资源简介

人教版（2024）七年级下册 7.2 平行线 强化训练（参考答案）
【题型1】平行线的概念
【典例】同一平面内互不重合的三条直线的交点的个数
A.可能是0，1，2 B.可能是0，2，3 C.可能是0，1，2，3 D.可能是1或3
【答案】C
【解析】由题意画出图形，如图所示.
【强化训练1】已知直线m，n，下列图形中属于两直线平行的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A选项，观察图形可知，直线m和n相交，故此选项不符合题意；
B选项，观察图形可知直线m，直线n互相平行，故此选项符合题意；
C选项，观察图形可知直线m⊥n，故此选项不符合题意；
D选项，观察图形可知，直线m和n相交，故此选项不符合题意.
【强化训练2】如图所示，能相交的是 ，一定平行的是 ．（填图形序号）
【答案】③；⑤
【解析】解：对于①，是由一条直线、一条射线组成，且射线只可向右无限延伸，与直线没有交点，故不能相交；
对于②，是由一条直线、一条线段组成，当直线延伸时与线段没有交点，故不能相交；
对于③，是由一条直线、一条线段组成，当直线线延时，与线段有交点，故可以相交；
对于④，是由两条线段组成，没有交点，故不能相交；
对于⑤，由两条直线组成，且在同一平面内，故一定平行．
故答案为：③；⑤．
【强化训练3】在同一平面内，两条直线有两种位置关系，它们是__________．
【答案】相交或平行
【解析】在同一平面内，两条直线有两种位置关系，即相交或平行，故答案为：相交或平行．
【强化训练4】一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放.如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题：
(1)找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来；
(2)找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来；
(3)找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数.(不包括直角尺自身所成的角)
【答案】解　此题答案不唯一，只要答案正确即可得分.
(1)如：DE∥CB，DF∥CB，FE∥CB.
(2)如：ED⊥AC，FD⊥AC，FD⊥AD.
(3)如：钝角：∠GFD＝135°，∠CGB＝∠FGE＝105°.
直角：∠ADE＝90°.
锐角：∠GCB＝30°，∠AFD＝45°，∠CGF＝75°.
【题型2】平行线的画法
【典例】如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线 ，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（ ）
①沿直尺下移三角尺； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线．
A.④①②③ B.④②①③ C.④②③① D.④③①②
【答案】B
【解析】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①，
故选：B．
【强化训练1】如图，在同一平面内，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
【答案】B
【解析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线a平行的直线，只能是一条，即与直线a相交的直线至少有3条.
【强化训练2】如图，过C点作线段AB的平行线，说法正确的是
A.不能作 B.只能作一条 C.能作两条 D.能作无数条
【答案】B
【强化训练3】在同一平面内的两条直线a，b，分别根据下列的条件，写出a，b的位置关系.
(1)如果它们没有公共点，则　　　　；
(2)如果它们都平行于第三条直线，则　　　　；
(3)如果它们有且只有一个公共点，则　　　　；
(4)过平面内的同一点画它们的平行线，能画出两条，则　　　　.
【答案】(1)a∥b　(2)a∥b　(3)a和b相交　(4)a和b相交
【强化训练4】如图，根据要求填空．
(1)过A作AE∥BC，交______于点E；
(2)过B作BF∥AD，交______于点F；
(3)过C作CG∥AD，交__________于点G；
(4)过D作DH∥BC，交BA的__________于点H.
【答案】(1)DC
(2)DC
(3)AB
(4)延长线
【解析】(1)过A作AE∥BC，交DC于点E；
(2)过B作BF∥AD，交DC于点F；
(3)过C作CG∥AD，交AB的延长线于点G；
(4)过D作DH∥BC，交BA的延长线于点H.
【强化训练5】如图，按要求画图并回答问题：
(1)过点A画点A到直线的垂线段，垂足为D；
(2)过点D画直线，交的延长线于点E；
(3)的内错角是　　　；
(4)在线段中，最短的是　　　，理由为　　　．
【答案】解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；

（3）的内错角是，
故答案为：；
（4）解：在线段中，最短的是，理由为垂线段最短．
故答案为：，垂线段最短．
【题型3】立体图形中平行的棱或面
【典例】如图所示，在长方体中，与棱既不相交也不平行的棱有（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
【答案】C
【解析】由题意得：
与棱AD既不相交也不平行的棱有：BB1，CC1，A1B1，C1D1
故选C.
【强化训练1】已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（　　　）
A.棱EA； B.棱AB； C.棱GH； D.棱GF．
【答案】A
【解析】解：观察图象可知，与棱GC平行的棱有AE、BF、DH．
故选：A．
【强化训练2】在同一平面内，两直线可能的位置关系是(　　)
A.相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交、平行或垂直
【答案】C
【解析】平面内，两直线的位置关系是相交或平行(其中垂直是相交的特例).
【强化训练3】在如图长方体ABCD－EFGH中与平面ADHE平行的棱是______________，与棱FB平行的棱是______________________________．
【答案】BF、BC、FG、CG；AE、HD、CG
【解析】与平面ADHE平行的棱是BF、BC、FG、CG，与棱FB平行的棱有AE、HD、CG，故答案为：BF、BC、FG、CG；AE、HD、CG.
【强化训练4】观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条线棱的位置关系：
A1B1 AB，AA1 AB，A1D1 D1C1，AD BC.
【答案】解：A1B1∥AB，AA1⊥AB，A1D1⊥C1D1，AD∥BC．
【题型4】平行公理
【典例】如图，在直线l外任取一点Q，过点Q画直线l的平行线，可画出的平行线有(　　)
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
【答案】B
【强化训练1】如图，同一平面内经过直线l外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有（　　）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】C
【解析】∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
∴过直线l外一点O的四条直线中，最多只有一条直线与l平行，
∴与直线l相交的直线至少有3条.
【强化训练2】已知直线AB和直线外一点P，过点P作直线与AB平行，这样的直线有（　　）
A.有且只有一条 B.不止一条 C.不存在 D.不存在或只有一条
【答案】A
【解析】根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【强化训练3】如图，因为（已知）．所以A，B，C三点共线．依据： ．
【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【解析】解：因为（已知）．所以A，B，C三点共线．依据：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，
故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
【强化训练4】如图，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，为什么？
【答案】解 ∵OA∥CD，OB∥CD且OA、OB交于点O，
根据过直线CD外一点O有且只有一条直线与已知直线CD平行，
∴OA，OB共直线，∴A、O、B共直线．∴∠AOB是平角．
【题型5】平行公理的推论
【典例】如果，，那么，这个推理的依据是（ ）
A.等量代换 B.平行线的定义 C.两直线平行，同位角相等 D.平行于同一直线的两条直线平行
【答案】D
【解析】解：因为，，
所以；
故选：D．
【强化训练1】下面推理正确的是（ ）
A.，， B.，， C.，， D.，，
【答案】C
【解析】解：A、，都和平行，应该推出的是，而非，故错误，不符合题意；
B、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意；
C、，都和平行，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”可推出是，故正确，符合题意；
D、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意；
故选：C．
【强化训练2】新疆的独库公路被誉为“中国最美公路”之一，独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561千米，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2.当AB∥EF，CD∥EF，那么AB∥CD的理由是　　　　.
【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行
【强化训练3】如图，直线a,点B，点C．
（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？
【答案】解：（1）如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行；
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下：
如图，∵b∥a,c∥a,
∴c∥b.
【题型6】同位角相等两直线平行
【典例】如图，下列条件能判定a∥b的是（　　）
A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠3 C.∠1＝∠4 D.∠2＝∠5
【答案】A
【解析】A项，由∠1＝∠2，同位角相等，两直线平行，得到a∥b，所以A选项正确，符合题意；
B项，由∠1＝∠3，对顶角相等，不能得到a∥b，所以B选项错误，不符合题意；
C项，由∠1＝∠4，不能得到a∥b，所以C选项错误，不符合题意；
D项，由∠2＝∠5，不能得到a∥b，所以D选项错误，不符合题意．
【强化训练1】如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果∠2＝50°，要使a∥b，那么∠1等于（　　）
A.40° B.50° C.60° D.80°
【答案】A
【解析】∵∠2＝50°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∴当∠1＝∠3＝40°时，a∥b．
【强化训练2】如图，将木条a,b与c钉在一起，∠1=85°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　）
A.15° B.25° C.35° D.50°
【答案】C
【解析】∵∠AOC=∠2=50°时，OA∥b,
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°-50°=35°．
故选：C．
【强化训练3】如图，直角三角尺的直角顶点在直线b上，∠3＝25°，转动直线a，当∠1＝______时，a∥b.
【答案】65°
【解析】∵直角三角尺的直角顶点在直线b上，∠3＝25°，∴∠2＝90°－25°＝65°，∴当∠1＝∠2＝65°时，a∥b.故答案为65°.
【强化训练4】如图，直线AB，CD分别与EF相交于点G，H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试证明：AB∥CD.
【答案】证明　因为∠EHD＝∠2＝70°，且∠1＝70°，
所以∠1＝∠EHD，所以AB∥CD.
【强化训练5】如图，∠B＝50°，CG平分∠DCF，∠DCG＝65°，试证明：AB∥EF.
【答案】证明　因为CG平分∠DCF，∠DCG＝65°，
所以∠DCF＝2∠DCG＝130°.
所以∠DCE＝180°－∠DCF＝50°.
所以∠B＝∠DCE.所以AB∥EF.
【题型7】内错角相等两直线平行
【典例】如图，点F，E分别在线段AB和CD上，下列条件能判定AB∥CD的是(　　)
A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠4 C.∠4＝∠2 D.∠3＝∠4
【答案】B
【解析】根据∠1＝∠2，可得DF∥BE，故A错误；根据∠1＝∠4，可得AB∥CD，故B正确；根据∠4＝∠2，不能判定AB∥CD，故C错误；根据∠3＝∠4，可得DF∥BE，故D错误；故选B.
【强化训练1】如图，一个直角三角板ABC(∠BAC＝90°，∠ACB＝30°)的两个顶点在直线a，b上，添加下列条件，一定能判断直线a∥b的是(　　)
A.∠1＝2∠2 B.∠1＝55°，∠2＝20° C.∠ACB＝∠1－∠2 D.∠1＋∠2＝90°
【答案】C
【解析】当∠1＝∠2＋∠ACB时，a∥b，所以当∠ACB＝∠1－∠2时，一定能判断a∥b，故C正确，符合题意；
A，B，D不能判断直线a∥b，不符合题意.
【强化训练2】如图，AD平分∠BAC，E、F分别是AD、AC上的点，请你填写两个不一样的条件__________________________________，使EF∥AB.
【答案】∠AEF＝∠BAD或∠CFE＝∠BAC(答案不唯一)
【解析】当∠AEF＝∠BAD时，EF∥AB，理由：内错角相等，两直线平行；当∠CFE＝∠BAC时，EF∥AB，理由：同位角相等，两直线平行；故答案是：∠AEF＝∠BAD或∠CFE＝∠BAC(答案不唯一)．
【强化训练3】如图，直线CD，EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE．
（1）若∠2∶∠3＝2∶5，求∠AOF的度数；
（2）在（1）的条件下，若∠1＝50°，AB∥CD吗？请说明理由．
【答案】解：（1）∵∠2∶∠3＝2∶5，，
∴∠DOE∶∠3＝4∶5．
∵∠DOE+∠3＝180°，
∴,
∴，
∴∠COE＝∠3＝100°，
∵OA平分∠COE，
∴，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝130°，
∴∠AOF的度数为130°．
（2）平行．
理由：由（1）可知∠AOC＝∠AOE＝50°．
∵∠1＝50°，
∴∠AOC＝∠1，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.
【强化训练4】如图所示，直线AF，BD相交于点C，过点C作射线CE，使得CD平分∠ECF，连接AB，若∠B=∠ACB，试说明AB∥CE．
【答案】证明：∵CD平分∠ECF，
∴∠ECD=∠DCF，
∵∠ACB=∠DCF，∠B=∠ACB，
∴∠B=∠ECD，
∴AB∥CE．
【题型8】同旁内角互补两直线平行
【典例】如图，在下列给出的条件中，利用“同旁内角互补两直线平行”可判定的是（ ）
A. B.° C. D.
【答案】A
【解析】解：A、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能证出，故本选项符合题意；
B、因为，所以（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意；
C、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意；
D、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意；
故选：A．
【强化训练1】如图，下列条件，利用“同旁内角互补，两直线平行”能判定的是（ ）
A.
B.
C.
D.+∠3=180°
【答案】C
【解析】解：A、B、D都不符合题意；
C、
∴（同旁内角互补，两直线平行）；故本选项正确，符合题意；
故选：C．
【强化训练2】如图，给出下列条件．其中，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、由，可得，由同旁内角互补，两直线平行，可判定，不符合题意；
B、，由同旁内角互补，两直线平行，可判定，不符合题意；
C、，由同旁内角互补，两直线平行，可判定，不符合题意；；
D、不能判定，符合题意；
故选：D．
【强化训练3】如图，要使“直线l1∥l2”，请利用“同旁内角互补，两直线平行”添加的条件是 　 　.（用图中标注的数字表示的角）
【答案】∠2+∠4=180°
【解析】要使直线l1∥l2，利用“同旁内角互补，两直线平行”则需要添加的条件是∠2+∠4=180°.
【强化训练4】如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________，这是因为__________________________．
【答案】平行；同旁内角互补
【解析】∵一组同旁内角的度数比为3∶2，差为36°，∴设较小的角为x，则较大的为x＋36°，∴(x＋36°)∶x＝3∶2，∴x＝72°，x＋36°＝108°，∵72°＋108°＝180°，即同旁内角互补．∴这两条直线的位置关系是平行，∴答案为平行，同旁内角互补．
【强化训练5】已知是的平分线，是的平分线，．求证：．
【答案】解：∵是的平分线，是的平分线，
∴，
∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴．
【强化训练6】如图，AB⊥BG，CD⊥BG，∠A＋∠AEF＝180°.说明CD∥EF的理由．
【答案】证明：因为AB⊥BG，CD⊥BG (已知)，
所以∠B＝90°，∠CDG＝90°(垂直的意义)，
所以∠B＝∠CDG (等量代换)，
所以AB∥CD (同位角相等，两直线平行)，
因为∠A＋∠AEF＝180° (已知)，
所以AB∥EF(同旁内角互补，两直线平行)，
所以CD∥EF(平行公理的推论)．
【题型9】同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行
【典例】如图，要使BC∥DE，给出下列条件：①②BC⊥AC，DE⊥AC，③，④，其中正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】解：①，不能判定，不符合题意；
②∵BC⊥AC，DE⊥AC，∴∠AED=∠C=90°（垂直定义）
∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)，符合题意.
③∵，
∴（内错角相等，两直线平行）
④∵，
∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)，符合题意.
综上所述，能判定DE∥BC有3个，故选：C
【强化训练1】如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】、根据作图可知：，，
∴∠D=∠FCB=90°（垂直定义）
∴(同位角相等，两直线平行)
故此选项正确，不符合题意；
、根据作图可知：，，
∴，，
∴，，
∴，故此选项正确，不符合题意；
、根据作图可知：，
根据垂线段最短可知：，故此选项正确，不符合题意；
、∵，
∴，故此选项错误，符合题意；
故选：．
【强化训练2】在同一平面内有四条不同的直线a，b，c，d，若，，，则c，d的位置关系为（ ）
A.互相平行 B.互相垂直 C.相交 D.重合
【答案】A
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即c，d的位置关系为互相平行，
故选：A．
【强化训练3】如图，于点F，于点D，E是AC上一点，，则图中互相平行的直线 ．
【答案】，
【解析】解： ，，
故答案为：
【强化训练4】如图，CD⊥AB，请添加一个条件：　 　，使得CD∥EF．
【答案】EF⊥AB
【解析】添加EF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AFE＝90°（垂直定义），
∴CD∥EF(同位角相等，两直线平行).
【强化训练5】如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2＝∠CBD，求证：MDGF．
下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①　　）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴BDEF（同位角相等，两直线平行）．
∵∠1＝∠2＝∠CBD（已知）．
∴∠1＝∠CBD（等量代换）．
∴③　　（内错角相等，两直线平行）．
∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
∴MDBC（④　　）．
∴MDGF（⑤　　）．
【答案】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∵∠1＝∠2＝∠CBD（已知）．
∴∠1＝∠CBD（等量代换）．
∴GF∥BC（内错角相等，两直线平行）．
∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
∴MD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴MD∥GF（平行于同一直线的两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；GF∥BC；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．
【强化训练6】如图，已知NE⊥BC于E，AD⊥BC于D，MF⊥BC于F，求证：AE∥MF.
【答案】证明：∵NE⊥BC，AD⊥BC，
∴∠NEC＝∠ADC=90°（垂直定义），
∴NE∥AD（同位角相等两直线平行），
同理AD∥MF，
∴AE∥MF（平行于同一直线的两条直线互相平行）.
【题型10】平行线判定方法的综合
【典例】下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A,由∠1＝∠2，不能得到AB∥CD，故不符合题意；
B,∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，不能得到AB∥CD，故不符合题意；
C,由∠1＝∠2，能得到AB∥CD，符合题意；
D,由∠1＝∠2，不能得到AB∥CD，不符合题意.
【强化训练1】如图，点E在线段BC的延长线上，点F在线段BA的延长线上，下列证明AB∥CD的推理中正确应用了“同位角相等，两直线平行”这一原理的是（　　）
A.∵∠B＝∠D，∴AB∥CD
B.∵∠B＝∠DCE，∴AB∥CD
C.∵∠D＝∠FAD，∴AB∥CD
D.∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD
【答案】B
【解析】由∠B＝∠D，不能判定AB∥CD，
故A不符合题意；
∵∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
故B符合题意；
∵∠D＝∠FAD，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故C不符合题意；
∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
故D不符合题意．
【强化训练2】如图，下列选项不能判定AB∥EF的是（　　）
A.∠B＝∠EFC B.∠ADE＝∠DEF C.∠ADE＝∠EFC D.∠B+∠BFE＝180°
【答案】C
【解析】A，∠B＝∠EFC，根据同位角相等，两直线平行能判定AB∥EF，不符合题意；
B，∠ADE＝∠DEF，根据内错角相等，两直线平行，能判定AB∥EF，不符合题意；
C，∠ADE＝∠EFC不能判定AB∥EF，符合题意；
D，∠B+∠BFE＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，能判定AB∥EF，不符合题意.
【强化训练3】如图，点E在AC的延长线上，对于下列给出的四个条件：
①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③∠A＝∠DCE；④∠D＋∠ABD＝180°.
能判断AB∥CD的有　　(填正确结论的序号).
【答案】②③④
【解析】①根据内错角相等，两直线平行，即可证得BD∥AC，不能证明AB∥CD；
②根据内错角相等，两直线平行，即可证得AB∥CD；
③根据同位角相等，两直线平行，即可证得AB∥CD；
④根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得AB∥CD.
【强化训练4】如图，已知点在上，平分，平分．
(1)试说明：；
(2)若，，则与平行吗？为什么？
【答案】（1）解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2），理由如下：
由（1）得，∠3＝∠4．
∵，，
∴，，
∴，，
∴．
【强化训练5】判断：
（1）a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.
（2）a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c.
【答案】解：（1）正确，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可知，原命题是正确的.
（2）错误.如图，
∵a⊥b，b⊥c，
∴∠1=∠2=90°（垂直定义），
∴a∥c（同位角相等，两直线平行）.
∴原命题错误.
【题型11】平行线判定方法的实际应用
【典例】用两个完全一样的含30°角的三角尺画平行线，下列画出的直线a与b不一定平行的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】A、根据同位角相等，两直线平行得到a∥b，故不符合题意；
B、根据内错角相等，两直线平行得到a∥b，故不符合题意；
C、画出的直线a与b不一定平行，故符合题意；
D、根据内错角相等，两直线平行得到a∥b，故不符合题意.
【强化训练1】在操场上活动时，小明发现旗杆的影子与旁边的树的影子好像平行，但他不敢确定，那么他可以采取的最好办法是(　　)
A.通过平移的办法进行验证
B.看看其他同学是不是这样认为
C.构造并测量两个同位角，若相等则影子平行
D.构造几何模型，用已学知识证明
【答案】C
【解析】因旗杆的影子与旁边的树的影子在进行平移时，比较麻烦，不是很准确，他可以采取的最好办法是构造并测量两个同位角，若相等则影子平行．故选C.
【强化训练2】小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝　 　，则三角尺BCE有一条边与斜边AD平行（写出所有可能情况）．
【答案】15°或60°或150°
【解析】有三种情形：①如图，当AD∥BE时，延长BE交AC于点F，
∵AD∥BE，
∴∠BFC＝∠A＝30°，
∴∠ACE＝∠CEB﹣∠EFC＝45°﹣30°＝15°；
②如图，当AD∥BC时，延长CE交AD于点G，
∵AD∥BC，
∴∠AGC＝∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠A＝60°；
③如图，当AD∥CE时，
∵AD∥CE，
∴∠ACE＝180°﹣∠A＝150°，
综上所述，满足条件的∠ACE的度数为15°或60°或150°.
【强化训练3】一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角板AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　 　时，CD∥AB．
【答案】30°或150°
【解析】如图所示，当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠BAC＝∠C＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°.
【强化训练4】图中所示为防护网的示意图.它可看成由两组平行线组成，你能通过检验一些角的大小来验证其中的线段平行吗？说出你的做法.
【答案】解：能通过检验一些角的大小来判断其中的线段是否平行，
理由：可以通过测量∠1，∠2，∠3的度数，
如果∠1=∠2，可利用同位角相等两直线平行，判断一组线段平行；
如果∠2=∠3，可利用内错角相等两直线平行，判断另一组线段平行．
【题型12】两直线平行同位角相等
【典例】如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PE是∠DPF的平分线，若∠1＝50°，则∠EPD的大小为（　　）
A.65° B.75° C.85° D.95°
【答案】A
【解析】∵AB∥CD，∠1＝50°，
∴∠CPF＝∠1＝50°（两直线平行，同位角相等），
∴∠DPF＝180°﹣∠CPF＝180°﹣50°＝130°，
∵PE是∠DPF的平分线，
∴∠EPD＝∠DPF＝×130°＝65°.
【强化训练1】阅读下列材料，其①~④步中数学依据错误的是（ ）
A.① B.② C.③ D.④
【答案】B
【解析】解：证明：①（已知），
（垂直的定义）
②又 （已知），
（两直线平行，同位角相等）
③（等量代换）
④（垂直的定义）
故错误为②，
故选B．
【强化训练2】如图，直线，点在直线上，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：，
∴（对顶角相等）
，
（两直线平行，同位角相等）
又，
，
．
故选：A．
【强化训练3】如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，AB，AC上的点，DE∥AC，DF∥AB.若∠B+∠C=110°，则∠EDF的度数是　　　　　.
【答案】70°
【强化训练4】如图，直线EF分别交AB、CD于点E，F，且AB∥CD，若∠1＝60°，则∠2＝________°.
【答案】120
【解析】∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠1＝60°，∴∠2＝180°－∠DFE＝120°.故答案为120.
【强化训练5】如图，点C在∠AOB的边OB上，过C作DE∥OA，CF平分∠BCD，CG⊥CF于C．
（1）若∠BCG＝55°，求∠DCF；
（2）过O作OH∥CF，交DE于点H，求证：OH平分∠AOB．
【答案】（1）解：∵CG⊥CF，
∴∠FCG＝90°，
∴∠BCF＝∠FCG﹣∠BCG＝90°﹣55°＝35°，
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCF＝35°.
（2）证明：如图，∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠BCD，
∵DE∥OA，
∴∠AOB＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），
∵OH∥CF，
∴∠BCF＝∠BOH（两直线平行，同位角相等），
∴∠BOH＝∠AOB，
∴∠AOH＝∠BOH，
∴OH平分∠AOB．
【题型13】两直线平行内错角相等
【典例】如图，，点在上，过点作的垂线与相交于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵过点作的垂线与相交于点，
，
，，
（两直线平行，内错角相等）.
，
故选：C．
【强化训练1】如图，把直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一直线上，若∠ADE＝135°，则∠DBC的度数是(　　)
A.65° B.55° C.45° D.35°
【答案】C
【解析】∵∠ADE＝135°，∴∠ADF＝180°－135°＝45°.∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADF＝45°.故选C.
【强化训练2】如图，AB∥CD，E是CD上一点，BC平分∠ABE，∠ABC＝25°，则∠BED为（　　）
A.50° B.45° C.30° D.25°
【答案】A
【解析】∵BC平分∠ABE，∠ABC＝25°，
∴∠ABE＝2∠ABC＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠ABE＝50°（两直线平行，内错角相等）．
【强化训练3】如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角∠A的度数为130°，第二次拐角∠B的度数为______．
【答案】130°
【解析】∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同，∴∠A＝∠B，又∵∠A的度数为130°，∴第二次拐角∠B的度数为130°，故答案为130°.
【强化训练4】如图，把长方形ABCD沿EF折叠，若∠B'FC＝50°，则∠DEF的度数为　　　°.
【答案】65
【解析】由折叠可得∠BFE＝∠B'FE＝(180°－∠B'FC)＝65°，
∵长方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE＝65°(两直线平行，内错角相等)，即∠DEF的度数为65°.
【强化训练5】如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED＝80°，求∠ACB、∠DCB、∠EDC的度数．
【答案】解：∵DE∥BC，
∴∠ACB＝∠AED＝80°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝40°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB＝40°.
【强化训练6】如图，DE∥AC．
(1)已知，求的度数；
(2)若AD⊥DE于D，且∠C=35°，求证：∠3的度数.
【答案】解：（1），
（两直线平行，内错角相等）.
（2）证明：
，
=35°，
∵AD⊥DE
∴∠ADE=90°（垂直定义）
∴∠3=90°-35°=55°
【题型14】两直线平行同旁内角互补
【典例】如图，被直线所截，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补）.
∵，
∴．
∵，
∴．
∴
故选：B．
【强化训练1】如图，直线，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补）.
∵，
∴，
故选：．
【强化训练2】如图，直线被直线所截，，，则 度．
【答案】140
【解析】解：∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补）.
∵，
∴，
故答案为：140．
【强化训练3】如图，已知AB∥CD，∠B=42°，∠ACD=64°，求∠ACB的度数．
【答案】解：∵AB//CD，
∴∠ACD+∠ACB+∠B=180°，
∴∠ACB=180°-∠ACD-∠B，
∵∠ACD=64°，∠B=42°，
∴∠ACB=180°-64°-42°=74°．
【强化训练4】如图是一块梯形铁片，量得∠A＝100°，∠B＝115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？
【答案】解　因为梯形上、下底互相平行，
所以∠A 与∠D 互补，∠B 与∠C 互补.
所以∠D＝180°－∠A＝180°－100°＝80°，
∠C＝180°－∠B＝180°－115°＝65°.
所以梯形的另外两个角的度数分别是 80°，65°.
【题型15】平行线性质的综合
【典例】若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的平分线互相(　　)
A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交
【答案】B
【解析】如图：∵AB∥CD，∴∠EMB＝∠MND，∵PM与QN分别平分∠EMB与∠MND，∴∠1＝12∠EMB，∠2＝12∠MND，∴∠1＝∠2，∴PM∥QN.故选B.
【强化训练1】将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠4＋∠5＝180°；③∠1＋∠4＝90°；④∠4＋90°＝∠3.正确的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】如图，∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)，故结论①正确；
∵AB∥CD，
∴∠4＋∠5＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，故结论②正确；
∵∠1＝∠2，∠2＋∠4＝180°－90°＝90°，
∴∠1＋∠4＝90°，
故结论③正确；
∵∠2＋∠4＝90°，
即∠2＝90°－∠4，
∵AB∥CD，
∴∠2＋∠3＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴90°－∠4＋∠3＝180°，即∠3＝90°＋∠4，故结论④正确，
∴结论正确的是①②③④.
【强化训练2】如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为（　　）
A.25° B.35° C.45° D.55°
【答案】B
【解析】∵AB∥DC，
∴∠B+∠C＝180°，
∵BC∥DE，
∴∠C＝∠D，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝145°，
∴∠D＝35°．
【强化训练3】如图，AC∥BD，∠A＝60°，∠C＝62°，则∠2＝______，∠3＝______，∠1＝______.
【答案】60°；62°；58°
【解析】∵AC∥BD，∠A＝60°，∠C＝62°，∴∠2＝∠A＝60°，∠3＝∠C＝62°，∴∠1＝180°－∠2－∠3＝58°.故答案为60°，62°，58°.
【强化训练4】如图所示，五边形中，，，，分别是，，的补角，若，，则等于 ．

【答案】
【解析】解：过点E作，此时为，为，如图所示：

∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【强化训练5】如图，平行线a，b被直线c所截，若知道∠1至∠8中一个角的度数，能否求出其他角的度数？如果能，用其中一个角表示出其他各角.
【答案】解：可以．
如果∠1=α，由对顶角和邻补角性质可得∠3=α，∠2=180°-α，∠4=180°-α，
∵a∥b,
∴∠5=∠1=α，∠6=∠2=180°-α，∠7=∠3=α，∠8=∠4=180°-α．
【题型16】平行线性质与30°60°45°三角板的综合
【典例】如图，与为两块直角三角板，其中，点在上，若，则＝（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【强化训练1】如图，直线，含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，求的度数．为解决此问题，小芸和小楠提出了两种不同的思路：
如图，直线，含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．
若，求的度数．为解决此问题，小芸和小楠提出了两种不同的思路：
阅读以下解题过程，下列说法：
①中应填：；
②中应填：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
③中应填：两直线平行，同位角相等；
④中应填：．
其中正确的是（ ）
A.①②③④ B.②③ C.②④ D.①②④
【答案】D
【解析】解：小芸：如图，过点作的平行线，
，，
．
，故①正确；
（两直线平行，内错角相等）
，
．
， ，
（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），故②正确；
．
小楠：如图，过点作的平行线，
（两直线平行，内错角相等），故③不正确；
，
，故④正确；
，，
，
．
故选：D．
【强化训练2】将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图，
由题意可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【强化训练3】将一副直角三角板作如图所示摆放，，，，则 °．
【答案】75
【解析】解：延长交于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：75．
【强化训练4】将一块含30°的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A，C分别在直线a，b上，若a∥b，∠1＝40°，则∠2＝　 　°．
【答案】20
【解析】如图，
∵a∥b，
∴∠1+30°+90°+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1=40°，
∴∠2=20°.
【强化训练5】[问题背景]
在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》，
[实践操作]
（1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC上，已知∠DAE=60°，∠B=∠C=45°，且AD∥BC，则∠CAE的度数为多少？
（2）如图2，小红将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间（其中∠B=∠ACB=45°），并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得∠MAB=35°，∠PCB=10°，请判断直线MN与PQ是否平行，并说明理由；
（3）现将三角板ABC按图3方式摆放（其中∠B=∠ACB=45°），使顶点C在直线MN上，直角顶点A在直线PQ上，若MN∥PQ，请写出∠PAB与∠MCA之间的关系式，并说明理由．
【答案】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠ABC=45°，
∴∠BAE=∠DAE-∠DAB=60°-45°=15°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=90°-15°=75°.
（2）MN∥PQ.
理由如下：
∵∠MAB=35°，∠BAC=90°，
∴∠MAC=35°+90°=125°，
∵∠PCB=10°，∠ACB=45°，
∴∠ACP=10°+45°=55°，
∴∠MAC+∠ACP=125°+55°=180°，
∴MN∥PQ.
（3）∠PAB-∠MCA=90°．
理由如下：
∵MN∥PQ，
∴∠MCA=∠CAQ，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAQ+∠BAQ=90°，
∴∠MCA+∠BAQ=90°，
∴∠BAQ=90°-∠MCA，
又∵∠PAB+∠BAQ=180°，
∴∠PAB-∠MCA=90°．
【题型17】平行线性质的实际应用
【典例】绍兴市为了方便市民绿色行，出了①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=61°，∠BAC=53°，当∠MAC为（　　）度时，AM与CB平行．
A.61 B.66 C.86 D.114
【答案】B
【解析】∵AB∥l,CD∥l,
∴AB∥CD，
∵∠BCD=61°，
∴∠ABC=∠BCD=61°，
∵∠BAC=53°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-61°-53°=66°，
∵要使AM与CB平行，则有∠ACB=∠MAC，
∴∠MAC=66°，
故选：B．
【强化训练1】一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（ ）
A.先右转，再左转
B.先左转，再右转
C.先左转，再右转
D.先右转，再右转
【答案】B
【解析】解：如图所示：
A、
故本选项错误；
B、
故本选项正确；
C、
故本选项错误；
D、
故本选项错误．
故选B．
【强化训练2】如图，工程队铺设一公路，他们从点A处铺设到点B处时，由于水塘挡路，他们决定改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿着与AB平行的DE方向继续铺设，如果∠ABC＝120°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数是________．
【答案】80°
【解析】过C作MN∥AB，∵AB∥DE，∴MN∥DE，∴∠2＋∠D＝180°，∵∠CDE＝140°，∴∠2＝40°，∵MN∥AB，∴∠1＋∠B＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠1＝60°，∴∠BCD＝180°－60°－40°＝80°，故答案为80°.
【强化训练3】高速公路上安装如图①所示的激光灯可以预防司机疲劳驾驶，图②是激光为于初始位置时的平面几何示意图，其中C，D是直线AB上的两个发射点，∠ACE＝60°，∠CDF＝150°，现激光EC绕点C以2°/s的速度顺时针转动，同时激光FD绕点D以3°/s的速度逆时针转动，若转动t s后，激光EC与FD首次平行，则转动时间t应为 　 　s．
【答案】18
【解析】由题意可知，∠ACE＝60°+2°t，∠ADF＝150°﹣3°t，
∵EC∥FD，
∴∠ACE＝∠ADF，
∴60+2°t＝150°﹣3°t，
解得t＝18.
【强化训练4】有一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°.梯形的另外两个角∠D，∠C分别是多少度？
【答案】解：∵四边形ABCD为梯形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，
∵∠A=100°，∠B=115°，
∴∠D=80°，∠C=65°．
【强化训练5】如图，一条水渠两次拐弯后和原来的方向相同.如果第一次的拐角∠A为135°，第二次的拐角∠B是多少度？为什么？
【答案】解：如图，
∵AC∥BD，（已知）
∴∠B=∠A=135°.（两直线平行，内错角相等）
【题型18】平行线性质与判定的综合
【典例】如图，四边形ABCD中，BD与AC相交于点O，AE∥CF，E，F在BD上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　）
A.∠1＝∠2 B.∠3＝∠4 C.∠DAE＝∠BCF D.∠BAD＝∠DCB
【答案】A
【解析】∵AE∥CF，
∴∠3＝∠4，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠4+∠2，
∴∠BAO＝∠DCO，
∴AB∥CD，
故A符合题意；
∵∠3＝∠4，
∴AE∥CF，
故B不符合题意；
∵AE∥CF，
∴∠3＝∠4，
∵∠DAE＝∠BCF，
∴∠DAE﹣∠3＝∠BCF﹣∠4，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥CB，
故C不符合题意；
∵AE∥CF，
∴∠3＝∠4，
∵∠BAD＝∠DCB，
∴∠BAD﹣∠3＝∠BCD﹣∠4，
∴∠1+∠CAD＝∠2+∠ACB，
∵∠1和∠2不一定相等，
∴∠BAC和∠ACD不一定相等，
∴AB和CD不一定平行，
故选D不符合题意.
【强化训练1】已知直线a，b被c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝55°，则∠4的度数是（　　）
A.60° B.55° C.120° D.125°
【答案】D
【解析】如图，∵∠3＝55°，
∴∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣55°＝125°，
∵∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠4＝∠5＝125°，
故选：D．
【强化训练2】如图，直线AB、CD分别与EF、GH相交，图中∠1=100°，∠2=85°，∠3=95°，则∠4的大小是（　　）
A.80° B.85° C.95° D.100°
【答案】D
【解析】如图，
∵∠2=85°，
∴∠5=180°-85°=95°，
∵∠3=95°，
∴∠5=∠3，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠6，
∵∠1=100°，
∴∠6=∠4=100°．
故选：D．
【强化训练3】如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠CBE+∠D＝90°；④∠DEB＝3∠ABC．其中结论正确的有 　 　．
【答案】①②③
【解析】∵AF∥CD，
∴∠ABC＝∠ECB，∠EDB＝∠DBF，∠DEB＝∠EBA，
∵CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，
∴∠ECB＝∠BCA，∠EBD＝∠DBF，
∴∠D＝∠DBE，
∵BC⊥BD，
∴∠D+∠ECB＝90°，∠DBE+∠EBC＝90°，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴∠CBE+∠D＝90°，故③正确；
∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABC＝∠BCA，
∴BC平分∠ABE，∠DEB＝∠EBA＝2∠ABC，故①正确，④错误；
∵∠EBC＝∠BCA，
∴AC∥BE，故②正确.
【强化训练4】如图，于点D，于点F，，．
(1)求的度数．
(2)求证：．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
由（1）问知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题型19】用平行线性质与判定解决拐角问题
【典例】如图，将直角三角板放在两平行线之间，若∠1＝32°，则∠2的度数为（　　）
A.28° B.38° C.48° D.58°
【答案】D
【解析】如图，过点A作AD∥MN，
∵MN∥CH，
∴MN∥AD∥CH，
∴∠2＝∠BAD，∠CAD＝∠1＝32°，
∴∠BAD＝90°﹣∠CAD＝58°，
∴∠2＝58°.
【强化训练1】如图，AB∥CD，∠F＝38°，∠C＝65°，则∠A的度数为(　　)
A.27° B.30° C.38° D.40°
【答案】A
【解析】∵AB∥CD，∠C＝65°，
∴∠FEB＝∠C＝65°(两直线平行，同位角相等)，
∵∠FEB＝∠180°－∠AEF＝∠A＋∠F，∠F＝38°，
∴∠A＝∠FEB－∠F＝65°－38°＝27°，
即∠A的度数为27°.
【强化训练2】如图，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之间的关系式为(　　)
A.α＋β＋γ＝360° B.α－β＋γ＝180° C.α＋β＋γ＝180° D.α＋β－γ＝180°
【答案】D
【解析】过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴α＋∠1＝180°，∠2＝γ，∵β＝∠1＋∠2＝180°－α＋γ，∴α＋β－γ＝180°.故选D.
【强化训练3】如图，AB∥CD，∠A＝100°，∠C＝110°，求∠AEC的度数.请补全下列解答过程.
解：过点E作EF∥AB，如图所示.
因为AB∥CD(已知)，
所以　　　　∥　　　　(平行于同一条直线的两条直线平行).
所以∠A＋　　　　＝ 180°，∠C＋　　　　＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
又因为∠A＝100°，∠C＝110°(已知)，
所以∠1＝　　　°，∠2＝　　　°.
所以∠AEC＝∠1＋∠2＝　　　°＋　　　°＝　　　°.
【答案】CD　EF　∠1　∠2　80　70　80　70　150
【强化训练4】(1)如图1，已知AB∥CD，PQ∥AB，∠AEP＝142°，∠PFD＝34°，求∠EPF的度数；
(2)如图2，若AB∥CD，点P在CD的下方，看一看，想一想，证一证：
以下与∠PFC，∠PEA，∠EPF有关的三个结论：∠PEA＋∠EPF>∠PFC，∠PEA＋∠EPF＝∠PFC，∠PEA＋∠EPF<∠PFC，你认为哪个正确？请说明理由.
【答案】解　(1)∵PQ∥AB，
∴∠AEP＋∠QPE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠AEP＝142°，
∴∠QPE＝180°－142°＝38°.
∵AB∥CD，
∴CD∥PQ.
∴∠QPF＝∠PFD＝34°(两直线平行，内错角相等).
∴∠EPF＝∠QPE＋∠FPQ＝38°＋34°＝72°，
即∠EPF的度数为72°.
(2)∠PFC＝∠PEA＋∠EPF正确，理由如下：
如图，过P点作PN∥CD，
∵PN∥CD，AB∥CD，
∴PN∥AB.
∴∠PEA＝∠NPE(两直线平行，内错角相等).
∵∠FPN＝∠NPE＋∠EPF，
∴∠FPN＝∠PEA＋∠EPF.
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC(两直线平行，内错角相等).
∴∠PFC＝∠PEA＋∠EPF.
【强化训练5】如图，已知AB∥CD，试判断∠B，∠BED和∠D之间的关系，并说明理由.
【答案】解　∠BED＝∠B＋∠D.理由如下：
如图，过点E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF.
∵AB∥CD，
∴EF∥CD.
∴∠DEF＝∠D.
∵∠BEF＝∠BEF＋∠DEF，
∴∠BED＝∠B＋∠D.
【题型20】用平行线性质与判定解决折叠问题
【典例】一个两边平行的纸条，如图那样折叠一下，则∠1的度数是(　　)
A.30° B.40° C.50° D.60°
【答案】C
【解析】如图：根据题意得：a∥b，∠1＝∠2，∠4＝100°，∴∠3＋∠4＝180°，∴∠3＝80°，∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠1＝180°-80°2＝50°.故选C.
【强化训练1】在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条宽度相等的长方形纸带将纸条沿AB折叠一下，若∠1=130°，则∠2的度数为（　　）
A.115° B.120° C.130° D.110°
【答案】A
【解析】∵宽度相等的纸条沿AB折叠，
∴纸条两边互相平行，
∴∠3=∠1=×130°=65°，
∴∠2=180°-∠3=180°-65°=115°．
故选：A．
【强化训练2】如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD做折纸游戏，他将纸片沿EF折叠后，D、C两点分别落在D′、C′的位置，并利用量角器量得∠EFB＝66°，则∠AED′等于______度．
【答案】48
【解析】∵∠EFB＝66°，∴∠EFC＝180°－66°＝114°，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝180°－∠EFC＝180°－114°＝66°，∵沿EF折叠D和D′重合，∴∠D′EF＝∠DEF＝66°，∴∠AED′＝180°－66°－66°＝48°，故答案为48.
【强化训练3】如图，将长方形纸片ABCD沿BE翻折，使点C落在点F处，若∠DEF＝40°，则∠FBE的度数为______．
【答案】20°
【解析】由翻折的性质，得∠BEF＝∠BEC，∠EBF＝∠EBC，∵∠DEF＝40°，∴∠BEC＝12(180°－∠DEF)＝12(180°－40°)＝70°，∴∠EBC＝90°－∠BEC＝90°－70°＝20°，即∠FBE＝20°，故答案为20°.
【强化训练4】如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法，其中王玲是通过折纸的方式完成：
第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对称点B 落在上，折痕与相交于点Q，打开纸张铺平；
第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）；
王玲就说，你能用几何推理说说其中的道理吗？
（请完成下面的证明，并填上对应的推理根据）
证明：∵
∴∠ ．理由是：（角平分线的定义）．
∵，
∴∠ ．理由是：（　 　 ）．
∴ ，
∴．理由是：（　 　 ）．
【答案】证明：∵
∴ ．理由是：（角平分线的定义）．
∵，
∴ ．理由是：（垂直定义）．
∴，
∴．理由是：（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：；90；；垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行．
【强化训练5】阅读下列材料，完成相应任务．
折纸中的数学
综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线．
兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则．
任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选）
A.同位角相等，两直线平行
B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行
D.平行于同一条直线的两条直线互相平行
E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上．
求证：折痕．
图5
【答案】解：任务一：如图，
∵
∴
又
∴
∵,
∴，
故选项A正确；
∵
∴，
故选项B正确；
∵
∴，
故选项C正确；
D.平行于同一条直线的两条直线互相平行，说法错误；
E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行说法错误；
所以，能作为判定上述材料中的依据的有A，B，C；
故答案为：A，B，C；
任务二：∵
∴
由折叠得，
∴
又
∴
由折叠得，
∴，
∴，
∴．人教版（2024）七年级下册 7.2 平行线 强化训练
【题型1】平行线的概念
【典例】同一平面内互不重合的三条直线的交点的个数
A.可能是0，1，2 B.可能是0，2，3 C.可能是0，1，2，3 D.可能是1或3
【强化训练1】已知直线m，n，下列图形中属于两直线平行的是(　　)
A. B. C. D.
【强化训练2】如图所示，能相交的是 ，一定平行的是 ．（填图形序号）
【强化训练3】在同一平面内，两条直线有两种位置关系，它们是__________．
【强化训练4】一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放.如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题：
(1)找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来；
(2)找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来；
(3)找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数.(不包括直角尺自身所成的角)
【题型2】平行线的画法
【典例】如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线 ，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（ ）
①沿直尺下移三角尺； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线．
A.④①②③ B.④②①③ C.④②③① D.④③①②
【强化训练1】如图，在同一平面内，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
【强化训练2】如图，过C点作线段AB的平行线，说法正确的是
A.不能作 B.只能作一条 C.能作两条 D.能作无数条
【强化训练3】在同一平面内的两条直线a，b，分别根据下列的条件，写出a，b的位置关系.
(1)如果它们没有公共点，则　　　　；
(2)如果它们都平行于第三条直线，则　　　　；
(3)如果它们有且只有一个公共点，则　　　　；
(4)过平面内的同一点画它们的平行线，能画出两条，则　　　　.
【强化训练4】如图，根据要求填空．
(1)过A作AE∥BC，交______于点E；
(2)过B作BF∥AD，交______于点F；
(3)过C作CG∥AD，交__________于点G；
(4)过D作DH∥BC，交BA的__________于点H.
【强化训练5】如图，按要求画图并回答问题：
(1)过点A画点A到直线的垂线段，垂足为D；
(2)过点D画直线，交的延长线于点E；
(3)的内错角是　　　；
(4)在线段中，最短的是　　　，理由为　　　．
【题型3】立体图形中平行的棱或面
【典例】如图所示，在长方体中，与棱既不相交也不平行的棱有（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
【强化训练1】已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（　　　）
A.棱EA； B.棱AB； C.棱GH； D.棱GF．
【强化训练2】在同一平面内，两直线可能的位置关系是(　　)
A.相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交、平行或垂直
【强化训练3】在如图长方体ABCD－EFGH中与平面ADHE平行的棱是______________，与棱FB平行的棱是______________________________．
【强化训练4】观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条线棱的位置关系：
A1B1 AB，AA1 AB，A1D1 D1C1，AD BC.
【题型4】平行公理
【典例】如图，在直线l外任取一点Q，过点Q画直线l的平行线，可画出的平行线有(　　)
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
【强化训练1】如图，同一平面内经过直线l外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有（　　）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【强化训练2】已知直线AB和直线外一点P，过点P作直线与AB平行，这样的直线有（　　）
A.有且只有一条 B.不止一条 C.不存在 D.不存在或只有一条
【强化训练3】如图，因为（已知）．所以A，B，C三点共线．依据： ．
【强化训练4】如图，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，为什么？
【题型5】平行公理的推论
【典例】如果，，那么，这个推理的依据是（ ）
A.等量代换 B.平行线的定义 C.两直线平行，同位角相等 D.平行于同一直线的两条直线平行
【强化训练1】下面推理正确的是（ ）
A.，， B.，， C.，， D.，，
【强化训练2】新疆的独库公路被誉为“中国最美公路”之一，独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561千米，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2.当AB∥EF，CD∥EF，那么AB∥CD的理由是　　　　.
【强化训练3】如图，直线a,点B，点C．
（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？
【题型6】同位角相等两直线平行
【典例】如图，下列条件能判定a∥b的是（　　）
A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠3 C.∠1＝∠4 D.∠2＝∠5
【强化训练1】如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果∠2＝50°，要使a∥b，那么∠1等于（　　）
A.40° B.50° C.60° D.80°
【强化训练2】如图，将木条a,b与c钉在一起，∠1=85°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　）
A.15° B.25° C.35° D.50°
【强化训练3】如图，直角三角尺的直角顶点在直线b上，∠3＝25°，转动直线a，当∠1＝______时，a∥b.
【强化训练4】如图，直线AB，CD分别与EF相交于点G，H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试证明：AB∥CD.
【强化训练5】如图，∠B＝50°，CG平分∠DCF，∠DCG＝65°，试证明：AB∥EF.
【题型7】内错角相等两直线平行
【典例】如图，点F，E分别在线段AB和CD上，下列条件能判定AB∥CD的是(　　)
A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠4 C.∠4＝∠2 D.∠3＝∠4
【强化训练1】如图，一个直角三角板ABC(∠BAC＝90°，∠ACB＝30°)的两个顶点在直线a，b上，添加下列条件，一定能判断直线a∥b的是(　　)
A.∠1＝2∠2 B.∠1＝55°，∠2＝20° C.∠ACB＝∠1－∠2 D.∠1＋∠2＝90°
【强化训练2】如图，AD平分∠BAC，E、F分别是AD、AC上的点，请你填写两个不一样的条件__________________________________，使EF∥AB.
【强化训练3】如图，直线CD，EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE．
（1）若∠2∶∠3＝2∶5，求∠AOF的度数；
（2）在（1）的条件下，若∠1＝50°，AB∥CD吗？请说明理由．
【强化训练4】如图所示，直线AF，BD相交于点C，过点C作射线CE，使得CD平分∠ECF，连接AB，若∠B=∠ACB，试说明AB∥CE．
【题型8】同旁内角互补两直线平行
【典例】如图，在下列给出的条件中，利用“同旁内角互补两直线平行”可判定的是（ ）
A. B.° C. D.
【强化训练1】如图，下列条件，利用“同旁内角互补，两直线平行”能判定的是（ ）
A.
B.
C.
D.+∠3=180°
【强化训练2】如图，给出下列条件．其中，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，要使“直线l1∥l2”，请利用“同旁内角互补，两直线平行”添加的条件是 　 　.（用图中标注的数字表示的角）
【强化训练4】如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________，这是因为__________________________．
【强化训练5】已知是的平分线，是的平分线，．求证：．
【强化训练6】如图，AB⊥BG，CD⊥BG，∠A＋∠AEF＝180°.说明CD∥EF的理由．
【题型9】同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行
【典例】如图，要使BC∥DE，给出下列条件：①②BC⊥AC，DE⊥AC，③，④，其中正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练1】如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】在同一平面内有四条不同的直线a，b，c，d，若，，，则c，d的位置关系为（ ）
A.互相平行 B.互相垂直 C.相交 D.重合
【强化训练3】如图，于点F，于点D，E是AC上一点，，则图中互相平行的直线 ．
【强化训练4】如图，CD⊥AB，请添加一个条件：　 　，使得CD∥EF．
【强化训练5】如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2＝∠CBD，求证：MDGF．
下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①　　）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴BDEF（同位角相等，两直线平行）．
∵∠1＝∠2＝∠CBD（已知）．
∴∠1＝∠CBD（等量代换）．
∴③　　（内错角相等，两直线平行）．
∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
∴MDBC（④　　）．
∴MDGF（⑤　　）．
【强化训练6】如图，已知NE⊥BC于E，AD⊥BC于D，MF⊥BC于F，求证：AE∥MF.
【题型10】平行线判定方法的综合
【典例】下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，点E在线段BC的延长线上，点F在线段BA的延长线上，下列证明AB∥CD的推理中正确应用了“同位角相等，两直线平行”这一原理的是（　　）
A.∵∠B＝∠D，∴AB∥CD
B.∵∠B＝∠DCE，∴AB∥CD
C.∵∠D＝∠FAD，∴AB∥CD
D.∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD
【强化训练2】如图，下列选项不能判定AB∥EF的是（　　）
A.∠B＝∠EFC B.∠ADE＝∠DEF C.∠ADE＝∠EFC D.∠B+∠BFE＝180°
【强化训练3】如图，点E在AC的延长线上，对于下列给出的四个条件：
①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③∠A＝∠DCE；④∠D＋∠ABD＝180°.
能判断AB∥CD的有　　(填正确结论的序号).
【强化训练4】如图，已知点在上，平分，平分．
(1)试说明：；
(2)若，，则与平行吗？为什么？
【强化训练5】判断：
（1）a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.
（2）a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c.
【题型11】平行线判定方法的实际应用
【典例】用两个完全一样的含30°角的三角尺画平行线，下列画出的直线a与b不一定平行的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【强化训练1】在操场上活动时，小明发现旗杆的影子与旁边的树的影子好像平行，但他不敢确定，那么他可以采取的最好办法是(　　)
A.通过平移的办法进行验证
B.看看其他同学是不是这样认为
C.构造并测量两个同位角，若相等则影子平行
D.构造几何模型，用已学知识证明
【强化训练2】小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝　 　，则三角尺BCE有一条边与斜边AD平行（写出所有可能情况）．
【强化训练3】一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角板AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　 　时，CD∥AB．
【强化训练4】图中所示为防护网的示意图.它可看成由两组平行线组成，你能通过检验一些角的大小来验证其中的线段平行吗？说出你的做法.
【题型12】两直线平行同位角相等
【典例】如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PE是∠DPF的平分线，若∠1＝50°，则∠EPD的大小为（　　）
A.65° B.75° C.85° D.95°
【强化训练1】阅读下列材料，其①~④步中数学依据错误的是（ ）
A.① B.② C.③ D.④
【强化训练2】如图，直线，点在直线上，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，AB，AC上的点，DE∥AC，DF∥AB.若∠B+∠C=110°，则∠EDF的度数是　　　　　.
【强化训练4】如图，直线EF分别交AB、CD于点E，F，且AB∥CD，若∠1＝60°，则∠2＝________°.
【强化训练5】如图，点C在∠AOB的边OB上，过C作DE∥OA，CF平分∠BCD，CG⊥CF于C．
（1）若∠BCG＝55°，求∠DCF；
（2）过O作OH∥CF，交DE于点H，求证：OH平分∠AOB．
【题型13】两直线平行内错角相等
【典例】如图，，点在上，过点作的垂线与相交于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，把直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一直线上，若∠ADE＝135°，则∠DBC的度数是(　　)
A.65° B.55° C.45° D.35°
【强化训练2】如图，AB∥CD，E是CD上一点，BC平分∠ABE，∠ABC＝25°，则∠BED为（　　）
A.50° B.45° C.30° D.25°
【强化训练3】如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角∠A的度数为130°，第二次拐角∠B的度数为______．
【强化训练4】如图，把长方形ABCD沿EF折叠，若∠B'FC＝50°，则∠DEF的度数为　　　°.
【强化训练5】如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED＝80°，求∠ACB、∠DCB、∠EDC的度数．
【强化训练6】如图，DE∥AC．
(1)已知，求的度数；
(2)若AD⊥DE于D，且∠C=35°，求证：∠3的度数.
【题型14】两直线平行同旁内角互补
【典例】如图，被直线所截，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，直线，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，直线被直线所截，，，则 度．
【强化训练3】如图，已知AB∥CD，∠B=42°，∠ACD=64°，求∠ACB的度数．
【强化训练4】如图是一块梯形铁片，量得∠A＝100°，∠B＝115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？
【题型15】平行线性质的综合
【典例】若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的平分线互相(　　)
A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交
【强化训练1】将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠4＋∠5＝180°；③∠1＋∠4＝90°；④∠4＋90°＝∠3.正确的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练2】如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为（　　）
A.25° B.35° C.45° D.55°
【强化训练3】如图，AC∥BD，∠A＝60°，∠C＝62°，则∠2＝______，∠3＝______，∠1＝______.
【强化训练4】如图所示，五边形中，，，，分别是，，的补角，若，，则等于 ．

【强化训练5】如图，平行线a，b被直线c所截，若知道∠1至∠8中一个角的度数，能否求出其他角的度数？如果能，用其中一个角表示出其他各角.
【题型16】平行线性质与30°60°45°三角板的综合
【典例】如图，与为两块直角三角板，其中，点在上，若，则＝（　　）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，直线，含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，求的度数．为解决此问题，小芸和小楠提出了两种不同的思路：
如图，直线，含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．
若，求的度数．为解决此问题，小芸和小楠提出了两种不同的思路：
阅读以下解题过程，下列说法：
①中应填：；
②中应填：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
③中应填：两直线平行，同位角相等；
④中应填：．
其中正确的是（ ）
A.①②③④ B.②③ C.②④ D.①②④
【强化训练2】将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】将一副直角三角板作如图所示摆放，，，，则 °．
【强化训练4】将一块含30°的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A，C分别在直线a，b上，若a∥b，∠1＝40°，则∠2＝　 　°．
【强化训练5】[问题背景]
在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》，
[实践操作]
（1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC上，已知∠DAE=60°，∠B=∠C=45°，且AD∥BC，则∠CAE的度数为多少？
（2）如图2，小红将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间（其中∠B=∠ACB=45°），并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得∠MAB=35°，∠PCB=10°，请判断直线MN与PQ是否平行，并说明理由；
（3）现将三角板ABC按图3方式摆放（其中∠B=∠ACB=45°），使顶点C在直线MN上，直角顶点A在直线PQ上，若MN∥PQ，请写出∠PAB与∠MCA之间的关系式，并说明理由．
【题型17】平行线性质的实际应用
【典例】绍兴市为了方便市民绿色行，出了①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=61°，∠BAC=53°，当∠MAC为（　　）度时，AM与CB平行．
A.61 B.66 C.86 D.114
【强化训练1】一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（ ）
A.先右转，再左转
B.先左转，再右转
C.先左转，再右转
D.先右转，再右转
【强化训练2】如图，工程队铺设一公路，他们从点A处铺设到点B处时，由于水塘挡路，他们决定改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿着与AB平行的DE方向继续铺设，如果∠ABC＝120°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数是________．
【强化训练3】高速公路上安装如图①所示的激光灯可以预防司机疲劳驾驶，图②是激光为于初始位置时的平面几何示意图，其中C，D是直线AB上的两个发射点，∠ACE＝60°，∠CDF＝150°，现激光EC绕点C以2°/s的速度顺时针转动，同时激光FD绕点D以3°/s的速度逆时针转动，若转动t s后，激光EC与FD首次平行，则转动时间t应为 　 　s．
【强化训练4】有一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°.梯形的另外两个角∠D，∠C分别是多少度？
【强化训练5】如图，一条水渠两次拐弯后和原来的方向相同.如果第一次的拐角∠A为135°，第二次的拐角∠B是多少度？为什么？
【题型18】平行线性质与判定的综合
【典例】如图，四边形ABCD中，BD与AC相交于点O，AE∥CF，E，F在BD上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　）
A.∠1＝∠2 B.∠3＝∠4 C.∠DAE＝∠BCF D.∠BAD＝∠DCB
【强化训练1】已知直线a，b被c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝55°，则∠4的度数是（　　）
A.60° B.55° C.120° D.125°
【强化训练2】如图，直线AB、CD分别与EF、GH相交，图中∠1=100°，∠2=85°，∠3=95°，则∠4的大小是（　　）
A.80° B.85° C.95° D.100°
【强化训练3】如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠CBE+∠D＝90°；④∠DEB＝3∠ABC．其中结论正确的有 　 　．
【强化训练4】如图，于点D，于点F，，．
(1)求的度数．
(2)求证：．
【题型19】用平行线性质与判定解决拐角问题
【典例】如图，将直角三角板放在两平行线之间，若∠1＝32°，则∠2的度数为（　　）
A.28° B.38° C.48° D.58°
【强化训练1】如图，AB∥CD，∠F＝38°，∠C＝65°，则∠A的度数为(　　)
A.27° B.30° C.38° D.40°
【强化训练2】如图，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之间的关系式为(　　)
A.α＋β＋γ＝360° B.α－β＋γ＝180° C.α＋β＋γ＝180° D.α＋β－γ＝180°
【强化训练3】如图，AB∥CD，∠A＝100°，∠C＝110°，求∠AEC的度数.请补全下列解答过程.
解：过点E作EF∥AB，如图所示.
因为AB∥CD(已知)，
所以　　　　∥　　　　(平行于同一条直线的两条直线平行).
所以∠A＋　　　　＝ 180°，∠C＋　　　　＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
又因为∠A＝100°，∠C＝110°(已知)，
所以∠1＝　　　°，∠2＝　　　°.
所以∠AEC＝∠1＋∠2＝　　　°＋　　　°＝　　　°.
【强化训练4】(1)如图1，已知AB∥CD，PQ∥AB，∠AEP＝142°，∠PFD＝34°，求∠EPF的度数；
(2)如图2，若AB∥CD，点P在CD的下方，看一看，想一想，证一证：
以下与∠PFC，∠PEA，∠EPF有关的三个结论：∠PEA＋∠EPF>∠PFC，∠PEA＋∠EPF＝∠PFC，∠PEA＋∠EPF<∠PFC，你认为哪个正确？请说明理由.
【强化训练5】如图，已知AB∥CD，试判断∠B，∠BED和∠D之间的关系，并说明理由.
【题型20】用平行线性质与判定解决折叠问题
【典例】一个两边平行的纸条，如图那样折叠一下，则∠1的度数是(　　)
A.30° B.40° C.50° D.60°
【强化训练1】在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条宽度相等的长方形纸带将纸条沿AB折叠一下，若∠1=130°，则∠2的度数为（　　）
A.115° B.120° C.130° D.110°
【强化训练2】如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD做折纸游戏，他将纸片沿EF折叠后，D、C两点分别落在D′、C′的位置，并利用量角器量得∠EFB＝66°，则∠AED′等于______度．
【强化训练3】如图，将长方形纸片ABCD沿BE翻折，使点C落在点F处，若∠DEF＝40°，则∠FBE的度数为______．
【强化训练4】如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法，其中王玲是通过折纸的方式完成：
第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对称点B 落在上，折痕与相交于点Q，打开纸张铺平；
第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）；
王玲就说，你能用几何推理说说其中的道理吗？
（请完成下面的证明，并填上对应的推理根据）
证明：∵
∴∠ ．理由是：（角平分线的定义）．
∵，
∴∠ ．理由是：（　 　 ）．
∴ ，
∴．理由是：（　 　 ）．
【强化训练5】阅读下列材料，完成相应任务．
折纸中的数学
综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线．
兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则．
任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选）
A.同位角相等，两直线平行
B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行
D.平行于同一条直线的两条直线互相平行
E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上．
求证：折痕．
图5

展开更多......

收起↑