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*第49课时　数列的综合应用(进阶课)
[总体概览]　数列的综合问题、传统文化中的数列建模以及数列与其他知识的交汇问题，是历年高考的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等．
类型一　等差数列、等比数列的综合问题
[典例1]　(2025·大庆期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2．
(1)若a3＋b3＝5，求T5；
(2)若T3＝21，且数列{an}为递增数列，求数列{an}的前n项和Sn．
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通性通法：数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化．
类型二　传统文化中的数列建模
[典例2]　(多选)《张丘建算经》是我国古代有标志性的、内容丰富的数学名著之一，大约创作于公元5世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子在这一个月中第n天所织布的尺数为an，bn＝，对于数列{an}，{bn}，下列选项中正确的为(　　)
A．b10＝8b5
B．{bn}是等比数列
C．a1b30＝105
D．＝
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易错提醒：解题关键，抓住其中特征灵活运用数列知识分析、解决问题．
类型三　数列与其他知识的交汇问题
[典例3]　(2025·海口期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，若点(n，an)(n∈N*)都在函数f (x)＝2x的图象上，且Sn＝(n＋ ．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，记数列{cn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜．
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通性通法：数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项公式或前n项和公式，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明．
第49课时　数列的综合应用(进阶课)
类型一
典例1　解：(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，设公差为d，
等比数列{bn}的前n项和为Tn，设公比为q，
a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2，
得d＋q＝3．①
由a3＋b3＝5，得2d＋q2＝6，②
联立①②，解得
因此T5＝＝31．
(2)由b1＝1，T3＝21，得q2＋q－20＝0，
解得q＝－5或q＝4，
由于数列{an}为递增数列，所以d>0，
当q＝4时，由①得d＝－1(舍去)；
当q＝－5时，由①得d＝8，
则Sn＝n×(－1)＋×8＝4n2－5n．
类型二
典例2　BD　[由题意可知，数列{an}为等差数列，设数列{an}的公差为d，由题意可得a1＝5，30a1＋＝390，解得d＝，所以an＝5＋(n－1)×．
因为bn＝＝2d(非零常数)，则数列{bn}是等比数列，B正确；
因为5d＝5×≠3，＝(2d)5＝25d≠23，所以b10≠8b5，A错误；
a30＝a1＋29d＝5＋16＝21，所以a1b30＝5×221>105，C错误；
a4＝a1＋3d＝5＋3×，a5＝a1＋4d＝5＋4×，D正确．故选BD．]
类型三
典例3　解：(1)根据题意，点(n，an)(n∈N*)都在函数f (x)＝2x的图象上，
则an＝2n，易得数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，
则Sn＝＝n(n＋1)，
又Sn＝(n＋1)lobn，所以bn＝，
故an＝2n，bn＝．
(2)证明：根据题意，由(1)的结论，得cn＝，
因为，c1＝，所以{cn}是以为公比的等比数列，
所以Tn＝
＝．
因为n∈N*，函数Tn＝是增函数，
所以当n＝1时，Tn最小为，Tn≥，
又1－<1，所以Tn<≤Tn<．
规范答题三
典例　(2)a1＋2a2x＋…＋mamxm-1
1 / 2(共38张PPT)
第六章　数列
*第49课时　数列的综合应用(进阶课)
[总体概览]　数列的综合问题、传统文化中的数列建模以及数列与其他知识的交汇问题，是历年高考的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等．
类型一　等差数列、等比数列的综合问题
[典例1]　(2025·大庆期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2．
(1)若a3＋b3＝5，求T5；
(2)若T3＝21，且数列{an}为递增数列，求数列{an}的前n项和Sn．
[解]　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，设公差为d，等比数列{bn}的前n项和为Tn，设公比为q，
a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2，
得d＋q＝3．①
由a3＋b3＝5，得2d＋q2＝6，②
联立①②，解得
因此T5＝＝31．
(2)由b1＝1，T3＝21，得q2＋q－20＝0，
解得q＝－5或q＝4，
由于数列{an}为递增数列，所以d>0，
当q＝4时，由①得d＝－1(舍去)；
当q＝－5时，由①得d＝8，
则Sn＝n×(－1)＋×8＝4n2－5n．
通性通法：数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化．
【教用·备选题】
(人教A版选择性必修第二册P56复习参考题4T13)类比等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等，发现它们具有如下的对偶关系：只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“－”改为“÷”，正整数倍改为正整数指数幂，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立．
(1)根据上述说法，请你参照下表给出的信息推断出相关的对偶关系式；
名称 等差数列 等比数列
定义 an+1－an＝d
通项公式 bn＝b1qn-1＝bmqn-m
常用性质 ①a1＋an＝a2＋an-1＝a3＋an-2＝… ②an-k＋an+k＝2an(n>k) ③ ④ ①
②
③若m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，
则bnbm＝bkbl
④b1b2…bn＝
(2)在等差数列中，若a2 018＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a4 035-n(n∈N*，n<4 035)．相应地，在等比数列中，若
b2 019＝1，请你类比推测出对偶的等式，并加以证明．
[解]　(1)根据上述说法，参照给出的信息推断出相关的对偶关系式如表：
名称 等差数列 等比数列
定义 an+1－an＝d ＝q
通项 公式 an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d bn＝b1qn-1＝bmqn-m
常用 性质 ①a1＋an＝a2＋an-1 ＝a3＋an-2＝… ②an-k＋an+k＝2an(n>k) ③若m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)， 则an＋am＝ak＋al ④a1＋a2＋…＋an＝ ①b1·bn＝b2·bn-1＝b3·bn-2＝…
②bn-k·bn+k＝(n>k)
③若m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，
则bnbm＝bkbl
④b1b2…bn＝
(2)类比推测出对偶的等式知，在等比数列中，若b2 019＝1，
b1·b2…bn＝b1·b2…b4 037-n(n∈N*，n<4 037)；
证明如下：
由等比数列性质知bn+1b4 037-n＝bn+2b4 036-n＝…＝＝1；
bnb4 038-n＝bn-1b4 039-n＝…＝＝1；
故当4 037－n>n，即n<时，
bn+1·bn+2…b4 037-n＝＝1；
则b1·b2…bn＝b1·b2…b4 037-n．
同理当4 037－nn>时，
b4 038-n·b4 039-n…bn＝＝1，
b1·b2…bn＝b1·b2…b4 037-n．
综上所述，b1·b2…bn＝b1·b2…b4 037-n(n∈N*，n<4 037)．
类型二　传统文化中的数列建模
[典例2]　(多选)《张丘建算经》是我国古代有标志性的、内容丰富的数学名著之一，大约创作于公元5世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子在这一个月中第n天所织布的尺数为an，bn＝，对于数列{an}，{bn}，下列选项中正确的为(　　)
A．b10＝8b5 B．{bn}是等比数列
C．a1b30＝105 D．
√
√
BD　[由题意可知，数列{an}为等差数列，设数列{an}的公差为d，由题意可得a1＝5，30a1＋＝390，解得d＝，所以an＝5＋(n－1)×．
因为bn＝＝2d(非零常数)，则数列{bn}是等比数列，B正确；
因为5d＝5×≠3，＝(2d)5＝25d≠23，所以b10≠8b5，A错误；
a30＝a1＋29d＝5＋16＝21，所以a1b30＝5×221>105，C错误；
a4＝a1＋3d＝5＋3×，a5＝a1＋4d＝5＋4×，D正确．故选BD．]
易错提醒：解题关键，抓住其中特征灵活运用数列知识分析、解决问题．
【教用·备选题】
(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　)
A．0.75　　　　 B．0.8
C．0.85 D．0.9
√
D　[如图，连接OA，延长AA1与x轴
交于点A2，则OA2＝4OD1．
因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差
数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以CC1＝DC1(k3－0.2)，BB1＝CB1(k3－0.1)，AA1＝k3BA1，即CC1＝OD1(k3－0.2)，BB1＝OD1(k3－0.1)，AA1＝k3OD1．又＝0.5，所以DD1＝0.5OD1，所以AA2＝0.5OD1＋OD1(k3－0.2)＋OD1(k3－0.1)＋k3OD1＝OD1(3k3＋0.2)，所以tan∠AOA2＝＝0.725，解得k3＝0.9．故选D．]
类型三　数列与其他知识的交汇问题
[典例3]　(2025·海口期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，若点(n，an)(n∈N*)都在函数f (x)＝2x的图象上，且Sn＝(n＋1)lobn．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，记数列{cn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<．
[解]　(1)根据题意，点(n，an)(n∈N*)都在函数f (x)＝2x的图象上，
则an＝2n，易得数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，
则Sn＝＝n(n＋1)，
又Sn＝(n＋1)lobn，所以bn＝，
故an＝2n，bn＝．
(2)证明：根据题意，由(1)的结论，得cn＝，c1＝，所以{cn}是以为公比的等比数列，
所以Tn＝．
因为n∈N*，函数Tn＝是增函数，
所以当n＝1时，Tn最小为，Tn≥，
又1－<1，所以Tn<≤Tn<．
通性通法：数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项公式或前n项和公式，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明．
【教用·备选题】
(2025·上海杨浦区月考节选)已知函数f (x)＝4sin xcos x－4cos2x．如果函数f (x)在(0，＋∞)上的零点从小到大排列后构成数列{an}，求{an}的前12项和．
[解]　函数f (x)＝4sin xcos x－4cos2x＝2sin 2x－2(cos 2x＋1)＝4sin－2的最小正周期为π，
当x∈(0，π)时，2x－，
令4sin－2＝0，即sin，
故2x－或2x－，解得x＝或x＝，所以函数f (x)在(0，π)上的零点分别为．
所以数列{a2n-1}是以为首项，π为公差的等差数列；
数列{a2n}是以为首项，π为公差的等差数列，则S12＝(a1＋a3＋…＋a11)＋(a2＋a4＋…＋a12)＝＝34π，
所以{an}的前12项和为34π．
√
一、单项选择题
1．(2026·攀枝花模拟)“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形ABCD的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且AB＝16，则这127个正方形中，最小的正方形的边长为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
课时作业(四十九)　数列的综合应用(进阶课)
C　[依题意，不同边长的正方形的个数构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以1＋2＋22＋…＋2n-1＝127，即＝127，解得n＝7，即有7种不同边长的正方形．又正方形的边长构成以16为首项，为公比的等比数列．因此，最小的正方形的边长为16×＝2．故选C．]
√
二、多项选择题
2．(2025·丽江期末)设Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，则下列说法正确的有(　　)
A．q3＝
B．a3，a9，a6成等差数列
C．S3，S6，S9成等比数列
D．S6，S12，S9成等差数列
√
BD　[由S3，S9，S6成等差数列，得2S9＝S3＋S6，得q≠1，
∴2×，
∴2q9＝q3＋q6，得2(q3)2－q3－1＝0，
故q3＝－或q3＝1(舍去)，故A错误；
a3＋a6＝a3－a3＝a3，2a9＝2a3q6＝a3，
∴a3，a9，a6成等差数列，故B正确；
S3＝，S6＝，S9＝，
∵，∴S3，S6，S9不成等比数列，故C错误；
S12＝，S6＋S9＝，2S12＝，
满足S6＋S9＝2S12，可得S6，S12，S9成等差数列，故D正确．故选BD．]
三、填空题
3．(人教A版选择性必修第二册P55复习参考题4T4(2))我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有______________盏灯．
3　[设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}是公比为2的等比数列，
∴S7＝＝381，解得a1＝3．]
3　
4．(2025·桂林月考)若等差数列{an}中，a1＝(i为虚数单位)，前10项和S10＝45＋10i，则|a3|＝ ______________．
　[设等差数列{an}的公差为d，
∵a1＝＝i，
则前10项和为
S10＝10a1＋d＝10i＋45d＝45＋10i，
解得d＝1，a3＝a1＋2d＝2＋i，
∴|a3|＝．]
　
四、解答题
5．(2026·南宁模拟)已知数列{an}是公比为2的等比数列，a3，a4，a5－8成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，设数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<2．
[解]　(1)由a3，a4，a5－8成等差数列，得2a4＝a3＋a5－8，
∴2a1×23＝a1×22＋a1×24－8，解得a1＝2，
∴an＝2×2n-1＝2n．
(2)证明：由(1)知，an＝2n，
则bn＝，
∴Tn＝＋…＋，①
Tn＝＋…＋，②
两式作差，得Tn＝＋…＋＝1－．
∴Tn＝2－<2．
又bn＝>0，∴{Tn}是递增数列，
∴Tn≥T1＝≤Tn<2．
6．(2026·郑州模拟)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，a2＝5，b1＝2，b2＝3，{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列．
(1)求{an＋bn}和{an－bn}的通项公式；
(2)求{an}和{bn}的通项公式；
(3)求{an}的前n项和Sn．
[解]　(1)由{an＋bn}是等比数列，且a1＋b1＝4，a2＋b2＝8，
则{an＋bn}的公比为＝2，首项为4，所以an＋bn＝2n+1，
因为a1－b1＝0，a2－b2＝2，且{an－bn}是等差数列，
则{an－bn}的公差为(a2－b2)－(a1－b1)＝2，首项为0，
所以an－bn＝2n－2．
(2)由(1)得
则
(3)由(2)知Sn＝(21＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)－n＝－n＝2n+1＋．
谢谢！课时作业(四十九)　数列的综合应用(进阶课)
一、单项选择题
1．(2026·攀枝花模拟)“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形ABCD的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且AB＝16，则这127个正方形中，最小的正方形的边长为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
二、多项选择题
2．(2025·丽江期末)设Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，则下列说法正确的有(　　)
A．q3＝
B．a3，a9，a6成等差数列
C．S3，S6，S9成等比数列
D．S6，S12，S9成等差数列
三、填空题
3．(人教A版选择性必修第二册P55复习参考题4T4(2))我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有________盏灯．
4．(2025·桂林月考)若等差数列{an}中，a1＝(i为虚数单位)，前10项和S10＝45＋10i，则|a3|＝ ________．
四、解答题
5．(15分)(2026·南宁模拟)已知数列{an}是公比为2的等比数列，a3，a4，a5－8成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，设数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜2．
6．(15分)(2026·郑州模拟)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，a2＝5，b1＝2，b2＝3，{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列．
(1)求{an＋bn}和{an－bn}的通项公式；
(2)求{an}和{bn}的通项公式；
(3)求{an}的前n项和Sn．
课时作业(四十九)
1．C　[依题意，不同边长的正方形的个数构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以1＋2＋22＋…＋2n-1＝127，即＝127，解得n＝7，即有7种不同边长的正方形．又正方形的边长构成以16为首项，为公比的等比数列．因此，最小的正方形的边长为16×＝2．故选C．]
2．BD　[由S3，S9，S6成等差数列，得2S9＝S3＋S6，得q≠1，
∴2×，
∴2q9＝q3＋q6，得2(q3)2－q3－1＝0，
故q3＝－或q3＝1(舍去)，故A错误；
a3＋a6＝a3－a3＝a3，2a9＝2a3q6＝a3，
∴a3，a9，a6成等差数列，故B正确；
S3＝，S6＝，S9＝，
∵，∴S3，S6，S9不成等比数列，故C错误；
S12＝，S6＋S9＝，2S12＝，
满足S6＋S9＝2S12，可得S6，S12，S9成等差数列，故D正确．故选BD．]
3.3　[设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}是公比为2的等比数列，
∴S7＝＝381，
解得a1＝3．]
4．　[设等差数列{an}的公差为d，
∵a1＝＝i，
则前10项和为
S10＝10a1＋d＝10i＋45d＝45＋10i，
解得d＝1，a3＝a1＋2d＝2＋i，
∴|a3|＝．]
5．(1)解：由a3，a4，a5－8成等差数列，得2a4＝a3＋a5－8，
∴2a1×23＝a1×22＋a1×24－8，
解得a1＝2，
∴an＝2×2n-1＝2n．
(2)证明：由(1)知，an＝2n，
则bn＝，
∴Tn＝＋…＋，①
Tn＝＋…＋，②
两式作差，得Tn＝＋…＋
＝＝1－．
∴Tn＝2－<2．
又bn＝>0，∴{Tn}是递增数列，
∴Tn≥T1＝≤Tn<2．
6．解：(1)由{an＋bn}是等比数列，且a1＋b1＝4，a2＋b2＝8，
则{an＋bn}的公比为＝2，首项为4，所以an＋bn＝2n+1，
因为a1－b1＝0，a2－b2＝2，且{an－bn}是等差数列，
则{an－bn}的公差为(a2－b2)－(a1－b1)＝2，首项为0，所以an－bn＝2n－2．
(2)由(1)得
则
(3)由(2)知Sn＝(21＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)－n＝－n＝2n+1＋．
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