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北师大版（2024）七年级下册 第二章 相交线与平行线3 平行线的性质 强化训练（参考答案）
【题型1】两直线平行同位角相等
【典例】如图，△ABC中，∠A＝36°，∠B＝60°，EF∥BC，FG平分∠AFE，则AFG的度数为(　　)
A.36° B.37° C.42° D.47°
【答案】C
【解析】解：∵∠B＝60°，EF∥BC，∴∠AEF＝∠B＝60°，
又∵∠A＝36°，∴∠AFE＝180°－60°－36°＝84°，
又∵FG平分∠AFE，∴∠AFG＝42°，故选C.
【强化训练1】如图，直线AB，CD被直线EF所截，交点分别为点E，F.若AB∥CD，下列结论正确的是(　　)
A.∠1＝∠3 B.∠2＝∠4 C.∠2＝∠5 D.∠4＝∠5
【答案】D
【解析】解：根据AB∥CD，可得∠3＝∠4，而∠4与∠1不相等，故∠1＝∠3不成立，故A选项不正确；根据AB∥CD，可得∠2＝∠1，而∠4与∠1不相等，故∠2＝∠4不成立，故B选项不正确；根据AB∥CD，可得∠2＝∠1，而∠5与∠1不相等，故∠2＝∠5不成立，故C选项不正确；根据AB∥CD，可得∠3＝∠BEF，而∠3＝∠5，∠BED＝∠4，故∠4＝∠5，故D选项正确；故选D.
【强化训练2】根据题意填空．　
如图，已知直线与都相交，，
求证：．
证明：与相交(已知)
( )
（已知）
( )
( )
【答案】 ；对顶角相等； ；两直线平行，同位角相等；等量代换
【解析】解：证明：与相交(已知)，
（对顶角相等），
（已知），
（两直线平行，同位角相等），
（等式的基本事实）．
故答案为：；对顶角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换．
【强化训练3】如图，∠1=105°，∠2=75°，请说明a∥b.
【答案】解：如图.
∵∠2+∠3=180°
∴∠3=180°-75°=105°
∴∠3=∠1=105°
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
【题型2】两直线平行内错角相等
【典例】如图，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：如图，
∵，
∴（两直线平行，内错角相等）.
∵，
∴，
解得，，
故选：A．
【强化训练1】如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C＝25°，则∠A的度数是(　　)
A.25° B.35° C.45° D.50°
【答案】D
【解析】解：∵CD∥EF，∠C＝∠CFE＝25°，∵FC平分∠AFE，∴∠AFE＝2∠CFE＝50°，又∵AB∥EF，∴∠A＝∠AFE＝50°，故选D.
【强化训练2】如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线的两侧，若，则∠B= ；若AC∥FD，则∠ACB= .
【答案】∠E；∠DFE．
【解析】解：∵，
∴（两直线平行，内错角相等）.
∵AC∥FD
∴∠ACB=∠DFE（两直线平行，内错角相等）.
【强化训练3】如图，已知，平分，平分，，求的度数．

【答案】解：∵平分，平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴（两直线平行，内错角相等）.
【题型3】两直线平行同旁内角互补
【典例】如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，∠2＝55°，则∠3的度数是(　　)
A.50° B.53° C.55° D.58°
【答案】C
【解析】解：∵DE∥AC，∠2＝55°，∴∠BAC＝55°.
∵AF∥BC，∠1＝70°，∴∠3＋∠BAC＝180°－70°＝110°.
∴∠3＝110°－55°＝55°.故选C.
【强化训练1】如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1＝60°，则∠2等于(　　)
A.130° B.140° C.150° D.160°
【答案】C
【解析】解：∵AB∥CD，∴∠GEB＝∠1＝60°，
∵EF为∠GEB的平分线，∴∠FEB＝12∠GEB＝30°，
∴∠2＝180°－∠FEB＝150°.故选C.
【强化训练2】如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，若∠2=46°，则∠GEB等于（　　）

A.26° B.36° C.44° D.54°
【答案】C
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠EFD+∠FEB=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵EF⊥CD，
∴∠EFD=90°，
∴∠FEB=180°-90°=90°
∵∠2=46°
∴∠GEB=∠FEB-∠2=90°-46°=44°，
故选：C．
【强化训练3】如图，已知平分，则 ．
【答案】
【解析】解：，
（两直线平行，同旁内角互补）.
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【强化训练4】如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE∶∠EFB＝3∶4，
∠ABF＝40°，那么∠BEF的度数为______．
【答案】60°
【解析】解：∵AB∥CD，∠ABF＝40°，∴∠CFB＝180°－∠B＝140°，
又∵∠CFE∶∠EFB＝3∶4，∴∠CFE＝37∠CFB＝60°，
∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CFE＝60°，故答案为60°.
【强化训练5】如图，∠1=∠3=60°，∠2=120°，可以判断哪些直线平行？说明理由.
【答案】解：AB∥DC，AE∥FC，
理由：∵∠3=60°，∠2=120°，
∴∠2+∠3=180°，
∴AB∥DC，
∵∠2=120°，
∴∠AOF=120°，
∴∠1+∠2=180°，
∴AE∥FC．
【强化训练6】如图，AB∥DE，C为BD上一点，∠A＝∠BCA，∠E＝∠ECD，请说明CE⊥CA.
【答案】理由：∵AB∥DE，∴∠B＋∠D＝180°，∵∠A＝∠BCA，∠E＝∠ECD，∴∠B＝180°－2∠BCA，∠D＝180°－2∠ECD，∴(180°－2∠BCA)＋(180°－2∠ECD)＝180°，∴∠BCA＋∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°，∴CE⊥CA.
【题型4】平行线性质的综合
【典例】如图，直线直线b，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：如图：
∵直线直线b，
∴
∵
∴
∴
故选：A
【强化训练1】如图，直线 分别交 ，于点，，平分，，若 ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【强化训练2】如图，直线，，，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：过点作，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【强化训练3】如图，，于E，交于F，已知，则 ．

【答案】/50度
【解析】解：∵，
∴（两直线平行，同位角相等），
∵于E，
∴，
故答案为：．
【强化训练4】如图，直线，点B在直线b上，且，，则的度数为 ．
【答案】.
【解析】解：如图，
∵,
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【强化训练5】如图，，．
(1)求证：；
(2)若于点C，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2），
，
由（1）可知，
．
【题型5】平行线性质的实际应用
【典例】在“创文明城市-爱我龙岩”白色垃圾清理活动中，小华同学从点出发，沿北偏西方向到达地，已知，此时营地在的（　　）方向．

A.北偏西 B.北偏东 C.北偏东 D.南偏西
【答案】D
【解析】解：如图，过点作，
，
，
营地在的南偏西方向上；
故选：D．
【强化训练1】如图，A岛在B岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏东方向，C岛在A岛的南偏东方向，从C岛看A、B两岛的视角是（ ）度．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：如图所示：

∵A岛在B岛的北偏东方向，即，
∵C岛在B岛的北偏东方向，即，
∴，
∵C岛在A岛南偏东方向，即，
∵，
∴，
∴，
在中，
．
故选：C．
【强化训练2】如图，一辆汽车经过两次转弯后，行驶的方向与原来保持平行，如果第一次转过的角为，则第二次转过的角为 ．
【答案】解：根据题意得，
故答案为：．
【强化训练3】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的是，第二次拐弯处的角是，第三次拐弯处的是，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则等于 ．

【答案】解：过B作BD∥AE，
∵AE∥CF，
∴BD∥CF，
∴∠A=∠ABD=70°，∠DBC+∠C=180°，
∵∠C=161°，
∴∠DBC=19°，
则∠ABC=∠ABD+∠DBC=89°．
故答案为：89°．

【强化训练4】如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，．
(1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由；
(2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值．
【答案】解：（1）不会，理由是：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴这两艘舰艇不会相撞；
（2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【题型6】平行线性质与判定的综合
【典例】如图，如果，，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，
，
，
，
．
故选：B．
【强化训练1】如图，已知， 则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【强化训练2】如图，在四边形中，，于点，于点，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解： ，，
，
，
，
，
，
故选：B．
【强化训练3】如图，，，，则 ．

【答案】90
【解析】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：90．
【强化训练4】如图是一个“鱼”形图案，点B，C分别在的两边上．已知，求出的度数．
【答案】解：，
∴
；
，
，
，
．
【题型7】用平行线性质与判定解决拐角问题
【典例】汽车灯如图是某汽车前照灯纵剖面，从位于点O的灯泡发出的两束光线，经过灯碗反射以后平行射出，如果，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：过点O作，如图：
，
，
，，
，
，
，
即的度数为，
故选：A．
【强化训练1】如图，如果，那么（　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：过点C作，过点D作．

∵，
∴，
∴，，,
∴
故选：C．
【强化训练2】如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（ ）
A. B. C. D.无法表示
【答案】B
【解析】
解：过作直线，如图所示，
，
（两直线平行，内错角相等），
，，
，
，
，
，
，
故选：B
【强化训练3】如图，，思考解决下列问题：试探究 ．
【答案】
【解析】
解：当有个角时，根据两直线平行同旁内角互补， 得出，
当有个角时，过点作直线平行于，同理可得，
当有个角时，分别过点、作直线平行于，同理可得，
根据规律，可得当有个角时， ，
故答案为：．
【强化训练4】如图，，则，，，，满足的数量关系是 ．
【答案】
【解析】
解：如图所示，过，，的顶点，分别作的平行线，
∵，
∴，
∴；
同理可得，
∴，，，
∴，
则，
，
即
∴；
故答案为：．
【强化训练5】如图，．
(1)如图①，若，点B在射线上，，求的度数；
(2)如图②，若，试猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：如图①，过点M作，则，
∴,
∵,
∴,
∵，,
∴,
∴．
（2）解：猜想：，理由如下：
如图②，过点M作，即,
∴,
∵，,
∴,
∴，
∵,
∴，
∴．
【强化训练6】（1）某电动伸缩遮阳帘形状如图1所示，已知，小明观察分析该图形得出图中、、之间存在如下数量关系：，他的证明思路如下，请将他的证明过程补充完整．
已知：
求证：
证明：过点作直线，使
∵，
∴ （ ）
∵
∴（ ）
∵
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴ （ ）
（2）请同学们体会上面辅助线的作用，用类似的方法解决如下问题：
已知：如图2，，试探究、和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】解：（1）已知：
求证：
证明：过点作直线，使
∵，
∴（平行于同一条直线的两直线平行）
∵
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴ （等量代换）
（2）过点C作，如图．
∴，①
∴，
∴，
∴，即②
将②代入①，得
即
∴与之和，减去等于．
【题型8】用平行线性质与判定解决折叠问题
【典例】如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在的位置．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由折叠知，
四边形为矩形，
，
，
，
．
故选：D．
【强化训练1】如图，把一张长方形的纸片，沿折叠后，与的交点为，点、分别落在、的位置上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，，
∵长方形纸片沿折叠后与 的交点为，
∴，
∴．
故选：C．
【强化训练2】如图，长方形纸片中，，边上分别有点E，F，将长方形纸片沿翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若，则的度数是 ．
【答案】.
【解析】解：根据题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
．
故答案为：．
【强化训练3】如图，将一个长方形纸片，沿着折叠，使，点分别落在点，处，若，则的度数为 ．
【答案】.
【解析】解：设，根据折叠前后角相等可知，，
所以，
解得7°．
∵，
∴
故答案为：．
【强化训练4】如图，在长方形中，，，，，将长方形沿着直线折叠，使点C落在处，交于点E，求的度数．
【答案】解：由折叠可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题型9】平行线性质与判定和30°45°60°三角板的综合
【典例】已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，其中直角顶点在直线上，角的顶点在直线上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
【强化训练1】在探究直线平行的性质后王老师给出这样一道题：如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：如图，

∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【强化训练2】如图，已知，直线分别与，相交于，两点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，，则的度数为 ．
【答案】
【解析】解：如图：
∵
∴
∵，且
∴
∴
解得
故答案为：
【强化训练3】如图，已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，如果，那么的度数是 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．北师大版（2024）七年级下册 第二章 相交线与平行线3 平行线的性质 强化训练
【题型1】两直线平行同位角相等
【典例】如图，△ABC中，∠A＝36°，∠B＝60°，EF∥BC，FG平分∠AFE，则AFG的度数为(　　)
A.36° B.37° C.42° D.47°
【强化训练1】如图，直线AB，CD被直线EF所截，交点分别为点E，F.若AB∥CD，下列结论正确的是(　　)
A.∠1＝∠3 B.∠2＝∠4 C.∠2＝∠5 D.∠4＝∠5
【强化训练2】根据题意填空．　
如图，已知直线与都相交，，
求证：．
证明：与相交(已知)
( )
（已知）
( )
( )
【强化训练3】如图，∠1=105°，∠2=75°，请说明a∥b.
【题型2】两直线平行内错角相等
【典例】如图，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C＝25°，则∠A的度数是(　　)
A.25° B.35° C.45° D.50°
【强化训练2】如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线的两侧，若，则∠B= ；若AC∥FD，则∠ACB= .
【强化训练3】如图，已知，平分，平分，，求的度数．

【题型3】两直线平行同旁内角互补
【典例】如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，∠2＝55°，则∠3的度数是(　　)
A.50° B.53° C.55° D.58°
【强化训练1】如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1＝60°，则∠2等于(　　)
A.130° B.140° C.150° D.160°
【强化训练2】如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，若∠2=46°，则∠GEB等于（　　）

A.26° B.36° C.44° D.54°
【强化训练3】如图，已知平分，则 ．
【强化训练4】如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE∶∠EFB＝3∶4，
∠ABF＝40°，那么∠BEF的度数为______．
【强化训练5】如图，∠1=∠3=60°，∠2=120°，可以判断哪些直线平行？说明理由.
【强化训练6】如图，AB∥DE，C为BD上一点，∠A＝∠BCA，∠E＝∠ECD，请说明CE⊥CA.
【题型4】平行线性质的综合
【典例】如图，直线直线b，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，直线 分别交 ，于点，，平分，，若 ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，直线，，，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，，于E，交于F，已知，则 ．

【强化训练4】如图，直线，点B在直线b上，且，，则的度数为 ．
【强化训练5】如图，，．
(1)求证：；
(2)若于点C，，求的度数．
【题型5】平行线性质的实际应用
【典例】在“创文明城市-爱我龙岩”白色垃圾清理活动中，小华同学从点出发，沿北偏西方向到达地，已知，此时营地在的（　　）方向．

A.北偏西 B.北偏东 C.北偏东 D.南偏西
【强化训练1】如图，A岛在B岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏东方向，C岛在A岛的南偏东方向，从C岛看A、B两岛的视角是（ ）度．

A. B. C. D.
【强化训练2】如图，一辆汽车经过两次转弯后，行驶的方向与原来保持平行，如果第一次转过的角为，则第二次转过的角为 ．
【强化训练3】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的是，第二次拐弯处的角是，第三次拐弯处的是，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则等于 ．

【强化训练4】如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，．
(1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由；
(2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值．
【题型6】平行线性质与判定的综合
【典例】如图，如果，，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，已知， 则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，在四边形中，，于点，于点，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【强化训练3】如图，，，，则 ．

【强化训练4】如图是一个“鱼”形图案，点B，C分别在的两边上．已知，求出的度数．
【题型7】用平行线性质与判定解决拐角问题
【典例】汽车灯如图是某汽车前照灯纵剖面，从位于点O的灯泡发出的两束光线，经过灯碗反射以后平行射出，如果，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，如果，那么（　　）

A. B. C. D.
【强化训练2】如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（ ）
A. B. C. D.无法表示
【强化训练3】如图，，思考解决下列问题：试探究 ．
【强化训练4】如图，，则，，，，满足的数量关系是 ．
【强化训练5】如图，．
(1)如图①，若，点B在射线上，，求的度数；
(2)如图②，若，试猜想与的数量关系，并说明理由．
【强化训练6】（1）某电动伸缩遮阳帘形状如图1所示，已知，小明观察分析该图形得出图中、、之间存在如下数量关系：，他的证明思路如下，请将他的证明过程补充完整．
已知：
求证：
证明：过点作直线，使
∵，
∴ （ ）
∵
∴（ ）
∵
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴ （ ）
（2）请同学们体会上面辅助线的作用，用类似的方法解决如下问题：
已知：如图2，，试探究、和之间的数量关系，并说明理由．
【题型8】用平行线性质与判定解决折叠问题
【典例】如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在的位置．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，把一张长方形的纸片，沿折叠后，与的交点为，点、分别落在、的位置上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，长方形纸片中，，边上分别有点E，F，将长方形纸片沿翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若，则的度数是 ．
【强化训练3】如图，将一个长方形纸片，沿着折叠，使，点分别落在点，处，若，则的度数为 ．
【强化训练4】如图，在长方形中，，，，，将长方形沿着直线折叠，使点C落在处，交于点E，求的度数．
【题型9】平行线性质与判定和30°45°60°三角板的综合
【典例】已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，其中直角顶点在直线上，角的顶点在直线上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】在探究直线平行的性质后王老师给出这样一道题：如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【强化训练2】如图，已知，直线分别与，相交于，两点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，，则的度数为 ．
【强化训练3】如图，已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，如果，那么的度数是 ．

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