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第72课时　列联表与独立性检验
[考试要求]　1．通过实例，理解2×2列联表的统计意义．2．通过实例，了解独立性检验及其应用．
知识点1　2×2列联表
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为
X Y 合计
Y＝y1 Y＝y2
X＝x1 a b a＋b
X＝x2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
知识点2　独立性检验
(1)临界值： ①计算统计量
χ2＝．
②忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立．我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准．
(2)基于小概率值α的检验规则是：
当χ2≥xα时，就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
当χ2这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．
下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
[常用结论]
1．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两个分类变量有关的把握越大．
2．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误．
1．(人教B版选择性必修第二册P120练习AT2改编)如表是2×2列联表，则表中a，b的值分别为(　　)
x y 合计
y1 y2
x1 a 8 35
x2 11 34 45
合计 b 42 80
A．27，38 B．28，38
C．27，37 D．28，37
2．(人教A版选择性必修第三册P139复习参考题8T3)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝2.974．依据α＝0.05的独立性检验，结论为(　　)
A．变量x与y不独立
B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．变量x与y独立
D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
3．(人教A版选择性必修第三册P135习题8.3T8)调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下的列联表：
单位：人
性别 出生时间 合计
晚上 白天
女 24 31 55
男 8 26 34
合计 32 57 89
依据α＝0.1的独立性检验，则在犯错误的概率不超过________的前提下可以认为性别与出生时间有关联．
考点一　列联表与等高堆积条形图
[典例1]　(1)(2025·石家庄期末)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到2×2列联表如下：
单位：人
班级 数学成绩 合计
优秀 非优秀
甲班 10 b
乙班 c 30
合计 105
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　)
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．列联表中c的值为20，b的值为50
D．由列联表可看出成绩与班级有关系
(2)(多选)(2025·银川四模)某市地铁5号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁5号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析了其年龄和性别结构，并制作出如图所示的等高堆积条形图，根据图中信息，下列结论正确的是(　　)
A．样本中男性比女性更关注地铁5号线全线开通
B．样本中多数女性是35岁及以上
C．样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多
D．样本中35岁及以上的人对地铁5号线全线开通的关注度更高
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[多维变迁]
(2025·平凉期末)假设有两个分类变量X，Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为
X Y 合计
y1 y2
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(　　)
A．a＝2，b＝3，c＝3，d＝7
B．a＝1，b＝4，c＝2，d＝8
C．a＝1，b＝4，c＝4，d＝1
D．a＝9，b＝1，c＝4，d＝1
考点二　χ2计算与独立性检验
[典例2]　某景区自从实行门票打折，开展沉浸式体验活动，推出特色美食等措施后，旅游人数明显增加，为了解景区游客性别与满意度的关系，随机抽查了200名游客，得到如下列联表．
单位：人
性别 满意度 合计
满意 不满意
男 100 150
女 30
合计
填写上表，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为游客性别与满意度有关？
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
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　思维建模：“补、提、套、比、说”五步模型法求解独立性检验问题
第1步　补：根据题干数据和信息，补全2×2列联表．
第2步　提：提出零假设H0：两个变量X与Y相互独立．
第3步　套：套公式
χ2＝计算．
第4步　比：查表找到临界值xα，将计算出的χ2与xα比较大小．
第5步　说：若χ2≥xα，我们就推断H0不成立，即X与Y不独立；若χ2＜xα，则我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X与Y独立．
易错提醒：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的xα值与求得的χ2值相比较．
[多维变迁]
某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 合计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
合计 96 52 2 150
填写如下列联表：
单位：件
车间 产品 合计
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
合计
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
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1．(链接考点一)(2025·沈阳期中)为了了解性别与视力之间的关系，一个调查机构得到2×2列联表如下，则当m取下面何值时，性别与视力无关的可能性最大(　　)
单位：人
近视情况 性别 合计
男 女
近视 240 200 440
不近视 m 50 50＋m
合计 240＋m 250 490＋m
A．40 B．60
C．100 D．240
2．(链接考点一)(多选)(2026·揭阳榕城区模拟)为保护学生视力、促进学生身心健康发展，某中学研究型学习小组从该校学生中按男、女生比例，采用分层随机抽样的方法选取了100名学生(其中男生60人，女生40人)，调查他们每日使用手机的时间．若每日使用手机时间超过40分钟，则认为该生手机成瘾．根据统计数据得到如图所示的等高堆积条形图，用样本估计总体，用频率估计概率，下列说法正确的有(　　)
A．该校男生和女生人数之比为3∶2
B．手机是否成瘾一定与学生的性别有关系
C．从该校学生中随机抽取一名学生，则该生手机成瘾的概率为
D．从该校学生中抽到一名手机成瘾的学生，则该生是男生的概率为
3．(链接考点二)(2025·连云港期末)为了鉴定某新疫苗的效力，将60只小白鼠随机地分为两组，在其中一组接种疫苗后，两组都注射了病原菌，其结果如下面的列联表．根据此列联表中的数据可以求得χ2＝ ________．
单位：只
接种情况 发病情况 合计
发病 未发病
接种 3 27 30
未接种 17 13 30
合计 20 40 60
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
第72课时　列联表与独立性检验
理法先行·题练固本
链教材·夯基固本
1．A　[a＝35－8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38．]
2．C　[因为χ2＝2.9743.0．1　[由题意得χ2＝
≈3.689>2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下可以认为性别与出生时间有关联．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)D　(2)ABD　[(1)由题意知，，解得c＝20，由10＋20＋b＋30＝105，解得b＝45．
补全2×2列联表如下：
单位：人
班级 数学成绩 合计
优秀 非优秀
甲班 10 45 55
乙班 20 30 50
合计 30 75 105
甲班的优秀率为，所以成绩与班级有关，选项D正确，选项A，B，C错误．
故选D．
(2)设等高堆积条形图对应2×2列联表如下：
单位：人
性别 年龄 合计
35岁及以上 35岁以下
男性 a c a＋c
女性 b d b＋d
合计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
根据第1个等高堆积条形图可知，35岁及以上男性比35岁及以上女性多，即a>b，
35岁以下男性比35岁以下女性多，即c>d，
根据第2个等高堆积条形图可知，男性中35岁及以上的比35岁以下的多，即a>c，
女性中35岁及以上的比35岁以下的多，即b>d．
对于选项A，男性人数为a＋c，女性人数为b＋d，因为a>b，c>d，所以a＋c>b＋d，故A正确；
对于选项B，35岁及以上女性人数为b，35岁以下女性人数为d，因为b>d，故B正确；
对于选项C，35岁以下男性人数为c，35岁及以上女性人数为b，无法从图中直接判断b与c的大小关系，故C不一定正确；
对于选项D，35岁及以上的人数为a＋b，35岁以下的人数为c＋d，因为a>c，b>d，
所以a＋b>c＋d，故D正确．
故选ABD．]
多维变迁
　C　[对于A，
＝，
对于B，＝0，
对于C，，
对于D，，
由于>0，
故选C．]
考点二
典例2　解：由题意可得2×2列联表如下．
单位：人
性别 满意度 合计
满意 不满意
男 100 50 150
女 20 30 50
合计 120 80 200
零假设为
H0：游客性别与满意度无关．
χ2＝
＝
≈11.111>10.828，
所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为游客性别与满意度有关．
多维变迁
解：填写列联表如下：
单位：件
车间 产品 合计
优级品 非优级品
甲车间 26 24 50
乙车间 70 30 100
合计 96 54 150
零假设为
H0：甲、乙两车间产品的优级品率没有差异．
χ2＝＝4.687 5．
因为χ2＝4.687 5>3.841＝x0.05，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，此推断犯错误的概率不大于0.05；
因为χ2＝4.687 5<6.635＝x0.01，所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为甲、乙两车间产品的优级品率没有差异．
随堂·对点检测
1．B　[依题意，要使性别与视力无关的可能性最大，
则240×50＝200m，
解得m＝60．
故选B．]
2．AC　[选项A，根据分层随机抽样的抽样比可知，样本中男生和女生人数之比为60∶40＝3∶2，
用样本估计总体，则全校男生和女生人数之比为3∶2，故选项A正确；
选项B，样本中男生有20%手机成瘾，女生有40%手机成瘾，比例关系差异很大，
所以手机是否成瘾与学生的性别很大概率上有关系，但不能说“一定与学生的性别有关系”，故选项B错误；
选项C，由题意知，男生中有60×20%＝12(人)手机成瘾，女生中有40×40%＝16(人)手机成瘾，
即在抽取的100人样本中，有28人手机成瘾，
所以样本中学生手机成瘾的频率为，
用频率估计概率，从该校学生中随机抽取一名学生，该生手机成瘾的概率为，故选项C正确；
选项D，由条件概率知，在样本中抽到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率为，
用样本估计总体，从该校学生中抽到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率也为，故选项D错误．
故选AC．]
3．14.7　[根据题意可知，n＝60，a＝3，b＝27，c＝17，d＝13，
则χ2＝＝14.7．]
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第九章　统计与成对数据的统计分析
第72课时　列联表与独立性检验
[考试要求]　1．通过实例，理解2×2列联表的统计意义．2．通过实例，了解独立性检验及其应用．
理法先行·题练固本
知识点1　2×2列联表
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为
X Y 合计
Y＝y1 Y＝y2
X＝x1 a b a＋b
X＝x2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
知识点2　独立性检验
(1)临界值： ①计算统计量
χ2＝．
②忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立．我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准．
(2)基于小概率值α的检验规则是：
当χ2≥xα时，就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
当χ2这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．
下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
[常用结论]
1．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两个分类变量有关的把握越大．
2．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误．
1．(人教B版选择性必修第二册P120练习AT2改编)如表是2×2列联表，则表中a，b的值分别为(　　)
A．27，38
B．28，38
C．27，37
D．28，37
√
x y 合计
y1 y2
x1 a 8 35
x2 11 34 45
合计 b 42 80
A　[a＝35－8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38．]
2．(人教A版选择性必修第三册P139复习参考题8T3)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝2.974．依据α＝0.05的独立性检验，结论为(　　)
A．变量x与y不独立
B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．变量x与y独立
D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
√
C　[因为χ2＝2.9743．(人教A版选择性必修第三册P135习题8.3T8)调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下的列联表：
单位：人
性别 出生时间 合计
晚上 白天
女 24 31 55
男 8 26 34
合计 32 57 89
依据α＝0.1的独立性检验，则在犯错误的概率不超过_______的前提下可以认为性别与出生时间有关联．
0.1　[由题意得χ2＝≈3.689>2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下可以认为性别与出生时间有关联．]
0.1　
考点深研·题型突破
考点一　列联表与等高堆积条形图
[典例1]　(1)(2025·石家庄期末)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到2×2列联表如下：
单位：人
班级 数学成绩 合计
优秀 非优秀
甲班 10 b
乙班 c 30
合计 105
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　)
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．列联表中c的值为20，b的值为50
D．由列联表可看出成绩与班级有关系
√
(2)(多选)(2025·银川四模)某市地铁5号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁5号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析了其年龄和性别结构，并制作出如图所示的等高堆积条形图，根据图中信息，下列结论正确的是(　　)
A．样本中男性比女性更关注地铁5号线全线开通
B．样本中多数女性是35岁及以上
C．样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多
D．样本中35岁及以上的人对地铁5号线全线开通的关注度更高
√
√
√
(1)D　(2)ABD　[(1)由题意知，，解得c＝20，由10＋20＋b＋30＝105，解得b＝45．
补全2×2列联表如下：
单位：人
班级 数学成绩 合计
优秀 非优秀
甲班 10 45 55
乙班 20 30 50
合计 30 75 105
甲班的优秀率为，所以成绩与班级有关，选项D正确，选项A，B，C错误．
故选D．
(2)设等高堆积条形图对应2×2列联表如下：
单位：人
性别 年龄 合计
35岁及以上 35岁以下
男性 a c a＋c
女性 b d b＋d
合计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
根据第1个等高堆积条形图可知，35岁及以上男性比35岁及以上女性多，即a>b，
35岁以下男性比35岁以下女性多，即c>d，
根据第2个等高堆积条形图可知，男性中35岁及以上的比35岁以下的多，即a>c，
女性中35岁及以上的比35岁以下的多，即b>d．
对于选项A，男性人数为a＋c，女性人数为b＋d，因为a>b，c>d，所以a＋c>b＋d，故A正确；
对于选项B，35岁及以上女性人数为b，35岁以下女性人数为d，因为b>d，故B正确；
对于选项C，35岁以下男性人数为c，35岁及以上女性人数为b，无法从图中直接判断b与c的大小关系，故C不一定正确；
对于选项D，35岁及以上的人数为a＋b，35岁以下的人数为c＋d，因为a>c，b>d，
所以a＋b>c＋d，故D正确．
故选ABD．]
[多维变迁]
(2025·平凉期末)假设有两个分类变量X，Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为
X Y 合计
y1 y2
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(　　)
A．a＝2，b＝3，c＝3，d＝7
B．a＝1，b＝4，c＝2，d＝8
C．a＝1，b＝4，c＝4，d＝1
D．a＝9，b＝1，c＝4，d＝1
√
C　[对于A，，
对于B，＝0，
对于C，，
对于D，，
由于>0，
故选C．]
考点二　χ2计算与独立性检验
[典例2]　某景区自从实行门票打折，开展沉浸式体验活动，推出特色美食等措施后，旅游人数明显增加，为了解景区游客性别与满意度的关系，随机抽查了200名游客，得到如下列联表．
单位：人
性别 满意度 合计
满意 不满意
男 100 150
女 30
合计
填写上表，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为游客性别与满意度有关？
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
[解]　由题意可得2×2列联表如下．
单位：人
性别 满意度 合计
满意 不满意
男 100 50 150
女 20 30 50
合计 120 80 200
零假设为
H0：游客性别与满意度无关．
χ2＝＝≈11.111>10.828，
所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为游客性别与满意度有关．
思维建模：“补、提、套、比、说”五步模型法求解独立性检验问题
第1步　补：根据题干数据和信息，补全2×2列联表．
第2步　提：提出零假设H0：两个变量X与Y相互独立．
第3步　套：套公式χ2＝计算．
第4步　比：查表找到临界值xα，将计算出的χ2与xα比较大小．
第5步　说：若χ2≥xα，我们就推断H0不成立，即X与Y不独立；若χ2易错提醒：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的xα值与求得的χ2值相比较．
【教用·通性通法】
如果χ2>xα，则“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有足够证据支持结论“X与Y有关系”．
[多维变迁]
某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 合计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
合计 96 52 2 150
填写如下列联表：
单位：件
车间 产品 合计
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
合计
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
[解]　填写列联表如下：
单位：件
车间 产品 合计
优级品 非优级品
甲车间 26 24 50
乙车间 70 30 100
合计 96 54 150
零假设为
H0：甲、乙两车间产品的优级品率没有差异．
χ2＝＝4.687 5．
因为χ2＝4.687 5>3.841＝x0.05，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，此推断犯错误的概率不大于0.05；
因为χ2＝4.687 5<6.635＝x0.01，所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为甲、乙两车间产品的优级品率没有差异．
【教用·备选题】
1．(2025·八省联考)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，得到如下列联表：
单位：只
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用 100 80 s
服用 150 70 220
合计 250 t 400
(1)求s，t；
(2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p，给出p的估计值；
(3)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
[解]　(1)由列联表知，s＝100＋80＝180，t＝80＋70＝150．
(2)由列联表知，未服用药物A的动物有s＝180只，未服用药物A且患疾病B的动物有80只，所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为，所以未服用药物A的动物患疾病B的概率的估计值为p＝．
(3)零假设为
H0：药物A对预防疾病B无效．
根据列联表中的数据可求得
χ2＝≈6.73>6.635＝x0.01．
根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以认为H0不成立，所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，可以认为药物A对预防疾病B有效．
2．(2023·全国甲卷改编)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2
25.8　26.5　27.5　30.1　32.6　34.3
34.8　35.6　35.6　35.8　36.2　37.3
40.5　43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8　 9.2　 11.4　 12.4　 13.2　 15.5
16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2
21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2
32.3 36.5
(1)计算试验组的样本平均数；
(2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：
单位：g
组别 体重增加量 合计
对照组
试验组
合计
(ⅱ)根据(ⅰ)中的列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
α 0.100 0.050 0.010
xα 2.706 3.841 6.635
[解]　(1)试验组的样本平均数为×(7.8＋9.2＋11.4＋12.4＋13.2＋15.5＋16.5＋18.0＋18.8＋19.2＋19.8＋20.2＋21.6＋22.8＋23.6＋23.9＋25.1＋28.2＋32.3＋36.5)＝19.8．
(2)(ⅰ)将40个数据按照从小到大的顺序依次排列，得最中间的两个数据即第20个和第21个数据分别为23.2和23.6，则40只小白鼠体
重的增加量的中位数m＝＝23.4．
列联表如下：
单位：g
组别 体重增加量 合计
对照组 6 14 20
试验组 14 6 20
合计 20 20 40
(ⅱ)零假设为
H0：小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量无差异．
χ2＝＝＝6.4>3.841＝x0.05，
故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异，此推断犯错的概率不超过0.05．
1．(链接考点一)(2025·沈阳期中)为了了解性别与视力之间的关系，一个调查机构得到2×2列联表如下，则当m取下面何值时，性别与视力无关的可能性最大(　　)
单位：人
近视情况 性别 合计
男 女
近视 240 200 440
不近视 m 50 50＋m
合计 240＋m 250 490＋m
A．40 B．60
C．100 D．240
√
B　[依题意，要使性别与视力无关的可能性最大，
则240×50＝200m，
解得m＝60．
故选B．]
2．(链接考点一)(多选)(2026·揭阳榕城区模拟)为保护学生视力、促进学生身心健康发展，某中学研究型学习小组从该校学生中按男、女生比例，采用分层随机抽样的方法选取了100名学生(其中男生60人，女生40人)，调查他们每日使用手机的时间．若每日使用手机时间超过40分钟，则认为该生手机成瘾．根据统计数据得到如图所示的等高堆积条形图，用样本估计总体，
用频率估计概率，下列说法正确的有(　　)
A．该校男生和女生人数之比为3∶2
B．手机是否成瘾一定与学生的性别有关系
C．从该校学生中随机抽取一名学生，则该生手机成瘾的概率为
D．从该校学生中抽到一名手机成瘾的学生，则该生是男生的概率为
√
√
AC　[选项A，根据分层随机抽样的抽样比可知，样本中男生和女生人数之比为60∶40＝3∶2，
用样本估计总体，则全校男生和女生人数之比为3∶2，故选项A正确；
选项B，样本中男生有20%手机成瘾，女生有40%手机成瘾，比例关系差异很大，
所以手机是否成瘾与学生的性别很大概率上有关系，但不能说“一定与学生的性别有关系”，故选项B错误；
选项C，由题意知，男生中有60×20%＝12(人)手机成瘾，女生中有40×40%＝16(人)手机成瘾，
即在抽取的100人样本中，有28人手机成瘾，
所以样本中学生手机成瘾的频率为，
用频率估计概率，从该校学生中随机抽取一名学生，该生手机成瘾的概率为，故选项C正确；
选项D，由条件概率知，在样本中抽到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率为，
用样本估计总体，从该校学生中抽到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率也为，故选项D错误．
故选AC．]
3．(链接考点二)(2025·连云港期末)为了鉴定某新疫苗的效力，将60只小白鼠随机地分为两组，在其中一组接种疫苗后，两组都注射了病原菌，其结果如下面的列联表．根据此列联表中的数据可以求得χ2＝ ______________．
单位：只
接种情况 发病情况 合计
发病 未发病
接种 3 27 30
未接种 17 13 30
合计 20 40 60
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
14.7　
14.7　[根据题意可知，n＝60，a＝3，b＝27，c＝17，d＝13，
则χ2＝＝14.7．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
√
一、单项选择题
1．(人教A版选择性必修第三册P134练习T4改编)某学习小组通过随机调查，利用2×2列联表和χ2统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关．计算得χ2＝6.748，经查阅临界值表知χ2≥6.635＝x0.01，则下列判断正确的是(　　)
A．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生
B．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.01
C．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“数学成绩优秀与性别无关”
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”
课时作业(七十二)　列联表与独立性检验
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
D　[因为χ2＝6.748>6.635＝x0.01，所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“数学成绩优秀与性别有关”，即在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学成绩优秀与性别有关，所以ABC错误．故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
2．根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到χ2＝2.954，则(　　)
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．变量Ⅰ与Ⅱ相关
B．变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1
C．变量Ⅰ与Ⅱ不相关
D．变量Ⅰ与Ⅱ不相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
B　[零假设为
H0：变量Ⅰ与Ⅱ不相关．
因为χ2＝2.954>2.706＝x0.1，依据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，推断H0不成立，即认为变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个推断犯错误的概率不超过0.1．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
3．(2026·湛江模拟)某养老院有110名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病和性别的相关数据如下表所示：
单位：人
性别 是否患过某流行疾病 合计
患过该疾病 未患过该疾病
男 a＝20 b a＋b
女 c d＝50 c＋d
合计 a＋c 80 110
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
下列说法错误的是(　　)
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
A．
B．χ2>6.635
C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联
D．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病与性别有关联
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
D　[根据列联表中的数据可求得b＝30，c＝10．
对于A，代入计算可得，正确；
对于B，χ2＝≈7.486>6.635，可得B正确；
对于C，D，结合附表数值以及独立性检验的实际意义，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联，即C正确，D错误．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
二、多项选择题
4．(2025·大同期中)可用于推断两个分类变量之间是否有关联的是
(　　)
A．散点图 B．等高堆积条形图
C．列联表 D．χ2独立性检验
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
BCD　[散点图不适用于推断两个分类变量之间是否有关联，所以A选项错误；
而等高堆积条形图、列联表、χ2独立性检验适用于推断两个分类变量之间是否有关联，所以BCD选项正确．故选BCD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
5．(2025·上饶月考)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则(　　)
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
A．参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
B．从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为
C．依据α＝0.1的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1
D．假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据α＝0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
ABD　[随机抽取了300名学生，则经常锻炼人数为200，不经常锻炼人数为100．
对于选项A，由等高堆积条形图知，男生中经常锻炼的人数为200×50%＝100，不经常锻炼的人数为100×60%＝60，∴A正确；
对于选项B，由等高堆积条形图知，女生中经常锻炼的人数为200×50%＝100，不经常锻炼的人数为100×40%＝40，
∴从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为，∴B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
对于选项C，由题意可得列联表如下：
单位：人
性别 锻炼情况 合计
不经常 经常
女生 40 100 140
男生 60 100 160
合计 100 200 300
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
∵χ2＝≈2.679<2.706＝x0.1，
∴依据α＝0.1的独立性检验，不能认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，∴C错误；
对于选项D，2×2列联表如下：
单位：人
性别 锻炼情况 合计
不经常 经常
女生 80 200 280
男生 120 200 320
合计 200 400 600
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
∴χ2＝
≈5.357>3.841＝x0.05，
∴依据α＝0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05，∴D正确．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
三、填空题
6．(2025·酒泉期末)下面是一个2×2列联表：
x y 合计
y1 y2
x1 a 21 70
x2 5 c 30
合计 b d 100
则由上表可得a＋c＝ ______________．
74　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
74　[由题意知a＋21＝70，c＋5＝30，
可得a＝49，c＝25，
所以a＋c＝74．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
7．(2025·孝感期末)为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得如表所示的数据：
单位：人
性别 疗效 合计
无效 有效
男性患者 15 35 50
女性患者 6 44 50
合计 21 79 100
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
零假设为H0：服用此药的效果与患者的性别无关，则χ2≈ ______________(小数点后保留3位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不大于______________．
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
4.882　
　0.05
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
4.882　0.05　[根据题意可知，χ2＝≈4.882>3.841＝x0.05，
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为服用此药的效果与患者的性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
四、解答题
8．(2025·临沂期末)为了普及安全教育，某学校随机抽取男生、女生各100名进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得知，该校有85%的同学成绩超过90分，具体情况如表格：
单位：人
性别 了解安全知识的程度
得分不超过90分 得分超过90分
男生 10 λ
女生 t μ
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
(1)求λ，μ，t；
(2)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关？
附：χ2＝，
α 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
[解]　(1)根据题意可知，
该校成绩超过90分的人数为200×85%＝170，
成绩没有超过90分的人数为200－170＝30，
因此λ＝90，μ＝80，t＝20．
(2)零假设为
H0：该校男生和女生了解安全知识的程度与性别无关．
因为χ2＝＝≈3.92<6.635＝x0.01，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，
所以不能推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
√
一、单项选择题
1．(2025·商丘期末)某羽毛球俱乐部有A队和B队，其中A队有80名学员，B队有60名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为m的样本，已知从B队中抽取了15名学员，则m的值为(　　)
A．30 B．25
C．40 D．35
阶段检测(十五)　第69～72课时
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
D　[由分层随机抽样的特点可得，
解得m＝35．故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
2．(2026·温州模拟)将收集到的6对数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5，6)制作如图所示的散点图(点旁数据为该点坐标)，由最小二乘法计算得经验回归方程l1：残差分析确定点E对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得经验回归方程l2：样本相关系数为r2，决定系数．则以下结论中，不正确的是(　　)
A．r1>0，r2>0 B．>0
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
D　[从题干散点图可以看出，两个变量是正相关，故A正确；从题干散点图可以看出，经验回归直线的斜率是正数，且l1的斜率大于l2的斜率，故B和C正确；从题干散点图可以看出，去掉“离群点”E后，相关性更强，拟合的效果更好，R2值越大，模型的拟合效果越好，所以，故D错误．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
3．(2026·合肥模拟)若样本数据2x1＋3，2x2＋3，…，2x8＋3的方差为32，则数据x1，x2，…，x8的方差为(　　)
A．16 B．8
C．13 D．5
√
B　[因为样本数据2x1＋3，2x2＋3，…，2x8＋3的方差为32，
所以数据x1，x2，…，x8的方差为＝8．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
4．(2026·新余模拟)某品牌啤酒厂，进行市场调研，发现该品牌啤酒在某地的月销量随着每瓶啤酒的定价不同而发生变化，连续调研5个月得到的数据如下表所示：
第1 个月 第2 个月 第3 个月 第4 个月 第5
个月
单价x/元 6 6.5 7 7.5 8
销量y/万瓶 90 85 80 75 70
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
根据以上数据得到y与x具有较强的线性关系，若用最小二乘估计得到经验回归方程，则(　　)
A．样本相关系数r>0
B．点(7.5，75)一定在经验回归直线上
C．＝160
D．当每瓶啤酒为9.5元时，月销量一定为50万瓶
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
B　[对于A，由，－10<0，可得y与x负相关，故A错误；
对于B，C，由表中数据可得＝7，＝80，
将(7，80)代入，得80＝－10×7＋，
解得＝150，则经验回归方程为＝－10x＋150，
当x＝7.5时，＝－10×7.5＋150＝75，故(7.5，75)在经验回归直线上，故B正确，C错误；
对于D，当x＝9.5时，＝－10×9.5＋150＝55，这是一个估计值，不是精确值，故D错误．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
二、多项选择题
5．某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层随机抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，将调查的结果整理得到如下等高堆积条形图和列联表，则(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
单位：人
性别 数学兴趣 合计
感兴趣 不感兴趣
女生 a b a＋b
男生 c d c＋d
合计 a＋c b＋d 100
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
A．表中a＝12，c＝30
B．可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生人数多
C．根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异
D．根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
ACD　[由题意可知，抽取男生人数为600×＝60，女生抽取的人数为400×＝40，
由等高堆积条形图知，抽取男生感兴趣的人数为60×0.5＝30，抽取男生不感兴趣的人数为60×0.5＝30，
抽取女生感兴趣的人数为40×0.3＝12，抽取女生不感兴趣的人数为40×0.7＝28，则2×2列联表如下：
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
单位：人
性别 数学兴趣 合计
感兴趣 不感兴趣
女生 12 28 40
男生 30 30 60
合计 42 58 100
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
对于A，由此表可知，a＝12，c＝30，故A正确；
对于B，女生不感兴趣的人数约为400×＝280，男生不感兴趣的人数约为600×＝300，
所以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生人数少，故B错误；
对于C，零假设为
H0：性别与对数学的兴趣没有差异．
χ2＝≈3.941>3.841＝x0.05，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0不成立，即可以认为性别与对数学的兴趣有差异，故C正确；
对于D，由C项知χ2≈3.941<6.635＝x0.01，
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即可以认为性别与对数学的兴趣没有差异，故D正确．故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
三、填空题
6．(2026·武汉东西湖区校级模拟)随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从2025年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游比例，如图所示，则估计2025年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的______________(填百分数)．
13.5%　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
13.5%　[设2025年到该地旅游的游客总人数为a，由扇形图可知，游客中青年人所占百分比为1－35%－20%＝45%，
则游客中青年人的人数为0.45a，
其中选择自助游的青年人的人数为0.45a×0.3＝0.135a，
所以估计2025年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的13.5%．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
四、解答题
7．(北师大版选择性必修第一册P241习题7－1T1)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：
零件数x/个 10 20 30 40 50
加工时间y/min 62 68 75 81 89

零件数x/个 60 70 80 90 100
加工时间y/min 95 102 108 115 122
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
(1)画出散点图；
(2)求y关于x的经验回归方程；
(3)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
[解]　(1)散点图如下．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
(2)由已知得＝55，＝91.7，
(xi－)(yi－)＝5 515，
(xi－)2＝8 250，所以≈0.668，
≈91.7－0.668×55＝54.96．
所以经验回归方程为＝0.668x＋54.96．
(3)关于加工零件的个数与加工时间，我们得到的结论是：加工的零件越多，所花的时间大致越长．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
8．(人教B版选择性必修第二册P122习题4－3BT4)某工厂有25周岁及以上的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁及以上”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下”的工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件列出2×2列联表，依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为“生产能手”与工人所在的年龄组有关？
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
[解]　(1)由已知得样本中有25周岁及以上组工人60名，25周岁以下组工人40名，
所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中25周岁及以上组有60×0.05＝3(人)，分别记为A1，A2，A3，25周岁以下组有40×0.05＝2(人)，分别记为B1，B2，
从中随机抽取2人，所有可能的结果共10种，分别是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，
其中至少抽到1名25周岁以下组的工人的结果有7种，
故所求概率P＝．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
(2)由频率分布直方图可知在抽取的100名工人中，
“25周岁及以上组”中的“生产能手”有60×0.25＝15(人)，
“25周岁以下组”中的“生产能手”有40×0.375＝15(人)，
据此可得2×2列联表如下：
单位：人
分组 生产件数 合计
≥80 <80
25周岁及以上组 15 45 60
25周岁以下组 15 25 40
合计 30 70 100
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
零假设为
H0：“生产能手”与工人所在的年龄组无关．
χ2＝＝≈1.786<2.706＝x0.1．
所以依据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为“生产能手”与工人所在的年龄组无关．
谢谢！课时作业(七十二)　列联表与独立性检验
一、单项选择题
1．(人教A版选择性必修第三册P134练习T4改编)某学习小组通过随机调查，利用2×2列联表和χ2统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关．计算得χ2＝6.748，经查阅临界值表知χ2≥6.635＝x0.01，则下列判断正确的是(　　)
A．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生
B．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.01
C．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“数学成绩优秀与性别无关”
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”
2．根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到χ2＝2.954，则(　　)
A．变量Ⅰ与Ⅱ相关
B．变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1
C．变量Ⅰ与Ⅱ不相关
D．变量Ⅰ与Ⅱ不相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1
3．(2026·湛江模拟)某养老院有110名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病和性别的相关数据如下表所示：
单位：人
性别 是否患过某流行疾病 合计
患过该疾病 未患过该疾病
男 a＝20 b a＋b
女 c d＝50 c＋d
合计 a＋c 80 110
下列说法错误的是(　　)
A．>
B．χ2>6.635
C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联
D．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病与性别有关联
二、多项选择题
4．(2025·大同期中)可用于推断两个分类变量之间是否有关联的是(　　)
A．散点图 B．等高堆积条形图
C．列联表 D．χ2独立性检验
5．(2025·上饶月考)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则(　　)
A．参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
B．从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为
C．依据α＝0.1的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1
D．假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据α＝0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05
三、填空题
6．(2025·酒泉期末)下面是一个2×2列联表：
x y 合计
y1 y2
x1 a 21 70
x2 5 c 30
合计 b d 100
则由上表可得a＋c＝ ________．
7．(2025·孝感期末)为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得如表所示的数据：
单位：人
性别 疗效 合计
无效 有效
男性患者 15 35 50
女性患者 6 44 50
合计 21 79 100
零假设为H0：服用此药的效果与患者的性别无关，则χ2≈________(小数点后保留3位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不大于________．
四、解答题
8．(13分)(2025·临沂期末)为了普及安全教育，某学校随机抽取男生、女生各100名进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得知，该校有85%的同学成绩超过90分，具体情况如表格：
单位：人
性别 了解安全知识的程度
得分不超过90分 得分超过90分
男生 10 λ
女生 t μ
(1)求λ，μ，t；
(2)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关？
课时作业(七十二)
1．D　[因为χ2＝6.748>6.635＝x0.01，所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“数学成绩优秀与性别有关”，即在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学成绩优秀与性别有关，所以ABC错误．故选D．]
2．B　[零假设为
H0：变量Ⅰ与Ⅱ不相关．
因为χ2＝2.954>2.706＝x0.1，依据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，推断H0不成立，即认为变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个推断犯错误的概率不超过0.1．故选B．]
3．D　[根据列联表中的数据可求得b＝30，c＝10．
对于A，代入计算可得，正确；
对于B，χ2＝
≈7.486>6.635，可得B正确；
对于C，D，结合附表数值以及独立性检验的实际意义，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联，即C正确，D错误．]
4．BCD　[散点图不适用于推断两个分类变量之间是否有关联，所以A选项错误；
而等高堆积条形图、列联表、χ2独立性检验适用于推断两个分类变量之间是否有关联，所以BCD选项正确．
故选BCD．]
5．ABD　[随机抽取了300名学生，则经常锻炼人数为200，不经常锻炼人数为100．
对于选项A，由等高堆积条形图知，男生中经常锻炼的人数为200×50%＝100，不经常锻炼的人数为100×60%＝60，∴A正确；
对于选项B，由等高堆积条形图知，女生中经常锻炼的人数为200×50%＝100，不经常锻炼的人数为100×40%＝40，
∴从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为，∴B正确；
对于选项C，由题意可得列联表如下：
单位：人
性别 锻炼情况 合计
不经常 经常
女生 40 100 140
男生 60 100 160
合计 100 200 300
∵χ2＝
≈2.679<2.706＝x0.1，
∴依据α＝0.1的独立性检验，不能认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，∴C错误；
对于选项D，2×2列联表如下：
单位：人
性别 锻炼情况 合计
不经常 经常
女生 80 200 280
男生 120 200 320
合计 200 400 600
∴χ2＝≈5.357>3.841＝x0.05，
∴依据α＝0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05，∴D正确．
故选ABD．]
6.74　[由题意知a＋21＝70，c＋5＝30，
可得a＝49，c＝25，
所以a＋c＝74．]
7.4．882　0.05　[根据题意可知，
χ2＝≈4.882>3.841
＝x0.05，
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为服用此药的效果与患者的性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．]
8．解：(1)根据题意可知，
该校成绩超过90分的人数为200×85%＝170，
成绩没有超过90分的人数为200－170＝30，
因此λ＝90，μ＝80，t＝20．
(2)零假设为
H0：该校男生和女生了解安全知识的程度与性别无关．
因为χ2＝≈3.92<6.635＝x0.01，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，
所以不能推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关．
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