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专题三：数列求和（解析卷）
考点1：等差数列的判断与证明 1
考法1：利用定义证明等差数列 1
考点2：等比数列的判断与证明 2
考法2：利用定义证明等比数列 2
考点3：利用与的关系求通项 2
考法3：已知与的关系求通项 2
考点4：分组求和法 4
考法4：将数列拆分为等差与等比分别求和 4
考法5：符号变化的数列并项求和 7
考点5：裂项相消法 7
考法6：形如的裂项相消 7
考法7：形如的裂项相消 9
考法8：形如的裂项相消 11
考点6：错位相减法 11
考法9：等差×等比的数列求和（错位相减） 11
考点7：等比数列求和 15
考法10：等比数列求和公式的应用 15
考点8：数列求和的综合应用 15
考法11：周期数列求和 15
考法12：多种求和方法综合运用 16
1 2 3 4 5
见解析 是等比数列，证明见解析 （1） （2）见解析 （3） （1）， （2） ABCD
6 7 8 9 10
1，2，3，4 6
11 12 13 14 15
80 ABD 15； 7 证明见解析
16 17 18 19 20
（1）， （2）证明见解析 3
21 22 23 24 25
①证明见解析；② （1） （2） ①；②存在，
26 27 28 29 30
2，3，4 B
专题三：数列求和（试卷）（逐题详解）
考点1：等差数列的判断与证明
考法1：利用定义证明等差数列
1.（解答）
【答案】见解析
【解析】解：由 ，得 …………………… 2 分
所以 ……………………………………………… 4 分
所以，数列 是以1为首项，1为公差的等差数列．………… 5 分
【点拨】对于递推公式 型，常两边同除以 或 构造等差数列或等比数列．
考点2：等比数列的判断与证明
考法2：利用定义证明等比数列
2.（解答）
【答案】是等比数列，证明见解析
【解析】解：（1） ， ………… 2 分
（2） 首先证明引理：
左式 = 右式，引理证毕．…… 5 分
回到原题：根据引理
……………………………………………… 8 分
因为 为非零实数且 ，故 是以 为首项， 为公比的等比数列．…… 10 分
【点拨】利用组合数恒等式 化简求和是处理含二项式系数数列的关键，化简后再利用定义证明等比数列．
考点3：利用与的关系求通项
考法3：已知与的关系求通项
3.（解答）
【答案】（1） （2）见解析 （3）
【解析】解：（1） 令 ，得 . 又 ，所以 ………… 1 分
………………………………………… 2 分
令 ，得 . 又 ，所以 ……………… 3 分
故 …………………………………… 4 分
（2） 若选择①：由已知，得 .
故 ，所以 ， ………… 7 分
故 是以1为首项，2为公比的等比数列．…………………… 9 分
若选择②：由已知，. 故当 时， …… 5 分
两式相减，得 .
化简并整理，得 (，且 ) ……………… 7 分
又 ，，所以 ………………………… 8 分
故 是以1为首项，2为公比的等比数列．…………………… 9 分
（3） 若选择①：由（2）知，，故 () …… 11 分
若选择②：由（2）知，，故 () …… 10 分
所以 () ………………………… 11 分
所以 .
则 .
两式错位相减，得 ………… 13 分
.
所以 ………………………………………… 15 分
【点拨】处理 与 的关系时，常利用 转化为关于 的递推式．错位相减法求和要注意最后一项的符号．
4.（解答）
【答案】（1）， （2）
【解析】解：（1） 当 时， ………… 1 分
当 时，
当 时也符合，所以 ………………………… 3 分
设等比数列 的公比为 ，由 得 ，解得
所以 ………………………………………… 5 分
（2） 由（1）知 ………………………… 6 分
则
………… 8 分
两式相减得
…… 10 分
所以 …………………………………… 12 分
【点拨】利用 求通项时必须检验 的情况.等差乘等比数列求和常用错位相减法.
考点4：分组求和法
考法4：将数列拆分为等差与等比分别求和
5.（多选）
【答案】ABCD
【解析】依题意，将数列分组：第1组1项，分母为2；第2组2项，分母为4；第3组4项，分母为8；…；第 组有 项，分母为 ，分子为 .
前 组的总项数为 .
对于A，因为 ，所以 是第4组的最后一项，即 ，A正确；
对于B， 表示第4组所有项的和，第4组共有 项，其和为 ，B正确；
对于C，组内相邻两项和为 ，若等于 ，则分子必为奇数，不可能；跨组相邻两项和为 ，令其等于 ，解得 ，此时 ，故有且仅有一个正整数 满足条件，C正确；
对于D，第 组各项之和为 ，前 组的总和为 ，当 时，，由于 可取任意正整数，故存在无数个正整数 满足条件，D正确.故选ABCD.
【点拨】群数列问题关键在于确定“项数”与“组数”的关系，以及每组内各项的规律与和的规律.
6.（解答）
【答案】
【解析】解：（1） 当 时， ………… 1 分
则 ………… 2 分
……………………………… 3 分
【点拨】将数列化简后，拆分为等比数列和等差数列，分别利用求和公式计算.
7.（解答）
【答案】1，2，3，4
【解析】解：由题意，，，，
所以 ，，………………………… 2 分
又因为 ，…………………… 5 分
所以数列 是首项为5，公比为2的等比数列；…………………… 7 分
由（1）知 ，所以 ，…………………… 9 分
所以 ，…………………… 11 分
因为 单调递增，
且 ，…………………… 13 分
所以正整数 的所有取值为 1，2，3，4. …………………… 15 分
【点拨】对于分奇偶的递推数列，常通过代入法转化为只含奇数项或偶数项的递推关系，进而构造等比或等差数列求通项.
8.（解答）
【答案】
【解析】解：若 为奇数，则 是偶数， 是奇数，
所以 ，，
所以 ，…………………… 4 分
所以 的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列. …………………… 5 分
当 时，
. …………………… 10 分
因为 ，
所以当 时，
. …………………… 14 分
综上所述，. …………………… 15 分
【点拨】对于奇偶项规律不同的数列求和，应分 为奇数和偶数两种情况讨论，通常先求出偶数项和 ，再利用 求奇数项和.
9.（解答）
【答案】
【解析】解：当 时，. …………………… 2 分
当 时，. …………………… 4 分
当 时，也符合 .
综上，. …………………… 6 分
由（1）知， …………………… 8 分
则
…………………… 10 分
…………………… 12 分
. …………………… 13 分
【点拨】遇到奇偶项通项公式不同的数列求和，采用分组求和法，将奇数项和偶数项分别求和，再相加.
10.（解答）
【答案】6
【解析】解：当 时，且 ，解得 . …………………… 1 分
当 时，，
， …………………… 3 分
即 ，则 .
，则 ，所以 . …………………… 5 分
是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 . …………………… 6 分
设数列 的公比为 ，则 ，，
即 ，解得：，所以 . …………………… 8 分
根据题意，在 与 之间插入 个1，
即在1和2之间插入 个1； …………………… 9 分
在2和3之间插入 个1； …………………… 10 分
在3和4之间插入 个1； …………………… 11 分
在4和5之间插入 个1； …………………… 12 分
在5和6之间插入 个1， …………………… 13 分
到6时，恰好有 项，故 . …………………… 15 分
【点拨】处理“插入项”构成的新数列问题，关键是确定原数列的项在新数列中的位置（项数），通过建立项数的不等式或方程来定位所求项.
考法5：符号变化的数列并项求和
11.（解答）
【答案】80
【解析】解：设 的公差为 . 由 可得，，所以 . ………… 2 分
由 可得，，所以 . ………… 5 分
由于 各项均为正数，故 ， 的通项公式为 . ………… 6 分
. 由于 ， ………… 8 分
①当 时，. ………… 10 分
若 ，则 ，. ………… 11 分
②当 时，
，
因此不存在这样的 使得 .
综上所述，. ………… 13 分
【点拨】对于正负相间的数列求和，通常采用并项求和法，将相邻两项合并，化简后再求和，注意分项数为奇数和偶数两种情况讨论.
考点5：裂项相消法
考法6：形如的裂项相消
12.（多选）
【答案】ABD
【解析】依题意，，
归纳可得 ，累加得 .
对于A，，A正确；
对于B，，则 ，故 是等差数列，B正确；
对于C，，奇数乘奇数结果为奇数，C错误；
对于D，，
则 ，
因为 ，所以 ，D正确.故选ABD.
【点拨】根据前几项归纳出通项公式是解题基础，形如 的数列求和直接使用裂项相消法 .
13.（填空）
【答案】15；
【解析】由题意知，，归纳可得 ，
所以 .
，
所以数列 的前50项和为 .
【点拨】裂项相消法求和后，注意保留未消去的首尾项，代入项数即可求得结果.
14.（解答）
【答案】7
【解析】解：因 ，则 ，
所以数列 是首项为 的等差数列，………… 3 分
由于 ，得 ，则公差为 ，所以 ，
则 的通项公式为 . ………… 6 分
解法一：由（1）知，，故 ，………… 9 分
所以，当 时，，………… 11 分
又因为 ，代入化简可得 . ………… 12 分
因为 也符合上式，所以 .
注意到 ，………… 14 分
所以 的前13项和为 . ………… 15 分
【点拨】利用累加法求出数列的通项公式后，观察通项的结构特征，通过分离常数和对称相消的技巧求和.
考法7：形如的裂项相消
15.（解答）
【答案】证明见解析
【解析】证明： 数列 为等差数列，设该数列的公差为 ，依题意则有 ………… 2 分
已知 ，解得 ………… 4 分
数列 是以3为首项，公差为1的等差数列，
，即 ………… 7 分
由（1）可得 ………… 9 分
………… 10 分
………… 12 分
………… 14 分
则 ………… 15 分
【点拨】裂项相消法中，，消项后首尾各剩 项，注意不要遗漏系数 .
16.（解答）
【答案】
【解析】解：由 ，①
可得 ．②
由 ②-① 得 ．………… 3 分
即 ．
，．………… 5 分
又当 时，得 ．
解得 （舍去）………… 7 分
可得数列 是首项为2，公差为1的等差数列
即 ．………… 9 分
由（1）知 ，
可得 ．………… 11 分
因此 ；………… 13 分
可得 ………… 15 分
【点拨】由 与 的关系求通项时，作差后利用因式分解求出递推关系.裂项相消求和时注意相邻项直接抵消.
17.（解答）
【答案】
【解析】解：设等差数列 的公差为 ，
由 ，得 ………… 3 分
解得 ……………………………………………… 6 分
所以 ……………………………… 8 分
所以 …… 11 分
所以
…………………………………… 14 分
【点拨】求出等差数列通项后，将分母化为乘积形式，提取常数因子后再进行裂项相消.
18.（解答）
【答案】（1）， （2）证明见解析
【解析】解：（1） 由题知，， ………… 2 分
又 ，，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列 ………… 3 分
所以 ， ………… 4 分
又 ，得 ，
解得 ，即 ………… 6 分
（2） 证明：由题意应为 ，则 ………… 8 分
所以
……………………………………………… 11 分
因为 ，所以 单调递增，
所以 ，且 ，
故 成立．…………………………………… 14 分
【点拨】原题中 存在排版错误，结合结论范围可推断应为 .等比数列的倒数平方仍为等比数列，利用等比数列求和公式求和后，通过放缩法证明不等式.
考法8：形如的裂项相消
19.（填空）
【答案】3
【解析】因为 ，
所以 .
【点拨】对于分母含有根号的数列，通常先进行分母有理化，将其转化为可裂项相消的形式.
20.（解答）
【答案】
【解析】解：（1） .………… 2 分
当 时，.………… 3 分
当 时，.………… 5 分
当 时，，所以 .………… 7 分
（2） .………… 9 分
当 时，.………… 11 分
.………… 14 分
【点拨】对于首项不符合通项公式的数列，求和时应将首项单独列出，从第二项开始使用裂项相消法，最后再合并.
考点6：错位相减法
考法9：等差×等比的数列求和（错位相减）
21.（解答）
【答案】①证明见解析；②
【解析】解：①由 ，得 ，两式相减得 ，
即 ，………… 3 分
又 ，则 ，
所以 ，即 ，，
所以数列 为等比数列. ………… 6 分
②由（i）知等比数列 的首项为3，公比为2，则 ，
，两式相减得 ，………… 8 分
当 时，，
于是 ，，则 ；………… 10 分
当 时，，
于是 ，，则 ，
因此 ，，，………… 12 分
则 ，，
两式相减得 ，………… 14 分
所以 . ………… 15 分
【点拨】由递推关系证明等比数列时，注意作差构造目标形式.错位相减法求和时，注意相减后中间项是等比数列，首尾项需单独处理.
22.（解答）
【答案】
【解析】解：（1） 因为 ，所以 ，①
当 时，，② ………… 2 分
①-②得：
所以 ， ………… 3 分
所以 ， ………… 4 分
所以 . ………… 5 分
因为 ，所以 是以1为首项，2为公差的等差数列， ………… 6 分
所以 . ………… 8 分
（2） 由（1）得 ，
所以 ， ………… 10 分
， ………… 12 分
两式相减，得 ， ………… 13 分
， ………… 15 分
所以 . ………… 17 分
【点拨】利用 与 作差求通项时，注意化简并提取公因式.错位相减法求和后，合并同类项要仔细.
23.（解答）
【答案】
【解析】解：，………… 2 分
所以 ，
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列. ………… 5 分
由（1）知 ，所以 ，
所以 . ………… 8 分
，………… 10 分
，
，
两式相减得 ………… 12 分
，
所以 . ………… 14 分
【点拨】对于 型递推式，两边同除以 构造等比数列是常用技巧.错位相减法要注意最后一步系数的除法.
24.（解答）
【答案】（1） （2）
【解析】解：（1） 当 时，，解得 ………… 2 分
当 时，，，
两式相减得 ，即 ……………… 5 分
所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 …………………………………………………… 7 分
（2） 由（1）知 ，所以 ……………… 9 分
则
…………………… 11 分
两式相减得
……………… 13 分
所以 ………………………… 15 分
【点拨】利用 求通项，错位相减法求和是等差乘等比数列的通法.
25.（解答）
【答案】①；②存在，
【解析】解：（1） 设 ………… 2 分
又 ，故数列是以 为首项， 为公比的等比数列，则：
………… 4 分
（2） 由（1）可得 ，则 ………… 6 分
① 由题设可得
以上两式相减得：
化简得： ………… 10 分
② 因为 ，所以
………… 12 分
易得
当 时，，则 ………… 14 分
当 时，，又 随 的增大而增大，所以当 时，，即 ………… 16 分
则数列 的最小值为 ，则存在 ，使得对于任意 满足 . ………… 17 分
【点拨】利用向量坐标的递推关系求出模长的递推式，进而求出数列通项.判断数列最值时，可通过作差比较相邻项的大小关系.
26.（解答）
【答案】
【解析】解： ………… 3 分
① ………… 6 分
② ………… 9 分
①-②得： ………… 12 分
………… 15 分
所以 . ………… 17 分
【点拨】等差乘等比数列求和时，利用错位相减法，相减后中间项构成等比数列，利用等比数列求和公式化简.
考点7：等比数列求和
考法10：等比数列求和公式的应用
27.（解答）
【答案】2，3，4
【解析】解：，………… 3 分
又 ，所以数列是首项为1，公差为的等差数列. ………… 5 分
，所以 ，………… 7 分
. ………… 9 分
. ………… 12 分
由 ，得 ，即 . ………… 14 分
故满足不等式的所有正整数 的值为2，3，4. ………… 15 分
【点拨】通过同除以 构造等差数列求出通项，代入求和式化简为等比数列求和，最后解指数不等式.
考点8：数列求和的综合应用
考法11：周期数列求和
28.（填空）
【答案】
【解析】因为 ，所以数列 的周期为8，
且一个周期内的各项和为 ，
又 ，
所以 .
【点拨】三角函数构成的数列通常具有周期性，求出一个周期内的项和，利用周期性可快速求出前 项和.
考法12：多种求和方法综合运用
29.（单选）
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
两式相加得 ，
又已知 ，
所以 ，
且必须有 ，
利用累加法可得 ，
所以 ，
所以 .故选B.
【点拨】通过不等式的放缩与夹逼，确定函数递推关系为等式，再利用累加法求出函数表达式.
30.（解答）
【答案】
【解析】解：设 的公差为 ， 的公比为 ，则依题意有 ，
因为 ，，， ………… 1 分
所以 ，解得 或 ………… 3 分
由于 是各项都为正整数的等比数列，所以 . ………… 4 分
所以 ，. ………… 5 分
因为 ，所以 ，所以 ，，
两式相除：. ………… 6 分
由 ，，得 .
所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列；
是以 为首项，以 为公比的等比数列. ………… 8 分
所以当 为奇数时，， ………… 9 分
当 为偶数时，. ………… 10 分
所以 的通项公式 . ………… 11 分
因为 ，所以 . ………… 12 分
当 为奇数时，，错位相减得 . ………… 13 分
当 为偶数时，，裂项相消得 . ………… 15 分
. ………… 17 分
【点拨】对于奇偶项通项不同的数列求和，采用分组求和法.奇数项利用错位相减法求和，偶数项利用裂项相消法求和，最后将两部分结果相加.
第 2 页，共 17 页专题三：数列求和
考点1：等差数列的判断与证明 1
考法1：利用定义证明等差数列 1
考点2：等比数列的判断与证明 1
考法2：利用定义证明等比数列 1
考点3：利用与的关系求通项 2
考法3：已知与的关系求通项 2
考点4：分组求和法 3
考法4：将数列拆分为等差与等比分别求和 3
考法5：符号变化的数列并项求和 4
考点5：裂项相消法 5
考法6：形如的裂项相消 5
考法7：形如的裂项相消 6
考法8：形如的裂项相消 7
考点6：错位相减法 7
考法9：等差×等比的数列求和（错位相减） 7
考点7：等比数列求和 9
考法10：等比数列求和公式的应用 9
考点8：数列求和的综合应用 10
考法11：周期数列求和 10
考法12：多种求和方法综合运用 10
注意事项
1. 本试卷主要考查数列求和的多种方法，包括分组求和、裂项相消、错位相减等.
2. 请在答题时注意观察数列的通项特征，选择合适的求和方法.
3. 解答题请写出详细的推导和计算步骤.
考点1：等差数列的判断与证明
考法1：利用定义证明等差数列
1.（解答）已知数列中，，且.求证：数列为等差数列.
考点2：等比数列的判断与证明
考法2：利用定义证明等比数列
2.（解答）设为非零实数且，数列满足.判断数列是否为等比数列，若是，给出证明；若不是，说明理由.
考点3：利用与的关系求通项
考法3：已知与的关系求通项
3.（解答）记为数列的前项和，已知，且.
（1）求；
（2）在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分）
①是等比数列；②是等比数列.
（3）记为数列的前项和，求.
4.（解答）已知数列的前项和为，，等比数列满足：，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和为.
考点4：分组求和法
考法4：将数列拆分为等差与等比分别求和
5.（多选）已知数列，其中第1项为，接下来的2项为，接下来的4项为，依此类推，设为的前项和，则（ 　　）
A. B. C. 有且仅有一个正整数，使得 D. 存在无数个正整数，使得
6.（解答）已知且，函数.设，为数列的前项和，当时，求.
7.（解答）已知数列满足，记，求满足的所有正整数的值.
8.（解答）已知数列的首项是1，求的前项和.
9.（解答）已知数列的前项和为，且.若数列满足求的前项和.
10.（解答）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，.若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值.
考法5：符号变化的数列并项求和
11.（解答）已知等差数列的各项均为正数，且.若，且，求正整数的值.
考点5：裂项相消法
考法6：形如的裂项相消
12.（多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（ 　　）
A. B. 是等差数列
C. 为偶数 D.
13.（填空）如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，则＿＿＿＿＿＿，数列的前50项和为＿＿＿＿＿＿.
14.（解答）已知数列满足，且.若数列满足，.求的前13项和.
考法7：形如的裂项相消
15.（解答）已知数列中，，，且数列为等差数列．记为数列的前项和，证明：．
16.（解答）为数列的前项和，已知．设，求数列的前项和．
17.（解答）已知等差数列满足.设，求数列的前项和.
18.（解答）已知数列的前项和为，若点都在函数的图象上，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，求证：.
考法8：形如的裂项相消
19.（填空）若数列满足，则数列前15项的和＿＿＿＿＿＿.
20.（解答）已知是数列的前项和，数列是首项为3，公比为3的等比数列.已知，求数列的前项和.
考点6：错位相减法
考法9：等差×等比的数列求和（错位相减）
21.（解答）已知数列的前项和为，且.若，
①证明：数列为等比数列；
②求数列的前项和.
22.（解答）已知是数列的前项和，.求数列的前项和.
23.（解答）已知数列满足，，.若，求数列的前项和.
24.（解答）记为数列的前项和，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
25.（解答）已知：.在（1）的条件下（已知），数列满足.
①设数列，求数列的前项和；
②是否存在，对于任意满足？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
26.（解答）设为非零实数且，数列满足.设，求数列的前项和.
考点7：等比数列求和
考法10：等比数列求和公式的应用
27.（解答）已知数列满足，数列满足.设，求满足不等式的所有正整数的值.
考点8：数列求和的综合应用
考法11：周期数列求和
28.（填空）记数列的前项和为，且，则＿＿＿＿＿＿.
考法12：多种求和方法综合运用
29.（单选）设函数的定义域为，若，且对任意，满足：，，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
30.（解答）设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列，且，，，.若（已知），求数列的前项和.
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