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第41课时　平面向量的数量积及其应用
[考试要求]　1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．
知识点1　平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝____________．
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0．
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e．
知识点2　平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2．
(2)模：|a|＝＝．
(3)夹角：cos θ＝＝．
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0．
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立．
知识点3　平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[常用结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．
2．有关向量夹角的两个结论
两个向量a，b的夹角为锐角 a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角 a·b＜0且a，b不共线．
1．(人教A版必修第二册P22练习T1)已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，向量a与b的夹角为，向量b与c的夹角为，则(a·b)c＝____________；a(b·c)＝____________．
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2．(人教A版必修第二册P35例11改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，a，b的夹角为θ，则cos θ＝________．
3．(苏教版必修第二册P47复习题T12改编)已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若(a＋kb)⊥(a－kb)，则实数k＝________．
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4．(北师大版必修第二册P113练习T2(2))已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则(2a－b)·(a＋3b)＝________．
考点一　平面向量的数量积的运算
[典例1]　(1)(2025·衡阳期末)已知a＝(1，1)，b＝(－1，2)，则a在b上的投影向量是(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则＝(　　)
A． B．3
C．2 D．5
(3)(2025·柳州月考)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为，则(a＋b)·b＝________．
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思维建模：1．基底法求数量积模型
第1步　选基底：选择两个已知夹角的向量作为基底；
第2步　分解：用基底表示向量；
第3步　计算：根据数量积的运算性质计算．
2．直角建系模型(几何图形中向量相关计算)
第1步　建系：利用垂直关系建系；
第2步　写坐标：根据条件求出各点或向量的坐标；
第3步　计算：利用坐标计算求值．
考点二　数量积的应用
　向量的模
[典例2]　(1) (2024· 新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　)
A． B．
C． D．1
(2)已知向量a＝(3－m，3)，b＝(2，m＋4)，若|a－3b|＝|a＋3b|，则实数m＝(　　)
A．3 B．6
C．－6 D．－18
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通性通法：求平面向量的模的方法
(1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
(2)几何法：利用向量的几何意义．
　向量的夹角
[典例3]　(1)(2025·青岛月考)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且|2b－a|＝，则cos 〈a，b〉＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2025·天津和平区期末)已知向量a＝(1，－3)，b＝(x，－1)，若a－b与b的夹角为锐角，则实数x的取值范围为(　　)
A．(－2，1) B．(－1，2)
C． D．
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通性通法：求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝；(2)坐标法．
　向量的垂直
[典例4]　(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝________．
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[考题探源]
1．(人教A版必修第二册P60复习参考题6T8)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)．当λ为何值时，a＋λb与a垂直？
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2．(湘教版必修第二册P40习题1.5T8)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，求实数λ的值．
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极化恒等式
在△ABC中，若O是边BC的中点，则＝||2－||2＝||2－||2．
[典例5]　阅读下面一段文字：(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，两式相减得(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
(1)若AD＝BC＝3，求的值；
(2)若＝27，＝－5，求的值．
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1．(链接考向3)(2025·敦煌市期末)已知向量a＝(3，1)，b＝(－2，2)，若a⊥(a＋λb)，则实数λ＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
2．(链接考点一)(2025·保定期中)在△ABC中，＞0，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
3．(链接考向2)(2025·南京期末)已知|a|＝2，|b|＝3，(a＋b)·(a－2b)＝－17，则a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
4．(链接考点二)(多选)(2025·毕节市期末)已知A(－2，1)，B(1，2)，C(0，5)，D(－3，4)，则(　　)
A．||＝2
B．⊥
C．与的夹角为60°
D．
5．(链接考向1)(2025·鹤壁二模)已知向量a，b的夹角为锐角，且满足|a|＝|b|＝1，c＝a＋2b，则向量c的模的取值范围是________．
第41课时　平面向量的数量积及其应用
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(2)|a||b|cos θ　|a||b|cos θ
链教材·夯基固本
1．c　3a　[(a·b)c＝|a||b|cosc＝1×2×c＝c，a(b·c)＝a·|b||c|cos＝2×3×a＝3a．]
2．－　[cos θ＝＝－．]
3．±　[由题意知(a＋kb)·(a－kb)＝a2－k2b2＝9－16k2＝0，解得k＝±．]
4.84　[(2a－b)·(a＋3b)＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×36＋5×6×4×－3×16＝84．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)B　(2)B　(3)6　[(1)因为a＝(1，1)，b＝(－1，2)，
则a·b＝－1＋2＝1，|b|＝，
则a在b上的投影向量是b＝b＝．
故选B．
(2)法一：由题意知，＝－＝||2－||2，由题意知||＝||＝2，所以＝4－1＝3．故选B．
法二：以点A为坐标原点，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则 E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，所以＝(1，2)，＝(－1，2)，所以＝－1＋4＝3．故选B．
(3)由题意，a与b的夹角为，|a|＝5，|b|＝4，
则(a＋b)·b＝a·b＋b2
＝5×4×＋42＝6．]
考点二
考向1　典例2　(1)B　(2)D　[(1)因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，
即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，
所以|b|＝．故选B．
(2)因为|a－3b|＝|a＋3b|，
所以两边同时平方可得a2－6a·b＋9b2＝a2＋6a·b＋9b2，
所以a·b＝0，
因为a＝(3－m，3)，b＝(2，m＋4)，
所以a·b＝2(3－m)＋3(m＋4)＝m＋18＝0，
解得m＝－18．
故选D．]
考向2　典例3　(1)C　(2)C　[(1)因为|2b－a|＝，
所以两边同时平方得|2b－a|2＝(2b－a)2＝4|b|2＋|a|2－4a·b＝15，
又因为|a|＝1，|b|＝2，
所以16＋1－4a·b＝15，得a·b＝，
所以cos〈a，b〉＝．
故选C．
(2)由已知得a－b＝(1－x，－2)．
由于向量a－b与b的夹角为锐角，所以(a－b)·b>0，且a－b与b不共线，
则(1－x)x＋2>0，且－2x≠x－1，解得x∈∪，
即x的取值范围为∪．
故选C．]
考向3　典例4　　[法一：因为a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，
所以a－b＝(1，1－2x)，又a⊥(a－b)，
所以a·(a－b)＝x＋1－2x＝0，解得x＝1，
所以a＝(1，1)，
则|a|＝．
法二：由a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝0，即a2＝a·b，将a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)代入，得x2＋1＝x(x－1)＋2x，解得x＝1，所以a＝(1，1)，则|a|＝．]
考题探源
1．解：因为a＝(1，0)，b＝(1，1)，所以a＋λb＝(1＋λ，λ)，
因为(a＋λb)⊥a，所以(a＋λb)·a＝1＋λ＝0，
解得λ＝－1．
2．解：因为m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，
所以m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，
因为(m＋n)⊥(m－n)，
所以(m＋n)·(m－n)＝－(2λ＋3)－3＝－2λ－6＝0，
解得λ＝－3．
教材拓展6
典例5　解：(1) 由极化恒等式知＝9－．
(2)设||＝3m>0，||＝2n>0．因为＝27，所以由极化恒等式知＝9m2－n2＝27．
因为＝－5，由极化恒等式知＝m2－n2＝－5，所以解得m＝2，n＝3，所以＝4m2－n2＝7．
随堂·对点检测
1．B　[因为a＝(3，1)，b＝(－2，2)，
所以a＋λb＝(3－2λ，1＋2λ)，
因为a⊥(a＋λb)，
所以a·(a＋λb)＝3×(3－2λ)＋1×(1＋2λ)＝10－4λ＝0，
解得λ＝．
故选B．]
2．C　[在△ABC中，>0，
根据平面向量数量积公式可得
||||·cos(π－B)>0，
即cos(π－B)＝－cos B>0，
所以cos B<0，角B为钝角，
则△ABC一定是钝角三角形．
故选C．]
3．A　[设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，
因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝－17，
所以22－2×3cos θ－2×32＝－17，
解得cos θ＝，因为θ∈[0，π]，所以θ＝．
故选A．]
4．ABD　[由题意可知，＝(3，1)，＝(2，4)，＝(－4，2)，＝(－3，－1)，
||＝＝2，A正确；
＝－4×2＋2×4＝0，则⊥，B正确；
cos〈〉＝
＝，又0°≤〈〉≤180°，则向量的夹角为45°，C错误；
＝－∥，D正确．
故选ABD．]
5．(，3)　[设向量a，b的夹角为θ，因为向量a，b的夹角为锐角，所以0所以c2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝5＋4cos θ∈(5，9)，所以|c|∈(，3)．]
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第五章　平面向量、复数
第41课时　平面向量的数量积及其应用
[考试要求]　1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．
理法先行·题练固本
知识点1　平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量________________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝________________．
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0．
|a||b|cos θ
|a||b|cos θ
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e．
知识点2　平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2．
(2)模：|a|＝．
(3)夹角：cos θ＝＝．
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0．
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ ．
知识点3　平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[常用结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．
2．有关向量夹角的两个结论
两个向量a，b的夹角为锐角 a·b>0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角 a·b<0且a，b不共线．
1．(人教A版必修第二册P22练习T1)已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，向量a与b的夹角为，向量b与c的夹角为，则(a·b)c＝______________；a(b·c)＝______________．
c　3a　[(a·b)c＝|a||b|cosc＝1×2×c＝c，a(b·c)＝a·|b||c|cos＝2×3×a＝3a．]
c
3a　
2．(人教A版必修第二册P35例11改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，a，b的夹角为θ，则cos θ＝______________．
－　[cos θ＝＝＝－．]
－　
3．(苏教版必修第二册P47复习题T12改编)已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若(a＋kb)⊥(a－kb)，则实数k＝________．
±　[由题意知(a＋kb)·(a－kb)＝a2－k2b2＝9－16k2＝0，
解得k＝±．]
±　
4．(北师大版必修第二册P113练习T2(2))已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则(2a－b)·(a＋3b)＝______________．
84　[(2a－b)·(a＋3b)＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×36＋5×6×4×－3×16＝84．]
84　
考点深研·题型突破
考点一　平面向量的数量积的运算
[典例1]　(1)(2025·衡阳期末)已知a＝(1，1)，b＝(－1，2)，则a在b上的投影向量是(　　)
A． B．
C． D．
√
(2)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则＝(　　)
A． B．3
C．2 D．5
(3)(2025·柳州月考)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为，则(a＋b)·b＝______________．
√
6
(1)B　(2)B　(3)6　[(1)因为a＝(1，1)，b＝(－1，2)，
则a·b＝－1＋2＝1，|b|＝，
则a在b上的投影向量是b＝b＝．
故选B．
(2)法一：由题意知，＝－＝||2－|2，由题意知||＝||＝2，所以＝4－1＝3．故选B．
法二：以点A为坐标原点，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则 E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，所以＝(1，2)，＝(－1，2)，所以＝－1＋4＝3．故选B．
(3)由题意，a与b的夹角为，|a|＝5，|b|＝4，
则(a＋b)·b＝a·b＋b2
＝5×4×＋42＝6．]
思维建模：1．基底法求数量积模型
第1步　选基底：选择两个已知夹角的向量作为基底；
第2步　分解：用基底表示向量；
第3步　计算：根据数量积的运算性质计算．
2．直角建系模型(几何图形中向量相关计算)
第1步　建系：利用垂直关系建系；
第2步　写坐标：根据条件求出各点或向量的坐标；
第3步　计算：利用坐标计算求值．
【教用·通性通法】
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a·b＝x1x2＋y1y2．
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
【教用·备选题】
1．(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝(　　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
√
B　[由题意知，a－b＝(－1，1)，所以a·(a－b)＝(0，1)·(－1，1)＝1．故选B．]
2．(2025·天津卷)△ABC中，D为AB中点，，＝a，＝b，则＝______________(用a，b表示)；若||＝5，AE⊥CB，则＝______________．
a＋b　
－15
a＋b　－15　[)＝a＋b．
法一：∵||＝5，∴25＝，即900＝a2＋16b2＋8a·b，①易得＝b－a，
∵AE⊥CB，∴＝0，即·(b－a)＝0，得4b2－a2－3a·b＝0，②由①②得2 700＝80b2－5a2，
∴16b2－a2＝540，∴(a2－8b2＋2a·b)＝(a2－16b2)＝×(－540)＝－15．
法二：如图，延长AE交BC于点O，则AO⊥BC，以OC，OA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设E(0，h)，B(n，0)，C(m，0)，则A(0，h＋5)，D，∴＝
(－m，h)，∵＝3，∴－m＝－3m，＝3h，
即n＝－4m，h＝1，
∴＝(－3m，3)，又＝(0，1)－(0，6)＝(0，－5)，∴＝－15．
法三：＝a－b，a－b，从而a＋b＝(a＋4b)＝[6(a－b)－5(a－2b)]＝·()＝
－|2＝－15．]
考点二　数量积的应用
考向1　向量的模
[典例2]　(1) (2024· 新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　)
A． B．
C． D．1
√
(2)已知向量a＝(3－m，3)，b＝(2，m＋4)，若|a－3b|＝|a＋3b|，则实数m＝(　　)
A．3 B．6
C．－6 D．－18
√
(1)B　(2)D　[(1)因为(b－2a)⊥b，
所以(b－2a)·b＝0，
即b2＝2a·b，
又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，所以|b|＝．故选B．
(2)因为|a－3b|＝|a＋3b|，
所以两边同时平方可得a2－6a·b＋9b2＝a2＋6a·b＋9b2，所以a·b＝0，
因为a＝(3－m，3)，b＝(2，m＋4)，
所以a·b＝2(3－m)＋3(m＋4)＝m＋18＝0，
解得m＝－18．
故选D．]
通性通法：求平面向量的模的方法
(1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
(2)几何法：利用向量的几何意义．
考向2　向量的夹角
[典例3]　(1)(2025·青岛月考)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且|2b－a|＝，则cos〈a，b〉＝(　　)
A． B．
C． D．
√
(2)(2025·天津和平区期末)已知向量a＝(1，－3)，b＝(x，－1)，若a－b与b的夹角为锐角，则实数x的取值范围为(　　)
A．(－2，1)
B．(－1，2)
C．
D．
√
(1)C　(2)C　[(1)因为|2b－a|＝，
所以两边同时平方得|2b－a|2＝(2b－a)2＝4|b|2＋|a|2－4a·b＝15，又因为|a|＝1，|b|＝2，
所以16＋1－4a·b＝15，得a·b＝，
所以cos〈a，b〉＝．
故选C．
(2)由已知得a－b＝(1－x，－2)．
由于向量a－b与b的夹角为锐角，所以(a－b)·b>0，且a－b与b不共线，
则(1－x)x＋2>0，且－2x≠x－1，
解得x∈，
即x的取值范围为．
故选C．]
通性通法：求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝；(2)坐标法．
考向3　向量的垂直
[典例4]　(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝______________．
　[法一：因为a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，
所以a－b＝(1，1－2x)，又a⊥(a－b)，
所以a·(a－b)＝x＋1－2x＝0，解得x＝1，
所以a＝(1，1)，
则|a|＝．
法二：由a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝0，即a2＝a·b，将a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)代入，得x2＋1＝x(x－1)＋2x，解得x＝1，所以a＝(1，1)，则|a|＝．]
[考题探源]
1．(人教A版必修第二册P60复习参考题6T8)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)．当λ为何值时，a＋λb与a垂直？
[解]　因为a＝(1，0)，b＝(1，1)，所以a＋λb＝(1＋λ，λ)，
因为(a＋λb)⊥a，所以(a＋λb)·a＝1＋λ＝0，
解得λ＝－1．
2．(湘教版必修第二册P40习题1.5T8)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，求实数λ的值．
[解]　因为m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，
所以m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，
因为(m＋n)⊥(m－n)，
所以(m＋n)·(m－n)＝－(2λ＋3)－3＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3．
【教用·备选题】
1．(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　)
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
√
D　[因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1．
故选D．]
2．(2023·全国甲卷)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
√
D　[∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式两边同时平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0．
法一(运用两向量的夹角公式求解)：∵a－c＝a－(－a－b)＝2a＋b，b－c＝b－(－a－b)＝a＋2b，∴(a－c)·(b－c)＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且|a－c|＝|2a＋b|＝，|b－c|＝|a＋2b|＝＝，∴cos〈a－c，b－c〉＝＝，故选D．
法二(数形结合法)：如图，令＝a，＝b，则＝c，∴＝a－c，＝b－c，而|AB|＝，|AC|＝|BC|＝，在△ABC中，由余弦定理的推论得cos〈a－c，b－c〉＝cos〈〉＝cos∠ACB＝，故选D．
法三(坐标法)：如图(图同法二)，令向量a，b的起点均为O，终点分别为A，B，以分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝－a－b＝(－1，－1)，∴a－c＝(2，1)，
b－c＝(1，2)，
则cos〈a－c，b－c〉＝＝，故选D．]
教材拓展6　极化恒等式
在△ABC中，若O是边BC的中点，则＝||2－||2＝||2－|2．
[典例5]　阅读下面一段文字：(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，两式相减得(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
(1)若AD＝BC＝3，求的值；
(2)若＝27，＝－5，
求的值．
[解]　(1) 由极化恒等式知＝9－．
(2)设||＝3m>0，||＝2n>0．因为＝27，所以由极化恒等式知＝9m2－n2＝27．因为＝－5，由极化恒等式知＝m2－n2＝－5，所以解得m＝2，n＝3，所以＝4m2－n2＝7．
1．(链接考向3)(2025·敦煌市期末)已知向量a＝(3，1)，b＝(－2，2)，若a⊥(a＋λb)，则实数λ＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
√
B　[因为a＝(3，1)，b＝(－2，2)，
所以a＋λb＝(3－2λ，1＋2λ)，因为a⊥(a＋λb)，
所以a·(a＋λb)＝3×(3－2λ)＋1×(1＋2λ)＝10－4λ＝0，解得λ＝．故选B．]
2．(链接考点一)(2025·保定期中)在△ABC中，>0，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
√
C　[在△ABC中，>0，
根据平面向量数量积公式可得||||·cos(π－B)>0，
即cos(π－B)＝－cos B>0，
所以cos B<0，角B为钝角，
则△ABC一定是钝角三角形．
故选C．]
3．(链接考向2)(2025·南京期末)已知|a|＝2，|b|＝3，(a＋b)·(a－2b)＝－17，则a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
√
A　[设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，
因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝－17，
所以22－2×3cos θ－2×32＝－17，
解得cos θ＝，因为θ∈[0，π]，所以θ＝．
故选A．]
4．(链接考点二)(多选)(2025·毕节市期末)已知A(－2，1)，B(1，2)，C(0，5)，D(－3，4)，则(　　)
A．||＝2
B．⊥
C．与的夹角为60°
D．∥
√
√
√
ABD　[由题意可知，＝(3，1)，＝(2，4)，＝(－4，2)，＝(－3，－1)，
||＝＝2，A正确；
＝－4×2＋2×4＝0，则⊥，B正确；
cos〈〉＝，又0°≤〈〉≤180°，则向量的夹角为45°，C错误；
＝－∥，D正确．
故选ABD．]
5．(链接考向1)(2025·鹤壁二模)已知向量a，b的夹角为锐角，且满足|a|＝|b|＝1，c＝a＋2b，则向量c的模的取值范围是______________．
(，3)　[设向量a，b的夹角为θ，因为向量a，b的夹角为锐角，所以0所以c2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝5＋4cos θ∈(5，9)，所以|c|∈(，3)．]
(，3)　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(湘教版必修第二册P39练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b的夹角的余弦值为(　　)
A．　　 B．　　 C．　　 D．
课时作业(四十一)　平面向量的数量积及其应用
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[因为|a|＝＝5，|b|＝＝13，
a·b＝3×5＋4×12＝63，
设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝．]
√
2．(2025·重庆期中)已知向量a＝(1，－1)，b＝(－2，3)，c＝(1，1)，则(a＋b)·c＝(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．－2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[∵向量a＝(1，－1)，b＝(－2，3)，c＝(1，1)，
∴a＋b＝(－1，2)，
∴(a＋b)·c＝(－1，2)·(1，1)＝－1×1＋2×1＝1．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．已知向量a＝(m，1)，b＝(0，3)，且a⊥(a－b)，则实数m＝(　　)
A． B．2
C．± D．±2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[因为a＝(m，1)，b＝(0，3)，
所以|a|＝，a·b＝m×0＋1×3＝3．
因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0，
即a2－a·b＝m2＋1－3＝0，解得m＝±．故选C．]
√
4．(2025·秦皇岛模拟)已知向量a，b满足a·b＝－5|b|，b＝(3，4)，则a在b上的投影向量为(　　)
A．(－3，－4) B．(3，4)
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[因为b＝(3，4)，所以|b|＝＝5，
所以a在b上的投影向量的坐标为b＝b＝－b＝(－3，－4)．
故选A．]
√
5．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，2)，若(2a－b)⊥a，则|a－b|的值为(　　)
A．4 B．5
C．3 D．4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[向量a＝(2，－1)，b＝(x，2)，
则2a－b＝(4－x，－4)，
又(2a－b)⊥a，
则(2a－b)·a＝8－2x＋4＝0，解得x＝6，
即b＝(6，2)，可得a－b＝(－4，－3)，
所以|a－b|＝＝5．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2025·大连期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m，若AC＝3，AB＝2，则＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为＝2，
设＝k(0≤k≤1)，
则＝k(－k＝m，
则(m－1)＝k，
故
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
解得k＝，m＝，
因为AC＝3，AB＝2，∠BAC＝，
则·()＝×3×2＝－．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(2025·牡丹江期末)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，下列说法错误的是(　　)
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABC　[对于A，为相反向量，故A错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
对于B，由正六边形的性质知AD平分等边
△ACE的内角∠EAC交EC于H，
所以＝2，
在Rt△EDH，Rt△AEH中，||＝|＝3||，∠DEH＝∠EAH＝，
所以||＝4||＝|，所以，故B错误；
对于C，因为＝－＝－，故C错误；
对于D，由正六边形的性质知∠ABD＝，故D正确．
故选ABC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(2025·泉州期中)若向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，则下列说法正确的是(　　)
A．|a＋b|＝|a－2b|
B．a－b与b平行
C．a＋2b在a上的投影向量为a
D．sin〈a，b〉＝
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ACD　[对于A，a＋b＝(3，0)，则|a＋b|＝3，a－2b＝(0，3)，则|a－2b|＝3，
所以|a＋b|＝|a－2b|，故A正确；
对于B，a－b＝(1，2)，又b＝(1，－1)，
则，所以a－b与b不平行，故B错误；
对于C，a＋2b＝(4，－1)，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
又|a|＝，a·(a＋2b)＝4×2＋(－1)×1＝7，
故投影向量为a，故C正确；
对于D，由题可得cos〈a，b〉＝，
又〈a，b〉∈[0，π]，
所以sin〈a，b〉＝，故D正确．
故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
9．(2025·三明市三元区期末)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋2b|＝，下列说法中正确的有(　　)
A．a·b＝－1 B．(a＋b)⊥(a－b)
C．|a－2b|＝ D．a与b的夹角为
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
AC　[由|a|＝1，|b|＝2，|a＋2b|＝，
可得|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝13，
将|a|＝1，|b|＝2代入，可得a·b＝－1，故A正确；
因为(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝－3≠0，故B错误；
由|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝21，
可得|a－2b|＝，故C正确；
设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝－1，
故cos θ＝－，又0≤θ≤π，则θ＝，故D错误．故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
10．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11　
11　[设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cos θ＝，
又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cos θ＝1×3×＝1，
所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2　[由题意得，a·b＝|a||b|cos 60°＝1，|a＋2b|＝＝2．]
2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(2025·秦皇岛山海关区模拟)已知a＝(4，－3)，b＝(0，－2)，c＝a－tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则实数t的值是___________．
－　[因为a＝(4，－3)，b＝(0，－2)，
则a－tb＝(4，－3)－(0，－2t)＝(4，2t－3)，|a|＝＝5，|b|＝＝2，
a·c＝16－3(2t－3)＝25－6t，b·c＝－2(2t－3)＝6－4t，
若〈a，c〉＝〈b，c〉，
则＝，即＝，解得t＝－．]
－　
谢谢！课时作业(四十一)　平面向量的数量积及其应用
一、单项选择题
1．(湘教版必修第二册P39练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b的夹角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
2．(2025·重庆期中)已知向量a＝(1，－1)，b＝(－2，3)，c＝(1，1)，则(a＋b)·c＝(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．－2
3．已知向量a＝(m，1)，b＝(0，3)，且a⊥(a－b)，则实数m＝(　　)
A． B．2
C．± D．±2
4．(2025·秦皇岛模拟)已知向量a，b满足a·b＝－5|b|，b＝(3，4)，则a在b上的投影向量为(　　)
A．(－3，－4) B．(3，4)
C． D．
5．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，2)，若(2a－b)⊥a，则|a－b|的值为(　　)
A．4 B．5
C．3 D．4
6．(2025·大连期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝＝2，P为CD上一点，且满足＝m，若AC＝3，AB＝2，则＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
二、多项选择题
7．(2025·牡丹江期末)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，下列说法错误的是(　　)
A．＝　　　　　　　　B．＝
C．＝ D．在上的投影向量为
8．(2025·泉州期中)若向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，则下列说法正确的是(　　)
A．|a＋b|＝|a－2b| B．a－b与b平行
C．a＋2b在a上的投影向量为a D．sin 〈a，b〉＝
9．(2025·三明市三元区期末)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋2b|＝，下列说法中正确的有(　　)
A．a·b＝－1 B．(a＋b)⊥(a－b)
C．|a－2b|＝ D．a与b的夹角为
三、填空题
10．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________．
11．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
12．(2025·秦皇岛山海关区模拟)已知a＝(4，－3)，b＝(0，－2)，c＝a－tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则实数t的值是________．
课时作业(四十一)
1．A　[因为|a|＝＝5，|b|＝＝13，a·b＝3×5＋4×12＝63，
设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝．]
2．A　[∵向量a＝(1，－1)，b＝(－2，3)，c＝(1，1)，
∴a＋b＝(－1，2)，
∴(a＋b)·c＝(－1，2)·(1，1)＝－1×1＋2×1＝1．
故选A．]
3．C　[因为a＝(m，1)，b＝(0，3)，
所以|a|＝，a·b＝m×0＋1×3＝3．
因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0，
即a2－a·b＝m2＋1－3＝0，
解得m＝±．故选C．]
4．A　[因为b＝(3，4)，所以|b|＝＝5，
所以a在b上的投影向量的坐标为b＝b＝－b＝(－3，－4)．
故选A．]
5．B　[向量a＝(2，－1)，b＝(x，2)，
则2a－b＝(4－x，－4)，又(2a－b)⊥a，
则(2a－b)·a＝8－2x＋4＝0，解得x＝6，
即b＝(6，2)，可得a－b＝(－4，－3)，
所以|a－b|＝＝5．
故选B．]
6．D　[因为＝2，
设＝k(0≤k≤1)，
则＝k(－k＝m，
则(m－1)＝k，
故解得k＝，m＝，
因为AC＝3，AB＝2，∠BAC＝，
则·()＝×3×2×＝－．故选D．]
7．ABC　[对于A，为相反向量，故A错误；
对于B，由正六边形的性质知AD平分等边△ACE的内角∠EAC交EC于H，
所以＝2，
在Rt△EDH，Rt△AEH中，||＝||＝3||，∠DEH＝∠EAH＝，
所以||＝4||＝||，所以，故B错误；
对于C，因为＝－＝－，故C错误；
对于D，由正六边形的性质知∠ABD＝，故D正确．
故选ABC．]
8．ACD　[对于A，a＋b＝(3，0)，则|a＋b|＝3，a－2b＝(0，3)，则|a－2b|＝3，
所以|a＋b|＝|a－2b|，故A正确；
对于B，a－b＝(1，2)，又b＝(1，－1)，
则≠，所以a－b与b不平行，故B错误；
对于C，a＋2b＝(4，－1)，
又|a|＝，a·(a＋2b)＝4×2＋(－1)×1＝7，
故投影向量为a，故C正确；
对于D，由题可得cos〈a，b〉＝，
又〈a，b〉∈[0，π]，
所以sin〈a，b〉＝，故D正确．故选ACD．]
9．AC　[由|a|＝1，|b|＝2，|a＋2b|＝，
可得|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝13，
将|a|＝1，|b|＝2代入，可得a·b＝－1，故A正确；
因为(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝－3≠0，故B错误；
由|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝21，
可得|a－2b|＝，故C正确；
设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝－1，
故cos θ＝－，又0≤θ≤π，则θ＝，故D错误．故选AC．]
10.11　[设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cos θ＝，
又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cos θ＝1×3×＝1，
所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11．]
11.2　[由题意得，a·b＝|a||b|cos 60°＝1，|a＋2b|＝＝
＝2．]
12．－　[因为a＝(4，－3)，b＝(0，－2)，
则a－tb＝(4，－3)－(0，－2t)＝(4，2t－3)，|a|＝＝5，|b|＝＝2，
a·c＝16－3(2t－3)＝25－6t，
b·c＝－2(2t－3)＝6－4t，
若〈a，c〉＝〈b，c〉，
则，解得t＝－．]
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