NPQ=90°，即∠MPN=90°，
∴PM⊥PN ∵ NK平分∠PNH，
∴∠KNH=∠PNH，
∵∠PNH=180°-∠PND，
∴∠KNH=（180°-∠PND）=90°-∠PND，
∵∠BMP+∠PND=90°，
∴90°-∠PND=∠BMP，即90°-∠PND=∠BMP+∠PND，
∴∠KNH=∠BMP+∠PND，移项得：∠KNH-∠BMP=∠PND 104°
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