资源简介 第46课时 等比数列及其前n项和[考试要求] 1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．了解等比数列与指数函数的关系．知识点1 等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的比都等于________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字母q(q≠0)表示．(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成________数列，那么________叫做a与b的等比中项，此时，G2＝________．知识点2 等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝________＝amqn－m．(2)前n项和公式：Sn＝知识点3 等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，t，r，k∈N*)．(1)若m＋n＝p＋t＝2r，则am·an＝ap·at＝．(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1，或q＝－1且m为奇数)．(4)若{bn}(与{an}项数相同)也是等比数列，则}，{an·bn}，仍是等比数列．(5)若{an}共有2n项，则＝q，其中S偶，S奇分别是数列{an}的偶数项和与奇数项和．[常用结论]1．等比数列的单调性当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，且q≠0)．1．(北师大版选择性必修第二册P27练习T3改编)＋1与－1的等比中项为( )A．2 B．2或－2C． D．或－_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．(北师大版选择性必修第二册P29例5(2))等比数列1，…，前10项的和为________．3．(人教A版选择性必修第二册P37练习T3节选)在等比数列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，则an＝________．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4．(湘教版选择性必修第一册P35习题1.3T7)在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，则log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为________．考点一 等比数列的基本量的运算[典例1] (1)(2025·娄底市期末)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝＝a6，则S4＝( )A． B．C． D．(2)(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为_________．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[考题探源]1．(人教A版选择性必修第二册P36例8)已知等比数列的首项为－1，前n项和为Sn．若＝，求公比q．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．(人教A版选择性必修第二册P37例9)已知等比数列的公比q≠－1，前n项和为Sn．证明Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求这个数列的公比．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．[多维变迁]1．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为S n，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝( )A． B．C．15 D．402．(多选)(2026·长沙模拟)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是( )A．此人第二天走了九十六里路B．此人第三天走的路程占全程的C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D．此人后三天共走了四十二里路考点二 等比数列的判定与证明[典例2] (1)(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是( )A．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列B．若{an}为等差数列，则}为等比数列C．若Sn＝3n－1，则数列{an}为等比数列D．若a1＝1，a2＝2，3an＋1＝an＋2an＋2(n∈N*)，则{an＋1－an}为等比数列(2)(2025·八省联考节选)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝．(i)证明：数列为等比数列；(ii)求{an}的通项公式．___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________易错提醒：＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，判断一个数列是等比数列时，还要注意各项不为0．(2){an}为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列．(3)证明{an}不是等比数列可用特殊值法．考点三 等比数列的性质及应用[典例3] (1)(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝( )A．120 B．85C．－85 D．－120(2)已知{an}为正项等比数列．(i)若a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(ii)若a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：(1)在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．[多维变迁]1．在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8＝( )A．40 B．36C．54 D．812．已知正项等比数列{an}共有2n项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________．1．(链接考点一)(湘教版选择性必修第一册P26例1改编)在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝( )A．5 B．±5 C．4 D．±42．(链接考点二)(多选)(2025·成都期中)下列数列为等比数列的是( )A．{2n} B．{n2}C．{3－n} D．{2·2n}3．(链接考点三)(2025·抚顺期中)已知等比数列{an}，且a3＋a5＝12，a2·a6＝32，a3＜a5，则a5＝( )A．8 B．6C．4 D．24．(链接考点三)(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________．第46课时 等比数列及其前n项和理法先行·题练固本梳必备·破题有方知识点1 (1)2 同一个 公比 (2)等比 G ab知识点2 (1)a1qn-1 (2)na1链教材·夯基固本1．D [设＋1与－1的等比中项为S，则有S2＝(＋1)(－1)＝2，解得S＝±，即＋1与－1的等比中项为或－．故选D．]2． [S10＝．]3.3·2n-1或2·3n-1 [设等比数列{an}的公比为q，由题意得解得故an＝3·2n-1或an＝2·3n-1．]4． [∵a4a5a6＝＝3，∴a5＝，∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)＝log3＝log3．]考点深研·题型突破考点一典例1 (1)D (2)2 [(1)设等比数列{an}的公比为q，由＝a6，得(a1q3)2＝a1q5，即a1q＝1，又a1＝，故q＝3，所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋1＋3＋9＝．故选D．(2)法一：设该等比数列为，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68，设的公比为q，当q＝1时，S4＝4a1＝4，即a1＝1，则S8＝8a1＝8≠68，显然不成立，舍去；当q≠1时，则S4＝＝4，S8＝＝68，两式相除，得，即＝17，则1＋q4＝17，所以q＝2，所以该等比数列公比为2．法二：设该等比数列为，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68，设的公比为q，所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4，S8＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝a1＋a2＋a3＋a4＋a1q4＋a2q4＋a3q4＋a4q4＝＝68，所以4＝68，则1＋q4＝17，所以q＝2，所以该等比数列公比为2．法三：设该等比数列为，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68，设的公比为q，因为S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝q4＝68－4＝64，又S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4，所以＝q4＝＝16，所以q＝2，所以该等比数列公比为2．]考题探源1．解：若q＝1，则＝2≠，所以q≠1．当q≠1时，由，得．整理，得1＋q5＝，即q5＝－．所以q＝－．2．证明：当q＝1时，Sn＝na1，S2n－Sn＝2na1－na1＝na1，S3n－S2n＝3na1－2na1＝na1，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1．当q≠1时，Sn＝，S2n－Sn＝＝qnSn，S3n－S2n＝＝qn，所以＝qn．因为qn为常数，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn．多维变迁1．C [法一(直接运用等比数列的通项公式与前n项和公式求解)：若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1．由＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝＝15．故选C．法二(直接求和法)：设等比数列{an}的公比为q，则由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，整理得(1＋q)(q3－4q)＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15．故选C．]2．ACD [设此人第n天走an里路，则数列{an}是首项为a1，公比为的等比数列，因为S6＝378，所以S6＝＝378，解得a1＝192．对于A，由于a2＝192×＝96，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；对于B，由于a3＝192×＝48，，所以B不正确；对于C，由于378－192＝186，192－186＝6，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；对于D，a4＋a5＋a6＝378－192－96－48＝42，所以此人后三天共走了四十二里路，所以D正确．故选ACD．]考点二典例2 (1)BCD [对于A，当a＝b＝c＝0时，b2＝ac，此时a，b，c不是等比数列，故A错误；对于B，若{an}为等差数列，设其公差为d，则此时有＝2d>0，所以数列{}为等比数列，故B正确；对于C，若Sn＝3n－1，则a1＝S1＝2，an＝Sn－Sn-1＝3n－1－(3n-1－1)＝3n－3n-1＝2·3n-1(n≥2)，a1＝2显然满足an＝2·3n-1，所以数列{an}为等比数列，故C正确；对于D，因为3an+1＝an＋2an+2，所以2(an+2－an+1)－(an+1－an)＝0，而a1＝1，a2＝2，因此数列{an+1－an}是首项为1，公比为的等比数列，故D正确．故选BCD．](2)(i)证明：因为an+1＝，所以，所以，所以1－＝1－，即1－＝－＝，所以，又因为1－＝1－，所以数列为公比的等比数列．(ii)解：由(i)知，1－，所以＝1－，所以an＝．考点三典例3 (1)C [法一：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则所以S8＝×(1－44)＝－85，故选C．法二：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝．当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得化简可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85，故选C．](2)解：(i)∵{an}为正项等比数列，∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝＋2a3a5＋＝(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5．(ii)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10．多维变迁1．C [在等比数列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，∴a7＋a8＝(a3＋a4)·＝24×＝54．故选C．]2.2 [由题意可知a1＋a2＋…＋a2n＝3(a1＋a3＋…＋a2n-1)，又a2＋a4＋…＋a2n＝q(a1＋a3＋…＋a2n-1)，所以(q＋1)(a1＋a3＋…＋a2n-1)＝3(a1＋a3＋…＋a2n-1)．又q>0，an>0，所以q＋1＝3，即q＝2．]随堂·对点检测1．C [由a3＝a1q2＝2，a7＝a1q6＝8，得q2＝2(舍负)．又∵a5＝a3q2>0，∴a5＝4．故选C．]2．CD [对于A，数列的前三项为2，4，6，第二项不是第一和第三项的等比中项，不成立；对于B，数列的前三项为1，4，9，第二项不是第一和第三项的等比中项，不成立；对于C，因为为常数，所以满足等比数列的定义，故成立；对于D，因为＝2为常数，所以满足等比数列的定义，故成立．故选CD．]3．A [由等比数列{an}，且a3＋a5＝12①，a2·a6＝32，a3可得，a2·a6＝a3·a5＝32③，联立①②③，解得a3＝4，a5＝8．故选A．]4． [设等比数列{an}的公比为q，易知q≠－1，由等比数列前n项和的性质可知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，∴，又由已知得S6＝3S3，∴S9－S6＝4S3，∴S9＝7S3，∴．]1 / 6(共69张PPT)第六章 数列第46课时 等比数列及其前n项和[考试要求] 1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．了解等比数列与指数函数的关系．理法先行·题练固本知识点1 等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的比都等于______常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的____，公比通常用字母q(q≠0)表示．(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成____数列，那么__叫做a与b的等比中项，此时，G2＝__．同一个公比等比Gab2知识点2 等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝_______＝amqn-m．(2)前n项和公式：Sn＝a1qn-1知识点3 等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，t，r，k∈N*)．(1)若m＋n＝p＋t＝2r，则am·an＝ap·at＝．(2)数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列．(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1，或q＝－1且m为奇数)．(4)若{bn}(与{an}项数相同)也是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{}，{an·bn}，仍是等比数列．(5)若{an}共有2n项，则＝q，其中S偶，S奇分别是数列{an}的偶数项和与奇数项和．[常用结论]1．等比数列的单调性当q>1，a1>0或0当q>1，a1<0或00时，数列{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，且q≠0)．1．(北师大版选择性必修第二册P27练习T3改编)＋1与－1的等比中项为( )A．2 B．2或－2C． D．或－√D [设＋1与－1的等比中项为S，则有S2＝(＋1)(－1)＝2，解得S＝±，即＋1与－1的等比中项为或－．故选D．]2．(北师大版选择性必修第二册P29例5(2))等比数列1，，，…，前10项的和为______________． [S10＝．] 3．(人教A版选择性必修第二册P37练习T3节选)在等比数列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，则an＝____________________． 3·2n－1或2·3n-1 [设等比数列{an}的公比为q，由题意得解得故an＝3·2n-1或an＝2·3n-1．]3·2n－1或2·3n-1 4．(湘教版选择性必修第一册P35习题1.3T7)在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，则log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为______________． [∵a4a5a6＝＝3，∴a5＝，∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)＝log3＝log3．] 考点深研·题型突破考点一 等比数列的基本量的运算[典例1] (1)(2025·娄底市期末)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝，＝a6，则S4＝( )A． B．C． D．(2)(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为_______． √2(1)D (2)2 [(1)设等比数列{an}的公比为q，由＝a6，得(a1q3)2＝a1q5，即a1q＝1，又a1＝，故q＝3，所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋1＋3＋9＝．故选D．(2)法一：设该等比数列为，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68，设的公比为q，当q＝1时，S4＝4a1＝4，即a1＝1，则S8＝8a1＝8≠68，显然不成立，舍去；当q≠1时，则S4＝＝4，S8＝＝68，两式相除，得＝17，则1＋q4＝17，所以q＝2，所以该等比数列公比为2．法二：设该等比数列为，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68，设的公比为q，所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4，S8＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝a1＋a2＋a3＋a4＋a1q4＋a2q4＋a3q4＋a4q4＝＝68，所以4＝68，则1＋q4＝17，所以q＝2，所以该等比数列公比为2．法三：设该等比数列为，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68，设的公比为q，因为S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3＋a4)q4＝68－4＝64，又S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4，所以＝q4＝＝16，所以q＝2，所以该等比数列公比为2．][考题探源]1．(人教A版选择性必修第二册P36例8)已知等比数列的首项为－1，前n项和为Sn．若，求公比q．[解] 若q＝1，则＝2≠，所以q≠1．当q≠1时，由，得．整理，得1＋q5＝，即q5＝－．所以q＝－．2．(人教A版选择性必修第二册P37例9)已知等比数列的公比q≠－1，前n项和为Sn．证明Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求这个数列的公比．[证明] 当q＝1时，Sn＝na1，S2n－Sn＝2na1－na1＝na1，S3n－S2n＝3na1－2na1＝na1，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1．当q≠1时，Sn＝，S2n－Sn＝＝＝qnSn，S3n－S2n＝＝＝qn，所以＝qn．因为qn为常数，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn．通性通法：等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．[多维变迁]1．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为S n，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝( )A． B．C．15 D．40√C [法一(直接运用等比数列的通项公式与前n项和公式求解)：若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1．由＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝＝15．故选C．法二(直接求和法)：设等比数列{an}的公比为q，则由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，整理得(1＋q)(q3－4q)＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15．故选C．]2．(多选)(2026·长沙模拟)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是( )A．此人第二天走了九十六里路B．此人第三天走的路程占全程的C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D．此人后三天共走了四十二里路√√√ACD [设此人第n天走an里路，则数列{an}是首项为a1，公比为的等比数列，因为S6＝378，所以S6＝＝378，解得a1＝192．对于A，由于a2＝192×＝96，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；对于B，由于a3＝192×＝48，，所以B不正确；对于C，由于378－192＝186，192－186＝6，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；对于D，a4＋a5＋a6＝378－192－96－48＝42，所以此人后三天共走了四十二里路，所以D正确．故选ACD．]考点二 等比数列的判定与证明[典例2] (1)(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是( )A．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列B．若{an}为等差数列，则{}为等比数列C．若Sn＝3n－1，则数列{an}为等比数列D．若a1＝1，a2＝2，3an+1＝an＋2an+2(n∈N*)，则{an+1－an}为等比数列(2)(2025·八省联考节选)已知数列{an}中，a1＝3，an+1＝．(i)证明：数列为等比数列；(ii)求{an}的通项公式．√√√(1)BCD [对于A，当a＝b＝c＝0时，b2＝ac，此时a，b，c不是等比数列，故A错误；对于B，若{an}为等差数列，设其公差为d，则此时有＝2d>0，所以数列{}为等比数列，故B正确；对于C，若Sn＝3n－1，则a1＝S1＝2，an＝Sn－Sn-1＝3n－1－(3n-1－1)＝3n－3n-1＝2·3n-1(n≥2)，a1＝2显然满足an＝2·3n-1，所以数列{an}为等比数列，故C正确；对于D，因为3an+1＝an＋2an+2，所以2(an+2－an+1)－(an+1－an)＝0，而a1＝1，a2＝2，因此数列{an+1－an}是首项为1，公比为的等比数列，故D正确．故选BCD．](2)[解] (i)证明：因为an+1＝，所以，所以，所以1－＝1－，即1－＝－，所以，又因为1－＝1－，所以数列为公比的等比数列．(ii)由(i)知，1－，所以＝1－，所以an＝．易错提醒：(1)＝an-1an+1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，判断一个数列是等比数列时，还要注意各项不为0．(2){an}为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列．(3)证明{an}不是等比数列可用特殊值法．【教用·通性通法】等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且＝an·an+2(n∈N*)，则{an}是等比数列．(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，q≠1)，则{an}是等比数列．【教用·备选题】(2026·岳阳模拟)已知数列{an}为等差数列，a1＝1，a3＝2＋1，前n项和为Sn，数列{bn}满足bn＝．求证：(1)数列{bn}为等差数列；(2)数列{an}中的任意三项均不能构成等比数列．[证明] (1)因为数列{an}为等差数列，a1＝1，a3＝2＋1，所以d＝，Sn＝n＋n2＋n，则bn＝n＋1－，则bn－bn-1＝，b1＝1，故数列{bn}是以1为首项，为公差的等差数列．(2)假设数列{an}中的任意不同的三项an，am，ak构成等比数列，则＝an·ak，即[1＋(m－1)]2＝[1＋(n－1)][1＋(k－1)]，则故(k－n)2＝0，即k＝n，与假设矛盾，故数列{an}中的任意三项均不能构成等比数列．考点三 等比数列的性质及应用[典例3] (1)(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝( )A．120 B．85C．－85 D．－120(2)已知{an}为正项等比数列．(i)若a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(ii)若a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．√(1)C [法一：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则化简整理得所以S8＝×(1－44)＝－85，故选C．法二：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝．当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得化简可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85，故选C．](2)[解] (i)∵{an}为正项等比数列，∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝＋2a3a5＋＝(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5．(ii)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10．通性通法：(1)在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．[多维变迁]1．在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8＝( )A．40 B．36C．54 D．81√C [在等比数列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，∴a7＋a8＝(a3＋a4)·＝24×＝54．故选C．]2．已知正项等比数列{an}共有2n项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝______________． 2 [由题意可知a1＋a2＋…＋a2n＝3(a1＋a3＋…＋a2n-1)，又a2＋a4＋…＋a2n＝q(a1＋a3＋…＋a2n-1)，所以(q＋1)(a1＋a3＋…＋a2n-1)＝3(a1＋a3＋…＋a2n-1)．又q>0，an>0，所以q＋1＝3，即q＝2．]21．(链接考点一)(湘教版选择性必修第一册P26例1改编)在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝( )A．5 B．±5 C．4 D．±4√C [由a3＝a1q2＝2，a7＝a1q6＝8，得q2＝2(舍负)．又∵a5＝a3q2>0，∴a5＝4．故选C．]2．(链接考点二)(多选)(2025·成都期中)下列数列为等比数列的是( )A．{2n} B．{n2}C．{3-n} D．{2·2n}√√CD [对于A，数列的前三项为2，4，6，第二项不是第一和第三项的等比中项，不成立；对于B，数列的前三项为1，4，9，第二项不是第一和第三项的等比中项，不成立；对于C，因为为常数，所以满足等比数列的定义，故成立；对于D，因为＝2为常数，所以满足等比数列的定义，故成立．故选CD．]3．(链接考点三)(2025·抚顺期中)已知等比数列{an}，且a3＋a5＝12，a2·a6＝32，a3A．8 B．6C．4 D．2A [由等比数列{an}，且a3＋a5＝12①，a2·a6＝32，a3可得，a2·a6＝a3·a5＝32③，联立①②③，解得a3＝4，a5＝8．故选A．]√4．(链接考点三)(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝______________． [设等比数列{an}的公比为q，易知q≠－1，由等比数列前n项和的性质可知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，∴，又由已知得S6＝3S3，∴S9－S6＝4S3，∴S9＝7S3，∴．] 题号13524687910一、单项选择题1．(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a2的值为( )A． B．－3C．－ D．－3或√课时作业(四十六) 等比数列及其前n项和题号13524687910D [由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q-2＋q-1＋1)，得q-2＋q-1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－．∴a2＝或－3．故选D．]√题号135246879102．(2025·广州月考)1和2 025的等比中项为( )A．50 B．45C．±45 D．±35C [根据题意，设1和2 025的等比中项为x，则有x2＝1×2 025，解得x＝±45．即1和2 025的等比中项为±45．故选C．]题号135246879103．朱载堉是中国明代一位杰出的音乐家、律学家和历学家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是将八度音程分成12个半音，使各相邻两律之间的频率之比完全相等的律制，亦称“十二等程律”．即一个八度十三个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2，则＝( )A．4 B．C． D．√题号13524687910D [依题意，十三个音的频率依次成等比数列，记为{an}，设公比为q，则a13＝a1q12，又∵a13＝2a1，∴q＝，∴＝q4＝．故选D．]√题号135246879104．(2025·成都校级期中)已知数列{an}为等比数列，其中a6，a10为方程x2＋2 025x＋3＝0的两根，则a8＝( )A． B．－C． D．±题号13524687910B [数列{an}为等比数列，a6，a10为方程x2＋2 025x＋3＝0的两根，所以a6a10＝3，a6＋a10＝－2 025<0，则a6<0，a8<0，a10<0，则a8＝－＝－．故选B．]√题号135246879105．(2026·长沙模拟)若数列{an}满足an+1＝3an－1，则称{an}为“对奇数列”．已知为“对奇数列”，且b1＝3，则b2 025＝( )A．3×22 024 B．32 025C．2×32 024 D．2×32 023题号13524687910B [由为“对奇数列”，得bn+1＋＝3－1，可化为bn+1＝3bn，由b1＝3，可得数列{bn}是首项和公比均为3的等比数列，则b2 025＝3×32 024＝32 025．故选B．]题号13524687910二、多项选择题6．(2026·株洲石峰区模拟)已知数列{an}是等比数列，前n项积为Tn，则( )A．a5a11＝B．T17＝C．若a9a10＝a11，则T8＝T7D．{}是等比数列√√√题号13524687910ACD [数列{an}是等比数列，易得a5a11＝，A正确；由aia18-i＝，得T17＝a1a2…a17＝，B错误；由a8a11＝a9a10＝a11，得a8＝1，所以T8＝T7，C正确；因为＝a1a2n，所以＝q2，所以{}是等比数列，D正确．故选ACD．]√题号135246879107．(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0．若S3＝7，a3＝1，则( )A．q＝ B．a5＝C．S5＝8 D．an＋Sn＝8√题号13524687910AD [根据S3＝a1＋a2＋a3＝＋a3＝＋1＝7，得6q2－q－1＝0，即(2q－1)(3q＋1)＝0，因为q>0，所以q＝，故A正确．a5＝a3q2＝1×，故B错误．因为a1＝＝4，所以S5＝，故C错误．an＝a1qn-1＝4×＝23-n，Sn＝＝8＝8－＝8－23-n，所以an＋Sn＝8，故D正确．故选AD．]题号13524687910三、填空题8．(2026·南昌模拟)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝______________． 2题号135246879102 [由题意，得解得S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝＝2．]题号135246879109．(2026·临沧模拟)已知等比数列{an}是递减数列，满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项，则数列{an}的通项公式an＝ ______________． [设等比数列{an}的公比为q，∵a3＋2是a2，a4的等差中项，∴2(a3＋2)＝a2＋a4，①又a2＋a3＋a4＝28，将①代入得a3＝8，题号13524687910∴a2＋a4＝20，则解得又{an}为递减数列，∴a1＝32，q＝，∴an＝32×．]题号13524687910四、解答题10．(人教A版选择性必修第二册P41习题4.3T7(1)改编)已知正项数列{an}的前n项积为Tn，且满足an＝(n∈N*)．求证：数列为等比数列．题号13524687910[证明] ∵an＝，且an＝(n≥2)，∴(n≥2)，∵an>0，∴Tn>0，∴3Tn－1＝Tn-1(n≥2)，则Tn－(n≥2)，当n＝1时，a1＝T1＝，得T1＝，∴T1－，∴数列的等比数列．谢谢！课时作业(四十六) 等比数列及其前n项和一、单项选择题1．(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a2的值为( )A． B．－3C．－ D．－3或2．(2025·广州月考)1和2 025的等比中项为( )A．50 B．45C．±45 D．±353．朱载堉是中国明代一位杰出的音乐家、律学家和历学家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是将八度音程分成12个半音，使各相邻两律之间的频率之比完全相等的律制，亦称“十二等程律”．即一个八度十三个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2，则＝( )A．4 B．C． D．4．(2025·成都校级期中)已知数列{an}为等比数列，其中a6，a10为方程x2＋2 025x＋3＝0的两根，则a8＝( )A． B．－C． D．±5．(2026·长沙模拟)若数列{an}满足an＋1＝3an－1，则称{an}为“对奇数列”．已知为“对奇数列”，且b1＝3，则b2 025＝( )A．3×22 024 B．32 025C．2×32 024 D．2×32 023二、多项选择题6．(2026·株洲石峰区模拟)已知数列{an}是等比数列，前n项积为Tn，则( )A．a5a11＝ B．T17＝C．若a9a10＝a11，则T8＝T7 D．{}是等比数列7．(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0．若S3＝7，a3＝1，则( )A．q＝ B．a5＝C．S5＝8 D．an＋Sn＝8三、填空题8．(2026·南昌模拟)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．9．(2026·临沧模拟)已知等比数列{an}是递减数列，满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项，则数列{an}的通项公式an＝ ________．四、解答题10．(13分)(人教A版选择性必修第二册P41习题4.3T7(1)改编)已知正项数列{an}的前n项积为Tn，且满足an＝(n∈N*)．求证：数列为等比数列．课时作业(四十六)1．D [由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q-2＋q-1＋1)，得q-2＋q-1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－．∴a2＝或－3．故选D．]2．C [根据题意，设1和2 025的等比中项为x，则有x2＝1×2 025，解得x＝±45．即1和2 025的等比中项为±45．故选C．]3．D [依题意，十三个音的频率依次成等比数列，记为{an}，设公比为q，则a13＝a1q12，又∵a13＝2a1，∴q＝，∴＝q4＝．故选D．]4．B [数列{an}为等比数列，a6，a10为方程x2＋2 025x＋3＝0的两根，所以a6a10＝3，a6＋a10＝－2 025<0，则a6<0，a8<0，a10<0，则a8＝－＝－．故选B．]5．B [由为“对奇数列”，得bn+1＋＝3－1，可化为bn+1＝3bn，由b1＝3，可得数列{bn}是首项和公比均为3的等比数列，则b2 025＝3×32 024＝32 025．故选B．]6．ACD [数列{an}是等比数列，易得a5a11＝，A正确；由aia18-i＝，得T17＝a1a2…a17＝，B错误；由a8a11＝a9a10＝a11，得a8＝1，所以T8＝T7，C正确；因为＝a1a2n，所以＝q2，所以{}是等比数列，D正确．故选ACD．]7．AD [根据S3＝a1＋a2＋a3＝＋a3＝＋1＝7，得6q2－q－1＝0，即(2q－1)(3q＋1)＝0，因为q>0，所以q＝，故A正确．a5＝a3q2＝1×，故B错误．因为a1＝＝4，所以S5＝，故C错误．an＝a1qn-1＝4×＝23-n，Sn＝＝8＝8－＝8－23-n，所以an＋Sn＝8，故D正确．故选AD．]8.2 [由题意，得解得S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝＝2．]9． [设等比数列{an}的公比为q，∵a3＋2是a2，a4的等差中项，∴2(a3＋2)＝a2＋a4，①又a2＋a3＋a4＝28，将①代入得a3＝8，∴a2＋a4＝20，则解得又{an}为递减数列，∴a1＝32，q＝，∴an＝32×．]10．证明：∵an＝，且an＝(n≥2)，∴(n≥2)，∵an>0，∴Tn>0，∴3Tn－1＝Tn-1(n≥2)，则Tn－(n≥2)，当n＝1时，a1＝T1＝，得T1＝，∴T1－，∴数列的等比数列．1 / 2 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第六章 第46课时 等比数列及其前n项和.docx 第六章 第46课时 等比数列及其前n项和.pptx 课时作业46 等比数列及其前n项和.docx
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