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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市道外区五校联盟八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子是二次根式的是（　　）
A. 2x B. C. D.
2.已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（　　）
A. 5 B. 4 C. 3 D.
3.在 ABCD中，∠A=50°，则∠C等于（　　）
A. 130° B. 40° C. 50° D. 60°
4.下列计算中，正确的是（　　）
A. B.
C. D.
5.如图，一根大树被台风刮断，若树离地面3米处折断，树顶端落在离树底部4米处，则树折断之前有（　　）
A. 5米 B. 7米 C. 8米 D. 10米
6.下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的为（　　）
A. AB∥CD，AD∥BC B. AB=CD，AD=BC
C. AB∥CD，AD=BC D. AB∥CD，AB=CD
7.下列命题正确的是（　　）
A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C. 平行四边形的对角线相等 D. 矩形具有正方形的一切性质
8.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△CDE，则∠AED为（　　）
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 30°
9.如图，在△ABC中，D是AB的中点，CE平分∠ACB，AE⊥CE，垂足为E，连接DE.若AC=14，BC=20，则DE的长是（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10.已知点A、B为某图形边上的两个顶点，动点P从点A出发，沿此图形的边顺时针匀速运动到点B，设点P的运动时间为t,△APB的面积为S（当点P与点A或B重合时，记S=0），S与t的函数关系如图所示，则该图形可能是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.已知函数，则自变量x的取值范围是 .
12.如图，D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，BC=10，则DE=______．
13.若点（2，t）在函数y=-2x的图象上，则t的值为 .
14.等腰三角形的周长是20，底边长y与腰长x的函数关系式是 （同时写出x的取值范围）
15.如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，D为AB中点，则CD= .
16.如图，将矩形纸片ABCD沿直线BD折叠，使点C落在F处，BF、AD相交于点E，AD=8cm,AB=4cm,则DE的长度为 cm.
17. ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线交于点P，AD=5，，则BP= .
18.如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为20cm2和45cm2的两个小正方形，则剩下的面积为 cm2.
19.正方形ABCD的边长为4，E为正方形边上一点，BE=5，则AE= .
20.如图，E、F在正方形ABCD边CB、DC的延长线上，且BE=CF，连接DE、AF交于点O，为DF中点，在结论：①AF=DE；②；③AE⊥EF；④若AB=2，则OB的最小值为中，正确的有 .
三、计算题：本大题共3小题，共26分。
21.计算：
（1）；
（2）2.
22.某学校运动会需要购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需要60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元.
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元；
（2）学校计划购买A、B两种奖品，且A种奖品的数量比B种奖品数量的3倍少10件，设B种奖品购买m件，总费用为p元，求p与m之间的函数关系式；
（3）若购买的总费用p不多于800元，求最多购买B种奖品多少件？
23.已知平面直角坐标系中，四边形OABC为面积为15的矩形，OA=5.
（1）直接写出点B的坐标；
（2）点D的坐标为（-2，0），动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度延射线BC运动，设△DPC的面积为S，运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变t的取值范围；
（3）过点D作x轴的垂线EF，在点P运动过程中，在EF上取点M，使得A、P、M和第一象限的点N构成正方形，求出此时的t值和N点坐标.
四、解答题：本题共4小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
24.(本小题8分)
化简求值：，其中.
25.(本小题8分)
如图，在7×8网格中，每个小正方形边长为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.
（1）在图1中，画平行四边形BACD；
（2）在图2中，画△ABC的中线AE；
（3）在图3中，画△ABC的角平分线BF；
（4）在图4中，在AB边上取点M，使∠ACM=45°.
26.(本小题8分)
定义：对角线相等的四边形称为“对等四边形”如图，四边形ABCD中，AC=BD，则四边形ABCD为对等四边形.
（1）下列四边形一定是对等四边形的是______；
①矩形；②平行四边形；③菱形；④正方形.
（2）四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，F为CD边上一点，BE=CF，求证：四边形ABEF是对等四边形；
（3）△ABC中，∠B=3∠C=45°，，AE=2AD=2，P为BC上的动点，当四边形ADPE是对等四边形时，则BP的长为______.
27.(本小题10分)
已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，F为CD上一点，连接BE、EF，∠FEC+∠ABE=45°.
（1）求证：BE⊥EF；
（2）求证：；
（3）连接BF，过F作FN⊥AC于N，若AE：CM=3：4，MN=2，求FM.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】x≥1．
12.【答案】5
13.【答案】-4．
14.【答案】y=-2x+20（5＜x＜10）
15.【答案】5．
16.【答案】5．
17.【答案】2．
18.【答案】60．
19.【答案】3或．
20.【答案】①②④．
21.【答案】3 14
22.【答案】A种奖品10元/件，B种奖品15元/件 p=45m-100（m≥4，且m为整数） 最多购买B种奖品20件
23.【答案】点B的坐标为（5，3） S与t之间的函数关系式为：S= t=10时，N（8，10）或t=11时，N（1，7）
24.【答案】解：原式=
=
=，
当时，
原式=
=
=

25.【答案】如图1中，四边形BACD即为所求； 如图2中，线段AE即为所求 如图3中，线段BF即为所求 如图4中，点M即为所求
26.【答案】①④ 证明：如图，连接BF，AE，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，
∴四边形ABEF的对角线相等，
∴四边形ABEF是对等四边形 2+或2-
27.【答案】设∠FEC=α，
∵∠FEC+∠ABE=45°，
∴∠ABE=45°-α，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠BEC=∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠BEF=∠BEC+∠FEC=90°，
∴BE⊥EF 证明：连接DE，过点E作MN⊥DF，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAC=∠BCA=45°，
在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴DE=BE，∠CDE=∠CBE，
∴90°-∠CDE=90°-∠CBE，
∴∠ADE=∠ABE，
∵∠FEC+∠ABE=45°，
∵∠ABE=45°-∠FEC，
∴∠CBE=90°-∠ABE=45°+∠FEC，
即：∠CDE=∠CBE=45°+∠FEC，
∵∠EFD=∠ACD+∠FEC=45°+∠FEC，
∴∠EFD=∠EDF，
∴ED=EF，
即△DEF是等腰三角形，
∵MN⊥DF，
∴DN=FN，
在（1）中已证明∠BEF=90°，
∴∠MEB+∠FEN=180°-∠BEF=90°，
∵MN⊥DF，
∴∠BME=∠ENF=90°，∠MEB+∠MBE=180°-∠BME=90°，
∴∠FEN=∠MBE，
∵ED=EF，DE=BE，
∴BE=EF，
在△BME和△ENF中，
，
∴△BME≌△ENF（AAS），
∴ME=NF，
∴ME=NF=DN，
即，
在△AME中，∠AME=90°，∠MAE=45°．
∴∠MAE=∠MEA=45°，
∴△AME是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
即 2
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