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第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课)
[总体概览]　求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解．
类型一　待定系数法
思维建模：待定系数法求通项模型
适用于一阶线性递推式求通项
类型一：形如an＋1＝pan＋q(p≠1，pq≠0)；
类型二：形如an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)；
类型三：形如an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)．
第1步　看余项，构等比：判断余项类型，
若余项是常数，则{an＋x}为等比数列；
若余项是一次式，则{an＋xn＋y}为等比数列；
若余项是指数式，则{an＋xqn}为等比数列．
第2步　等比拆分对系数：对应项系数相等，解出所设参数．
第3步　等比数列求通项：先求等比数列的通项公式，再得到an．
　形如an＋1＝pan＋q的构造
[典例1]　数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2 026＝(　　)
A．22 025－1 B．42 025－1
C．22 025＋1 D．42 025＋1
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　形如an＋1＝pan＋qn＋c的构造
[典例2]　(2025·广东大联考)在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式为________．
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通性通法：形如an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)将递推公式改写为an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)的形式，写出数列{an＋xn＋y}的通项公式．
　形如an＋1＝pan＋qn的构造
[典例3]　(2025·宜春调研)已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式an＝(　　)
A．－3×2n-1 B．3×2n-1
C．5n＋3×2n-1 D．5n－3×2n-1
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通性通法：形如an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)，在递推公式两边同除以qn+1，得＝，求数列的通项公式．
类型二　取倒数法
[典例4]　(多选)(2025·宜昌期中)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　)
A．为等比数列
B．{an}的通项公式为an＝
C．{an}为递增数列
D．的前n项和Sn＝4n+2－5n－2
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通性通法：形如an＋1＝的递推公式，两边同时取倒数转化为＝的形式，令bn＝，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的通项公式，再求an．
类型三　相邻项的差为特殊数列型
[典例5]　(2025·永州期末)已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＋2－5an＋1＋6an＝0．
(1)证明：数列{an＋1－2an}，{an＋1－3an}为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)求数列{an}的前n项和Sn．
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第47课时　由数列的递推关系求
通项公式(进阶课)
类型一
考向1　典例1　B　[因为an＝4an-1＋3(n≥2)，
所以an＋1＝4(an-1＋1)(n≥2)，
所以{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，
则an＋1＝4n-1，
所以an＝4n-1－1，所以a2 026＝42 025－1．
故选B．]
考向2　典例2　an＝3n－2(n－1)　[法一：设an+1＋p(n＋1)＋q＝3(an＋pn＋q)，即an+1＝3an＋2pn＋2q－p，
与原式相比较，由对应项系数相等得
首项a1＋2－2＝3，
所以数列{an＋2n－2}是首项为3，公比为3的等比数列，故an＋2n－2＝3×3n-1＝3n，
故an＝3n－2(n－1)．
法二：因为an+1＝3an＋4n－6(n∈N*)，
所以an+1＋2n＝3an＋4n－6＋2n
＝3[an＋2(n－1)]，
因为a1＝3，所以a1＋2×(1－1)＝3，
所以{an＋2(n－1)}是首项为3，公比为3的等比数列，则an＋2(n－1)＝3·3n-1＝3n，
所以an＝3n－2(n－1)．]
考向3　典例3　D　[法一：在递推公式an+1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n+1，
得×，①
令bn＝，则①式变为bn+1＝bn＋，
即bn+1－1＝(bn－1)，
所以数列{bn－1}是等比数列，
其首项为b1－1＝－1＝－，
所以bn－1＝－×，
即bn＝1－×，
所以＝1－×＝1－，
所以an＝5n－3×2n-1．
法二：设an+1＋k×5n+1＝2(an＋k×5n)，
则an+1＝2an－3k×5n，
与an+1＝2an＋3×5n比较可得k＝－1，
所以an+1－5n+1＝2(an－5n)，
所以数列{an－5n}是首项为a1－5＝－3，
公比为2的等比数列，所以an－5n＝－3×2n-1，
所以an＝5n－3×2n-1．]
类型二
典例4　AB　[因为数列{an}满足a1＝1，an+1＝(n∈N*)，
所以＝15＋4×，
故＋5＝4，
又＋5＝6，
所以数列是首项为6，公比为4的等比数列，
故＋5＝6×4n-1，可得＝6×4n-1－5，可得an＝，
故{an}为递减数列，
故的前n项和Sn＝－5n＝2(4n－1)－5n．
故正确的只有AB．
故选AB．]
类型三
典例5　(1)证明：因为a1＝a2＝1，an+2－5an+1＋6an＝0，
所以an+2－2an+1＝3an+1－6an＝3(an+1－2an)，
所以a2－2a1＝－1，
故数列{an+1－2an}是以－1为首项，3为公比的等比数列．
由题意an+2－3an+1＝2an+1－6an＝2(an+1－3an)，
所以a2－3a1＝－2，
故数列{an+1－3an}是以－2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解：由(1)得，an+1－2an＝－3n-1，an+1－3an＝－2n，
联立两式可得，an＝2n－3n-1．
(3)解：因为an＝2n－3n-1，所以Sn＝2＋22＋…＋2n－(1＋3＋…＋3n-1)
＝
＝2n+1－2－
＝2n+1－．
1 / 4(共37张PPT)
第六章　数列
*第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课)
[总体概览]　求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解．
类型一　待定系数法
思维建模：待定系数法求通项模型
适用于一阶线性递推式求通项
类型一：形如an+1＝pan＋q(p≠1，pq≠0)；
类型二：形如an+1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)；
类型三：形如an+1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)．
第1步　看余项，构等比：判断余项类型，
若余项是常数，则{an＋x}为等比数列；
若余项是一次式，则{an＋xn＋y}为等比数列；
若余项是指数式，则{an＋xqn}为等比数列．
第2步　等比拆分对系数：对应项系数相等，解出所设参数．
第3步　等比数列求通项：先求等比数列的通项公式，再得到an．
考向1　形如an+1＝pan＋q的构造
[典例1]　数列{an}满足an＝4an-1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2 026＝(　　)
A．22 025－1 B．42 025－1
C．22 025＋1 D．42 025＋1
√
B　[因为an＝4an-1＋3(n≥2)，
所以an＋1＝4(an-1＋1)(n≥2)，
所以{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，
则an＋1＝4n-1，
所以an＝4n-1－1，所以a2 026＝42 025－1．
故选B．]
【教用·备选题】
(2025·武汉期末)已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an－1，则a100的值为(　　)
A．299－1 B．2100－1
C．299＋1 D．2100＋1
√
C　[数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an－1，
两边同时减去1可得an+1－1＝2(an－1)，又a1－1＝1，故数列{an－1}是首项为1，公比为2的等比数列，故an－1＝2n-1，得an＝2n-1＋1，故a100＝299＋1，故选C．]
考向2　形如an+1＝pan＋qn＋c的构造
[典例2]　(2025·广东大联考)在数列{an}中，a1＝3，且an+1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式为_____________________．
an＝3n－2(n－1)　[法一：设an+1＋p(n＋1)＋q＝3(an＋pn＋q)，即an+1＝3an＋2pn＋2q－p，
与原式相比较，由对应项系数相等得
an＝3n－2(n－1)
解得
首项a1＋2－2＝3，
所以数列{an＋2n－2}是首项为3，公比为3的等比数列，故an＋2n－2＝3×3n-1＝3n，
故an＝3n－2(n－1)．
法二：因为an+1＝3an＋4n－6(n∈N*)，
所以an+1＋2n＝3an＋4n－6＋2n＝3[an＋2(n－1)]，
因为a1＝3，所以a1＋2×(1－1)＝3，
所以{an＋2(n－1)}是首项为3，公比为3的等比数列，则an＋2(n－1)＝3·3n-1＝3n，
所以an＝3n－2(n－1)．]
通性通法：形如an+1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)将递推公式改写为an+1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)的形式，写出数列{an＋xn＋y}的通项公式．
考向3　形如an+1＝pan＋qn的构造
[典例3]　(2025·宜春调研)已知正项数列{an}中，a1＝2，an+1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式an＝(　　)
A．－3×2n-1 B．3×2n-1
C．5n＋3×2n-1 D．5n－3×2n-1
√
D　[法一：在递推公式an+1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n+1，
得，①
令bn＝，则①式变为bn+1＝bn＋，
即bn+1－1＝(bn－1)，
所以数列{bn－1}是等比数列，
其首项为b1－1＝－1＝－，
所以bn－1＝－，
即bn＝1－，
所以＝1－＝1－，
所以an＝5n－3×2n-1．
法二：设an+1＋k×5n+1＝2(an＋k×5n)，
则an+1＝2an－3k×5n，
与an+1＝2an＋3×5n比较可得k＝－1，
所以an+1－5n+1＝2(an－5n)，
所以数列{an－5n}是首项为a1－5＝－3，
公比为2的等比数列，所以an－5n＝－3×2n-1，
所以an＝5n－3×2n-1．]
通性通法：形如an+1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)，
在递推公式两边同除以qn+1，得的通项公式．
类型二　取倒数法
[典例4]　(多选)(2025·宜昌期中)已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　)
A．为等比数列
B．{an}的通项公式为an＝
C．{an}为递增数列
D．的前n项和Sn＝4n+2－5n－2
√
√
AB　[因为数列{an}满足a1＝1，an+1＝(n∈N*)，
所以＝15＋4×，
故＋5＝4，
又＋5＝6，
所以数列是首项为6，公比为4的等比数列，
故＋5＝6×4n-1，可得＝6×4n-1－5，可得an＝，
故{an}为递减数列，
故的前n项和Sn＝－5n＝2(4n－1)－5n．
故正确的只有AB．
故选AB．]
通性通法：形如an+1＝的形式，令bn＝，化归为bn+1＝pbn＋q型，求出的通项公式，再求an．
【教用·备选题】
(2025·广州月考)已知数列{an}满足an+1＝，且a1＝2，则a9＝
(　　)
A． B．
C． D．
√
A　[易知an≠0，an+1＝，
即－1＝－，又a1＝2，所以－1＝－，
所以数列是以－为首项，－为公比的等比数列，
从而－1＝－，
所以－1＝，
解得a9＝．
故选A．]
类型三　相邻项的差为特殊数列型
[典例5]　(2025·永州期末)已知数列{an}，a1＝a2＝1，an+2－5an+1＋6an＝0．
(1)证明：数列{an+1－2an}，{an+1－3an}为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)求数列{an}的前n项和Sn．
[解]　(1)证明：因为a1＝a2＝1，an+2－5an+1＋6an＝0，
所以an+2－2an+1＝3an+1－6an＝3(an+1－2an)，
所以a2－2a1＝－1，
故数列{an+1－2an}是以－1为首项，3为公比的等比数列．
由题意an+2－3an+1＝2an+1－6an＝2(an+1－3an)，
所以a2－3a1＝－2，
故数列{an+1－3an}是以－2为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)得，an+1－2an＝－3n-1，an+1－3an＝－2n，
联立两式可得，an＝2n－3n-1．
(3)因为an＝2n－3n-1，所以Sn＝2＋22＋…＋2n－(1＋3＋…＋3n-1)
＝ ＝2n+1－2－＝2n+1－．
【教用·备选题】
已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an+1＝2an＋3an-1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝______________．
　[因为an+1＝2an＋3an-1(n≥2，n∈N*)，设bn＝an+1＋an，
所以＝3，
又因为b1＝a2＋a1＝3，
所以{bn}是首项为3，公比为3的等比数列．
　
所以bn＝an+1＋an＝3×3n-1＝3n，
从而，
不妨令cn＝，即cn+1＋cn＝，
故cn+1－＝－＝－，又因为c1－，
所以数列，公比为－的等比数列，
故cn－，
从而an＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
一、单项选择题
1．(2026·南昌模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an+1＝，则下列说法正确的是(　　)
A．a10＝ B．an＝2－n
C．{an}有最大值 D．{an}不是单调数列
√
课时作业(四十七)　由数列的递推关系求通项公式(进阶课)
题号
1
3
5
2
4
6
7
C　[由a1＝1，an+1＝，可得an+1＋1＝，
即，
又，
所以数列的等差数列，
即n，即an＝－1，可得a10＝－，故AB错误；
由{an}是递减数列，可得数列{an}有最大值，且为a1＝1，故C正确，D错误．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
2．已知数列{an}满足an+1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，则an＝(　　)
A．2n－n B．2n＋n
C．2n－1 D．2n＋1
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
B　[因为an+1＝2an－n＋1，
设an+1＋x(n＋1)＋y＝2(an＋xn＋y)，化简得an+1＝2an＋xn＋y－x，对比原式解方程组得x＝－1，y＝0，
即an+1－(n＋1)＝2(an－n)，
所以＝2，
即数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，则an－n＝2·2n-1＝2n，所以an＝2n＋n．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
二、多项选择题
3．(2025·平顶山期末)已知数列{an}的首项a1＝，且满足an+1＝，则(　　)
A．a3＝
B．数列为等比数列
C．数列的前n项和为Sn＝n＋2
D．数列{an}的通项公式为an＝
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
AB　[由an+1＝－1＝，
又a1＝－1＝，
∴数列为公比的等比数列，选项B正确；
∴－1＝＋1＝，
∴an＝，则a3＝，选项A正确，选项D错误；
∵＋1，
∴Sn＝＋n＝＋n＝n＋1－，选项C错误．故选AB．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
4．(2025·运城月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝3，an+1＝3an－2an-1(n≥2)，则下列说法正确的有(　　)
A．数列{an+1－an}为等差数列
B．数列{an+1－2an}为等比数列
C．an＝2n－1
D．Sn＝2n+1－n－2
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
BCD　[已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝3，an+1＝3an－2an-1 (n≥2)，
所以an+1－an＝2(an－an-1)，
则{an+1－an}是首项为a2－a1＝2，公比为2的等比数列，故A错误；
由an+1＝3an－2an-1得an+1－2an＝an－2an-1，a2－2a1＝1，
所以数列{an+1－2an}是首项为1，公比为1的等比数列，故B正确；
因为an+1－an＝2n，
所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an-1)
＝1＋2＋4＋…＋2n-1＝＝2n－1，故C正确；
Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n+1－n－2，故D正确．
故选BCD．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
三、填空题
5．(人教A版选择性必修第二册P41习题4.3T8)若数列{an}的首项a1＝1，且满足an+1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式为______________，前10项和为______________．
an＝2n－1　2 036　[因为an+1＝2an＋1，所以an+1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2×2n-1＝2n，即an＝2n－1，所以S10＝a1＋a2＋…＋a10＝2＋22＋…＋210－10＝－10＝2 036．]
an＝2n－1
2 036
题号
1
3
5
2
4
6
7
6．(2026·长沙开福区模拟)在数列{an}中，a1＝4，an+1＝5an＋2×5n，n∈N*，则数列{an}的通项公式为___________________．
an＝2(n＋1)·5n-1　[在数列{an}中，a1＝4，an+1＝5an＋2×5n，n∈N*，
等式两边同时除以5n+1，
可得，
设bn＝，则bn+1＝bn＋，
所以数列{bn}是首项为的等差数列．
由等差数列的通项公式可得bn＝(n－1)＝，an＝5nbn＝2(n＋1)·5n-1．]
an＝2(n＋1)·5n-1
题号
1
3
5
2
4
6
7
四、解答题
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，Sn＝2＋an+1．
(1)证明：数列{Sn－2}为等比数列；
(2)记数列的前n项和为Tn，证明：Tn<2．
题号
1
3
5
2
4
6
7
[证明]　(1)因为Sn＝2＋an+1＝2＋(Sn+1－Sn)，
所以2Sn＝Sn+1＋2，所以Sn+1－2＝2(Sn－2)，
因为S1－2≠0，所以Sn－2≠0，＝2，
故数列{Sn－2}为等比数列，首项为S1－2＝1，公比为2．
(2)由(1)可知Sn－2＝2n-1，
所以，
所以Tn<1＋＋…＋＝2<2．
谢谢！课时作业(四十七)　由数列的递推关系求通项公式(进阶课)
一、单项选择题
1．(2026·南昌模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝，则下列说法正确的是(　　)
A．a10＝ B．an＝2－n
C．{an}有最大值 D．{an}不是单调数列
2．已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，则an＝(　　)
A．2n－n B．2n＋n
C．2n－1 D．2n＋1
二、多项选择题
3．(2025·平顶山期末)已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝，则(　　)
A．a3＝
B．数列为等比数列
C．数列的前n项和为Sn＝n＋2
D．数列{an}的通项公式为an＝
4．(2025·运城月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，则下列说法正确的有(　　)
A．数列{an＋1－an}为等差数列 B．数列{an＋1－2an}为等比数列
C．an＝2n－1 D．Sn＝2n+1－n－2
三、填空题
5．(人教A版选择性必修第二册P41习题4.3T8)若数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式为________，前10项和为________．
6．(2026·长沙开福区模拟)在数列{an}中，a1＝4，an＋1＝5an＋2×5n，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．
四、解答题
7．(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，Sn＝2＋an＋1．
(1)证明：数列{Sn－2}为等比数列；
(2)记数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜2．
课时作业(四十七)
1．C　[由a1＝1，an+1＝，可得an+1＋1＝，
即，
又，
所以数列的等差数列，
即n，即an＝－1，可得a10＝－，故AB错误；
由{an}是递减数列，可得数列{an}有最大值，且为a1＝1，故C正确，D错误．
故选C．]
2．B　[因为an+1＝2an－n＋1，
设an+1＋x(n＋1)＋y＝2(an＋xn＋y)，化简得an+1＝2an＋xn＋y－x，对比原式解方程组得x＝－1，y＝0，
即an+1－(n＋1)＝2(an－n)，
所以＝2，
即数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，则an－n＝2·2n-1＝2n，所以an＝2n＋n．故选B．]
3．AB　[由an+1＝－1＝，
又a1＝－1＝，
∴数列为公比的等比数列，选项B正确；
∴－1＝，
即＋1＝，
∴an＝，则a3＝，选项A正确，选项D错误；
∵＋1，
∴Sn＝＋n＝×＋n＝n＋1－，选项C错误．
故选AB．]
4．BCD　[已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝3，an+1＝3an－2an-1(n≥2)，
所以an+1－an＝2(an－an-1)，
则{an+1－an}是首项为a2－a1＝2，公比为2的等比数列，故A错误；
由an+1＝3an－2an-1得an+1－2an＝an－2an-1，a2－2a1＝1，
所以数列{an+1－2an}是首项为1，公比为1的等比数列，故B正确；
因为an+1－an＝2n，
所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an-1)
＝1＋2＋4＋…＋2n-1＝＝2n－1，故C正确；
Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n+1－n－2，故D正确．
故选BCD．]
5．an＝2n－1　2 036　[因为an+1＝2an＋1，所以an+1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2×2n-1＝2n，即an＝2n－1，所以S10＝a1＋a2＋…＋a10＝2＋22＋…＋210－10＝－10＝2 036．]
6．an＝2(n＋1)·5n-1　[在数列{an}中，a1＝4，an+1＝5an＋2×5n，n∈N*，
等式两边同时除以5n+1，
可得，
设bn＝，则bn+1＝bn＋，
所以数列{bn}是首项为的等差数列．
由等差数列的通项公式可得bn＝(n－1)＝，an＝5nbn＝2(n＋1)·5n-1．]
7．证明：(1)因为Sn＝2＋an+1＝2＋(Sn+1－Sn)，
所以2Sn＝Sn+1＋2，所以Sn+1－2＝2(Sn－2)，
因为S1－2≠0，所以Sn－2≠0，＝2，
故数列{Sn－2}为等比数列，首项为S1－2＝1，公比为2．
(2)由(1)可知Sn－2＝2n-1，
所以，
所以Tn<1＋＋…＋＝2<2．
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