资源简介

第43课时　复数
[考试要求]　1．通过方程的解，认识复数．2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．3．掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
知识点1　复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，通常用字母z表示，记作z＝a＋bi(a，b∈R)，其中i是虚数单位，实部是________，虚部是________．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di ________(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di互为共轭复数 ________(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
设对应的复数为a＋bi，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作________或________，即|z|＝|a＋bi|＝________(a，b∈R)，即表示点Z(a，b)与原点O的距离．
知识点2　复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点________及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
知识点3　复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______________________________________．
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_____________________________________．
③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_______________________________________．
④除法：＝＝＝__________________(c＋di≠0)．
(2)几何意义：如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＝．
[常用结论]
1．(1±i)2＝±2i；＝ i ；＝－i．
2．i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)．
3．z·|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n．
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(a，b∈R，r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
1．(人教A版必修第二册P69例1)若复数z＝m＋1＋(m－1)i为纯虚数，则实数m＝________．
2．(人教A版必修第二册P94复习参考题7T1(2))复数的共轭复数是________．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3．(北师大版必修第二册P180习题5－1 A组T6改编)当＜m＜1时，复数z＝m(3＋i)－(2－i)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
4．(北师大版必修第二册P183例5)计算：(－2－i)(3＋i)＝___________________________________________________________________．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
5．(湘教版必修第二册P109练习T1(4)改编)已知z＝，则|z|＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　
考点一　复数的概念
[典例1]　(多选)下列说法正确的是(　　)
A．已知复数z＝1＋mi(m∈R)，且(2－i)为纯虚数，则m＝2
B．复数i(1＋i)的虚部为－1
C．若复数z满足z(1＋i)＝2，则|z|＝
D．若(x－i)i＝y＋5i(x，y∈R)，则x＋y＝6
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
[母题探究]
1．本例选项A条件不变，若(2－i)为实数，则实数m＝________．
2．本例选项B中，复数i(1＋i)的共轭复数为___________________________．
3．本例选项B中，复数z＝i(1＋i)的模为____________．
易错提醒：求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b．
考点二　复数的四则运算
[典例2]　(1)(2025·全国二卷)已知z＝1＋i，则＝(　　)
A．－i B．i
C．－1 D．1
(2)(2026·青海模拟)已知复数z满足－2－z＝，则z＝(　　)
A．3＋i B．－3＋i
C．－3－i D．3－i
(3)(2026·白银模拟)设复数z＝，则z·＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
(4)(2024·天津卷)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝________．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
通性通法：(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘分母的共轭复数．
[多维变迁]
1．(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
2．(2026·桂林模拟)在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2，－1)，则＝________．
考点三　复数的几何意义
[典例3]　(1)(2026·东莞市模拟)若复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，则复数z在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(2026·深圳罗湖区校级模拟)若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z－1|的最大值是(　　)
A．1 B．
C．2 D．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
通性通法：由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[多维变迁]
1．(多选)(2025·玉林期中)已知复平面内的四个点A，B，C，D构成平行四边形的四个顶点，顶点A，B，C分别对应复数－5－2i，－4＋5i，2，则点D对应的复数可以是(　　)
A．1－7i B．3＋7i
C．－7－3i D．－11＋3i
2．(2025·抚顺期末)已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，则|z－3－2i|的最小值为 ________．
复数的三角形式
1．复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数的辐角．
2．辐角的主值
(1)辐角的定义：设复数z＝a＋bi的对应向量为，以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角θ，叫做复数z的辐角．
(2)辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．
注意：因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角是任意的．
3．复数乘法的三角表示：已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，
则z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
4．复数除法的三角表示：已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，
则＝＝[cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
[典例4]　(多选)(2026·盐城模拟)复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)都可表示成z＝r(cos θ＋isin θ)(r≥0，θ∈R)的形式，称为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈N*)，我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正确的有(　　)
A．复数z＝1－i的三角形式为z＝2
B．当r＝1，θ＝时，z＋z2＋z3＋…＋z2 024＝0
C．当r＝2，θ＝时，z3＝－8
D．当r＝3，θ＝时，“n为偶数”是“zn为纯虚数”的充分不必要条件
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．(链接考点一)(2025·漳州期末)已知z＝i3·(2＋i)，则z的实部为(　　)
A．1 B．－2
C．2i D．－2i
2．(链接考点一)(2025·萍乡市期末)若复数(a2－3a＋2)＋(a2－4a＋3)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．1或3 B．1或2
C．1 D．2
3．(链接考点二)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　)
A．－i B．i
C．0 D．1
4．(链接考点三)(2025·长治月考)已知复数(1＋2i)－m(3－i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ________．
第43课时　复数
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)a　b　(2)＝　≠　(3)a＝c且b＝d　(4)a＝c且b＝－d　(5)|z|　|a＋bi|　
知识点2　Z(a，b)
知识点3　(1)(a＋c)＋(b＋d)i　(a－c)＋(b－d)i　(ac－bd)＋(ad＋bc)i　i
链教材·夯基固本
1．－1　[由题意知解得m＝－1．]
2．－2＋i　[＝－2－i，
故其共轭复数是－2＋i．]
3．A　[由z＝m(3＋i)－(2－i)＝(3m－2)＋(m＋1)i，
又所以复数z在复平面内对应的点为(3m－2，m＋1)，位于第一象限．
故选A．]
4．－5－5i　[(－2－i)(3＋i)＝－2×3－2×i－3×i－i×i＝－6－2i－3i－i2
＝－6－2i－3i＋1＝－5－5i．]
5.1　[由题意可知|z|＝＝|i|＝1．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　ACD　[对于A，由题知，＝1－mi，则(2－i)＝(1－mi)(2－i)＝(2－m)－(1＋2m)i，
又(2－i)是纯虚数，则
解得m＝2，A正确；
对于B，i(1＋i)＝－1＋i，其虚部为1，B错误；
对于C，因为z(1＋i)＝2，所以z＝＝1－i，则|z|＝，C正确；
对于D，由(x－i)i＝－i2＋xi＝1＋xi＝y＋5i，得x＝5，y＝1，则x＋y＝6，D正确．故选ACD．]
母题探究
1．－　[由题知，＝1－mi，则(2－i)＝(1－mi)(2－i)＝(2－m)－(1＋2m)i，
又(2－i)是实数，则1＋2m＝0，解得m＝－．]
2．－1－i　[i(1＋i)＝－1＋i，故其共轭复数为－1－i．]
3．　[法一：z＝i(1＋i)＝－1＋i，|z|＝．
法二：|z|＝|i(1＋i)|＝|i||1＋i|＝．]
考点二
典例2　(1)A　(2)C　(3)A　(4)7－i
[(1)＝－i，故选A．
(2)由－2－z＝＝1＋i，
可得z＝－3－i．故选C．
(3)∵＝i，
∴z＝i2 027＝i4×506+3＝－i，∴z·＝1．
故选A．
(4)(＋i)·(－2i)＝5＋i－2i＋2＝7－i．]
多维变迁
1．C　[因为＝1＋＝1＋i，
所以z＝1＋＝1－i．]
2.2i　[因为复数z对应的点的坐标为(2，－1)，
所以z＝2－i，＝2＋i，
故＝2i．]
考点三
典例3　(1)A　(2)B　[(1)由题意可知，＝2－i，
则z＝2＋i，在复平面上对应的点为(2，1)，位于第一象限．故选A．
(2)由复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，
可知复数z在复平面内对应点的轨迹为以A(0，－1)，B(0，1)为两端点的线段，
而|z－1|的几何意义为线段上的点到点(1，0)的距离，
则|z－1|的最大值是．
故选B．]
多维变迁
1．ABD　[分三种情况：
①当时，zA－zB＝zD－zC，
则zD＝zA－zB＋zC＝－5－2i＋4－5i＋2＝1－7i；
②当时，zA－zB＝zC－zD，
则zD＝zC－zA＋zB＝2＋5＋2i－4＋5i＝3＋7i；
③当时，zC－zA＝zB－zD，
则zD＝zB－zC＋zA＝－4＋5i－2－5－2i＝－11＋3i．
所以点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i．
故选ABD．]
2.4　[|z＋2－2i|＝1，
复数z对应的点的轨迹是以C(－2，2)为圆心，半径r＝1的圆，
而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是复数z对应的点与点A(3，2)的距离．
又|AC|＝5，点A(3，2)在圆C外，所以|z－3－2i|的最小值为|AC|－r＝5－1＝4．]
教材拓展8
典例4　BC　[复数z＝1－i的三角形式为z＝2，故A错误；
当r＝1，θ＝时，z＝cos＋isin＝i，
因为i4k+1＋i4k+2＋i4k+3＋i4k+4＝0，k∈Z，
所以z＋z2＋z3＋…＋z2 024＝0，故B正确；
当r＝2，θ＝时，z＝2，
z3＝＝23(cos π＋isin π)＝－8，故C正确；
当r＝3，θ＝时，z＝3，
zn＝
＝3n，
若zn为纯虚数，则＋kπ，所以n＝4k＋2，k∈Z，
虽然n＝4k＋2，k∈Z是偶数，但是偶数还有n＝4k，k∈Z的形式的数，
所以“n为偶数”是“zn为纯虚数”的必要不充分条件，故D错误．
故选BC．]
随堂·对点检测
1．A　[由z＝i3·(2＋i)＝－i·(2＋i)＝1－2i，得z的实部为1．
故选A．]
2．D　[∵(a2－3a＋2)＋(a2－4a＋3)i是纯虚数，
∴
解得a＝2．
故选D．]
3．A　[因为z＝＝－i，
所以i，所以z－＝－i－i＝－i．故选A．]
4．(－∞，－2)　[由于(1＋2i)－m(3－i)＝(1－3m)＋(2＋m)i，
故点(1－3m，2＋m)位于第四象限，
因此∴m<－2，
即实数m的取值范围是(－∞，－2)．]
7 / 7(共91张PPT)
第五章　平面向量、复数
第43课时　复数
[考试要求]　1．通过方程的解，认识复数．2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．3．掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
理法先行·题练固本
知识点1　复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，通常用字母z表示，记作z＝a＋bi(a，b∈R)，其中i是虚数单位，实部是__，虚部是___．
a
b
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di __________(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di互为共轭复数 ____________(a，b，c，d∈R)．
a＝c且b＝d
a＝c且b＝－d
(5)复数的模
设对应的复数为a＋bi，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作_____或_________，即|z|＝|a＋bi|＝________(a，b∈R)，即表示点Z(a，b)与原点O的距离．
知识点2　复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点_________及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
|z|
|a＋bi|
Z(a，b)
知识点3　复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝___________________；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝___________________；
③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_______________________；
④除法：＝__________________(c＋di≠0)．
(a＋c)＋(b＋d )i
(a－c)＋(b－d )i
(ac－bd )＋(ad＋bc)i
i
(2)几何意义：如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即，．
[常用结论]
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i．
2．i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)．
3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，，|zn|＝|z|n．
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(a，b∈R，r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
【教用·常用结论】
1．若ω＝－±i，则(1)ω3k＝1(k∈Z)；(2)ω2＋ω＋1＝0．
2．z＝ z∈R．
1．(人教A版必修第二册P69例1)若复数z＝m＋1＋(m－1)i为纯虚数，则实数m＝______________．
－1　[由题意知
解得m＝－1．]
－1　
2．(人教A版必修第二册P94复习参考题7T1(2))复数的共轭复数是______________．
－2＋i　[＝－2－i，
故其共轭复数是－2＋i．]
－2＋i　
3．(北师大版必修第二册P180习题5－1 A组T6改编)当A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
√
A　[由z＝m(3＋i)－(2－i)＝(3m－2)＋(m＋1)i，
又所以复数z在复平面内对应的点为(3m－2，m＋1)，位于第一象限．
故选A．]
4．(北师大版必修第二册P183例5)计算：(－2－i)(3＋i)＝______________．
－5－5i　[(－2－i)(3＋i)＝－2×3－2×i－3×i－i×i＝－6－2i－3i－i2＝－6－2i－3i＋1＝－5－5i．]
－5－5i　
5．(湘教版必修第二册P109练习T1(4)改编)已知z＝，则|z|＝______________．
1　[由题意可知|z|＝＝|i|＝1．]
1　
考点深研·题型突破
考点一　复数的概念
[典例1]　(多选)下列说法正确的是(　　)
A．已知复数z＝1＋mi(m∈R)，且(2－i)为纯虚数，则m＝2
B．复数i(1＋i)的虚部为－1
C．若复数z满足z(1＋i)＝2，则|z|＝
D．若(x－i)i＝y＋5i(x，y∈R)，则x＋y＝6
√
√
√
ACD　[对于A，由题知，＝1－mi，则(2－i)＝(1－mi)(2－i)＝(2－m)－(1＋2m)i，
又(2－i)是纯虚数，则解得m＝2，A正确；
对于B，i(1＋i)＝－1＋i，其虚部为1，B错误；
对于C，因为z(1＋i)＝2，所以z＝＝1－i，
则|z|＝，C正确；
对于D，由(x－i)i＝－i2＋xi＝1＋xi＝y＋5i，
得x＝5，y＝1，则x＋y＝6，D正确．故选ACD．]
[母题探究]
1．本例选项A条件不变，若(2－i)为实数，则实数m＝______________．
－　[由题知，＝1－mi，则(2－i)＝(1－mi)·(2－i)＝(2－m)－(1＋2m)i，
又(2－i)是实数，则1＋2m＝0，解得m＝－．]
－　
2．本例选项B中，复数i(1＋i)的共轭复数为______________．
－1－i　[i(1＋i)＝－1＋i，故其共轭复数为－1－i．]
－1－i
3．本例选项B中，复数z＝i(1＋i)的模为______________．
　[法一：z＝i(1＋i)＝－1＋i，|z|＝．
法二：|z|＝|i(1＋i)|＝|i||1＋i|＝．]
　
易错提醒：求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b．
【教用·通性通法】
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
考点二　复数的四则运算
[典例2]　(1)(2025·全国二卷)已知z＝1＋i，则＝(　　)
A．－i B．i
C．－1 D．1
(2)(2026·青海模拟)已知复数z满足－2－z＝，则z＝(　　)
A．3＋i B．－3＋i
C．－3－i D．3－i
√
√
(3)(2026·白银模拟)设复数z＝，则z·＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
(4)(2024·天津卷)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝______________．
√
7－i　
(1)A　(2)C　(3)A　(4)7－i　[(1)＝－i，故选A．
(2)由－2－z＝＝1＋i，
可得z＝－3－i．故选C．
(3)∵＝i，
∴z＝i2 027＝i4×506+3＝－i，∴z·＝1．故选A．
(4)(＋i)·(－2i)＝5＋i－2i＋2＝7－i．]
通性通法：(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘分母的共轭复数．
[多维变迁]
1．(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
√
C　[因为＝1＋＝1＋i，
所以z＝1＋＝1－i．]
2．(2026·桂林模拟)在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2，－1)，则＝______________．
2i　[因为复数z对应的点的坐标为(2，－1)，
所以z＝2－i，＝2＋i，
故＝2i．]
2i　
考点三　复数的几何意义
[典例3]　(1)(2026·东莞市模拟)若复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，则复数z在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(2026·深圳罗湖区校级模拟)若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z－1|的最大值是(　　)
A．1 B．
C．2 D．
√
√
(1)A　(2)B　[(1)由题意可知，＝2－i，
则z＝2＋i，在复平面上对应的点为(2，1)，位于第一象限．
故选A．
(2)由复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，
可知复数z在复平面内对应点的轨迹为以A(0，－1)，B(0，1)为两端点的线段，
而|z－1|的几何意义为线段上的点到点(1，0)的距离，
则|z－1|的最大值是．
故选B．]
通性通法：由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[多维变迁]
1．(多选)(2025·玉林期中)已知复平面内的四个点A，B，C，D构成平行四边形的四个顶点，顶点A，B，C分别对应复数－5－2i，－4＋5i，2，则点D对应的复数可以是(　　)
A．1－7i B．3＋7i
C．－7－3i D．－11＋3i
√
√
√
ABD　[分三种情况：
①当时，zA－zB＝zD－zC，
则zD＝zA－zB＋zC＝－5－2i＋4－5i＋2＝1－7i；
②当时，zA－zB＝zC－zD，
则zD＝zC－zA＋zB＝2＋5＋2i－4＋5i＝3＋7i；
③当时，zC－zA＝zB－zD，
则zD＝zB－zC＋zA＝－4＋5i－2－5－2i＝－11＋3i．
所以点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i．
故选ABD．]
2．(2025·抚顺期末)已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，则|z－3－2i|的最小值为 ______________．
4　[|z＋2－2i|＝1，
复数z对应的点的轨迹是以C(－2，2)为圆心，半径r＝1的圆，
而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是复数z对应的点与点A(3，2)的距离．
又|AC|＝5，点A(3，2)在圆C外，
所以|z－3－2i|的最小值为|AC|－r＝5－1＝4．]
4　
教材拓展8　复数的三角形式
1．复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数的辐角．
2．辐角的主值
(1)辐角的定义：设复数z＝a＋bi的对应向量为，以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角θ，叫做复数z的辐角．
(2)辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．
注意：因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角是任意的．
3．复数乘法的三角表示：已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，
则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
4．复数除法的三角表示：已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，
则[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
[典例4]　(多选)(2026·盐城模拟)复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)都可表示成z＝r(cos θ＋isin θ)(r≥0，θ∈R)的形式，称为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ) (n∈N*)，我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正确的有(　　)
A．复数z＝1－i的三角形式为z＝2
B．当r＝1，θ＝时，z＋z2＋z3＋…＋z2 024＝0
C．当r＝2，θ＝时，z3＝－8
D．当r＝3，θ＝时，“n为偶数”是“zn为纯虚数”的充分不必要条件
√
√
BC　[复数z＝1－i的三角形式为z＝2，故A错误；
当r＝1，θ＝时，z＝cos＋isin＝i，
因为i4k+1＋i4k+2＋i4k+3＋i4k+4＝0，k∈Z，
所以z＋z2＋z3＋…＋z2 024＝0，故B正确；
当r＝2，θ＝时，z＝2，
z3＝＝23(cos π＋isin π)＝－8，故C正确；
当r＝3，θ＝时，z＝3，
zn＝＝3n，
若zn为纯虚数，则
则＋kπ，所以n＝4k＋2，k∈Z，
虽然n＝4k＋2，k∈Z是偶数，但是偶数还有n＝4k，k∈Z的形式的数，
所以“n为偶数”是“zn为纯虚数”的必要不充分条件，故D错误．
故选BC．]
1．(链接考点一)(2025·漳州期末)已知z＝i3·(2＋i)，则z的实部为
(　　)
A．1 B．－2
C．2i D．－2i
√
A　[由z＝i3·(2＋i)＝－i·(2＋i)＝1－2i，得z的实部为1．故选A．]
2．(链接考点一)(2025·萍乡市期末)若复数(a2－3a＋2)＋(a2－4a＋3)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．1或3 B．1或2
C．1 D．2
√
D　[∵(a2－3a＋2)＋(a2－4a＋3)i是纯虚数，
∴解得a＝2．
故选D．]
3．(链接考点二)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　)
A．－i B．i
C．0 D．1
√
A　[因为z＝＝－i，所以i，所以z－＝－i－i＝－i．
故选A．]
4．(链接考点三)(2025·长治月考)已知复数(1＋2i)－m(3－i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ______________．
(－∞，－2)　
(－∞，－2)　[由于(1＋2i)－m(3－i)＝(1－3m)＋(2＋m)i，
故点(1－3m，2＋m)位于第四象限，
因此
∴∴m<－2，
即实数m的取值范围是(－∞，－2)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(2025·全国一卷)(1＋5i)i的虚部为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．6
课时作业(四十三)　复数
C　[(1＋5i)i＝－5＋i，其虚部为1．
故选C．]
√
2．(2025·北京卷)已知复数z满足i·z＋2＝2i，则|z|＝(　　)
A． B．2
C．4 D．8
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[法一：由i·z＋2＝2i，得i·z＝－2＋2i，则z＝＝2＋2i，得|z|＝＝2．故选B．
法二：由i·z＋2＝2i，得i·z＝－2＋2i，
∴|iz|＝|－2＋2i|，∴|z|＝2．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(人教A版必修第二册P80习题7.2T2改编)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[由复数的几何意义可知，＝(－1，－3)＋(－2，－1)＝(－3，－4)，所以向量对应的复数是－3－4i．故选D．]
√
4．(2025·成都月考)设z＝，则z在复平面内对应的点位于
(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[因为2 025÷4＝506……1，所以i2 025＝i，
则z＝＝，
所以z＝＝－i，对应复平面内的点为，位于第三象限．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2025·内蒙古期末)若复数z＝1＋i是方程z2＋az＋b＝0的根，其中a，b∈R，则a＋2b的值为(　　)
A．－4 B．－2
C．0 D．2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为复数z＝1＋i是方程z2＋az＋b＝0的根，
所以复数z＝1－i也是方程z2＋az＋b＝0的根，
所以－a＝(1＋i)＋(1－i)，且b＝(1＋i)(1－i)，
即a＝－2，b＝2，则a＋2b＝2．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(苏教版必修第二册P143阅读材料改编)欧拉公式exi＝cos x＋isin x (其中i为虚数单位，x∈R)将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，则(　　)
A．eπi＝1
B．为实数
C．
D．复数e2i在复平面内对应的点位于第三象限
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[对于A选项，eπi＝cos π＋isin π＝－1，A错误；
对于B选项，＝cos ＋isin ＝i，为纯虚数，B错误；
对于C选项，，C正确；
对于D选项，2∈，则cos 2<0，sin 2>0，所以复数e2i＝cos 2＋isin 2在复平面内对应的点位于第二象限，D错误．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(2026·广州模拟)已知复数z1，z2满足3z1＋z2＝－1－2i，z1＋3z2＝5＋2i，则(　　)
A．z1＝－1－i B．z2＝2＋i
C．z1－z2＝－3＋2i D．＝－i
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABD　[∵3z1＋z2＝－1－2i，z1＋3z2＝5＋2i，
∴z1＝－1－i，z2＝2＋i，
∴z1－z2＝－3－2i，＝－i．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(2025·铜仁市月考)设复数z在复平面内对应的点为P，则下列说法正确的是(　　)
A．若|z|＝1，则z＝1
B．若z＝2＋3i，则＝2－3i
C．若z的实部是1，则点P的集合所构成的图形是直线
D．若1≤|z|≤，则点P的集合所构成的图形的面积为π
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
BCD　[若z＝i，满足|z|＝1，故A错误；
若z＝2＋3i，则＝2－3i，故B正确；
若z的实部是1，则点P的集合所构成的图形是直线，故C正确；
若1≤|z|≤，
则点P的集合所构成的图形是以原点为圆心，1，为半径的两个圆所夹的圆环，
故所求面积为π×()2－π×12＝π，故D正确．
故选BCD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
9．(人教A版必修第二册P81习题7.2T9改编)已知复数z满足|z－1＋i|＝3，则(　　)
A．复数z虚部的最大值为2
B．复数z实部的取值范围是[－2，4]
C．|z＋1＋i|的最小值为1
D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABC　[满足|z－1＋i|＝3的复数z在复平面内对应点的轨迹是以(1，－1)为圆心，3为半径的圆，如图，由图可知，虚部最大的复数z＝1＋2i，即复数z虚部的最大值为2，故A正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
实部最小的复数z＝－2－i，实部最大的复数z＝4－i，所以实部的取值范围是[－2，4]，故B正确；
|z＋1＋i|表示复数z在复平面内对应的点到(－1，－1)的距离，所以|z＋1＋i|的最小值为3－2＝1，故C正确；
由图可知，复数z在复平面内对应的点位于第一、二、三、四象限，故D错误．
故选ABC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
10．(2025·沈阳期末)若复数m－2＋(m2－4)i≥0，则实数m的值为 _______．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2　[∵m－2＋(m2－4)i≥0(m∈R)，
∴解得m＝2．]
2　
11．(2025·天津卷)已知i是虚数单位，则＝______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
　[．]
　
－8　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(2025·漳州期末)法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)．据此公式，复数的实部为 ______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
－8　[由棣莫弗公式[r(cos θ＋isin θ)]n
＝rn(cos nθ＋isin nθ)，
可得＝24＝16＝－8＋8i，
故所求的实部为－8．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(2024·新高考Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　)
A．0 B．1
C． D．2
阶段检测(八)　第39～43课时
C　[若z＝－1－i，则|z|＝．故选C．]
√
2．(2023·全国甲卷)＝(　　)
A．－1 B．1
C．1－i D．1＋i
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[＝1－i，故选C．]
√
3．(2025·天津南开区期中)下列各式能化简为的是(　　)
A．
B．＋()
C．()＋()
D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[对于A，，所以A错误；
对于B，＋()＝()－，所以B错误；
对于C，()＋()＝()＋，所以C正确；
对于D，，所以D错误．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　)
A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件
B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件
C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件
D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[对于A，当a⊥b时，则a·b＝0，
所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误；
对于B，当a∥b时，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误；
对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，
所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；
对于D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2025·郑州期中)已知在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3，点P为矩形ABCD所在平面内一点，则()·的最小值是(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[以A为原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，
建立平面直角坐标系，如图所示．
设P(x，y)，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，3)，
则＝(－x，－y)，＝(1－x，3－y)，＝
(1－x，－y)，所以＝(1－2x，3－2y)，
所以()·＝(1－2x)(1－x)＋(3－2y)·(－y)＝2＋2，
所以当且仅当x＝，y＝)·取得最小值－．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(人教A版必修第二册P52习题6.4T2)已知O，N，P在△ABC所在平面内，满足||＝||＝||，＝0，且，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[∵||＝||＝||，∴O到△ABC三个顶点的距离相等，
∴O是△ABC的外心．
∵＝0，
∴N是△ABC的重心．
∵，
∴·()＝0，＝0，
∴⊥，
同理得到⊥⊥，
∴P是△ABC的垂心．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(2025·白银会宁校级三模)若复数z＝，则(　　)
A．z＝3＋i
B．z－3为纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点位于第四象限
D．|z－2|＝2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
AB　[因为z＝＝3＋i，所以z－3＝i为纯虚数，故选项A，B正确；
z＝3＋i，则z在复平面内对应的点(3，1)位于第一象限，故选项C错误；
|z－2|＝|1＋i|＝，故选项D错误．
故选AB．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(2025·南阳期末)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则(　　)
A．(a－b)⊥a
B．a∥b
C．a与b的夹角是
D．a在b上的投影向量是
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ACD　[因为a＝(1，2)，b＝(3，1)，
则|a|＝，|b|＝，a·b＝1×3＋2×1＝5．
对于A，(a－b)·a＝a2－a·b＝5－5＝0，
即(a－b)⊥a，故A正确；
对于B，因为1×1≠2×3，
所以a，b不共线，故B错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
对于C，设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝，
又θ∈[0，π]，
即a与b的夹角为，故C正确；
对于D，a在b上的投影向量是b＝b＝，故D正确．
故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
9．(2024·上海卷)已知a＝(2，5)，b＝(6，k)，且a∥b，则k的值为______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
15　[∵a∥b，∴2k＝5×6，解得k＝15．]
15　
10．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
　[由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，
即2a·b＝a2＋b2－3．由|a＋b|＝|2a－b|，
得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，
整理得3a2－6a·b＝0，
所以3a2－3(a2＋b2－3)＝0，
所以b2＝3，所以|b|＝．]
　
四、解答题
11．(人教A版必修第二册P95复习参考题7T9)已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求实数λ的取值范围．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　由z1＝z2，得
消去m，可得λ＝4sin2θ－3sin θ＝4．
由于－1≤sin θ≤1，可得－≤λ≤7，即λ的取值范围是．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(2025·邵阳期末)如图，在△ABC中，＝2，＝3，BD与CE交于点O，若＝m＋n(m，n∈R)．
(1)求m＋n的值；
(2)设△ABC的面积为S，△OBC的面积为S'，
求的值．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)依题意有＝m＋n(m，n∈R)，
因为＝3，
因为B，O，D三点共线，
所以＝m＋(1－m)＝m，
因为＝2，
因为C，O，E三点共线，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
所以＝n＋(1－n)＝n，
根据平面向量基本定理，可得
解得
所以m＋n＝．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)延长AO与BC交于点F，因为B，F，C三点共线，
所以设＝t＋(1－t)，
又因为∥＝λ，
即＝λ[t＋(1－t)]＝λt＋λ(1－t)，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
所以
解得．
所以．
谢谢！课时作业(四十三)　复数
一、单项选择题
1．(2025·全国一卷)(1＋5i)i的虚部为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．6
2．(2025·北京卷)已知复数z满足i·z＋2＝2i，则|z|＝(　　)
A． B．2
C．4 D．8
3．(人教A版必修第二册P80习题7.2T2改编)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
4．(2025·成都月考)设z＝，则z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．(2025·内蒙古期末)若复数z＝1＋i是方程z2＋az＋b＝0的根，其中a，b∈R，则a＋2b的值为(　　)
A．－4 B．－2
C．0 D．2
6．(苏教版必修第二册P143阅读材料改编)欧拉公式exi＝cos x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，则(　　)
A．eπi＝1
为实数
C．＝
D．复数e2i在复平面内对应的点位于第三象限
二、多项选择题
7．(2026·广州模拟)已知复数z1，z2满足3z1＋z2＝－1－2i，z1＋3z2＝5＋2i，则(　　)
A．z1＝－1－i B．z2＝2＋i
C．z1－z2＝－3＋2i D．＝－i
8．(2025·铜仁市月考)设复数z在复平面内对应的点为P，则下列说法正确的是(　　)
A．若|z|＝1，则z＝1
B．若z＝2＋3i，则＝2－3i
C．若z的实部是1，则点P的集合所构成的图形是直线
D．若1≤|z|≤，则点P的集合所构成的图形的面积为π
9．(人教A版必修第二册P81习题7.2T9改编)已知复数z满足|z－1＋i|＝3，则(　　)
A．复数z虚部的最大值为2
B．复数z实部的取值范围是[－2，4]
C．|z＋1＋i|的最小值为1
D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限
三、填空题
10．(2025·沈阳期末)若复数m－2＋(m2－4)i≥0，则实数m的值为 __________．
11．(2025·天津卷)已知i是虚数单位，则＝________．
12．(2025·漳州期末)法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)．据此公式，复数的实部为 ________．
课时作业(四十三)
1．C　[(1＋5i)i＝－5＋i，其虚部为1．故选C．]
2．B　[法一：由i·z＋2＝2i，得i·z＝－2＋2i，则z＝＝2＋2i，
得|z|＝＝2．故选B．
法二：由i·z＋2＝2i，得i·z＝－2＋2i，
∴|iz|＝|－2＋2i|，∴|z|＝2．]
3．D　[由复数的几何意义可知，＝(－1，－3)＋(－2，－1)＝(－3，－4)，所以向量对应的复数是－3－4i．故选D．]
4．C　[因为2 025÷4＝506……1，所以i2 025＝i，
则z＝
＝，
所以z＝＝－i，对应复平面内的点为，位于第三象限．
故选C．]
5．D　[因为复数z＝1＋i是方程z2＋az＋b＝0的根，
所以复数z＝1－i也是方程z2＋az＋b＝0的根，
所以－a＝(1＋i)＋(1－i)，且b＝(1＋i)(1－i)，
即a＝－2，b＝2，则a＋2b＝2．故选D．]
6．C　[对于A选项，eπi＝cos π＋isin π＝－1，A错误；
对于B选项，＝cos ＋isin ＝i，为纯虚数，B错误；
对于C选项，，C正确；
对于D选项，2∈，则cos 2<0，sin 2>0，所以复数e2i＝cos 2＋isin 2在复平面内对应的点位于第二象限，D错误．
故选C．]
7．ABD　[∵3z1＋z2＝－1－2i，z1＋3z2＝5＋2i，
∴z1＝－1－i，z2＝2＋i，
∴z1－z2＝－3－2i，＝－i．
故选ABD．]
8．BCD　[若z＝i，满足|z|＝1，故A错误；
若z＝2＋3i，则＝2－3i，故B正确；
若z的实部是1，则点P的集合所构成的图形是直线，故C正确；
若1≤|z|≤，
则点P的集合所构成的图形是以原点为圆心，1，为半径的两个圆所夹的圆环，
故所求面积为π×()2－π×12＝π，故D正确．
故选BCD．]
9．ABC　[
满足|z－1＋i|＝3的复数z在复平面内对应点的轨迹是以(1，－1)为圆心，3为半径的圆，如图，由图可知，虚部最大的复数z＝1＋2i，即复数z虚部的最大值为2，故A正确；
实部最小的复数z＝－2－i，实部最大的复数z＝4－i，所以实部的取值范围是[－2，4]，故B正确；
|z＋1＋i|表示复数z在复平面内对应的点到(－1，－1)的距离，所以|z＋1＋i|的最小值为3－2＝1，故C正确；
由图可知，复数z在复平面内对应的点位于第一、二、三、四象限，故D错误．故选ABC．]
10.2　[∵m－2＋(m2－4)i≥0(m∈R)，
∴解得m＝2．]
11．　[．]
12．－8　[由棣莫弗公式[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，
可得
＝24＝16
＝－8＋8i，
故所求的实部为－8．]
1 / 2

展开更多......

收起↑