资源简介

人教版（2024）八年级下册 21.1 四边形及多边形 强化训练（参考答案）
【题型1】利用四边形内角和与外角和计算
【典例】已知四边形中，，下列说法正确的是（ ）
A. B. C.且 D.，与，都不平行
【答案】B
【解析】
解：四边形中，，
，
四边形的内角和为，即，
，
，但无法确定与是否平行，
故选：B．
【强化训练1】下面的图形中，的值为（ ）
A.103 B.105 C.115 D.133
【答案】B
【解析】
解：∵四边形的内角和为，
∴，
故选B
【强化训练2】四边形的外角和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：由四边形的一条对角线把它分为两个三角形，所以四边形内角和为
；
故选B
【强化训练3】如图，在四边形中，，则的度数为 ．
【答案】
【解析】
解：∵，，，
∴，
故答案为：．
【强化训练4】如图，四边形中，，是边上的点，，交于点，．
(1)求的度数；
(2)若，平分，试说明：．
【答案】
解：（1），
，
，，
；
（2）由（1）得，
平分，
，
，
，
，
，，
又，
．
【题型2】四边形不稳定性的应用
【典例】下列图形中具有稳定性的是（　　）
A.三角形 B.长方形 C.梯形 D.正方形
【答案】A
【解析】
解：根据三角形的稳定性可得，B、C、D都不具有稳定性，具有稳定性的是A选项．
故选：A．
【强化训练1】如图所示的图形中不具有稳定性的是（　　）
A.①②③④ B.①③ C.②④ D.①②③
【答案】C
【解析】
解：图①是两个三角形构成的图形，它具有稳定性，此项正确，不符合题意；
图②是由一个三角形和一个矩形构成的图形，它不具有稳定性，此项错误，符合题意；
图③是由三个三角形构成的图形，它具有稳定性，此项正确，不符合题意；
图④是由二个四边形构成的图形，它不具有稳定性，此项错误，符合题意．
综上所述，具有稳定的性的图形是②④．
故选：C．
【强化训练2】以下四个图片中的物品，没有利用到三角形的稳定性的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、C都是利用了三角形的稳定性．
故选：D．
【强化训练3】下列图形具有稳定性的是 （填序号）．
【答案】
③
【解析】
解：∵三角形具有稳定性，四边形和五边形不具有稳定性，
∴具有稳定性的是③，
故答案为：③．
【强化训练4】下列生产和生活实例：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有 （填写序号）．
【答案】
①②③
【解析】
解：①用“人”字梁建筑屋顶，存在三角形，是利用三角形具有稳定性；
②用窗钩来固定窗扇，存在三角形，是利用三角形具有稳定性；
③在栅栏门上斜钉着一根木条，存在三角形，是利用三角形具有稳定性；
④商店的推拉防盗铁门，不存在三角形，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形具有稳定性；
综上所述：用到三角形稳定性的是①②③．
故答案为：①②③
【强化训练5】（1）下列图形中不具有稳定性是　 　；（只填图形序号）
（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
【答案】
解：（1）不具有稳定性的是2，3，5三个．
（2）如图所示：
【强化训练6】六边形钢架ABCDEF，由6条钢管铰接而成，如图所示，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接使之不能活动，方法很多，请至少画出三种方法．（只需画图，不必写出作法）
【答案】
解：如图所示．
【题型3】多边形概念及分类
【典例】下列是凸多边形的是（　　）
A.②④ B.①②③ C.①②④ D.③④
【答案】C
【解析】
解：凸多边形是①②④，凹多边形是③．
故选：C．
【强化训练1】如图所示的图形中，属于多边形的有（　　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.1个
【答案】A
【解析】
解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个．
故选：A．
【强化训练2】如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．
【答案】
四边形；五边形；八边形；四边形；五边形
【解析】
解：如图所示的多边形分别是（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形；
故答案为：（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形．
【强化训练3】在同一平面内，由 图形叫多边形．组成多边形的线段叫做 ，相邻两边的公共端点叫多边形的 ．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做 ．多边形 叫做它的内角，多边形的边与它邻边 组成的角叫多边形的外角．连接多边形 的线段叫做多边形的对角线．
【答案】
不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的；多边形的边；顶点 n边形；相邻两边组成的角；延长线；不相邻两个顶点
【解析】
解：在同一平面内，由不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的图形叫多边形．
组成多边形的线段叫做多边形的边，
相邻两边的公共端点叫多边形的顶点．
如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做n边形．
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，
多边形的边与它邻边延长线组成的角叫多边形的外角．
连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
故答案为：不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的；多边形的边；顶点；n边形；相邻两边组成的角；延长线；不相邻两个顶点．
【强化训练4】画出下列多边形的全部对角线：
【答案】
解：如图所示：
【强化训练5】三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？
【答案】
解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角；
四边形有4个顶点，4条边，4个内角；
五边形有5个顶点，5条边，5个内角；
……
可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同；
n边形有n个顶点，n条边，n个内角．
【题型4】多边形对角线条数与边数问题
【典例】一个边长为2的正边形，过一个顶点的对角线有3条，则这个多边形的周长是（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】D
【解析】
解：∵正边形，过一个顶点的对角线有3条，
∴，
∴，
∵该正多边形的边长为2，
∴这个多边形的周长是，
故选；D．
【强化训练1】多边形的对角线共有20条，则下列方程可以求出多边形边数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：设多边形边数为，
从一个顶点出发可引出条对角线，
再根据边形对角线的总条数为，
即，
，
故答案选：D．
【强化训练2】若从n边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则n的值是 ．
【答案】
7
【解析】
解：设多边形有条边，
则，
解得，
故答案为：7．
【强化训练3】观察、探究及应用．
(1)观察如图所示的图形并填空．
一个四边形有 条对角线；
一个五边形有 条对角线；
一个六边形有 条对角线；
一个七边形有 条对角线；
(2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线；
(3)结论：一个n边形有 条对角线；
(4)应用：一个十二边形有多少条对角线？
【答案】
解：（1）一个四边形有条对角线；
一个五边形有条对角线；
一个六边形有条对角线；
一个七边形有条对角线；
（2）由（1）归纳总结可得：
由n边形的一个顶点出发，可作条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作条对角线；
（3）由（1）归纳总结可得：
一个n边形有条对角线．
（4）当时，
一个十二边形有条对角线．
【题型5】多边形对角线条数与分成的三角形个数问题
【典例】某多边形由一个顶点引出的对角线可以将该多边形分成10个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A.11 B.12 C.13 D.14
【答案】B
【解析】
解：设这个多边形的边数是n，则，解得，
即这个多边形的边数是12，
故选：B.
【强化训练1】若过n边形的一个顶点的所有对角线正好将该n边形分成8个三角形，则n的值是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】D
【解析】
解：由题意知，过n边形的一个顶点的所有对角线正好将该n边形分成个三角形，
∴，解得，
故选：D．
【强化训练2】从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成10个三角形，则n的值是（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
【答案】C
【解析】
解：设多边形有n条边，
则n﹣2=10，
解得n=12．
故选C．
【强化训练3】多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了个三角形，则经过这一点的对角线的条数是 条．
【答案】
【解析】
设多边形有条边，
则，解得
故这个多边形是十三边形．
故经过这一点的对角线的条数是
故答案为：．
【强化训练4】如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 　 　个三角形．
【答案】
n-1
【解析】
解：n边形可以分割出（n﹣1）个三角形．
【强化训练5】从九边形的一个顶点出发可以画出m条对角线，这些对角线将九边形分割成n个三角形，求的值．
【答案】
解：从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，即能引出6条对角线，它们将九边形分成7个三角形．
所以m=6，n=7，
则m+2n=6+7×2=20．
【强化训练6】四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？
【答案】
解：∵从n边形的一个顶点出发，可以引条（n-3）对角线，将n边形分成（n-2）个三角形．
∴从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；
从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形．
【题型6】多边形内角和及应用
【典例】如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为，那么它的一个内角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设这个多边形是n边形，
∵多边形的内角和为，
∴，
解得：，
∵这个多边形的每一个外角都相等，
∴这个多边形是正多边形，
∴多边形的外角为：，
∴多边形的一个内角为：．
故选：C
【强化训练1】在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B＝80°，则∠D的度数是（　　）
A.60° B.80° C.100° D.120°
【答案】C
【解析】
解：∵∠A与∠C互补，
∴∠A+∠C＝180°，
又∵∠B＝80°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣180°﹣80°＝100°．
故选：C．
【强化训练2】如图所示，为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：如图，
，，
，
，
故选：C．
【强化训练3】杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的内角和为 ．
【答案】
【解析】
解：．
故答案为：．
【强化训练4】求下列图形中的x的值.
【答案】
解：图（1）：∵三角形的内角和为180°，
∴x°+50°+90°=180°，
∴x°=40°
∴x=40
图（2）：∵三角形的内角和为180°，
∴x°+x°+40°=180°，
∴x°=70°
∴x=70
图（3）：由三角形的外角的性质得：
（x+70）°=（x+10）°+x°，
∴x°=60°
∴x=60
图（4）：∵四边形的内角和为360°，
∴x°+90°+60°+（x+10）°=360°，
∴x°=100°
∴x=100
图（5）：∵五边形的内角和为：（5-2） 180°=540°，
∴70°+（x+20）°+x°+（x+10）°+x°=540°，
∴x°=110°
∴x=110
【强化训练5】研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？
【回顾】如图①，请直接写出∠BCD与∠A、∠B之间的数量关系：　 　；
【探究】如图②，∠ADE是四边形ABCD的外角，求证：∠ADE＝∠A+∠B+∠C﹣180°；
【结论】若n边形的一个外角为x°，与其不相邻的内角之和为y°，则x，y与n的数量关系是 　 　．
【答案】
（1）解：由题意可得∠BCD＝∠A+∠B，
故答案为：∠BCD＝∠A+∠B；
（2）证明：∵四边形内角和为360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠ADC＝360°，
∵∠ADC＝180°﹣∠ADE，
∴∠A+∠B+∠C+180°﹣∠ADE＝360°，
∴∠ADE＝∠A+∠B+∠C﹣180°；
（3）解：∵n边形的内角和为（n﹣2） 180°，
∴（n﹣2） 180°＝y°+（180°﹣x°），
整理得：x﹣y+180n＝540，
故答案为：x﹣y+180n＝540．
【题型7】多边形外角和及应用
【典例】如图，的结果为（ ）
A.270° B.300° C.360° D.540°
【答案】C
【解析】
解：∵，
又∵，，
∴，
故选：C．
【强化训练1】如图，是五边形的外角，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：由多边形的外角和定理可得，，
∵，
∴，
∴，
故选：．
【强化训练2】下列说法中不正确的是（ ）
A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
D.多边形的外角和等于
【答案】B
【解析】
解：A、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故该选项正确；
B、两条直线被第三条直线所截，内错角不一定相等，故该选项错误；
C、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故该选项正确；
D、多边形的外角和等于，故该选项正确；
故选：B．
【强化训练3】如果你可以只用一种图形没有重叠、没有间隙地铺满一个平面，那么这种图形就被称为可以“镶嵌”这个平面，完美五边形就是这种图形．如图的五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形．若度，则 度．
【答案】
285
【解析】
解：由题意，得：，
∵度，
∴；
故答案为：285
【强化训练4】如图，琪琪沿着一个四边形公园小路跑步锻炼，从A处出发，当她跑完一圈时，她身体转过的角度之和为 ．
【答案】
【解析】
解：多边形的外角和等于360度，
琪琪跑完一圈时，身体转过的角度之和是360度．
故答案为：360度．
【强化训练5】如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形．
(1)求小明一共走了多少米；
(2)求这个正多边形的内角和．
【答案】
解：（1）∵所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，
∴，（米）；
答：小明一共走了120米；
（2）根据题意得：
，
答：这个多边形的内角和是．
【强化训练6】如图，某人从A处出发，向东走10米到达B处，再向左转72°走10米到达C处……照此方法行走，拐过4次弯后再走10米，他在何处？
【答案】
解：360°÷72°＝5，
∴某人行走的路线正好是一个正五边形，
∵某人从A处出发，向东走10米到达B处，再向左转72°走10米到达C处……照此方法行走，拐过4次弯后再走10米，
∴一共走了：10×5＝50（米），
∴最后他在点A处．
【题型8】多（或少）一个角问题
【典例】一个多边形除去一个内角外，剩下的内角和是1000°，则这个多边形是（ ）．
A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形
【答案】D
【解析】
解：设多边形的边数为n，
由题意得：1000＜（n 2）·180＜1000+180，
解得：＜n＜，
∴n＝8，
即这个多边形是八边形，
故选：D．
【强化训练1】在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】D
【解析】
解：，
∴这个多加的内角为，
设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理可得出：，
解得：，
故选∶D
【强化训练2】晨曦因少算了一个内角得出一多边形的内角和为980°，则该多边形的边数为（　　）
A.6 B.8 C.10 D.9
【答案】B
【解析】
解：设此多边形的内角和为x,
则有980°＜x＜980°+180°，
即180°×5+80°＜x＜180°×6+80°，
因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，
所以x=180°×6=1080°．
∴，
∴这个多边形边数为8，
故选B．
【强化训练3】一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是 度．
【答案】
80
【解析】
解：设多边形的边数为x，
由题意得，
解得：，
多边形的边数是14，
则这个内角是，
故答案为80．
【强化训练4】小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为1920°
(1)多算进去的那个内角为多少度？
(2)求这个多边形的边数？
【答案】
解：（1）∵，
∴多算进去的内角度数：；
（2）右（1）可知，多算进去的内角为，
∴这个多边形的内角和为：，
，解得：，
∴这个多边形边数为12．
【强化训练5】已知边形的内角和．
（1）甲同学说，能取360°；而乙同学说，也能取640°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数；若不对，请说明理由．
（2）若边形变为边形，发现内角和增加了540°，用列方程的方法确定．
【答案】
解：（1）甲对，乙不对．
理由如下：
因为，
所以，
解得；
若，则，
解得．
因为是是正整数，所以不符合题意，
所以不能取640°．
（2）依题意得，
解得．
【题型9】多边形截角后内角和问题
【典例】一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为（　　）
A.5 B.5或6 C.5或7 D.5或6或7
【答案】D
【解析】
解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选：D．
【强化训练1】一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（ ）
A.15或16或17 B.15或17 C.16或17 D.16或17或18
【答案】A
【解析】
解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形，
如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形，
如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形，
故选：
【强化训练2】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，原多边形的边数是（　　）
A.8或9或10 B.7或8或9 C.6或7或8 D.5或6或7
【答案】B
【解析】
解：设切去一角后的多边形为n边形．根据题意得：
（n﹣2）×180°＝1080°．
解得：n＝8．
因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，
所以原多边形的边数可能为7、8或9．
故选：B．
【强化训练3】在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为 ．
【答案】
7或8或9
【解析】
解：设切下一个三角形后多边形的边数x，
由题意得，（x﹣2）×180°＝1080°，
解得x＝8，
所以，n＝8﹣1＝7，
n＝8+1＝9，
或n＝x＝8．
故答案为：7或8或9．
【强化训练4】阅读下题及解题过程．
如图（），我们知道四边形的内角和为，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？
如图（），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为．
上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论．
【答案】
解：上面的解答不正确，出错的原因是思考问题不全面．除了题目中的解法外，还要补充正确的解答如下：
如图（）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是；
如图（）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是．
所以将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是或或．
【强化训练5】一个多边形的内角和为，截去一个角后，求得到的多边形的内角和．
【答案】
解：，
∴原多边形边数，
∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，可能加1，
∴即新多边形的边数可能是11，12，13，
∴新多边形的内角和可能是 ．
【题型10】多边形内角和与外角和综合
【典例】如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】C
【解析】
解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180 （n﹣2）＝3×360，
解得n＝8．
故选：C．
【强化训练1】一个多边形外角和是内角和的．则这个多边形的边数是（　　）
A.10 B.11 C.12 D.13
【答案】C
【解析】
解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝360°，
解得：n＝12，
即这个多边形的边数为12，
故选：C．
【强化训练2】在n边形中，设∠A的外角的度数为α，与∠A不相邻的（n﹣1）个内角的和为β．若β＝α+540°，则n＝　 　．
【答案】
6．
【解析】
解：在n边形中，设∠A的外角的度数为α，
则与∠A相邻的内角的度数为180°﹣α，
∵与∠A不相邻的（n﹣1）个内角的和为β，
∴180°﹣α+β＝（n﹣2） 180°，
∵β＝α+540°，
∴180°﹣α+α+540°＝（n﹣2） 180°，
解得：n＝6，
故答案为：6．
【强化训练3】（1）若多边形的内角和为，求此多边形的边数；
（2）一个n边形的每个外角都相等，如果它的一个内角与相邻外角的度数之比为，求n的值．
【答案】
解：（1）设此多边形的边数为n，则
，
解得，．
故此多边形的边数为15；
（2）设多边形的一个外角为度，则一个内角为度，依题意得
，
解得．
，
．
故n的值为15．
【题型11】正多边形内角和与外角和
【典例】如图，在正六边形ABCDEF和正方形ABGH中，连接FH并延长交CD边于P，则∠CPH+∠GHP＝（　　）
A.116° B.118° C.120° D.122°
【答案】C
【解析】
解：正六边形ABCDEF中，∠BAF＝∠ABC＝∠C＝＝120°，AH＝AF，
正方形ABGH中，∠BAH＝∠AHG＝90°，
则∠FAH＝120°﹣90°＝30°，
那么∠AFH＝∠AHF＝＝75°，
∵五边形ABCPF的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠CPH＝540°﹣120°×3﹣75°＝105°，
∵∠GHP＝180°﹣75°﹣90°＝15°，
∴∠CPH+∠GHP＝105°+15°＝120°，
故选：C．
【强化训练1】如图，直线经过一个正多边形的顶点若则此正多边形为
A.正七边形 B.正八边形 C.正九边形 D.正十边形
【答案】B
【解析】
解：正多边形的一个内角为，
它的一个外角为，
正多边形的边数为，
这个多边形是正八边形，
故答案选B．
【强化训练2】我校诚毅校区组织开展研学活动——走进最美阜内大街，探寻身边历史、传承京华文化．某研学小组成员途径西直门地铁站时，看到地铁站大厅的立柱，他猜想：这些立柱是正八棱柱，即棱柱的底面是正八边形，它的每个内角均为135°．为了验证自己的猜想，需要测量棱柱底部八个内角的度数．以测量其中一个内角∠AOB的度数为例，由于直接测量存在一定的困难，设计如下测量方案：作OB的平行线EF交AO的延长线于点E，测量∠GEO＝45°，则∠AOB＝　 　°．
【答案】
135．
【解析】
解：∵OB∥EF，
∴∠EOB＝∠GEO＝45°，
∴∠AOB＝180°﹣∠EOB＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135．
【强化训练3】如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)n的值为____________．
(2)小明走出的这n边形的周长为____________米．
(3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数．
【答案】
解：（1）根据题意得：．
故答案为：15
（2）由（1）得：这个n边形为十五边形，
∴这n边形的周长为（米）；
故答案为：45
（3）根据题意，得，
解得，
∴这个正m边形的每一个内角的度数为．
【题型12】平面镶嵌问题
【典例】综合实践课上，嘉嘉用八个大小相等的含45°角的直角三角板拼成了一个环状图案，如图1，若淇淇尝试用含60°角的直角三角板拼成类似的环状图案，如图2，除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（ ）
A.3个 B.6个 C.9个 D.12个
【答案】C
【解析】
解：依题意可知：用含60°角的直角三角板按图示拼成类似的环状图案是正多边形，正多边形的外角，
故正多边形的边数为（条）
∴除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（个）
故选C．
【强化训练1】用完全相同的同一种地板砖铺地面，要求不留缝隙，下列不能铺满地面的是（ ）
A.任意三角形地砖 B.任意四边形地砖 C.正六边形地砖 D.正八边形地砖
【答案】D
【解析】
解：A．任意三角形的内角和是，放在同一顶点处6个即能密铺，不符合题意；
B．任意四边形的内角和是，放在同一顶点处4个即能密铺，不符合题意；
C．正六边形每个内角是，能整除，可以密铺，不符合题意；
D．正八边形每个内角是，不能整除，不可以密铺，符合题意．
故选：D．
【强化训练2】某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形（四个尖角的度数相同）铺成的无缝隙，不重叠的图形，如图是该广场地面的一部分，则图中四角星形的尖角的度数为 °．
【答案】
【解析】
解：正五边形内角和为，
正五边形每个内角是，
∴．
故答案为．
【强化训练3】单独使用正三角形、正方形、正六边形、正八边形四种地砖，不能镶嵌（密铺）地面的是 ．
【答案】
正八边形
【解析】
解：正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
正方形的每个内角是90°，能整除360°，能密铺；
正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；
正八边形的每个内角为：180° 360°÷8＝135°，不能整除360°，不能密铺．
故答案为：正八边形．
【强化训练4】两个多边形，一个多边形记为A，另一个多边形记为B，多边形A的边数是多边形B的边数的2倍．
(1)若多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍，求多边形A和多边形B的边数；
(2)利用边长相等的正多边形A型瓷砖和正多边形B型瓷砖能够镶嵌（不重叠、无缝隙地密铺）地面，在一个顶点的周围有a块正多边形A型和b块正多边形B型瓷砖，求的值．
【答案】
解：（1）设多边形B的边数为n，多边形A的边数为，
则，
解得：，．
则多边形A的边数是8，多边形B的边数是4．
（2）多边形A的边数是多边形B的边数的2倍，
能够镶嵌的正多边形A和正多边形B只能是正六边形和正三角形组合，
或正八边形和正方形组合．
若是正六边形和正三角形组合，则，或，，则或5；
若是正八边形和正方形组合，则，，则．
所以，的值为3或4或5．
【强化训练5】已知个正多边形和个正多边形可绕一点周围镶嵌（密铺），的一个内角的度数是的一个内角的度数的．
（1）试分别确定，是什么正多边形？
（2）画出这个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）．
【答案】
解：（1）设B的内角为x，则A的内角为x，
∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），
∴3x+2×x=360°，
解得：x=60°，
∴x=90°
∴可确定A为正四边形，B为正三边形．
（2）所画图形如下：人教版（2024）八年级下册 21.1 四边形及多边形 强化训练
【题型1】利用四边形内角和与外角和计算
【典例】已知四边形中，，下列说法正确的是（ ）
A. B. C.且 D.，与，都不平行
【强化训练1】下面的图形中，的值为（ ）
A.103 B.105 C.115 D.133
【强化训练2】四边形的外角和是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，在四边形中，，则的度数为 ．
【强化训练4】如图，四边形中，，是边上的点，，交于点，．
(1)求的度数；
(2)若，平分，试说明：．
【题型2】四边形不稳定性的应用
【典例】下列图形中具有稳定性的是（　　）
A.三角形 B.长方形 C.梯形 D.正方形
【强化训练1】如图所示的图形中不具有稳定性的是（　　）
A.①②③④ B.①③ C.②④ D.①②③
【强化训练2】以下四个图片中的物品，没有利用到三角形的稳定性的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练3】下列图形具有稳定性的是 （填序号）．
【强化训练4】下列生产和生活实例：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有 （填写序号）．
【强化训练5】（1）下列图形中不具有稳定性是　 　；（只填图形序号）
（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
【强化训练6】六边形钢架ABCDEF，由6条钢管铰接而成，如图所示，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接使之不能活动，方法很多，请至少画出三种方法．（只需画图，不必写出作法）
【题型3】多边形概念及分类
【典例】下列是凸多边形的是（　　）
A.②④ B.①②③ C.①②④ D.③④
【强化训练1】如图所示的图形中，属于多边形的有（　　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.1个
【强化训练2】如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．
【强化训练3】在同一平面内，由 图形叫多边形．组成多边形的线段叫做 ，相邻两边的公共端点叫多边形的 ．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做 ．多边形 叫做它的内角，多边形的边与它邻边 组成的角叫多边形的外角．连接多边形 的线段叫做多边形的对角线．
【强化训练4】画出下列多边形的全部对角线：
【强化训练5】三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？
【题型4】多边形对角线条数与边数问题
【典例】一个边长为2的正边形，过一个顶点的对角线有3条，则这个多边形的周长是（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
【强化训练1】多边形的对角线共有20条，则下列方程可以求出多边形边数的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】若从n边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则n的值是 ．
【强化训练3】观察、探究及应用．
(1)观察如图所示的图形并填空．
一个四边形有 条对角线；
一个五边形有 条对角线；
一个六边形有 条对角线；
一个七边形有 条对角线；
(2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线；
(3)结论：一个n边形有 条对角线；
(4)应用：一个十二边形有多少条对角线？
【题型5】多边形对角线条数与分成的三角形个数问题
【典例】某多边形由一个顶点引出的对角线可以将该多边形分成10个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A.11 B.12 C.13 D.14
【强化训练1】若过n边形的一个顶点的所有对角线正好将该n边形分成8个三角形，则n的值是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
【强化训练2】从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成10个三角形，则n的值是（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
【强化训练3】多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了个三角形，则经过这一点的对角线的条数是 条．
【强化训练4】如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 　 　个三角形．
【强化训练5】从九边形的一个顶点出发可以画出m条对角线，这些对角线将九边形分割成n个三角形，求的值．
【强化训练6】四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？
【题型6】多边形内角和及应用
【典例】如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为，那么它的一个内角等于（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B＝80°，则∠D的度数是（　　）
A.60° B.80° C.100° D.120°
【强化训练2】如图所示，为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的内角和为 ．
【强化训练4】求下列图形中的x的值.
【强化训练5】研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？
【回顾】如图①，请直接写出∠BCD与∠A、∠B之间的数量关系：　 　；
【探究】如图②，∠ADE是四边形ABCD的外角，求证：∠ADE＝∠A+∠B+∠C﹣180°；
【结论】若n边形的一个外角为x°，与其不相邻的内角之和为y°，则x，y与n的数量关系是 　 　．
【题型7】多边形外角和及应用
【典例】如图，的结果为（ ）
A.270° B.300° C.360° D.540°
【强化训练1】如图，是五边形的外角，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】下列说法中不正确的是（ ）
A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
D.多边形的外角和等于
【强化训练3】如果你可以只用一种图形没有重叠、没有间隙地铺满一个平面，那么这种图形就被称为可以“镶嵌”这个平面，完美五边形就是这种图形．如图的五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形．若度，则 度．
【强化训练4】如图，琪琪沿着一个四边形公园小路跑步锻炼，从A处出发，当她跑完一圈时，她身体转过的角度之和为 ．
【强化训练5】如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形．
(1)求小明一共走了多少米；
(2)求这个正多边形的内角和．
【强化训练6】如图，某人从A处出发，向东走10米到达B处，再向左转72°走10米到达C处……照此方法行走，拐过4次弯后再走10米，他在何处？
【题型8】多（或少）一个角问题
【典例】一个多边形除去一个内角外，剩下的内角和是1000°，则这个多边形是（ ）．
A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形
【强化训练1】在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【强化训练2】晨曦因少算了一个内角得出一多边形的内角和为980°，则该多边形的边数为（　　）
A.6 B.8 C.10 D.9
【强化训练3】一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是 度．
【强化训练4】小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为1920°
(1)多算进去的那个内角为多少度？
(2)求这个多边形的边数？
【强化训练5】已知边形的内角和．
（1）甲同学说，能取360°；而乙同学说，也能取640°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数；若不对，请说明理由．
（2）若边形变为边形，发现内角和增加了540°，用列方程的方法确定．
【题型9】多边形截角后内角和问题
【典例】一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为（　　）
A.5 B.5或6 C.5或7 D.5或6或7
【强化训练1】一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（ ）
A.15或16或17 B.15或17 C.16或17 D.16或17或18
【强化训练2】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，原多边形的边数是（　　）
A.8或9或10 B.7或8或9 C.6或7或8 D.5或6或7
【强化训练3】在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为 ．
【强化训练4】阅读下题及解题过程．
如图（），我们知道四边形的内角和为，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？
如图（），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为．
上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论．
【强化训练5】一个多边形的内角和为，截去一个角后，求得到的多边形的内角和．
【题型10】多边形内角和与外角和综合
【典例】如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A.6 B.7 C.8 D.9
【强化训练1】一个多边形外角和是内角和的．则这个多边形的边数是（　　）
A.10 B.11 C.12 D.13
【强化训练2】在n边形中，设∠A的外角的度数为α，与∠A不相邻的（n﹣1）个内角的和为β．若β＝α+540°，则n＝　 　．
【强化训练3】（1）若多边形的内角和为，求此多边形的边数；
（2）一个n边形的每个外角都相等，如果它的一个内角与相邻外角的度数之比为，求n的值．
【题型11】正多边形内角和与外角和
【典例】如图，在正六边形ABCDEF和正方形ABGH中，连接FH并延长交CD边于P，则∠CPH+∠GHP＝（　　）
A.116° B.118° C.120° D.122°
【强化训练1】如图，直线经过一个正多边形的顶点若则此正多边形为
A.正七边形 B.正八边形 C.正九边形 D.正十边形
【强化训练2】我校诚毅校区组织开展研学活动——走进最美阜内大街，探寻身边历史、传承京华文化．某研学小组成员途径西直门地铁站时，看到地铁站大厅的立柱，他猜想：这些立柱是正八棱柱，即棱柱的底面是正八边形，它的每个内角均为135°．为了验证自己的猜想，需要测量棱柱底部八个内角的度数．以测量其中一个内角∠AOB的度数为例，由于直接测量存在一定的困难，设计如下测量方案：作OB的平行线EF交AO的延长线于点E，测量∠GEO＝45°，则∠AOB＝　 　°．
【强化训练3】如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)n的值为____________．
(2)小明走出的这n边形的周长为____________米．
(3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数．
【题型12】平面镶嵌问题
【典例】综合实践课上，嘉嘉用八个大小相等的含45°角的直角三角板拼成了一个环状图案，如图1，若淇淇尝试用含60°角的直角三角板拼成类似的环状图案，如图2，除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（ ）
A.3个 B.6个 C.9个 D.12个
【强化训练1】用完全相同的同一种地板砖铺地面，要求不留缝隙，下列不能铺满地面的是（ ）
A.任意三角形地砖 B.任意四边形地砖 C.正六边形地砖 D.正八边形地砖
【强化训练2】某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形（四个尖角的度数相同）铺成的无缝隙，不重叠的图形，如图是该广场地面的一部分，则图中四角星形的尖角的度数为 °．
【强化训练3】单独使用正三角形、正方形、正六边形、正八边形四种地砖，不能镶嵌（密铺）地面的是 ．
【强化训练4】两个多边形，一个多边形记为A，另一个多边形记为B，多边形A的边数是多边形B的边数的2倍．
(1)若多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍，求多边形A和多边形B的边数；
(2)利用边长相等的正多边形A型瓷砖和正多边形B型瓷砖能够镶嵌（不重叠、无缝隙地密铺）地面，在一个顶点的周围有a块正多边形A型和b块正多边形B型瓷砖，求的值．
【强化训练5】已知个正多边形和个正多边形可绕一点周围镶嵌（密铺），的一个内角的度数是的一个内角的度数的．
（1）试分别确定，是什么正多边形？
（2）画出这个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）．

展开更多......

收起↑