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第75课时　随机事件与概率
[考试要求]　1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．2．理解事件间的关系与运算．3．掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．
知识点1　样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的________，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．
②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示．
③随机事件的极端情形：________、________．
知识点2　两个事件的关系和运算
事件的关 系或运算 含义 符号表示 图形表示
包含 A发生导致B发生 ________
并事件 (和事件) A与B至少一个发生 ________
交事件 (积事件) A与B同时发生 ________
互斥(互 不相容) A与B不能同时发生 ________
互为对立 A与B有且仅有一个发生 ________且________
知识点3　古典概型
(1)古典概型的特征
①有限性：样本空间的样本点只有________；
②等可能性：每个样本点发生的可能性________．
(2)古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝________．
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
知识点4　概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0．
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0．
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝________．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝________．
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)．由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝________．
知识点5　频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐________事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
(3)频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
1．(人教A版必修第二册P231练习T3改编)从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．
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2．(人教A版必修第二册P235练习T1)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(　　)
A．至多一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都没有中靶
3．(北师大版必修第一册P194习题7－1 A组T2)下列说法正确的是(　　)
A．互斥事件与对立事件含义相同
B．互斥事件必是对立事件
C．对立事件必是互斥事件
D．对立事件可以是互斥事件，也可以不是互斥事件
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4．(人教A版必修第二册P241练习T3)从0～9这10个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字为1的概率是________；这个数的四次方的个位数字为1的概率是________．
5．(人教A版必修第二册P246习题10.1T8)从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率是________．
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6． (人教A版必修第二册P245练习T1)已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3．
(1)如果B A，那么P(A∪B)＝________，P(AB)＝________；
(2)如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝________，P(AB)＝________．
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7．(苏教版必修第二册P287习题15.2 T16改编)全班50名学生每人抛掷20枚图钉，最后对全班统计钉尖朝上的频数为782次，由此估计钉尖朝上的概率为________．
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考点一　随机事件
　随机事件间关系的判断
[典例1]　(1)王老师从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访．事件P表示“抽中甲、乙两位同学”，事件Q表示“抽中甲、丙两位同学”，则(　　)
A．P是必然事件 B．Q是不可能事件
C．P与Q是互斥事件 D．P与Q是对立事件
(2)(2025·西宁期末)抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数，则下列选项中的两个事件，互斥但不对立的是(　　)
A．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为偶数”
B．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为奇数”
C．事件“点数之和不小于8”与事件“点数之和不大于7”
D．事件“点数之积不小于7”与事件“点数之积不大于8”
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易错提醒：当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
　互斥、对立事件的概率
[典例2]　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
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通性通法：进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式．
[多维变迁]
1．(多选)下列说法正确的有(　　)
A．若事件A B，则P(A)≤P(B)
B．若A，B为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1
C．若A，B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
D．P(A∪B)2．某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.2，则这个射手在一次射击中射中环数不够7环的概率为________．
　随机事件的频率与概率
[典例3]　(多选)下列命题正确的是(　　)
A．随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B．抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是
C．有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则一定有190件正品，10件次品
D．抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的概率是0.51
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通性通法：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
考点二　古典概型
[典例4]　(1)(2025·武汉期末)某汽车调查研究机构从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出3辆去参加一项智能驾驶测试大赛，则选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2024·天津卷)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为________．
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通性通法：求古典概型的概率的关键，是求试验样本点的总数和事件A包含的样本点的个数，这就需要正确列出样本点，样本点的表示方法有列举法(列表法、树状图法)以及排列、组合法．
[多维变迁]
(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　)
A． B．
C． D．
考点三　概率的性质及应用
[典例5]　某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示．
人数 0 1 2 3 4 5人及以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
(1)求派出医生至多2人的概率；
(2)求派出医生至少2人的概率．
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易错提醒：互斥事件的概率加法公式的适用条件是事件必须是互斥事件．重视利用对立事件的概率和等于1，用间接法求概率，即“正难则反”的思想，常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．
1．(链接考向1)(2025·哈密市期末)在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是(　　)
A．A∪B∪C是必然事件
B．A与B是互斥事件
C．P(A∩B)≤0.4
D．P(A∪B)＝1.1
2．(链接考向3)(2025·蚌埠期末)甲同学在数学探究活动中做抛硬币试验，共抛掷了2 000次，其中正面朝上的有1 034次，则下列说法正确的是(　　)
A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517
B．甲同学的试验中，反面朝上的频率为0.483
C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5
D．甲同学的试验中，正面朝上的频率接近0.517
3．(链接考向2)已知事件A，B互斥，且P(A∪B)＝，P(A)＝3P(B)，则P()＝(　　)
A． B．
C． D．
4．(链接考点三)(多选)已知事件A，B，C两两互斥，若P(A)＝，P(A∪B)＝，P(A∪C)＝，则下列结论中正确的是(　　)
A．P(B)＝ B．P(C)＝
C．P(B∪C)＝ D．P(B∩C)＝0
5．(链接考点二)(2025·曲靖期末)从大于1且小于50的整数中任意选取1个，则被选取的整数是质数的概率为________．
第75课时　随机事件与概率
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)样本空间　(2)必然事件　不可能事件
知识点2　A B　A∪B或A＋B　A∩B或AB　A∩B＝ 　A∩B＝ 　A∪B＝Ω
知识点3　(1)有限个　相等　(2)
知识点4　P(A)＋P(B)　1－P(B)
P(A)＋P(B)－P(A∩B)
知识点5　(1)稳定于
链教材·夯基固本
1．Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}　5　[任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5．]
2．D　[连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶；②只有一次中靶；③两次都没有中靶，故选D．]
3．C　[互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．故选C．]
4．　　[从0~9这10个数中随机选择一个数，共有10种可能，其样本空间可表示为Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．若一个数的平方的个位数字为1，则该数为1或9，共2个，故其概率为；若一个数的四次方的个位数字为1，则该数平方的个位数字为1或9，所以该数为1，3，7，9，共4个，故其概率为．]
5．　[该试验的样本空间可表示为Ω＝{(1，3，5)，(1，3，7)，(1，3，9)，(1，5，7)，(1，5，9)，(1，7，9)，(3，5，7)，(3，5，9)，(3，7，9)，(5，7，9)}，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3，5，7)，(3，7，9)，(5，7，9)，共3个，故所求概率P＝．]
6．(1)0.5　0.3　(2)0.8　0　[(1)如果B A，那么A∪B＝A，A∩B＝B，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.5，P(AB)＝P(B)＝0.3．
(2)如果A，B互斥，那么A∩B＝ ，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8，P(AB)＝0．]
7.0．782　[总共50×20＝1 000(次)，
从全班情况看频率为＝0.782，
由此估计钉尖朝上的概率为0.782．]
考点深研·题型突破
考点一
考向1　典例1　(1)C　(2)B　[(1)从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访，所有的基本事件有(甲乙)，(甲丙)，(乙丙)，对于A，P不一定发生，故不是必然事件；
对于B，Q可能发生，所以不是不可能事件；
对于C，P与Q不能同时发生，故P与Q是互斥事件；
对于D，P与Q不能同时发生，但P∪Q不是全部事件，所以不是对立事件．故选C．
(2)对于A，例如点数(1，2)，满足题意要求，所以二者能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，点数之和为奇数，两数一奇一偶，点数之积为奇数，两数均为奇数，两事件不能同时发生，存在两数和为偶数且积为偶数的情况，所以二者互斥但不对立，故B正确；
对于C，二者不能同时不发生，也不能同时发生，是对立事件，故C错误；
对于D，二者能同时发生，不是互斥事件，如点数(4，2)，故D错误．
故选B．]
考向2　典例2　解：(1)易知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
(2)1张奖券中奖包含中特等奖或一等奖或二等奖．设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C．因为A，B，C两两互斥，所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝．故1张奖券的中奖概率为．
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件．所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－．故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为．
多维变迁
1．ABC　[若事件B包含事件A，则P(A)≤P(B)，故A正确；
若A，B为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1，故B正确；
若A，B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故C正确；
因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以当A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故D错误．故选ABC．]
2.0．11　[记“射中环数不够7环”为事件D，则事件为“射中10环或9环或8环或7环”，
所以P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.2＝0.89，所以P(D)＝1－P()＝1－0.89＝0.11．]
考向3　典例3　AB　[随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故A正确；
抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是，故B正确；
有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则不一定抽取到190件正品和10件次品，故C错误；
100次并不是无穷多次，抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则不能得出抛掷一次该硬币出现正面的概率是0.51，故D错误．故选AB．]
考点二
典例4　(1)C　(2)　　[(1)由题意，从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出3辆，有＝20(种)情况，
选出的3辆中至少有1辆新能源车，有＝16(种)情况，
所以选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为．
故选C．
(2)法一：列举法
从五个活动中选三个的情况有
ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种情况，
其中甲选到A有6种可能情况：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，
则甲选到A的概率为．
乙选A活动有6种可能情况：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，
其中再选择B有3种可能情况：ABC，ABD，ABE，
故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为．
法二：设甲、乙选到A为事件M，乙选到B为事件N，
则甲选到A的概率为P(M)＝．
乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P(N|M)＝．]
多维变迁
　B　[画出树状图：
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为．故选B．]
考点三
典例5　解：设事件A＝“不派出医生”，事件B＝“派出1名医生”，事件C＝“派出2名医生”，事件D＝“派出3名医生”，事件E＝“派出4名医生”，事件F＝“派出5名或5名以上医生”，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04．
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．
(2)法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74．
法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P(A∪B)＝1－(0.1＋0.16)＝0.74．
随堂·对点检测
1．C　[对于选项A，若A B C，则P(A∪B∪C)＝P(C)＝0.6<1，
所以A∪B∪C不是必然事件，故A错误；
对于选项B，若A B，则P(A∩B)＝P(A)＝0.4≠0，所以A与B不是互斥事件，故B错误；
对于选项C，由(A∩B) A，得P(A∩B)≤P(A)＝0.4，故C正确；
对于选项D，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.9－P(A∩B)，
而P(A∩B)≥0，
所以P(A∪B)≤0.9，故D错误．
故选C．]
2．B　[对于A，抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.5，为定值，故A错误；
对于B，甲同学的试验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确；
对于C，抛掷一枚硬币，反面朝上的概率为0.5，故C错误；
对于D，甲同学的试验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误．
故选B．]
3．D　[根据题意可知，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝，又P(A)＝3P(B)，
所以P(B)＝，则P()＝．
故选D．]
4．ACD　[因为事件A，B，C两两互斥，所以P(B∩C)＝0，故D正确；由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋P(B)＝，得P(B)＝，故A正确；由P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝＋P(C)＝，得P(C)＝，故B错误；P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，故C正确．故选ACD．]
5．　[根据题意，设A＝“被选取的整数是质数”，大于1且小于50的整数共有48个，
其中质数包含2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，共15个，
故P(A)＝．]
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第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布
第75课时　随机事件与概率
[考试要求]　1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．2．理解事件间的关系与运算．3．掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．
理法先行·题练固本
知识点1　样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的________，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
样本空间
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．
②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示．
③随机事件的极端情形：________、__________．
必然事件
不可能事件
知识点2　两个事件的关系和运算
事件的关 系或运算 含义 符号表示 图形表示
包含 A发生导致B发生 ____
并事件 (和事件) A与B至少一个发生 __________
A B
A∪B或A＋B
事件的关 系或运算 含义 符号表示 图形表示
交事件 (积事件) A与B同时发生 ________
互斥(互 不相容) A与B不能同时发生 ________
互为对立 A与B有且仅有一个发生 _________且_________
　A∩B或AB　
A∩B＝
A∩B＝ 　
A∪B＝Ω
知识点3　古典概型
(1)古典概型的特征
①有限性：样本空间的样本点只有______；
②等可能性：每个样本点发生的可能性____．
有限个
相等
(2)古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝．
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
知识点4　概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0．
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0．
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝______________．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝_________．
P(A)＋P(B)
1－P(B)
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)．由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝_________________________．
P(A)＋P(B)－P(A∩B)
知识点5　频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐______事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
(3)频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
稳定于
1．(人教A版必修第二册P231练习T3改编)从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为_____________________________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为______________．
Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}　5　[任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5．]
Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}　
5　
2．(人教A版必修第二册P235练习T1)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(　　)
A．至多一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶
√
D　[连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶；②只有一次中靶；③两次都没有中靶，故选D．]
3．(北师大版必修第一册P194习题7－1 A组T2)下列说法正确的是
(　　)
A．互斥事件与对立事件含义相同
B．互斥事件必是对立事件
C．对立事件必是互斥事件
D．对立事件可以是互斥事件，也可以不是互斥事件
√
C　[互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．故选C．]
4．(人教A版必修第二册P241练习T3)从0~9这10个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字为1的概率是______________；这个数的四次方的个位数字为1的概率是______________．
　[从0~9这10个数中随机选择一个数，共有10种可能，其样本空间可表示为Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．若一个数的平方的个位数字为1，则该数为1或9，共2个，故其概率为；若一个数的四次方的个位数字为1，则该数平方的个位数字为1或9，所以该数为1，3，7，9，共4个，故其概率为．]
5．(人教A版必修第二册P246习题10.1T8)从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率是______________．
　[该试验的样本空间可表示为Ω＝{(1，3，5)，(1，3，7)，(1，3，9)，(1，5，7)，(1，5，9)，(1，7，9)，(3，5，7)，(3，5，9)，(3，7，9)，(5，7，9)}，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3，5，7)，(3，7，9)，(5，7，9)，共3个，故所求概率P＝．]
　
6． (人教A版必修第二册P245练习T1)已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3．
(1)如果B A，那么P(A∪B)＝__________，P(AB)＝________；
(2)如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝________，P(AB)＝_________．
(1)0.5　0.3　(2)0.8　0　[(1)如果B A，那么A∪B＝A，A∩B＝B，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.5，P(AB)＝P(B)＝0.3．
(2)如果A，B互斥，那么A∩B＝ ，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8，P(AB)＝0．]
0.5　
0.3　
0.8　
0　
7．(苏教版必修第二册P287习题15.2 T16改编)全班50名学生每人抛掷20枚图钉，最后对全班统计钉尖朝上的频数为782次，由此估计钉尖朝上的概率为______________．
0.782　[总共50×20＝1 000(次)，
从全班情况看频率为＝0.782，
由此估计钉尖朝上的概率为0.782．]
0.782　
考点深研·题型突破
考点一　随机事件
考向1　随机事件间关系的判断
[典例1]　(1)王老师从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访．事件P表示“抽中甲、乙两位同学”，事件Q表示“抽中甲、丙两位同学”，则(　　)
A．P是必然事件 B．Q是不可能事件
C．P与Q是互斥事件 D．P与Q是对立事件
√
(2)(2025·西宁期末)抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数，则下列选项中的两个事件，互斥但不对立的是(　　)
A．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为偶数”
B．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为奇数”
C．事件“点数之和不小于8”与事件“点数之和不大于7”
D．事件“点数之积不小于7”与事件“点数之积不大于8”
√
(1)C　(2)B　[(1)从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访，所有的基本事件有(甲乙)，(甲丙)，(乙丙)，对于A，P不一定发生，故不是必然事件；
对于B，Q可能发生，所以不是不可能事件；
对于C，P与Q不能同时发生，故P与Q是互斥事件；
对于D，P与Q不能同时发生，但P∪Q不是全部事件，所以不是对立事件．故选C．
(2)对于A，例如点数(1，2)，满足题意要求，所以二者能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，点数之和为奇数，两数一奇一偶，点数之积为奇数，两数均为奇数，两事件不能同时发生，存在两数和为偶数且积为偶数的情况，所以二者互斥但不对立，故B正确；
对于C，二者不能同时不发生，也不能同时发生，是对立事件，故C错误；
对于D，二者能同时发生，不是互斥事件，如点数(4，2)，故D错误．
故选B．]
易错提醒：当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
考向2　互斥、对立事件的概率
[典例2]　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解]　(1)易知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
(2)1张奖券中奖包含中特等奖或一等奖或二等奖．设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C．因为A，B，C两两互斥，所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝．故1张奖券的中奖概率为．
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件．所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－．故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为．
通性通法：进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式．
[多维变迁]
1．(多选)下列说法正确的有(　　)
A．若事件A B，则P(A)≤P(B)
B．若A，B为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1
C．若A，B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
D．P(A∪B)√
√
√
ABC　[若事件B包含事件A，则P(A)≤P(B)，故A正确；
若A，B为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1，故B正确；
若A，B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故C正确；
因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以当A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故D错误．故选ABC．]
2．某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.2，则这个射手在一次射击中射中环数不够7环的概率为______________．
0.11　[记“射中环数不够7环”为事件D，则事件为“射中10环或9环或8环或7环”，
所以P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.2＝0.89，
所以P(D)＝1－P()＝1－0.89＝0.11．]
0.11　
考向3　随机事件的频率与概率
[典例3]　(多选)下列命题正确的是(　　)
A．随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B．抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是
C．有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则一定有190件正品，10件次品
D．抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的概率是0.51
√
√
AB　[随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故A正确；
抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是，故B正确；
有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则不一定抽取到190件正品和10件次品，故C错误；
100次并不是无穷多次，抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则不能得出抛掷一次该硬币出现正面的概率是0.51，故D错误．故选AB．]
通性通法：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
【教用·备选题】
如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下．
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
[解]　(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
∴用频率估计相应的概率P＝＝0.44．
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1．
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P(B1)考点二　古典概型
[典例4]　(1)(2025·武汉期末)某汽车调查研究机构从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出3辆去参加一项智能驾驶测试大赛，则选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2024·天津卷)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为______________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为______________．
√
(1)C　(2)　[(1)由题意，从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出3辆，有＝20(种)情况，
选出的3辆中至少有1辆新能源车，有＝16(种)情况，
所以选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为．
故选C．
(2)法一：列举法
从五个活动中选三个的情况有
ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种情况，
其中甲选到A有6种可能情况：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，
则甲选到A的概率为．
乙选A活动有6种可能情况：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，
其中再选择B有3种可能情况：ABC，ABD，ABE，
故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为．
法二：设甲、乙选到A为事件M，乙选到B为事件N，
则甲选到A的概率为P(M)＝．
乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P(N|M)＝．]
通性通法：求古典概型的概率的关键，是求试验样本点的总数和事件A包含的样本点的个数，这就需要正确列出样本点，样本点的表示方法有列举法(列表法、树状图法)以及排列、组合法．
[多维变迁]
(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　)
A． B．
C． D．
√
B　[画出树状图：
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为．故选B．]
考点三　概率的性质及应用
[典例5]　某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示．
人数 0 1 2 3 4 5人及以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
(1)求派出医生至多2人的概率；
(2)求派出医生至少2人的概率．
[解]　设事件A＝“不派出医生”，事件B＝“派出1名医生”，事件C＝“派出2名医生”，事件D＝“派出3名医生”，事件E＝“派出4名医生”，事件F＝“派出5名或5名以上医生”，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04．
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．
(2)法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74．
法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P(A∪B)＝1－(0.1＋0.16)＝0.74．
易错提醒：互斥事件的概率加法公式的适用条件是事件必须是互斥事件．重视利用对立事件的概率和等于1，用间接法求概率，即“正难则反”的思想，常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．
1．(链接考向1)(2025·哈密市期末)在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是(　　)
A．A∪B∪C是必然事件
B．A与B是互斥事件
C．P(A∩B)≤0.4
D．P(A∪B)＝1.1
√
C　[对于选项A，若A B C，则P(A∪B∪C)＝P(C)＝0.6<1，
所以A∪B∪C不是必然事件，故A错误；
对于选项B，若A B，则P(A∩B)＝P(A)＝0.4≠0，所以A与B不是互斥事件，故B错误；
对于选项C，由(A∩B) A，得P(A∩B)≤P(A)＝0.4，故C正确；
对于选项D，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.9－P(A∩B)，而P(A∩B)≥0，
所以P(A∪B)≤0.9，故D错误．
故选C．]
2．(链接考向3)(2025·蚌埠期末)甲同学在数学探究活动中做抛硬币试验，共抛掷了2 000次，其中正面朝上的有1 034次，则下列说法正确的是(　　)
A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517
B．甲同学的试验中，反面朝上的频率为0.483
C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5
D．甲同学的试验中，正面朝上的频率接近0.517
√
B　[对于A，抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.5，为定值，故A错误；
对于B，甲同学的试验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确；
对于C，抛掷一枚硬币，反面朝上的概率为0.5，故C错误；
对于D，甲同学的试验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误．
故选B．]
3．(链接考向2)已知事件A，B互斥，且P(A∪B)＝)＝(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[根据题意可知，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝，又P(A)＝3P(B)，
所以P(B)＝，则P()＝．
故选D．]
4．(链接考点三)(多选)已知事件A，B，C两两互斥，若P(A)＝，P(A∪B)＝，P(A∪C)＝，则下列结论中正确的是(　　)
A．P(B)＝ B．
C．P(B∪C)＝ D．P(B∩C)＝0
√
√
√
ACD　[因为事件A，B，C两两互斥，所以P(B∩C)＝0，故D正确；由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋P(B)＝，得P(B)＝，故A正确；由P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝＋P(C)＝，得P(C)＝，故B错误；P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，故C正确．故选ACD．]
5．(链接考点二)(2025·曲靖期末)从大于1且小于50的整数中任意选取1个，则被选取的整数是质数的概率为______________．
　[根据题意，设A＝“被选取的整数是质数”，
大于1且小于50的整数共有48个，
其中质数包含2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，共15个，
故P(A)＝．]
　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(人教A版必修第二册P257练习T1，T2改编)下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙两人做游戏：甲、乙两人各写一个数字，若都是奇数或都是偶数，则甲胜，否则乙胜，这个游戏公平
B．做n次随机试验，事件A发生的频率就是事件A发生的概率
C．某地发行福利彩票，回报率为47%，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报
D．有甲、乙两种报纸可供某人订阅，事件B＝“某人订阅甲报纸”是必然事件
课时作业(七十五)　随机事件与概率
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[对于A，甲、乙两人各写一个数字，所有可能的结果为(奇，偶)，(奇，奇)，(偶，奇)，(偶，偶)，则都是奇数或都是偶数的概率为，故游戏是公平的；
对于B，随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小，故事件A发生的频率就是事件A发生的概率是不正确的；
对于C，某人花100元买福利彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故C不正确；
对于D，事件B可能发生也可能不发生，故事件B是随机事件，故D不正确．
故选A．]
√
2．(苏教版必修第二册P292练习T1改编)某人射击一次，设事件A＝“击中环数小于8”，事件B＝“击中环数大于8”，事件C＝“击中环数不小于8”，事件D＝“击中环数不大于9”，则下列说法正确的是(　　)
A．A和B为对立事件
B．B和C为互斥事件
C．A和C为对立事件
D．B和D为互斥事件
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[由题意，事件A＝“击中环数小于8”与事件B＝“击中环数大于8”是互斥事件但不是对立事件，故A选项错误；事件B＝“击中环数大于8”与事件C＝“击中环数不小于8”，能同时发生，所以不是互斥事件，故B选项错误；事件A＝“击中环数小于8”与事件C＝“击中环数不小于8”是对立事件，故C选项正确；事件B＝“击中环数大于8”与事件D＝“击中环数不大于9”能同时发生，不是互斥事件，故D选项错误．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(2025·郑州月考)已知事件A，B互斥，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，则P(A∪B)＝(　　)
A．0.3 B．0.5
C．0.6 D．0.9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[根据题意，事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.3＝0.5．]
√
4．(苏教版必修第二册P287习题15.2 T7改编)已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，每天一人，则乙排在甲前面值班的概率是(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[法一：由题意，甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，每天一人的情况有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共6种，其中乙排在甲前面值班的情况有(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，乙，甲)，共3种，故乙排在甲前面值班的概率为．故选C．
法二：甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，每天一人，共有＝6(种)等可能结果，设事件A＝“乙排在甲前面值班”，则事件A包含的可能结果为＝3(种)，所以事件A发生的概率P(A)＝．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2026·南昌模拟)设随机事件A，B满足P(A，P(A∪B)＝，则P(B)＝(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[根据题意，P(A)＝P(AB)＋P(A)，变形可得P(A)＝P(A)－P(AB)＝，
又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝，变形可得P(B)＝．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．(2025·吉林市龙潭区期末)某中学为了解学生课外阅读的情况，随机抽取了该校部分学生，对他们每周的课外阅读时间(单位：h)进行调查，统计数据如下表所示：
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
阅读时间 [0，2) [2，4) [4，6) [6，8) [8，10]
学生人数 6 9 15 12 8
√
则从该校随机抽取1名学生，估计其每周的课外阅读时间少于4 h的概率为(　　)
A．0.3 B．0.2
C．0.4 D．0.5
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[由统计表可知，共抽取了6＋9＋15＋12＋8＝50名学生，阅读时间少于4 h的有6＋9＝15人，∴从该校随机抽取1名学生，估计其每周的课外阅读时间少于4 h的概率为＝0.3．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(人教A版必修第二册P235练习T2改编)将一枚质地均匀的骰子向上抛掷一次，设事件 A＝“向上的一面出现奇数点”，事件 B＝“向上的一面出现的点数不超过2”，事件C＝“向上的一面出现的点数不小于4”，则下列说法中正确的有(　　)
A．B＝
B．C＝ “向上的一面出现的点数大于3”
C．AC＝ “向上的一面出现的点数不小于3”
D．AC＝ “向上的一面出现的点数为2”
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
BC　[由题意知事件A包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，3，5；事件B包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，2；事件C包含的样本点：向上的一面出现的点数为4，5，6，所以B＝“向上的一面出现的点数为2”，故A错误；C＝“向上的一面出现的点数为4或5或6”，故B正确；AC＝“向上的一面出现的点数为3或4或5或6”，故C正确；AC＝“向上的一面出现的点数为5”，故D错误．故选BC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(2025·湛江联考)某运动员在最近几次篮球比赛中的得分情况如表所示．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
项目 投中两分球 投中三分球 没投中 总计
投篮次数 55 18 m 100
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率，则下列结论中正确的是(　　)
A．P(A)＝0.55 B．P(A∪B)＝0.73
C．P(C)＝0.27 D．P(B∪C)＝0.55
√
√
ABC　[由题意可知，m＝100－55－18＝27，P(A)＝＝0.55，P(B)＝＝0.18，P(C)＝＝0.27．事件A，B，C两两互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.73，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.45．故选ABC．]
题号
1
3
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2
4
6
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9
10
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√
9．(2025·菏泽期末)已知三个随机事件A，B，C，概率均不为0，则下列说法正确的有(　　)
A．若A B，则P(AB)＝P(A)
B．若A，B互斥，P(A∪B)＝0.6，P(B)＝0.2，则P()＝0.6
C．若P(A∪C)＝P(B∪C)，则P(A)＝P(B)
D．若P(AB)，则P(A)＝P(B)
题号
1
3
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4
6
8
7
9
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11
12
√
√
ABD　[对于A，∵A B，事件AB发生就相当于事件A发生，
∴P(AB)＝P(A)，故A正确；
对于B，∵A，B是互斥事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.6，
∴P(A)＝0.4，P()＝1－P(A)＝0.6，故B正确；
对于C，如抛掷一枚骰子，统计抛得的点数，
记事件C＝Ω＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{1，3}，
满足P(A∪C)＝P(B∪C)，
题号
1
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12
但P(A)＝>P(B)＝，故C错误；
对于D，∵A＝AB＋A，B＝BA＋B，AB，A互斥，BA，B互斥，
∴P(A)＝P(AB)＋P(A)，P(B)＝P(BA)＋P(B)，
∵P(A)＝P(B)，∴P(A)＝P(B)，故D正确．
故选ABD．]
题号
1
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三、填空题
10．(2025·景德镇期末)口袋中装有一些白球、黑球和红球，它们除颜色外完全相同，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.4，摸出黑球的概率为0.3，则摸出红球的概率为 ______________．
题号
1
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0.3　[由题意可知，摸出红球为摸出白球或黑球的对立事件，
所以摸出红球的概率为1－(0.4＋0.3)＝0.3．]
0.3
11．(2025·玉溪期末)下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
题号
1
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种子个数n 100 400 900 1 500 2 500 4 000
发芽种子个数m 92 352 818 1 336 2 251 3 601
发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为__________ (精确到0.1)．
0.9
0.9　[在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率，
观察题表得到某种植物的种子发芽的频率稳定在0.9附近，
所以可估计该植物的种子发芽的概率为0.9．]
题号
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题号
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12．(2025·八省联考)有8张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为______________．
　
题号
1
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　[从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点个数为＝56，
因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，
所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，
则抽出的3张卡片上的数字之和应为18，
则抽出的3张卡片上的数字的组合有8，7，3或8，6，4或7，6，5，共3种，
所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18的样本点有3个，
所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为．]
谢谢！课时作业(七十五)　随机事件与概率
一、单项选择题
1．(人教A版必修第二册P257练习T1，T2改编)下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙两人做游戏：甲、乙两人各写一个数字，若都是奇数或都是偶数，则甲胜，否则乙胜，这个游戏公平
B．做n次随机试验，事件A发生的频率就是事件A发生的概率
C．某地发行福利彩票，回报率为47%，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报
D．有甲、乙两种报纸可供某人订阅，事件B＝“某人订阅甲报纸”是必然事件
2．(苏教版必修第二册P292练习T1改编)某人射击一次，设事件A＝“击中环数小于8”，事件B＝“击中环数大于8”，事件C＝“击中环数不小于8”，事件D＝“击中环数不大于9”，则下列说法正确的是(　　)
A．A和B为对立事件 B．B和C为互斥事件
C．A和C为对立事件 D．B和D为互斥事件
3．(2025·郑州月考)已知事件A，B互斥，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，则P(A∪B)＝(　　)
A．0.3 B．0.5
C．0.6 D．0.9
4．(苏教版必修第二册P287习题15.2 T7改编)已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，每天一人，则乙排在甲前面值班的概率是(　　)
A． B．
C． D．
5．(2026·南昌模拟)设随机事件A，B满足P(A)＝，P(A∪B)＝，则P(B)＝(　　)
A． B．
C． D．
6．(2025·吉林市龙潭区期末)某中学为了解学生课外阅读的情况，随机抽取了该校部分学生，对他们每周的课外阅读时间(单位：h)进行调查，统计数据如下表所示：
阅读时间 [0，2) [2，4) [4，6) [6，8) [8，10]
学生人数 6 9 15 12 8
则从该校随机抽取1名学生，估计其每周的课外阅读时间少于4 h的概率为(　　)
A．0.3 B．0.2
C．0.4 D．0.5
二、多项选择题
7．(人教A版必修第二册P235练习T2改编)将一枚质地均匀的骰子向上抛掷一次，设事件 A＝“向上的一面出现奇数点”，事件 B＝“向上的一面出现的点数不超过2”，事件C＝“向上的一面出现的点数不小于4”，则下列说法中正确的有(　　)
A．B＝
B．C＝ “向上的一面出现的点数大于3”
C．AC＝ “向上的一面出现的点数不小于3”
D．AC＝ “向上的一面出现的点数为2”
8．(2025·湛江联考)某运动员在最近几次篮球比赛中的得分情况如表所示．
项目 投中两分球 投中三分球 没投中 总计
投篮次数 55 18 m 100
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率，则下列结论中正确的是(　　)
A．P(A)＝0.55 B．P(A∪B)＝0.73
C．P(C)＝0.27 D．P(B∪C)＝0.55
9．(2025·菏泽期末)已知三个随机事件A，B，C，概率均不为0，则下列说法正确的有(　　)
A．若A B，则P(AB)＝P(A)
B．若A，B互斥，P(A∪B)＝0.6，P(B)＝0.2，则P()＝0.6
C．若P(A∪C)＝P(B∪C)，则P(A)＝P(B)
D．若P(A)＝P(B)，则P(A)＝P(B)
三、填空题
10．(2025·景德镇期末)口袋中装有一些白球、黑球和红球，它们除颜色外完全相同，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.4，摸出黑球的概率为0.3，则摸出红球的概率为 ________．
11．(2025·玉溪期末)下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数n 100 400 900 1 500 2 500 4 000
发芽种子个数m 92 352 818 1 336 2 251 3 601
发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为________ (精确到0.1)．
12．(2025·八省联考)有8张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为________．
课时作业(七十五)
1．A　[对于A，甲、乙两人各写一个数字，所有可能的结果为(奇，偶)，(奇，奇)，(偶，奇)，(偶，偶)，则都是奇数或都是偶数的概率为，故游戏是公平的；
对于B，随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小，故事件A发生的频率就是事件A发生的概率是不正确的；
对于C，某人花100元买福利彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故C不正确；
对于D，事件B可能发生也可能不发生，故事件B是随机事件，故D不正确．
故选A．]
2．C　[由题意，事件A＝“击中环数小于8”与事件B＝“击中环数大于8”是互斥事件但不是对立事件，故A选项错误；事件B＝“击中环数大于8”与事件C＝“击中环数不小于8”，能同时发生，所以不是互斥事件，故B选项错误；事件A＝“击中环数小于8”与事件C＝“击中环数不小于8”是对立事件，故C选项正确；事件B＝“击中环数大于8”与事件D＝“击中环数不大于9”能同时发生，不是互斥事件，故D选项错误．故选C．]
3．B　[根据题意，事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.3＝0.5．]
4．C　[法一：由题意，甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，每天一人的情况有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共6种，其中乙排在甲前面值班的情况有(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，乙，甲)，共3种，故乙排在甲前面值班的概率为．故选C．
法二：甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，每天一人，共有＝6(种)等可能结果，设事件A＝“乙排在甲前面值班”，则事件A包含的可能结果为＝3(种)，所以事件A发生的概率P(A)＝．
故选C．]
5．B　[根据题意，P(A)＝P(AB)＋P(A)，变形可得P(A)＝P(A)－P(AB)＝，
又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝，变形可得P(B)＝．故选B．]
6．A　[由统计表可知，共抽取了6＋9＋15＋12＋8＝50名学生，
阅读时间少于4 h的有6＋9＝15人，
∴从该校随机抽取1名学生，估计其每周的课外阅读时间少于4 h的概率为＝0.3．
故选A．]
7．BC　[由题意知事件A包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，3，5；事件B包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，2；事件C包含的样本点：向上的一面出现的点数为4，5，6，所以B＝“向上的一面出现的点数为2”，故A错误；C＝“向上的一面出现的点数为4或5或6”，故B正确；AC＝“向上的一面出现的点数为3或4或5或6”，故C正确；AC＝“向上的一面出现的点数为5”，故D错误．故选BC．]
8．ABC　[由题意可知，m＝100－55－18＝27，P(A)＝＝0.55，P(B)＝＝0.18，P(C)＝＝0.27．事件A，B，C两两互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.73，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.45．故选ABC．]
9．ABD　[对于A，∵A B，事件AB发生就相当于事件A发生，
∴P(AB)＝P(A)，故A正确；
对于B，∵A，B是互斥事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.6，
∴P(A)＝0.4，P()＝1－P(A)＝0.6，故B正确；
对于C，如抛掷一枚骰子，统计抛得的点数，
记事件C＝Ω＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{1，3}，
满足P(A∪C)＝P(B∪C)，
但P(A)＝>P(B)＝，故C错误；
对于D，∵A＝AB＋A，B＝BA＋B，AB，A互斥，BA，B互斥，
∴P(A)＝P(AB)＋P(A)，
P(B)＝P(BA)＋P(B)，
∵P(A)＝P(B)，∴P(A)＝P(B)，故D正确．
故选ABD．]
10.0．3　[由题意可知，摸出红球为摸出白球或黑球的对立事件，
所以摸出红球的概率为1－(0.4＋0.3)＝0.3．]
11.0．9　[在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率，
观察题表得到某种植物的种子发芽的频率稳定在0.9附近，
所以可估计该植物的种子发芽的概率为0.9．]
12．　[从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点个数为＝56，
因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，
所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，
则抽出的3张卡片上的数字之和应为18，
则抽出的3张卡片上的数字的组合有8，7，3或8，6，4或7，6，5，共3种，
所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18的样本点有3个，
所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为．]
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