资源简介 第48课时 数列求和[考试要求] 1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法．知识点1 公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝________________．(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝知识点2 分组求和法与并项求和法(1)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)类型，可采用两项合并求解．知识点3 错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．知识点4 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的裂项技巧(1)＝．(2)＝．(3)＝．(4)＝．(5)＝．1．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(1)改编)已知an＝2n＋n，则数列{an}的前n项和Sn＝________．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(1))求和：(2－3×5-1)＋(4－3×5-2)＋…＋(2n－3×5－n)＝________．______________________________________________________________________________________________________________________________________3．(人教B版选择性必修第三册P44习题5－3CT1改编)数列{(n＋3)·2n-1}前20项的和为________．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4．(苏教版选择性必修第一册P181复习题T11(1)改编)数列{an}中，an＝，则数列{an}的前2 026项和S2 026＝________．______________________________________________________________________________________________________________________________________考点一 分组求和与并项求和[典例1] (1)(2026·银川模拟)数列{an}的通项公式an＝n sin ，其前n项和为Sn，则S2 025＝________．(2)(2025·湛江期末)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2(n∈N*)，数列{bn}为递增的等比数列，b2＝2，且b1，b2，b3－1成等差数列．(i)求数列{an}，{bn}的通项公式；(ii)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维建模：分组求和模型第1步 进行拆分：把一个数列拆分为两组容易求和的数列．第2步 分组求和：每组数列求和．第3步 每组相加：每组结果相加．[多维变迁](2026·南京模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋λ(n∈N*，λ∈R)．(1)求λ的值，并写出数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(－1)nlog2a2n＋1，求数列{bn}的前2n项和T2n．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点二 错位相减法求和[典例2] (2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[考题探源]1．(人教A版选择性必修第二册P56复习参考题4T12(1))已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝2Sn＋2(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．(人教A版选择性必修第二册P56复习参考题4T11(2))已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*)，若bn＝3n-1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维建模：错位相减模型第1步 乘公比、错位写：前n项和表达式两边同乘等比数列的公比q，达到错位的效果．第2步 上减下：将原式和错位后的式子相减．第3步 等比和：对第2步中减出的中间部分，按等比数列求和整理．第4步 系数化1：把Sn前面的系数化为1．[多维变迁](2025·丽水月考)已知数列{an}是公比为3的等比数列，a1，a2，a3－12成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝，设数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点三 裂项相消法求和[典例3] (1)已知函数f (x)＝xα的图象过点(4，2)，令an＝，n∈N*．记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 025＝( )A．－1 B．－1C．－1 D．＋1(2)(2025·株洲期末)已知首项为1的正项数列{an}满足＝a2．(i)求a2；(ii)求{an}的通项公式；(iii )求数列的前n项和Sn．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维建模：裂项相消模型第1步 裂项：化商为差，大项减小项．第2步 定系数：确定一个系数，保证裂项后的数列与原数列相等．第3步 相消：找到相消规律，确定剩余项数．第4步 化简：化为最简形式．[多维变迁](2025·黄冈期末)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝(n∈N*)．(1)证明：数列是等比数列．(2)设bn＝，求b1＋b2＋…＋bn．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．(链接考点一)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1an＝2n，则S2 026＝( )A．22 026－1 B．3×21 013－1C．3×21 013－2 D．3×21 013－32．(链接考点一)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列{an}的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记bn＝(－1)n·an，n∈N*，则数列{bn}的前20项和是( )A．110 B．100C．90 D．803．(链接考点三)(多选)(2025·南昌期末)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列{an}，且a1＝1，数列的前n项和为Sn，则正确的选项是( )A．an＋1＝an＋n＋1B．a100＝4 950C．Sn＝D．an＞Sn4．(链接考点二)(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(2))求和：1＋2x＋3x2＋…＋nxn-1＝________．第48课时 数列求和理法先行·题练固本梳必备·破题有方知识点1 (1)na1＋d(2)链教材·夯基固本1.2n+1－2＋n2＋n [Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝n(n＋1)＝2n+1－2＋n2＋n．]2．n(n＋1)－(1－5-n) [原式＝(2＋4＋…＋2n)－3(5-1＋5-2＋…＋5-n)＝－3×＝n(n＋1)－(1－5-n)．]3.22×220－2 [S20＝4×1＋5×21＋6×22＋…＋23×219，2S20＝4×2＋5×22＋6×23＋…＋23×220，两式相减，得－S20＝4＋2＋22＋…＋219－23×220＝4＋－23×220＝－22×220＋2，故S20＝22×220－2．]4． [由题意得an＝，故S2 026＝＋…＋＝1－．]考点深研·题型突破考点一典例1 (1) [函数y＝sinx以6为最小正周期，又a6m+1＋a6m+2＋a6m+3＋a6m+4＋a6m+5＋a6m+6＝－3，m∈N*，2 025＝337×6＋3，所以S2 025＝－3×337＋2 023sin＋2 024·sin＋2 025sin． ](2)解：(i)数列{an}满足：a1＝1，an+1＝an＋2(n∈N*)，故{an}是首项为1，公差为2的等差数列，由等差数列的通项公式可得an＝2n－1．又b1，b2，b3－1成等差数列，故2b2＝b1＋b3－1，设{bn}的公比为q，其中b2＝2，则4＝＋2q－1，解得q＝2或q＝，当q＝时，b1＝4，此时bn＝b1qn-1＝，为递减数列，舍去；当q＝2时，b1＝1，此时bn＝b1qn-1＝2n-1，为递增数列，满足要求．综上，an＝2n－1，bn＝2n-1．(ii)由(i)得cn＝an＋bn＝2n－1＋2n-1，故Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1＋20)＋(3＋21)＋(5＋22)＋…＋(2n－1＋2n-1)＝(1＋3＋…＋2n－1)＋(20＋21＋…＋2n-1)＝ ＝n2＋2n－1．多维变迁 解：(1)由Sn＝2n＋λ，知当n＝1时，a1＝2＋λ．当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝2n＋λ－2n-1－λ＝2n-1．因为数列{an}为等比数列，所以a1＝2＋λ适合an＝2n-1，所以λ＝－1，an＝2n-1．(2)由an＝2n-1，则bn＝(－1)nlog2a2n+1＝(－1)n2n，所以T2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－4n＋2＋4n)＝2n．考点二典例2 解：(1)因为4Sn＝3an＋4，①所以当n≥2时，4Sn-1＝3an-1＋4，②则当n≥2时，①－②得4an＝3an－3an-1，即an＝－3an-1．当n＝1时，由4Sn＝3an＋4，得4a1＝3a1＋4，所以a1＝4≠0，所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，所以an＝4×(－3)n-1．(2)因为bn＝(－1)n-1nan＝(－1)n-1n×4×(－3)n-1＝4n·3n-1，所以Tn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n-1，3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n，两式相减得－2Tn＝4＋4(31＋32＋…＋3n-1)－4n·3n＝4＋4×－4n·3n＝－2＋(2－4n)·3n，所以Tn＝1＋(2n－1)·3n．考题探源1．解：由an+1＝2Sn＋2(n∈N*)，可得an＝2Sn-1＋2(n∈N*，n≥2)，两式相减可得an+1＝3an(n∈N*，n≥2)，又a2＝2a1＋2，数列{an}是等比数列，所以a2＝2a1＋2＝3a1，则a1＝2，故an＝2×3n-1．2．解：由题意设等差数列{an}的公差为d，因为S4＝4S2，a2n＝2an＋1，所以即所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N*)，又bn＝3n-1，所以cn＝anbn＝(2n－1)·3n-1，所以Tn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)·3n-1，3Tn＝1×31＋3×32＋5×33＋…＋(2n－3)·3n-1＋(2n－1)·3n，两式相减得－2Tn＝1＋2×31＋2×32＋2×33＋…＋2·3n-1－(2n－1)·3n＝1＋2(31＋32＋33＋…＋3n-1)－(2n－1)·3n＝1＋－(2n－1)·3n＝1＋3(3n-1－1)－(2n－1)·3n＝1＋3n－3－(2n－1)·3n＝－2＋(2－2n)·3n，所以Tn＝1＋(n－1)·3n．多维变迁 (1)解：由数列{an}是公比为3的等比数列，a1，a2，a3－12成等差数列，可得2a2＝a1＋a3－12，所以2a1×3＝a1＋a1×32－12，即6a1＝10a1－12，解得a1＝3，所以an＝3×3n-1＝3n．(2)证明：bn＝，所以Tn＝＋…＋，则Tn＝＋…＋，两式相减，可得Tn＝＋…＋，所以Tn＝，因为Tn+1－Tn＝>0，所以数列{Tn}是递增数列，则Tn≥T1＝，又因为>0，可得Tn＝，综上可得：≤Tn<．考点三典例3 (1)C [由f (4)＝2，可得4α＝2，解得α＝，则f (x)＝．所以an＝，所以S2 025＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 025＝()＋()＋()＋…＋()＝－1．](2)解：(i)当n＝1时，有a2，又a1＝1，所以a2－4＋4＝0，解得a2＝4．(ii)由＝1，得{}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以＝1＋n－1＝n，即an＝n2．(iii)，所以Sn＝1－＋…＋＝1－．多维变迁 (1)证明：由an+1＝，∴－1＝，又∵－1＝1≠0，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列．(2)解：由于数列是以1为首项，为公比的等比数列，则－1＝，可得an＝(n∈N*)，∴bn＝，∴b1＋b2＋…＋bn＝＋…＋＝．随堂·对点检测1．D [a2＝＝2，＝2，所以数列{a2n-1}和{a2n}均为公比为2的等比数列．所以S2 026＝(a1＋a3＋…＋a2 025)＋(a2＋a4＋…＋a2 026)＝＝3×21 013－3．故选D．]2．A [观察此数列可知，当n为偶数时，an＝；当n为奇数时，an＝．因为bn＝(－1)n·an＝所以数列{bn}的前20项和为(0＋2)＋(－4＋8)＋(－12＋18)＋…＋＝2＋4＋6＋…＋20＝＝110．]3．AC [由题可知：a2－a1＝2，a3－a2＝3，则a4－a3＝4，…，an－an-1＝n(n≥2，n∈N*)，所以an＝an-1＋n(n≥2，n∈N*)，由累加法得：an＝an－an-1＋an-1－an-2＋…＋a2－a1＋a1＝n＋n－1＋…2＋1＝，当n＝1时，也满足上式，所以an＝．对于A，因为an－an-1＝n，所以an+1＝an＋n＋1，故A正确；对于B，a100＝＝5 050，故B错误；对于C，＝2，由裂项相消可得Sn＝2，故C正确；对于D，令t＝＝，因为n∈N*，即n≥1，所以t≥0，即an≥Sn，故D错误．故选AC．]4． [当x＝1时，1＋2x＋3x2＋…＋nxn-1＝1＋2＋3＋…＋n＝；当x≠1时，记Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn-1①，①×x得xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn②，①－②得(1－x)·Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn-1－nxn＝－nxn，化简得Sn＝．综上，1＋2x＋3x2＋…＋nxn-1＝]1 / 9(共68张PPT)第六章 数列第48课时 数列求和[考试要求] 1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法．理法先行·题练固本知识点1 公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝______________．na1＋d(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝知识点2 分组求和法与并项求和法(1)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)类型，可采用两项合并求解．知识点3 错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．知识点4 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的裂项技巧(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．1．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(1)改编)已知an＝2n＋n，则数列{an}的前n项和Sn＝_________________． 2n+1－2＋n2＋n [Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝n(n＋1)＝2n+1－2＋n2＋n．]2n+1－2＋n2＋n2．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(1))求和：(2－3×5-1)＋(4－3×5-2)＋…＋(2n－3×5-n)＝_____________________． n(n＋1)－(1－5-n) [原式＝(2＋4＋…＋2n)－3(5-1＋5-2＋…＋5-n)＝－3×＝n(n＋1)－(1－5-n)．]n(n＋1)－(1－5-n)3．(人教B版选择性必修第三册P44习题5－3CT1改编)数列{(n＋3)·2n-1}前20项的和为______________． 22×220－2 [S20＝4×1＋5×21＋6×22＋…＋23×219，2S20＝4×2＋5×22＋6×23＋…＋23×220，两式相减，得－S20＝4＋2＋22＋…＋219－23×220＝4＋－23×220＝－22×220＋2，故S20＝22×220－2．]22×220－24．(苏教版选择性必修第一册P181复习题T11(1)改编)数列{an}中，an＝，则数列{an}的前2 026项和S2 026＝______________． [由题意得an＝，故S2 026＝＋…＋＝1－．] 考点深研·题型突破考点一 分组求和与并项求和[典例1] (1)(2026·银川模拟)数列{an}的通项公式an＝nsin，其前n项和为Sn，则S2 025＝______________． (2)(2025·湛江期末)已知数列{an}满足：a1＝1，an+1＝an＋2(n∈N*)，数列{bn}为递增的等比数列，b2＝2，且b1，b2，b3－1成等差数列．(i)求数列{an}，{bn}的通项公式；(ii)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn．(1) [函数y＝sinx以6为最小正周期，又a6m+1＋a6m+2＋a6m+3＋a6m+4＋a6m+5＋a6m+6＝－3，m∈N*，2 025＝337×6＋3，所以S2 025＝－3×337＋2 023sin＋2 024·sin＋2 025sin． ](2)[解] (i)数列{an}满足：a1＝1，an+1＝an＋2(n∈N*)，故{an}是首项为1，公差为2的等差数列，由等差数列的通项公式可得an＝2n－1．又b1，b2，b3－1成等差数列，故2b2＝b1＋b3－1，设{bn}的公比为q，其中b2＝2，则4＝＋2q－1，解得q＝2或q＝，当q＝时，b1＝4，此时bn＝b1qn-1＝，为递减数列，舍去；当q＝2时，b1＝1，此时bn＝b1qn-1＝2n-1，为递增数列，满足要求．综上，an＝2n－1，bn＝2n-1．(ii)由(i)得cn＝an＋bn＝2n－1＋2n-1，故Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1＋20)＋(3＋21)＋(5＋22)＋…＋(2n－1＋2n-1)＝(1＋3＋…＋2n－1)＋(20＋21＋…＋2n-1)＝ ＝n2＋2n－1．思维建模：分组求和模型第1步 进行拆分：把一个数列拆分为两组容易求和的数列．第2步 分组求和：每组数列求和．第3步 每组相加：每组结果相加．【教用·通性通法】分组求和法，就是把一类既不是(或不明显是)等差数列，也不是(或不明显是)等比数列的数列适当拆开，分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，最后将其合并的方法．[多维变迁](2026·南京模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋λ(n∈N*，λ∈R)．(1)求λ的值，并写出数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(－1)nlog2a2n+1，求数列{bn}的前2n项和T2n．[解] (1)由Sn＝2n＋λ，知当n＝1时，a1＝2＋λ．当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝2n＋λ－2n-1－λ＝2n-1．因为数列{an}为等比数列，所以a1＝2＋λ适合an＝2n-1，所以λ＝－1，an＝2n-1．(2)由an＝2n-1，则bn＝(－1)nlog2a2n+1＝(－1)n2n，所以T2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－4n＋2＋4n)＝2n．【教用·备选题】(2025·昆明诊断)已知等差数列{an}满足an＋an+1＝4n．(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝ancos nπ，记{bn}的前n项和为Sn，求S2n．[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，所以an＝a1＋(n－1)d＝nd＋a1－d，所以an＋an+1＝2dn＋2a1－d＝4n，所以解得则an＝2n－1．(2)因为an＝2n－1且bn＝ancos nπ，所以bn＝(2n－1)·cos nπ＝所以b2k-1＋b2k＝－(4k－3)＋(4k－1)＝2，所以S2n＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2n-1＋b2n)＝2n．考点二 错位相减法求和[典例2] (2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn．[解] (1)因为4Sn＝3an＋4，①所以当n≥2时，4Sn-1＝3an-1＋4，②则当n≥2时，①－②得4an＝3an－3an-1，即an＝－3an-1．当n＝1时，由4Sn＝3an＋4，得4a1＝3a1＋4，所以a1＝4≠0，所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，所以an＝4×(－3)n-1．(2)因为bn＝(－1)n-1nan＝(－1)n-1n×4×(－3)n-1＝4n·3n-1，所以Tn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n-1，3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n，两式相减得－2Tn＝4＋4(31＋32＋…＋3n-1)－4n·3n＝4＋4×－4n·3n＝－2＋(2－4n)·3n，所以Tn＝1＋(2n－1)·3n．[考题探源]1．(人教A版选择性必修第二册P56复习参考题4T12(1))已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝2Sn＋2(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．[解] 由an+1＝2Sn＋2(n∈N*)，可得an＝2Sn-1＋2(n∈N*，n≥2)，两式相减可得an+1＝3an(n∈N*，n≥2)，又a2＝2a1＋2，数列{an}是等比数列，所以a2＝2a1＋2＝3a1，则a1＝2，故an＝2×3n-1．2．(人教A版选择性必修第二册P56复习参考题4T11(2))已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*)，若bn＝3n-1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．[解] 由题意设等差数列{an}的公差为d，因为S4＝4S2，a2n＝2an＋1，所以即解得所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N*)，又bn＝3n-1，所以cn＝anbn＝(2n－1)·3n-1，所以Tn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)·3n-1，3Tn＝1×31＋3×32＋5×33＋…＋(2n－3)·3n-1＋(2n－1)·3n，两式相减得－2Tn＝1＋2×31＋2×32＋2×33＋…＋2·3n-1－(2n－1)·3n＝1＋2(31＋32＋33＋…＋3n-1)－(2n－1)·3n＝1＋－(2n－1)·3n＝1＋3(3n-1－1)－(2n－1)·3n＝1＋3n－3－(2n－1)·3n＝－2＋(2－2n)·3n，所以Tn＝1＋(n－1)·3n．思维建模：错位相减模型第1步 乘公比、错位写：前n项和表达式两边同乘等比数列的公比q，达到错位的效果．第2步 上减下：将原式和错位后的式子相减．第3步 等比和：对第2步中减出的中间部分，按等比数列求和整理．第4步 系数化1：把Sn前面的系数化为1．[多维变迁](2025·丽水月考)已知数列{an}是公比为3的等比数列，a1，a2，a3－12成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝，设数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<．[解] (1)由数列{an}是公比为3的等比数列，a1，a2，a3－12成等差数列，可得2a2＝a1＋a3－12，所以2a1×3＝a1＋a1×32－12，即6a1＝10a1－12，解得a1＝3，所以an＝3×3n-1＝3n．(2)证明：bn＝，所以Tn＝＋…＋，则Tn＝＋…＋，两式相减，可得Tn＝＋…＋，所以Tn＝，因为Tn+1－Tn＝>0，所以数列{Tn}是递增数列，则Tn≥T1＝，又因为>0，可得Tn＝，综上可得：≤Tn<．【教用·备选题】1．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn．[解] (1)当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0．当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn-1＝(n－1)an-1，两式相减，得2an＝nan－(n－1)an-1，即(n－1)an-1＝(n－2)an，当n＝2时，可得a1＝0，故当n≥3时，，则·…··…·＝n－1，因为a2＝1，所以an＝n－1(n≥3)．当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1．(2)令bn＝，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn-1＋bn＝＋…＋， ①Tn＝＋…＋， ②由①－②得Tn＝＋…＋＝1－，即Tn＝2－．2．(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝．已知a1，3a2，9a3成等差数列．(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn<．[解] (1)设{an}的公比为q，则an＝qn-1．因为a1，3a2，9a3成等差数列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝，故an＝，bn＝．(2)由(1)知Sn＝，Tn＝＋…＋ ①，Tn＝＋…＋ ②，①－②，得Tn＝＋…＋，即Tn＝，整理得Tn＝，则2Tn－Sn＝2＝－<0，故Tn<．考点三 裂项相消法求和[典例3] (1)已知函数f (x)＝xα的图象过点(4，2)，令an＝，n∈N*．记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 025＝( )A．－1 B．－1C．－1 D．＋1(2)(2025·株洲期末)已知首项为1的正项数列{an}满足a2．(i)求a2；(ii)求{an}的通项公式；(iii)求数列的前n项和Sn．√(1)C [由f (4)＝2，可得4α＝2，解得α＝，则f (x)＝．所以an＝，所以S2 025＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 025＝()＋()＋()＋…＋()＝－1．](2)[解] (i)当n＝1时，有a2，又a1＝1，所以a2－4＋4＝0，解得a2＝4．(ii)由＝1，得{}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以＝1＋n－1＝n，即an＝n2．(iii)，所以Sn＝1－＋…＋＝1－．思维建模：裂项相消模型第1步 裂项：化商为差，大项减小项．第2步 定系数：确定一个系数，保证裂项后的数列与原数列相等．第3步 相消：找到相消规律，确定剩余项数．第4步 化简：化为最简形式．【教用·易错提醒】裂项是通分的逆变形，裂项时需要注意两点：一是要注意裂项时对系数的调整；二是裂项后，从哪里开始相互抵消，前面留下哪些项，后面对应留下哪些项，应做好处理．[多维变迁](2025·黄冈期末)已知数列{an}满足a1＝，an+1＝(n∈N*)．(1)证明：数列是等比数列．(2)设bn＝，求b1＋b2＋…＋bn．[解] (1)证明：由an+1＝，∴－1＝，又∵－1＝1≠0，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列．(2)由于数列是以1为首项，为公比的等比数列，则－1＝，可得an＝(n∈N*)，∴bn＝，∴b1＋b2＋…＋bn＝＋…＋＝．【教用·备选题】(2025·定州市一模)记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝3，an+1＝＋3．(1)证明：数列{an}为等差数列；(2)求数列的前n项和Tn．[解] (1)证明：数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝3，an+1＝＋3，当n＝1时，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9；当n＝2时，2a3＝2S2＋6＝24＋6＝30，则a3＝15；由an+1＝＋3，可得nan+1＝2Sn＋3n，当n≥2时，(n－1)an＝2Sn-1＋3(n－1)，两式相减，得nan+1－(n＋1)an＝3，①则(n＋1)an+2－(n＋2)an+1＝3，②②－①得(n＋1)an+2＋(n＋1)an＝(2n＋2)an+1，所以an+2＋an＝2an+1(n≥2)．当n＝1时，a1＋a3＝2a2，满足上式，所以an+2＋an＝2an+1，故数列{an}为等差数列．(2)由(1)可知数列{an}是首项为3，公差为6的等差数列，所以an＝3＋6(n－1)＝6n－3，Sn＝＝3n2，则，所以Tn＝．1．(链接考点一)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+1an＝2n，则S2 026＝( )A．22 026－1 B．3×21 013－1C．3×21 013－2 D．3×21 013－3√D [a2＝＝2，＝2，所以数列{a2n-1}和{a2n}均为公比为2的等比数列．所以S2 026＝(a1＋a3＋…＋a2 025)＋(a2＋a4＋…＋a2 026)＝＝3×21 013－3．故选D．]2．(链接考点一)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列{an}的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记bn＝(－1)n·an，n∈N*，则数列{bn}的前20项和是( )A．110 B．100C．90 D．80√A [观察此数列可知，当n为偶数时，an＝；当n为奇数时，an＝．因为bn＝(－1)n·an＝所以数列{bn}的前20项和为(0＋2)＋(－4＋8)＋(－12＋18)＋…＋＝2＋4＋6＋…＋20＝＝110．]3．(链接考点三)(多选)(2025·南昌期末)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列{an}，且a1＝1，数列的前n项和为Sn，则正确的选项是( )A．an+1＝an＋n＋1 B．a100＝4 950C．Sn＝ D．an>Sn√√AC [由题可知：a2－a1＝2，a3－a2＝3，则a4－a3＝4，…，an－an-1＝n(n≥2，n∈N*)，所以an＝an-1＋n(n≥2，n∈N*)，由累加法得：an＝an－an-1＋an-1－an-2＋…＋a2－a1＋a1＝n＋n－1＋…2＋1＝，当n＝1时，也满足上式，所以an＝．对于A，因为an－an-1＝n，所以an+1＝an＋n＋1，故A正确；对于B，a100＝＝5 050，故B错误；对于C，＝2，由裂项相消可得Sn＝2，故C正确；对于D，令t＝，因为n∈N*，即n≥1，所以t≥0，即an≥Sn，故D错误．故选AC．]4．(链接考点二)(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(2))求和：1＋2x＋3x2＋…＋nxn-1＝_________________________． [当x＝1时，1＋2x＋3x2＋…＋nxn-1＝1＋2＋3＋…＋n＝；当x≠1时，记Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn-1①，①×x得xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn②，①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn-1－nxn＝－nxn，化简得Sn＝．综上，1＋2x＋3x2＋…＋nxn-1＝]1．(2026·邯郸模拟)已知数列{an}是首项为1的等差数列，数列{bn}是公比为3的等比数列，且a2＋b3＝30，b2＝a4＋2．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{an＋bn}的前n项和Tn．课时作业(四十八) 数列求和[解] (1)因为数列{an}是首项为1的等差数列，数列{bn}是公比为3的等比数列，且a2＋b3＝30，b2＝a4＋2，所以所以an＝2n－1，bn＝3n．(2)Tn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋(a3＋b3)＋…＋(an＋bn)＝(a1＋a2＋a3＋…＋an)＋(b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(3＋32＋33＋…＋3n)＝＝＋n2－．2．(2026·黄冈模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S3＝5S1，a2n＝2an－1．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．[解] (1)由S3＝5S1，可得3a1＋3d＝5a1，即a1＝d．又因为a2n＝2an－1，所以当n＝1时，可得a2＝2a1－1，即a1＋d＝2a1－1．联立解得故{an}的通项公式为an＝2n＋1．(2)因为bn＝，所以Tn＝＋…＋＝＝．3．(2025·肇庆月考)已知{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列．且a1＝2，b1＝1，a3＋b2＝8，a2＝b3．(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn；(3)若cn＝求数列{cn}的前2n项和S2n．[解] (1){an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为q(q>0)，由a1＝2，b1＝1，a3＋b2＝8，a2＝b3，可得2＋2d＋q＝8，2＋d＝q2，解得d＝q＝2(负值舍去)，则an＝2n，bn＝2n-1．(2)数列{an·bn}的前n项和Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n+1，两式相减，得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝－n·2n+1＝(1－n)·2n+1－2，故Tn＝(n－1)·2n+1＋2．(3)cn＝则数列{cn}的前2n项和S2n＝(2＋6＋10＋…＋4n－2)＋(2＋8＋…＋22n-1)＝n(2＋4n－2)＋＝2n2＋·4n－．谢谢！课时作业(四十八) 数列求和1．(15分)(2026·邯郸模拟)已知数列{an}是首项为1的等差数列，数列{bn}是公比为3的等比数列，且a2＋b3＝30，b2＝a4＋2．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{an＋bn}的前n项和Tn．2．(15分)(2026·黄冈模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S3＝5S1，a2n＝2an－1．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．3．(15分)(2025·肇庆月考)已知{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列．且a1＝2，b1＝1，a3＋b2＝8，a2＝b3．(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn；(3)若cn＝求数列{cn}的前2n项和S2n．课时作业(四十八)1．解：(1)因为数列{an}是首项为1的等差数列，数列{bn}是公比为3的等比数列，且a2＋b3＝30，b2＝a4＋2，所以所以an＝2n－1，bn＝3n．(2)Tn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋(a3＋b3)＋…＋(an＋bn)＝(a1＋a2＋a3＋…＋an)＋(b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(3＋32＋33＋…＋3n)＝ ＝＋n2－．2．解：(1)由S3＝5S1，可得3a1＋3d＝5a1，即a1＝d．又因为a2n＝2an－1，所以当n＝1时，可得a2＝2a1－1，即a1＋d＝2a1－1．联立故{an}的通项公式为an＝2n＋1．(2)因为bn＝，所以Tn＝＋…＋＝．3．解：(1){an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为q(q>0)，由a1＝2，b1＝1，a3＋b2＝8，a2＝b3，可得2＋2d＋q＝8，2＋d＝q2，解得d＝q＝2(负值舍去)，则an＝2n，bn＝2n-1．(2)数列{an·bn}的前n项和Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n+1，两式相减，得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝－n·2n+1＝(1－n)·2n+1－2，故Tn＝(n－1)·2n+1＋2．(3)cn＝则数列{cn}的前2n项和S2n＝(2＋6＋10＋…＋4n－2)＋(2＋8＋…＋22n-1)＝n(2＋4n－2)＋＝2n2＋·4n－．1 / 2 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第六章 第48课时 数列求和.docx 第六章 第48课时 数列求和.pptx 课时作业48 数列求和.docx
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