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长春外国语学校2025－2026学年第二学期期中考试初一年级
数学试卷
本试卷包括两道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为90分钟．考试结束后，将答题卡交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列汽车图标中，是轴对称图形的是
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式一定成立的是
A． B．
C． D．
3．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．用同一种下列形状的图形地砖不能进行平面镶嵌的是
A．正三角形 B．正八边形 C．长方形 D．正六边形
5．方程的正整数解有
A．组 B．组 C．组 D．无数组
6．对于方程，去分母后得到的方程是
A． B．
C． D．
7．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，分别交两弧于、两点，作直线，交于点，交于点，连接，若，，．则的周长为
A． B． C． D．
8．已知关于、的方程组和的解相同，则的值为
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
9．“的倍与的差大于”列出的不等式是________．
10．多边形内角和是，则它的边数为________．
11．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种头脚的兽与一种头脚的鸟，若兽与鸟共有个头与只脚．设兽有个，鸟有只，可列方程组为________．
12．如图，将长方形纸片沿线段折叠，重叠部分为，若，则的度数为________．
13．定义一种法则“”如下：，如：，若，则的值为________．
14．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①；②；③；④若则其中所有正确结论的序号有________．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）解下列一元一次方程：
（1）；
（2）；
16．（6分）解下列二元一次方程组
（1）；
（2）
17．（6分）解下列不等式或不等式组
（1）；
（2）
18．（6分）某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运行李，超过部分每千克按飞机票价的购买行李票．一位乘坐经济舱的旅客托运了行李，机票连同行李费共付了元，求这位旅客的机票价．
19．（7分）若关于不等式组恰有两个整数解，求的取值范围．
20．（7分）如图，在中，，，平分，于点，与交于点，求的度数；
21．（7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③的的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中画的高．
（2）在图②中在找一点，连接，使得的面积等于的面积．
（3）在图③中是边上一格点，边上找一点，连接、，使取得最小值
22．（10分）已知某网店销售甲、乙两款玩偶，乙款玩偶的售价比甲款玩偶售价的少元，购买个甲款玩偶和个乙款玩偶共需元（免运费）．请解答下列问题：
（1）该网店甲、乙两款玩偶每个售价各是多少元？
（2）根据市场需求，该网店计划用不超过元购进甲、乙两款玩偶共个，且甲款数量超过个．已知甲款玩偶每个进价元，乙款玩偶每个进价元，该网店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，该网店采取哪种方案利润最大，最大利润是多少？
23．（11分）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究：
（1）如图，在中，与的平分线交于点，，则________；
（2）如图，的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求的度数．
（3）如图，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求________（用表示）
（4）如图，外角、的平分线交于点，、的平分线交于点，则延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则与的数量关系为________．
24．（12分）【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．
如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，．
原方程组转化为，解得，．
由倒数定义得，原方程组的解为．
【问题解决】用换元法解决下列问题：
（1）若关于，的方程组的解________；
（2）若关于，的方程组的解是，则关于，方程组
的解是________．
（3）已知关于，的方程组，求，的值．

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