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专题二：求数列的通项公式（解析卷）
考点1：由递推关系求通项——累加法 1
考法1：形如的累加法 1
考点2：由递推关系求通项——累乘法 3
考法2：形如的累乘法 3
考点3：由递推关系求通项——构造法 4
考法3：数列的周期性判断与应用 4
考法4：形如的构造法 6
考点4：利用与的关系求通项 7
考法5：已知与的关系求 7
考法6：已知与的关系求通项 8
1 2 3 4 5
B AB A 见解析 ，
6 7 8 9 10
C B AC 见解析
11 12 13 14 15
见解析 见解析 64 见解析 见解析
16 17 18 19 20
见解析 见解析 CD 见解析 见解析
21 22 23 24 25
见解析 见解析 见解析 A ABD
考点1：由递推关系求通项——累加法
考法1：形如的累加法
1.（单选）
【答案】B
【解析】设该数列为 ，则 .
记 ，则 ，
可知 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
所以 .
当 时，
.
当 时，，满足上式.
所以 .
当 时，.
故选 B.
【点拨】本题考查利用累加法求数列的通项公式.对于形如 的递推关系，通常采用累加法求解，注意最后要检验 的情况.
2.（多选）
【答案】AB
【解析】对于 A，由 ，得 ，
则 ，
显然当 时， 恒成立，故 A 正确；
对于 B：由 ，得 ，
当 时，
即 ，
于是 ，
两式相减得 ，
因此 ，显然 满足上式，则 ，故 B 正确；
对于 C：由 ，
所以数列 是递增数列，则 有最小值 1，无最大值，
当 时，不存在 ，使得 ，故 C 错误；
对于 D，，由选项 B 得 ，
显然数列 是递减数列，且 ()，
因此当 时，不存在 ，使得 成立，故 D 错误.
故选：AB.
【点拨】本题考查了数列的新定义问题，涉及累加法求通项公式以及错位相减法的应用.在处理累加法时，要注意项数的对应关系，并在最后验证 时是否满足通项公式.
3.（单选）
【答案】A
【解析】由 得 ，
所以数列 是以 为首项，1 为公差的等差数列，
则 .
当 时，
，
当 时， 满足上式，故 .
因为 ，所以 .
则数列 的前 50 项和为 .
故选 A.
【点拨】本题考查了由递推关系求数列的通项公式以及裂项相消法求和.通过构造等差数列求出 ，再利用累加法求出 ，是解决此类问题的通法.
考点2：由递推关系求通项——累乘法
考法2：形如的累乘法
4.（解答）
【答案】见解析
【解析】解：（2）设 的公差为 ， 的公比为 ，则依题意有 ，
因为 ，，，
所以 ，解得 或 .
由于 是各项都为正整数的等比数列，所以 .
所以 ，.
因为 ，所以 ……………………………… 2 分
所以 ，
…………………………………………………… 4 分
两式相除得： …………………………………………………………… 6 分
由 ，，得 ………………………………………… 8 分
所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列；
是以 为首项，以 为公比的等比数列 …………………… 10 分
所以当 为奇数时，，
当 为偶数时， …………………………………… 11 分
所以 的通项公式 ……………………………… 12 分
【点拨】本题考查了等差、等比数列的基本量计算，以及利用累乘法或奇偶项讨论求数列的通项公式.处理 形式的递推式时，通常通过 两式相除，转化为奇偶项的等比（或等差）数列求解.
5.（填空）
【答案】；
【解析】解：由于 ，
所以当 时，有 ，
两式相减可得 ，即当 时，，
当 时，求得 ，即 也符合该递推关系，
所以 .
由于 ，令 ，
由于 ，
当 时，，当 时单调递增，当 时单调递减，
所以 ，故数列最大项为 ，即 .
【点拨】本题考查了由递推关系求数列的通项公式以及数列的最值问题.通过作差法求出相邻两项的比值，再利用累乘法求出通项公式是解题的关键.
考点3：由递推关系求通项——构造法
考法3：数列的周期性判断与应用
6.（单选）
【答案】C
【解析】由 得 .
因为 ，所以 ，，，.
所以数列 是周期为 4 的周期数列.
则 .
故选 C.
【点拨】本题考查了由递推关系求数列的项.对于非线性的递推关系，通常通过计算前几项寻找数列的周期性，进而求出高次项的值.
7.（单选）
【答案】B
【解析】由 得 .
因为 ，
所以 ，，，，，.
所以数列 是周期为 6 的周期数列.
因为 ，
所以 .
故选 B.
【点拨】本题考查了数列周期性的判断与应用.遇到 形式的递推关系，可通过写出前几项发现其周期为 6，这是解决此类问题的常用技巧.
8.（多选）
【答案】AC
【解析】由 且 ，
得 ，故 A 正确；
，.
所以数列 是周期为 3 的周期数列，故 C 正确；
因为 ，所以 不是递增数列，故 B 错误；
因为 ，所以 ，故 D 错误.
故选 AC.
【点拨】本题考查了由递推公式求数列的项及周期性.对于分式线性递推数列，常通过计算前几项寻找周期规律.
9.（填空）
【答案】
【解析】由 ，，
得 ，，.
所以数列 是周期为 3 的周期数列.
因为 ，
所以 .
【点拨】本题考查了数列周期性的应用.通过递推公式依次求出数列的前几项，发现周期为 3 是解题的关键.
考法4：形如的构造法
10.（解答）
【答案】见解析
【解析】证明：（1）由 ，两边同除以 得 …………………… 2 分
因为 ，所以 ………………………………………… 4 分
即 ………………………………………………………… 6 分
又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列 …………………… 8 分
【点拨】本题考查了利用构造法证明等比数列.对于形如 的递推关系，通常两边同除以 转化为 的形式，再构造等比数列求解.
11.（解答）
【答案】见解析
【解析】证明：（1）由 ，两边同除以 得 ……………… 2 分
因为 ，所以 ………………………………………… 4 分
又 ，
所以数列 是以 1 为首项， 为公差的等差数列 …………………………… 6 分
【点拨】本题考查了利用构造法证明等差数列.对于形如 的递推关系，两边同除以 即可构造出等差数列.
12.（解答）
【答案】见解析
【解析】证明：（2）在由正整数 构成的数列中，恰为 1 阶相邻递增数列的情形可以由以下两种方法进行构造：
①在递减数列 中任选一项的右边放 ，使此数列为 1 阶相邻递增数列，共有 种排法；
②在由正整数 构成 1 阶相邻递增数列中，若只有第 项满足 ，则将 放在 的右侧或者放在 的左侧即可，此时共有 种排法 …………………… 3 分
故 ………………………………………………………………………… 5 分
所以 …………………………………… 7 分
易知 ，则 ，
所以 是首项为 2，公比为 2 的等比数列 ……………………………… 9 分
所以 ，即 ……………………………………………… 11 分
【点拨】本题考查了利用递推关系求数列通项公式以及排列组合的构造思想.通过分类讨论建立 与 的递推关系是解决本题的难点，随后利用待定系数法构造等比数列即可求出通项.
考点4：利用与的关系求通项
考法5：已知与的关系求
13.（填空）
【答案】64
【解析】当 时，；
当 时，，
当 时， 满足上式，故 .
因为 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
所以 的最小值为 64.
【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式，以及基本不等式求最值.注意在求通项公式时，必须检验 的情况是否符合 时的通项公式.
14.（解答）
【答案】见解析
【解析】解：（1）由题意知 …………………………………… 2 分
所以 ……………………………………………………………… 4 分
当 时， …………………………………………………… 5 分
当 时， …………………………… 7 分
………………………………………… 8 分
当 时，，
故 ……………………………………………………… 10 分
【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式.在利用 求解时，务必单独检验 时的情形，若不符合则需写成分段函数的形式.
15.（解答）
【答案】见解析
【解析】解：（1）当 时， ……………………………… 2 分
当 时， …………………………………………………… 4 分
……………………………………………… 6 分
…………………………………………………… 7 分
当 时， 也满足上式，
所以数列 的通项公式为 ………………………………………… 8 分
【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式.熟练掌握并运用公式 是解题的基础.
考法6：已知与的关系求通项
16.（解答）
【答案】见解析
【解析】证明：（1）由 得 …………………………………… 2 分
当 时，，即 ，解得 ………………………… 4 分
当 时， ………………………… 6 分
整理得 ，即 ………………………………………… 8 分
又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列 …………………… 10 分
【点拨】本题考查了利用 与 的关系证明等比数列.遇到含有 与 的混合关系式时，通常利用 消去 ，转化为只含 的递推关系.
17.（解答）
【答案】见解析
【解析】解：（1）由 ①，
当 时， ② ……………………………… 2 分
①-②得： ……………………… 4 分
即 ……………………………………………… 6 分
整理得 ，即 ………………………………… 8 分
所以 () …………………………………………………… 10 分
【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式.通过写出第 项的关系式并作差，是消去 的标准处理方法.
18.（多选）
【答案】CD
【解析】已知 ，则 ，所以 A 错误；
由 ，可得 ，
可得 ，即 ，
当 时，，即数列 自第二项开始是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，即
，所以 B 错误；
，所以 C 正确，
当 时，，符合条件，
当 时，，所以 D 正确；
故选：CD.
【点拨】本题考查了由 与 的关系求通项公式及前 项和.通过作差法找到 从第二项起成等比数列是解题的关键，注意首项的特殊性.
19.（解答）
【答案】见解析
【解析】解：（1）由 ①
可得 ② ………………………………………… 2 分
由②-①得 ，
即 ……………………………………………… 4 分
，，
……………………………………………………………… 6 分
又当 时，得 ，解得 或 （舍去） …… 8 分
可得数列 是首项为 2，公差为 1 的等差数列，
即 ………………………………………………………… 10 分
【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式.作差后利用因式分解提取公因式，结合数列各项为正的条件得出等差数列的结论是核心步骤.
20.（解答）
【答案】见解析
【解析】解：（1）因为 ，所以 ① …………………… 2 分
当 时， ② ……………………………… 4 分
①-②得： ……………………… 6 分
所以 ，
所以 ，
所以 ……………………………………………………………… 8 分
因为 ，所以 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
所以 …………………………………………………… 10 分
【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式.先将分式化为整式，再利用作差法消去 ，化简得到等差数列的定义式即可求解.
21.（解答）
【答案】见解析
【解析】解：（1）当 时，且 ，解得 ……………………………… 1 分
当 时，，
两式相减得 ………………………………………… 3 分
即 ，
，则 ，
………………………………………………………… 5 分
是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以 …………………… 6 分
设数列 的公比为 ，则 ，
即 ，解得 ……………………………………………… 8 分
所以 …………………………………………………………………… 10 分
【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式以及等比数列的基本运算.作差后利用因式分解得出等差数列是解题关键.
22.（解答）
【答案】见解析
【解析】解：（1）当 时，且 ，解得 ………………………… 2 分
当 时，，
两式相减得 ，即 …………………………………… 6 分
所以 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 ………………………………………………………………………… 8 分
【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式.直接写出第 项的表达式并作差，即可发现数列成等比数列.
23.（解答）
【答案】见解析
【解析】解：（1）因为 ，
所以 …………………………………………………… 2 分
即 ，
所以 …………………………………………………… 4 分
所以 是等差数列 …………………………………………………………… 5 分
设公差为 ，又 ，，
解得 ………………………………………………………………………… 7 分
所以 …………………………………………………… 8 分
【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式.将 展开为 ，化简得到等差数列的定义式是解题的核心.
24.（单选）
【答案】A
【解析】由 ，
当 时，，即 ，
当 时，，得 ，上式对 也成立，
所以 恒成立即为 恒成立，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最大值为 6.
故选 A.
【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式，以及基本不等式求最值.构造新数列的前 项和是处理此类问题的常见方法.
25.（多选）
【答案】ABD
【解析】因为 ①，
所以当 时， ②，
①-②得：，
整理得 ，
当 时，，即 ，所以 ，
所以数列 是常数数列，即 ，所以 .
对于 A，，故 A 正确；
对于 B，，所以数列 是首项为 0，公差为 的等差数列，故 B 正确；
对于 C，，不是整数，故 C 错误；
对于 D，数列 的前 2025 项和为 ，故 D 正确.
故选 ABD.
【点拨】本题考查了数列递推关系的化简与等差数列的求和.通过作差法得到相邻两项的关系，进而构造常数数列是求通项公式的关键.
第 2 页，共 17 页专题二：求数列的通项公式（试卷）
考点1：由递推关系求通项——累加法 1
考法1：形如的累加法 1
考点2：由递推关系求通项——累乘法 2
考法2：形如的累乘法 2
考点3：由递推关系求通项——构造法 2
考法3：数列的周期性判断与应用 2
考法4：形如的构造法 3
考点4：利用与的关系求通项 4
考法5：已知与的关系求 4
考法6：已知与的关系求通项 5
注意事项
1. 本试卷涵盖数列通项公式的多种求法，包括累加法、累乘法、构造法以及利用与关系求通项.
2. 练习时请注意识别不同递推关系的特征，选择合适的求法，并规范书写解答过程.
3. 解答题中若涉及多问，请注意前后问之间的逻辑联系.
考点1：由递推关系求通项——累加法
考法1：形如的累加法
1.（单选）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列. 以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列. 若某二阶等差数列的前 4 项为 2,3,6,11，则该数列的第 27 项为（ 　　）
A. 676 B. 678 C. 731 D. 733
2.（多选）给定数列 ，定义差分运算：．若数列 满足 ，数列 的首项为 1，且 ，则（ 　　）
A. 存在 ，使得 恒成立
B.
C. 对任意 ，总存在 ，使得
D. 对任意 ，总存在 ，使得
3.（单选）已知数列 满足：，数列 满足 ，则数列 的前 50 项的和为（ 　　）
A. B. C. D. 50
考点2：由递推关系求通项——累乘法
考法2：形如的累乘法
4.（解答）设 是等差数列， 是各项都为正整数的等比数列，且 ，，，.
（2）若数列 满足 ，，且 ，试求 的通项公式；
5.（填空）在数列 中，，，则 ＿＿＿＿＿＿， 对所有 恒成立，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
考点3：由递推关系求通项——构造法
考法3：数列的周期性判断与应用
6.（单选）已知数列 满足 ，则 （ 　　）
A. B. C. D. 2
7.（单选）在数列 中，已知 ，则 （ 　　）
A. 3 B. C. 6 D.
8.（多选）数列 满足 ，则（ 　　）
A. B. 为递增数列 C. 为周期数列 D.
9.（填空）数列 满足 ，，则 ＿＿＿＿＿＿.
考法4：形如的构造法
10.（解答）已知数列 满足 ，，．
（1）证明： 是等比数列；
11.（解答）已知数列 满足 ，数列 满足 .
（1） 求证：数列 是等差数列；
12.（解答）将 随机排成一列，得到一个数列 ，若至多有 项，即第 项均满足 ，则称 为 阶相邻递增数列， 为相邻递增数列的阶数.若 中不存在 1 项 满足 ，则称 为 0 阶相邻递增数列，其阶数为 0. 例如，数列 为 0 阶相邻递增数列，数列 为 1 阶相邻递增数列，数列 为 3 阶相邻递增数列.
（2）将 随机排成一列，在得到的数列中，1 阶相邻递增数列的个数为 ，证明 为等比数列，并求数列 的通项公式；
考点4：利用与的关系求通项
考法5：已知与的关系求
13.（填空）已知数列 的前 项和 ，若 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿.
14.（解答）已知 是数列 的前 项和，数列 是首项为 3，公比为 3 的等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
15.（解答）已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求 的通项公式；
考法6：已知与的关系求通项
16.（解答）已知数列 的前 项和为 .
（1）求证：数列 是等比数列；
17.（解答）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
（1） 求 ；
18.（多选）已知数列 的前 项和为 ，，且 ，则（ 　　）
A. B. C. D.
19.（解答） 为数列 的前 项和，已知 ．
（1）求 的通项公式；
20.（解答）已知 是数列 的前 项和，.
（1）求 的通项公式；
21.（解答）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 ，数列 为公比大于 0 的等比数列，且 ，.
（1）求 ，；
22.（解答）已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 通项公式；
23.（解答）已知数列 的前 项和为 ，满足 ， 且 .
（1）求 的通项公式；
24.（单选）若数列 满足 ，且不等式 对一切正整数 恒成立，则 的最大值（ 　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
25.（多选）已知数列 满足 ，，令 ，则（ 　　）
A. B. 数列 是等差数列
C. 为整数 D. 数列 的前 2025 项和为 2025
第 2 页，共 1 页

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