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第42课时　平面向量的应用
[考试要求]　1．能用平面向量的知识解决一些平面几何问题和实际问题．2．能用平面向量的知识解决和向量有关的范围、最值问题．
知识点　平面几何中的向量方法
用向量解决几何问题的步骤：
(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
[常用结论]
1．给出λ＝，等价于已知MP是∠AMB的平分线．
2．在 ABCD中，给出()·()＝0，等价于已知 ABCD是菱形；给出||＝||，等价于已知 ABCD是矩形．
1．(人教A版必修第一册P52习题6.4T1改编)在△ABC中，若＝0，则△ABC是(　　)
A．C为钝角的三角形
B．B为直角的直角三角形
C．A为直角的直角三角形
D．锐角三角形
2．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则＝________．
考点一　平面向量在几何中的应用
[典例1]　在△ABC中，AC＝9，A＝60°，D点满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　)
A．3 B．3
C．3 D．6
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[多维变迁]
如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED的长为________．
通性通法：用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
考点二　平面向量的实际应用
[典例2]　(1)(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．如表中给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　)
级数 名称 风速大小(单位：m/s)
2 轻风 1.6～3.3
3 微风 3.4～5.4
4 和风 5.5～7.9
5 劲风 8.0～10.7
A．轻风 B．微风
C．和风 D．劲风
(2)(多选)(2025·东莞市月考)在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，则下列结论中正确的是(　　)
A．|F1|＝
B．θ越小越费力，θ越大越省力
C．当θ＝时，|F1|＝|G|
D．θ的范围为[0，π]
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通性通法：用向量方法解决实际问题的步骤
考点三　与向量有关的最值(范围)问题
　与平面向量基本定理有关的最值
(范围)问题
[典例3]　(2025·上海黄浦区月考)已知在△ABC中，E为AC的中点，D是线段BE上的动点，若＝x＋y，则的最小值为________．
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　与数量积有关的最值(范围)问题
[典例4]　(2025·鹰潭期末)蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设P为图中7个正六边形(边长为1)内部或边界上的点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是(　　)
A．[0，18] B．[－2，18]
C．[0，16] D．[－2，2]
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　与模有关的最值(范围)问题
[典例5]　(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy中，||＝||＝，||＝2，设C(3，4)，则|2|的取值范围是(　　)
A．[6，14] B．[6，12]
C．[8，14] D．[8，12]
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通性通法：向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围)．
(2)利用基本不等式求最值(范围)．
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．
三角形的四心
1．三角形“四心”的概念
(1)重心——三角形的三条中线的交点；
(2)垂心——三角形的三条高线的交点；
(3)内心——三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；
(4)外心——三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．
2．三角形的“四心”的向量形式
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心 ||＝||＝||＝．
(2)O为△ABC的重心 ＝0．
(3)O为△ABC的垂心 ＝＝．
(4)O为△ABC的内心 a＋b＋c＝0．
[典例6]　(2025·南阳期中)已知＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
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1．(链接考点一)(人教A版必修第二册P52习题6.4T1改编)若O为△ABC所在平面内任一点，满足()·(－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．(链接考点二)(湘教版必修第二册P56例4改编)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为(　　)
A．6 N B．2 N
C．2 N D．2 N
3．(链接考向2)(2025·耒阳市月考)已知向量a＝(－5，m)，b＝(－2，3)，且a，b的夹角为锐角，则实数m的取值范围为(　　)
A．
B．
C．
D．
4．(链接考向3)(2025·北京期末)已知圆O的半径为13，PQ和MN是圆O的两条动弦，若||＝10，||＝24，则||的最大值是(　　)
A．17 B．20
C．34 D．48
5．(链接考向1)(2025·济南月考)在△ABC中，＝，E是线段AD上的动点(与端点不重合)，设＝x＋y，则的最小值是________．
第42课时　平面向量的应用
理法先行·题练固本
链教材·夯基固本
1．C　[因为·()＝＝0，所以⊥，所以A＝．故选C．]
2.8　[取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，＝||||·cos∠BAC＝||||
＝||2＝8．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　A　[因为＝2，
所以)＝．
设AB＝x，则，
即37＝x2＋×x×9cos 60°＋×92，
即2x2＋9x－126＝0，
因为x>0，
故解得x＝6(负值舍去)，即AB＝6，
所以||＝||
＝
＝＝3．]
多维变迁
　　[以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，)，C(3，)，D(3，0)，＝(3，)，
设＝λ，则E的坐标为(3λ，λ)，
故＝(3λ，λ－)．
因为BE⊥AC，所以＝0，
即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，
所以E，
故，||＝，
即ED＝．]
考点二
典例2　(1)A　(2)AC　[(1)如图，真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应的向量＝，||＝2∈(1.6，3.3)，故选A．
(2)如图所示，因为|F1|＝|F2|，所以平行四边形ABCD为菱形，故|F1|cos|G|，即|F1|＝，故A正确；
由A项解析知，θ越小越省力，θ越大越费力，故B错误；
当θ＝时，∠ABD＝，又AB＝AD，所以△ABD为等边三角形，即|F1|＝|G|，故C正确；
若θ＝π，则F1＋F2＝0，与F1＋F2＝G矛盾，所以θ≠π，故D错误．
故选AC．]
考点三
考向1　典例3　8[如图，因为＝x＋y，E为AC的中点，
所以＝x＋2y，
因为B，E，D三点共线，
所以x＋2y＝1(x>0，y>0)，
所以＝(x＋2y)＝4＋≥4＋2＝8，
当且仅当，即x＝，y＝的最小值为8．]
考向2　典例4　B　[因为P为图中7个正六边形(边长为1)内部或边界上的点，
A，B为两个固定顶点，
所以＝||||cos〈〉＝4||cos〈〉．
当点P与点E或点F重合时，
||cos〈〉最小，
最小值为1×cos 120°＝－；
当点P与点G或点H重合时，||cos〈〉最大，
最大值为4＋1×cos 60°＝，
所以－2≤4||cos〈〉≤18，
则的取值范围是[－2，18]．
故选B．]
考向3　典例5　D　[由||＝||＝，||＝2，可知⊥，
故点A，B在以O为圆心，为半径的圆上，
取AB的中点H，可知|OH|＝1，
所以点H在以O为圆心，1为半径的圆上，
则|2|2＝4＋4
＝4·()＋4＝4＋4
＝4()·()＋4
＝4()＋4
＝4(－1)＋4＝4，
所以|2|＝2||，
又|||－1|≤||≤||＋1，||＝＝5，
则4≤||≤6，故8≤2||≤12，
即|2|的取值范围是[8，12]．
故选D．]
教材拓展7
典例6　B　[∵方向相同的单位向量，
∴设，
则||＝||＝1，
以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，可得，
∴四边形ADFE是菱形，可得AF平分∠BAC．
又∵＋λ，λ∈[0，＋∞)，
∴＝λ＝λ，可得点P在射线AF上运动．
由于△ABC的内心在∠BAC的平分线上，所以点P的轨迹一定经过△ABC的内心．
故选B．]
随堂·对点检测
1．A　[∵()·(－2)＝0，
∴·()＝0，
∴⊥()，
∴△ABC的边BC上的中线和边BC垂直，
∴△ABC是等腰三角形．故选A．]
2．D　[由题意，知F1＋F2＋F3＝0，即F3＝－(F1＋F2)，所以＝(F1＋F2)2＝＋2F1·F2＝4＋16＋16cos 60°＝28，
即|F3|＝2 N．故选D．]
3．A　[因为a＝(－5，m)，b＝(－2，3)，且a，b的夹角为锐角，
则a·b＝10＋3m>0，解得m>－．
当a，b共线时，－2×m＝－5×3，解得m＝，
此时a＝，b＝(－2，3)，满足a＝b，此时两向量夹角为0，
于是当a，b的夹角为锐角时，m∈∪．
故选A．]
4．C　[如图，连接MO，OP，OQ，ON，作PQ⊥OE，MN⊥OD，垂足分别为E，D，
则E，D分别是QP，MN的中点，
由勾股定理得OE＝＝12，OD＝＝5，
又
＝()－()＝2()，
故||＝2||≤2(||＋||)＝34，当共线且反向时等号成立，
所以||的最大值是34．
故选C．]
5.16　[因为，
因为＝x＋y，
所以＝x，
且A，D，E三点共线，则x＋＝1，x>0，y>0，
则
＝＋10≥2＋10＝16，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是16．]
1 / 6(共57张PPT)
第五章　平面向量、复数
第42课时　平面向量的应用
[考试要求]　1．能用平面向量的知识解决一些平面几何问题和实际问题．2．能用平面向量的知识解决和向量有关的范围、最值问题．
理法先行·题练固本
知识点　平面几何中的向量方法
用向量解决几何问题的步骤：
(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
[常用结论]
1．给出λ，等价于已知MP是∠AMB的平分线．
2．在 ABCD中，给出()·()＝0，等价于已知 ABCD是菱形；给出||＝||，等价于已知 ABCD是矩形．
1．(人教A版必修第一册P52习题6.4T1改编)在△ABC中，若＝0，则△ABC是(　　)
A．C为钝角的三角形
B．B为直角的直角三角形
C．A为直角的直角三角形
D．锐角三角形
√
C　[因为·()＝＝0，所以⊥，所以A＝．故选C．]
2．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在☉C中，弦AB的长度为4，则＝______________．
8　[取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，＝||||·cos∠BAC＝||||＝|2＝8．]
8　
考点深研·题型突破
考点一　平面向量在几何中的应用
[典例1]　在△ABC中，AC＝9，A＝60°，D点满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　)
A．3 B．3
C．3 D．6
√
A　[因为＝2，
所以)＝．
设AB＝x，则，
即37＝x2＋×x×9cos 60°＋×92，
即2x2＋9x－126＝0，
因为x>0，故解得x＝6(负值舍去)，
即AB＝6，
所以||＝||＝
＝＝3．]
[多维变迁]
如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED的长为______________．
　
　[以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，)，C(3，)，D(3，0)，＝(3，)，
设＝λ，则E的坐标为(3λ，λ)，
故＝(3λ，λ－)．
因为BE⊥AC，所以＝0，
即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，所以E，
故，||＝，即ED＝．]
通性通法：用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题 向量问题 解决向量问题
解决几何问题．
考点二　平面向量的实际应用
[典例2]　(1)(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．如表中给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　)
A．轻风 B．微风
C．和风 D．劲风
级数 名称 风速大小(单位：m/s)
2 轻风 1.6～3.3
3 微风 3.4～5.4
4 和风 5.5～7.9
5 劲风 8.0～10.7
√
(2)(多选)(2025·东莞市月考)在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，则下列结论中正确的是(　　)
A．|F1|＝
B．θ越小越费力，θ越大越省力
C．当θ＝时，|F1|＝|G|
D．θ的范围为[0，π]
√
√
(1)A　(2)AC　[(1)如图，真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应的向量＝，||＝2∈(1.6，3.3)，故选A．
(2)如图所示，因为|F1|＝|F2|，所以平行四边形ABCD为菱形，故|F1|cos|G|，即|F1|＝，故A正确；
由A项解析知，θ越小越省力，θ越大越费力，故B错误；
当θ＝时，∠ABD＝，又AB＝AD，所以
△ABD为等边三角形，即|F1|＝|G|，故C正确；
若θ＝π，则F1＋F2＝0，与F1＋F2＝G矛盾，
所以θ≠π，故D错误．
故选AC．]
通性通法：用向量方法解决实际问题的步骤
考点三　与向量有关的最值(范围)问题
考向1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
[典例3]　(2025·上海黄浦区月考)已知在△ABC中，E为AC的中点，D是线段BE上的动点，若＝x＋y，则的最小值为______________．
8　
8　[如图，因为＝x＋y，E为AC的中点，
所以＝x＋2y，
因为B，E，D三点共线，
所以x＋2y＝1(x>0，y>0)，
所以＝(x＋2y)＝4＋≥4＋2＝8，
当且仅当，即x＝，y＝时等号成立，
故的最小值为8．]
考向2　与数量积有关的最值(范围)问题
[典例4]　(2025·鹰潭期末)蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设P为图中7个正六边形(边长为1)内部或边界上的点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是(　　)
A．[0，18] B．[－2，18]
C．[0，16] D．[－2，2]
√
B　[因为P为图中7个正六边形(边长为1)内部或边界上的点，
A，B为两个固定顶点，
所以＝||||cos〈〉＝4||cos〈〉．
当点P与点E或点F重合时，||cos〈〉最小，
最小值为1×cos 120°＝－；
当点P与点G或点H重合时，||cos〈〉最大，
最大值为4＋1×cos 60°＝，
所以－2≤4||cos〈〉≤18，
则的取值范围是[－2，18]．
故选B．]
考向3　与模有关的最值(范围)问题
[典例5]　(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy中，||＝||＝，||＝2，设C(3，4)，则|2|的取值范围是(　　)
A．[6，14] B．[6，12]
C．[8，14] D．[8，12]
√
D　[由||＝||＝，||＝2，可知⊥，
故点A，B在以O为圆心，为半径的圆上，
取AB的中点H，可知|OH|＝1，
所以点H在以O为圆心，1为半径的圆上，
则|2|2＝4＋4
＝4·()＋4＝4＋4
＝4()·()＋4
＝4()＋4
＝4(－1)＋4＝4，
所以|2|＝2||，
又|||－1|≤||≤||＋1，||＝＝5，
则4≤||≤6，故8≤2||≤12，
即|2|的取值范围是[8，12]．
故选D．]
通性通法：向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围)．
(2)利用基本不等式求最值(范围)．
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．
教材拓展7　三角形的四心
1．三角形“四心”的概念
(1)重心——三角形的三条中线的交点；
(2)垂心——三角形的三条高线的交点；
(3)内心——三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；
(4)外心——三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．
2．三角形的“四心”的向量形式
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心 ||＝||＝||＝．
(2)O为△ABC的重心 ＝0．
(3)O为△ABC的垂心 ．
(4)O为△ABC的内心 a＋b＋c＝0．
[典例6]　(2025·南阳期中)已知＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
√
B　[∵方向相同的单位向量，
∴设，
则||＝||＝1，
以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，可得，
∴四边形ADFE是菱形，可得AF平分∠BAC．
又∵＋λ，λ∈[0，＋∞)，
∴＝λ＝λ，可得点P在射线AF上运动．
由于△ABC的内心在∠BAC的平分线上，所以点P的轨迹一定经过△ABC的内心．
故选B．]
1．(链接考点一)(人教A版必修第二册P52习题6.4T1改编)若O为△ABC所在平面内任一点，满足()·(－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
√
A　[∵()·(－2)＝0，
∴·()＝0，
∴⊥()，
∴△ABC的边BC上的中线和边BC垂直，
∴△ABC是等腰三角形．故选A．]
2．(链接考点二)(湘教版必修第二册P56例4改编)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为(　　)
A．6 N B．2 N
C．2 N D．2 N
√
D　[由题意，知F1＋F2＋F3＝0，即F3＝－(F1＋F2)，所以＝(F1＋F2)2＝＋2F1·F2＝4＋16＋16cos 60°＝28，即|F3|＝2 N．故选D．]
3．(链接考向2)(2025·耒阳市月考)已知向量a＝(－5，m)，b＝(－2，3)，且a，b的夹角为锐角，则实数m的取值范围为(　　)
A．
B．
C．
D．2
√
A　[因为a＝(－5，m)，b＝(－2，3)，且a，b的夹角为锐角，
则a·b＝10＋3m>0，解得m>－．
当a，b共线时，－2×m＝－5×3，解得m＝，
此时a＝，b＝(－2，3)，满足a＝b，此时两向量夹角为0，
于是当a，b的夹角为锐角时，m∈．
故选A．]
4．(链接考向3)(2025·北京期末)已知圆O的半径为13，PQ和MN是圆O的两条动弦，若||＝10，||＝24，则||的最大值是
(　　)
A．17
B．20
C．34
D．48
√
C　[如图，连接MO，OP，OQ，ON，作PQ⊥OE，MN⊥OD，垂足分别为E，D，
则E，D分别是QP，MN的中点，
由勾股定理得OE＝＝12，OD＝＝5，
又
＝()－()＝2()，
故||＝2||≤2(||＋||)＝34，
当共线且反向时等号成立，
所以||的最大值是34．
故选C．]
5．(链接考向1)(2025·济南月考)在△ABC中，，E是线段AD上的动点(与端点不重合)，设＝x＋y，则的最小值是______________．
16
16　[因为，
所以，
因为＝x＋y，
所以＝x，
且A，D，E三点共线，则x＋＝1，x>0，y>0，
则＋10≥2＋10＝16，
当且仅当
即时，等号成立，
所以的最小值是16．]
题号
1
3
5
2
4
6
一、单项选择题
1．(2025·怀化期末)河水的流速为2 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以8 m/s的速度驶向对岸，则小船实际航行的速度大小为(　　)
A．8 m/s B．2 m/s
C．2 m/s D．10 m/s
√
课时作业(四十二)　平面向量的应用
题号
1
3
5
2
4
6
B　[设水流速度为v1，船在静水中的速度为v2，实际行驶速度v＝v1＋v2，
根据题意，可得|v1|＝2，|v|＝8，且v1⊥v，
所以|v2|＝＝2 m/s，
即小船实际航行的速度大小为2 m/s．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
2．(2025·呼和浩特期末)青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑，图1是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图2中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的最小值是(　　)
A． B．2
C． D．3
√
题号
1
3
5
2
4
6
B　[连接AB，OM，如图，
则＝()·()＝()·()＝－1，
根据图形知，当点M位于正六边形各边的中点时，此时|MO|取得最小值为，||2－1取得最小值为2，
所以的最小值是2．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
3．(2025·盐城期末)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m，若△ABC的面积为，则||的最小值为(　　)
A． B．
C．1 D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
A　[∵△ABC的面积为，
∴|||sin∠BAC＝|||sin|||＝，
∴||||＝4，
∴＝||||cos∠BAC＝4cos＝2，
∵＝2，∴，
由＝m＝m，
∵C，P，D三点共线，∴m＋＝1，
题号
1
3
5
2
4
6
解得m＝．
∴||2＝≥2×|×|＋，
当且仅当||＝2||时取等号，
∴||min＝．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
二、多项选择题
4．设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有(　　)
A．若)，则点D是边BC的中点
B．若，则直线AD过△ABC的垂心
C．若＝2，则点D在边BC的延长线上
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△BCD的面积是△ABC的面积的一半
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
ABD　[对于A，∵)，
即，
即点D是边BC的中点，故A正确；
对于B，
＝(－||＋||)＝0，即AD⊥BC，
故直线AD过△ABC的垂心，故B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
对于C，∵＝2，
即，
即点D在边CB的延长线上，故C错误；
对于D，∵＝x＋y，且x＋y＝，
设＝2，
则＝2＝2x＋2y，且2x＋2y＝1，
故M，B，C三点共线，且||＝2||，
即△BCD的面积是△ABC的面积的一半，故D正确．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
三、填空题
5．(2025·济南月考)如图，在△ABC中，＝2，＝m，＝n，m>0，n>0，若D，E，F三点共线，则m＋n的最小值为 ______________．
题号
1
3
5
2
4
6
　[由＝2＝2()，
即，
∵D，E，F三点共线，
∴＝1，
∴m＋n＝(m＋n)，
当且仅当m＝，n＝时取等号，
所以m＋n的最小值为．]
题号
1
3
5
2
4
6
6．在半径为1的扇形AOB中，若∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是______________．
－　
题号
1
3
5
2
4
6
－　[法一(极化恒等式)：如图1，取OB的中点D，连接PD，则＝||2－||2＝||2－，即求PD的最小值．
由图可知，当PD⊥AB时，PDmin＝，
则的最小值是－．
题号
1
3
5
2
4
6
法二(坐标法)：以OB所在的直线为x轴，过点A且垂直于OB的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，
则A，O，B，可得直线AB的方程为2x＋y＝1，设P，
所以＝4x2－3x＋＝4，
当x＝取得最小值－．]
谢谢！课时作业(四十二)　平面向量的应用
一、单项选择题
1．(2025·怀化期末)河水的流速为2 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以8 m/s的速度驶向对岸，则小船实际航行的速度大小为(　　)
A．8 m/s B．2 m/s
C．2 m/s D．10 m/s
2．(2025·呼和浩特期末)青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑，图1是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图2中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的最小值是(　　)
A． B．2
C． D．3
3．(2025·盐城期末)如图，在△ABC中，∠BAC＝＝2，P为CD上一点，且满足＝m，若△ABC的面积为，则||的最小值为(　　)
A． B．
C．1 D．
二、多项选择题
4．设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有(　　)
A．若＝)，则点D是边BC的中点
B．若＝，则直线AD过△ABC的垂心
C．若＝2，则点D在边BC的延长线上
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△BCD的面积是△ABC的面积的一半
三、填空题
5．(2025·济南月考)如图，在△ABC中，＝2＝m＝n，m＞0，n＞0，若D，E，F三点共线，则m＋n的最小值为 ________．
6．在半径为1的扇形AOB中，若∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是________．
课时作业(四十二)
1．B　[设水流速度为v1，船在静水中的速度为v2，实际行驶速度v＝v1＋v2，
根据题意，可得|v1|＝2，|v|＝8，且v1⊥v，
所以|v2|＝＝2 m/s，
即小船实际航行的速度大小为2 m/s．
故选B．]
2．B　[连接AB，OM，如图，
则＝()·()＝()·()＝－1，
根据图形知，当点M位于正六边形各边的中点时，此时|MO|取得最小值为，||2－1取得最小值为2，
所以的最小值是2．
故选B．]
3．A　[∵△ABC的面积为，
∴||||sin∠BAC＝||||·sin||||＝，
∴||||＝4，
∴＝||||cos∠BAC＝4cos＝2，
∵＝2，∴，
由＝m＝m，
∵C，P，D三点共线，∴m＋＝1，
解得m＝．
∴||2＝≥2×||×||＋，
当且仅当||＝2||时取等号，
∴||min＝．
故选A．]
4．ABD　[对于A，∵)，
即，
即点D是边BC的中点，故A正确；
对于B，(－||＋||)＝0，即AD⊥BC，
故直线AD过△ABC的垂心，故B正确；
对于C，∵＝2，
即，
即，
即点D在边CB的延长线上，故C错误；
对于D，∵＝x＋y，且x＋y＝，
设＝2，
则＝2＝2x＋2y，且2x＋2y＝1，
故M，B，C三点共线，且||＝2||，
即△BCD的面积是△ABC的面积的一半，故D正确．故选ABD．]
5．　[由＝2＝2()，
即，
∵D，E，F三点共线，
∴＝1，
∴m＋n＝(m＋n)
＝，
当且仅当m＝，n＝时取等号，
所以m＋n的最小值为．]
6．－　[法一(极化恒等式)：如图1，取OB的中点D，连接PD，则＝||2－||2＝||2－，即求PD的最小值．
由图可知，当PD⊥AB时，PDmin＝，
则的最小值是－．
法二(坐标法)：以OB所在的直线为x轴，过点A且垂直于OB的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，
则A，
O，B，可得直线AB的方程为2x＋y＝1，设P，
，
所以＝4x2－3x＋
＝4，
当x＝取得最小值－．]
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