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第77课时　离散型随机变量及其分布列、数字特征
[考试要求]　1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．2．理解并会求离散型随机变量的数字特征．
知识点1　随机变量的有关概念
(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有________的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以________的随机变量．
(3)若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量．
知识点2　离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
(2)离散型随机变量分布列的性质
①pi________0，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝________．
(3)两点分布
如果P(X＝1)＝p，则P(X＝0)＝1－p，那么X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
知识点3　离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)离散型随机变量的均值
①定义：称E(X)＝________________＝________为随机变量X的________或数学期望，数学期望简称________．它反映了离散型随机变量取值的________．
②性质：E(aX＋b)＝________．(a，b为常数)
③两点分布的均值：若X服从两点分布，则E(X)＝________．
(2)离散型随机变量的方差
①定义：称D(X)＝________________为随机变量X的方差，可以用来度量随机变量X的取值与其均值E(X)的________，并称________为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
②性质：D(aX＋b)＝________．(a，b为常数)
③两点分布的方差：若X服从两点分布，则D(X)＝________．
[常用结论]
1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
2．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
3．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－(E(X))2．
1．(北师大版选择性必修第一册P197练习T3)同时抛掷两枚均匀的骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则{ξ＞4}表示的随机事件是(　　)
A．第一枚掷出6点，第二枚掷出2点
B．第一枚掷出5点，第二枚掷出1点
C．第一枚掷出1点，第二枚掷出6点
D．第一枚掷出6点，第二枚掷出1点
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2．(苏教版选择性必修第二册P146本章测试T7)设随机变量X的可能取值为1，2，…，n，并且取 1，2，…，n是等可能的．若P(X<4)＝0.3，则下面结论中正确的是(　　)
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝10 D．n不能确定
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3．(人教A版选择性必修第三册P66练习T1)已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
则E(X)＝________，E(3X＋2)＝________．
4．(人教A版选择性必修第三册P70练习T1)已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.4 0.1
则D(X)＝________，σ(2X＋7)＝________．
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5．(人教A版选择性必修第三册P69例5改编)已知离散型随机变量X的取值为有限个，E(X)＝，D(X)＝，则E(X2)＝________．
考点一　分布列的性质
[典例1]　(1)若离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则a的值为(　　)
ξ －1 1
P 4a－1 3a2＋a
A． B．－2
C．或－2 D．
(2)(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是(　　)
A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
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通性通法：离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”求相关参数．
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．
(3)可根据性质判断所得分布列结果是否正确．
[多维变迁]
1．(2025·杭州期末)已知随机变量η，ξ满足η＝3ξ＋1，且P(ξ≥2)＝0.9，则P(η＜7)＝(　　)
A．0.3 B．0.5
C．0.1 D．0.2
2．(多选)已知随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝0，1，2)，其中a是常数，则 (　　)
A．a＝
B．P(X≥1)＝
C．P(X2＜3)＝
D．当P(X＞m)＝时，m∈[0，1)
考点二　离散型随机变量的分布列及数字特征
[典例2]　国庆节某商场为了迎接促销，决定在商场内举办抽奖活动，盒子内有编号为1～5的大小相同、质地均匀的5个小球．小球上的编号对应着获奖等级：一等奖、二等奖、三等奖、四等奖、五等奖(安慰奖)．规则如下：顾客可以连续抽奖2次，每次抽奖完成后将小球放回盒子，且每次抽奖的结果互不影响．
(1)若某顾客第1次未抽到一等奖，求该顾客在第2次抽到一等奖的概率；
(2)记某顾客第k次抽到的奖品等级为Xk(k＝1，2)，若用Y＝|X1－X2|表示“两次抽到奖品的等级差”，求Y的分布列与数学期望．
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思维建模　“提、定、求、列、套”五步模型法求解分布列与数字特征问题
第1步　提：从题干中提取关键信息，分析离散型随机变量的含义，并判断概率类型(如相互独立事件的概率分布、二项分布、超几何分布等)．
第2步　定：确定离散型随机变量X的所有可能取值x1，x2，…，xn(需结合题意写全，不要遗漏)．
第3步　求：求每个取值对应的概率，若为“放回抽样或独立重复试验”，一般用二项分布概率计算公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0，1，2，…，n)；若为“不放回抽样且从有限件样品中抽取”，一般用超几何分布概率计算公式P(X＝k)＝(k＝m，m＋1，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M})；若为非常规分布模型，利用概率计算公式求解．
第4步　列：根据各个取值与对应的概率写出分布列，注意检验概率和是否为1．
第5步　套：套用期望公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn计算，若为二项分布，可直接套用E(X)＝np简化计算．
[多维变迁]
1．(多选)已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1 2
P a b c 0.25
且a，b，c成等差数列，则下列结论正确的是(　　)
A．D(bX＋1)＝D(X)
B．P(|X|＝1)＝0.5
C．若E(aX)＝0.08，则a＝0.1
D．a－c可能等于0.1
2．(2025·武威市期末)一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X．
(1)求X的分布列；
(2)求X的均值和方差．
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考点三　均值与方差在决策问题中的应用
[典例3]　甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进1次得2分，否则得0分．已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立．乙第1次投篮，投进的概率为，从第2次投篮开始，若前1次投进，则该次投进的概率为；若前1次未投进，则该次投进的概率为．
(1)求甲投篮3次得2分的概率；
(2)若乙投篮3次得分为X，求X的分布列和数学期望；
(3)比较甲、乙两人本次比赛的投篮水平．
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易错提醒：随机变量的均值和方差从整体上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
[多维变迁]
(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
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均值、方差的单调性、最值
(范围)问题
　关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求参数的范围．
[典例4]　(1)(2025·重庆期末)设0＜a＜2，随机变量X的分布列如表所示，则随着a的增大，(　　)
X 0 a 2
P
A．D(X)增大
B．D(X)减小
C．D(X)先增大后减小
D．D(X)先减小后增大
(2)(2025·海宁期末)已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 －1
P a b c
其中满足a＝b＋c，则D(X)的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
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1．(链接考点一)(2025·保定期末)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则q的值为(　　)
X 0 1 2 3
P 0.3－q 0.12 0.9－2q 0.16
A．0.16 B．0.09
C．0.59 D．
2．(链接考点二)(2026·渭南模拟)已知随机变量X满足E(3X＋1)＝10，D(X＋)＝2，则(　　)
A．E(X)＝31，D(X)＝4
B．E(X)＝3，D(X)＝
C．E(X)＝3，D(X)＝1
D．E(X)＝31，D(X)＝1
3．(链接考点三)(人教A版选择性必修第三册P67练习T3改编)甲、乙两人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，分布列分别为
甲生产废品数的分布列
X 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
乙生产废品数的分布列
Y 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
4．(链接考点二)(2025·全国一卷)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)＝________．
第77课时　离散型随机变量及其分布
列、数字特征
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)唯一　(2)一一列举
知识点2　(2)≥　1
知识点3　(1)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
xipi　均值　期望　平均水平　aE(X)＋b　p　(2)(xi－E(X))2pi　偏离程度　　a2D(X)　p(1－p)
链教材·夯基固本
1．D　[第一枚与第二枚的点数之差大于4，只有D项符合．]
2．C　[因为随机变量X的可能取值为1，2，…，n，并且取1，2，…，n是等可能的，
所以P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，解得n＝10．
故选C．]
3.2．8　10.4　[E(X)＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＋5×0.1＝2.8，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2.8＋2＝10.4．]
4.0．84　　[由题意知E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＝2.4，所以D(X)＝(1－2.4)2×0.2＋(2－2.4)2×0.3＋(3－2.4)2×0.4＋(4－2.4)2×0.1＝0.84，D(2X＋7)＝4D(X)＝4×0.84＝3.36，σ(2X＋7)＝．]
5．　[因为E(X)＝，D(X)＝，
由D(X)＝E(X2)－(E(X))2，
得E(X2)＝D(X)＋(E(X))2＝．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)A　(2)ABD　[(1)由分布列的性质得，解得a＝．故选A．
(2)因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确；
由分布列知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确；
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误；
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确．故选ABD．]
多维变迁
1．C　[根据题意，P(ξ≥2)＝0.9，则P(ξ<2)＝1－0.9＝0.1，
又由η＝3ξ＋1，则P(η<7)＝P(ξ<2)＝0.1．
故选C．]
2．ACD　[由P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＝1，解得a＝，故A正确；
P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝，故B错误；
P(X2<3)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝，故C正确；
由B项的分析，知P(X≥1)＝，所以0≤m<1，故D正确．故选ACD．]
考点二
典例2　解：(1)因为两次抽奖相互独立，记“第2次抽到一等奖”为事件A，则P(A)＝．
(2)由题意知Y的所有可能取值为0，1，2，3，4，
P(Y＝4)＝××2＝，P(Y＝3)＝2×××2＝，P(Y＝2)＝3×××2＝，P(Y＝1)＝4×××2＝，P(Y＝0)＝5××，
所以Y的分布列为
Y 4 3 2 1 0
P
所以E(Y)＝4×＋3×＋2×＋1×＋0×．
多维变迁
1．ABD　[依题意，a＋b＋c＝3b＝0.75，解得b＝0.25，a＋c＝0.5．DD(X)，A正确；
P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝0.5，B正确；
E(X)＝－a＋c＋0.5＝1－2a，则E(aX)＝aE(X)＝a(1－2a)＝0.08，解得a＝0.1或a＝0.4，C错误；当a＝0.3，c＝0.2时，a－c＝0.1，D正确．故选ABD．]
2．解：(1)X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
故X的分布列为
X 0 1 2
P
(2)由(1)知，E(X)＝0×＋1×＋2×，
所以D(X)＝×××．
考点三
典例3　解：(1)甲投篮3次得2分，即只投进1次，概率为P＝××．
(2)由题意，知X的所有可能取值为0，2，4，6．
P(X＝0)＝××，P(X＝2)＝××××××，
P(X＝4)＝××××××，P(X＝6)＝××．
所以随机变量X的分布列为
X 0 2 4 6
P
E(X)＝0×＋2×＋4×＋6×＝3．
(3)设甲投篮3次的得分为Y，则Y＝0，2，4，6，且~B．
所以E(Y)＝2×3×＝3，
D(Y)＝22×3××＝3．
由(2)，得D(X)＝02×＋22×＋42×＋62×－32＝．
因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，P(X＝6)>P(Y＝6)＝，所以从最终得分的均值方面分析，甲、乙两人的投篮水平相当；从最终得分的方差方面分析，甲的投篮水平更稳定；从概率方面分析，乙得6分的可能性更大．(答案不唯一，言之有理即可)
多维变迁
　解：(1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4．
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．
因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
微点突破16
典例4　(1)D　(2)B　[(1)由题意可知，E(X)＝0×a＋2×，
所以D(X)＝××××[(a－1)2＋3]，
又因为0所以当a∈(0，1)时，D(X)随着a的增大而减小；当a∈(1，2)时，D(X)随着a的增大而增大．
故选D．
(2)因为a＋b＋c＝1，且a＝b＋c，
所以可得0此时E(X)＝1×b－1×c＝－2c，
所以D(X)＝××＋c×－c＋2c2＋＋c×＝－4c2＋2c＋＝－4，
则当c＝时，D(X)取得最大值，最大值为．
故选B．]
随堂·对点检测
1．A　[由离散型随机变量X的分布列，得0.3－q＋0.12＋0.9－2q＋0.16＝1，解得q＝0.16，
满足0.3－q>0，0.9－2q>0，
∴q＝0.16．故选A．]
2．C　[因为E(3X＋1)＝10，
所以3E(X)＋1＝10，
解得E(X)＝3，
因为D(X＋)＝2，
所以2D(X)＝2，
解得D(X)＝1．
故选C．]
3．乙　[E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，
∵E(Y)4．　[X的所有可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×6＝，P(X＝3)＝××6＝，所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×．]
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第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布
第77课时　离散型随机变量及其分布列、数字特征
[考试要求]　1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．2．理解并会求离散型随机变量的数字特征．
理法先行·题练固本
知识点1　随机变量的有关概念
(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有____的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以________的随机变量．
(3)若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量．
唯一
一一列举
知识点2　离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
(2)离散型随机变量分布列的性质
①pi__0，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝_____．
≥
1
(3)两点分布
如果P(X＝1)＝p，则P(X＝0)＝1－p，那么X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
知识点3　离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)离散型随机变量的均值
①定义：称E(X)＝____________________＝_________为随机变量X的____或数学期望，数学期望简称____．它反映了离散型随机变量取值的________．
②性质：E(aX＋b)＝__________．(a，b为常数)
③两点分布的均值：若X服从两点分布，则E(X)＝_．
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
xipi　
均值
平均水平
aE(X)＋b
p
期望
(2)离散型随机变量的方差
①定义：称D(X)＝_______________________为随机变量X的方差，可以用来度量随机变量X的取值与其均值E(X)的________，并称_______为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
②性质：D(aX＋b)＝________．(a，b为常数)
③两点分布的方差：若X服从两点分布，则D(X)＝_________．
(xi－E(X))2pi
偏离程度
　
a2D(X)
p(1－p)
[常用结论]
1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
2．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
3．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－(E(X))2．
1．(北师大版选择性必修第一册P197练习T3)同时抛掷两枚均匀的骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则{ξ>4}表示的随机事件是(　　)
A．第一枚掷出6点，第二枚掷出2点
B．第一枚掷出5点，第二枚掷出1点
C．第一枚掷出1点，第二枚掷出6点
D．第一枚掷出6点，第二枚掷出1点
√
D　[第一枚与第二枚的点数之差大于4，只有D项符合．]
2．(苏教版选择性必修第二册P146本章测试T7)设随机变量X的可能取值为1，2，…，n，并且取 1，2，…，n是等可能的．若P(X<4)＝0.3，则下面结论中正确的是(　　)
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝10 D．n不能确定
√
C　[因为随机变量X的可能取值为1，2，…，n，
并且取1，2，…，n是等可能的，
所以P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，解得n＝10．故选C．]
3．(人教A版选择性必修第三册P66练习T1)已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
则E(X)＝______________，E(3X＋2)＝______________．
2.8　
10.4
2.8　10.4　[E(X)＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＋5×0.1＝2.8，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2.8＋2＝10.4．]
4．(人教A版选择性必修第三册P70练习T1)已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.4 0.1
则D(X)＝______________，σ(2X＋7)＝______________．
0.84
　
0.84　　[由题意知E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＝2.4，所以D(X)＝(1－2.4)2×0.2＋(2－2.4)2×0.3＋(3－2.4)2×0.4＋(4－2.4)2×0.1＝0.84，D(2X＋7)＝4D(X)＝4×0.84＝3.36，σ(2X＋7)＝．]
5．(人教A版选择性必修第三册P69例5改编)已知离散型随机变量X的取值为有限个，E(X)＝，则E(X2)＝______________．
　[因为E(X)＝，D(X)＝，
由D(X)＝E(X 2)－(E(X))2，
得E(X 2)＝D(X)＋(E(X))2＝．]
　
考点深研·题型突破
考点一　分布列的性质
[典例1]　(1)若离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则a的值为(　　)
√
ξ －1 1
P 4a－1 3a2＋a
A． B．－2
C． D．
(2)(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是(　　)
A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
√
√
√
(1)A　(2)ABD　[(1)由分布列的性质得，解得a＝．故选A．
(2)因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确；
由分布列知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确；
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误；
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确．故选ABD．]
通性通法：离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”求相关参数．
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．
(3)可根据性质判断所得分布列结果是否正确．
[多维变迁]
1．(2025·杭州期末)已知随机变量η，ξ满足η＝3ξ＋1，且P(ξ≥2)＝0.9，则P(η<7)＝(　　)
A．0.3 B．0.5
C．0.1 D．0.2
√
C　[根据题意，P(ξ≥2)＝0.9，
则P(ξ<2)＝1－0.9＝0.1，
又由η＝3ξ＋1，则P(η<7)＝P(ξ<2)＝0.1．
故选C．]
2．(多选)已知随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝0，1，2)，其中a是常数，则 (　　)
A．a＝
B．P(X≥1)＝
C．P(X2<3)＝
D．当P(X>m)＝时，m∈[0，1)
√
√
√
ACD　[由P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＝1，解得a＝，故A正确；
P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝，故B错误；
P(X2<3)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝，故C正确；
由B项的分析，知P(X≥1)＝，所以0≤m<1，故D正确．故选ACD．]
【教用·备选题】
(2025·石家庄期末)设X是一个离散型随机变量，其分布列如下，则P(|X|＝1)＝(　　)
A． B．
C． D．
X －1 0 1
P 1－2q 3q2－q＋
√
A　[由题意可得＝1，
即(3q－1)(3q－2)＝0，解得q＝或q＝，
当q＝时，1－2q<0，不合题意，所以q＝．
则P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝．故选A．]
考点二　离散型随机变量的分布列及数字特征
[典例2]　国庆节某商场为了迎接促销，决定在商场内举办抽奖活动，盒子内有编号为1～5的大小相同、质地均匀的5个小球．小球上的编号对应着获奖等级：一等奖、二等奖、三等奖、四等奖、五等奖(安慰奖)．规则如下：顾客可以连续抽奖2次，每次抽奖完成后将小球放回盒子，且每次抽奖的结果互不影响．
(1)若某顾客第1次未抽到一等奖，求该顾客在第2次抽到一等奖的概率；
(2)记某顾客第k次抽到的奖品等级为Xk(k＝1，2)，若用Y＝|X1－X2|表示“两次抽到奖品的等级差”，求Y的分布列与数学期望．
[解]　(1)因为两次抽奖相互独立，记“第2次抽到一等奖”为事件A，则P(A)＝．
(2)由题意知Y的所有可能取值为0，1，2，3，4，
P(Y＝4)＝×2＝，P(Y＝3)＝2××2＝，P(Y＝2)＝3××2＝，P(Y＝1)＝4××2＝，P(Y＝0)＝5×，
所以Y的分布列为
Y 4 3 2 1 0
P
所以E(Y)＝4×＋3×＋2×＋1×＋0×．
思维建模　“提、定、求、列、套”五步模型法求解分布列与数字特征问题
第1步　提：从题干中提取关键信息，分析离散型随机变量的含义，并判断概率类型(如相互独立事件的概率分布、二项分布、超几何分布等)．
第2步　定：确定离散型随机变量X的所有可能取值x1，x2，…，xn(需结合题意写全，不要遗漏)．
第3步　求：求每个取值对应的概率，若为“放回抽样或独立重复试验”，一般用二项分布概率计算公式P(X＝k)＝pk(1－p)n-k(k＝0，1，2，…，n)；若为“不放回抽样且从有限件样品中抽取”，一般用超几何分布概率计算公式P(X＝k)＝(k＝m，m＋1，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M})；若为非常规分布模型，利用概率计算公式求解．
第4步　列：根据各个取值与对应的概率写出分布列，注意检验概率和是否为1．
第5步　套：套用期望公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn计算，若为二项分布，可直接套用E(X)＝np简化计算．
[多维变迁]
1．(多选)已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1 2
P a b c 0.25
且a，b，c成等差数列，则下列结论正确的是(　　)
A．D(bX＋1)＝D(X)
B．P(|X|＝1)＝0.5
C．若E(aX)＝0.08，则a＝0.1
D．a－c可能等于0.1
√
√
√
ABD　[依题意，a＋b＋c＝3b＝0.75，解得b＝0.25，a＋c＝0.5．DD(X)，A正确；
P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝0.5，B正确；
E(X)＝－a＋c＋0.5＝1－2a，
则E(aX)＝aE(X)＝a(1－2a)＝0.08，
解得a＝0.1或a＝0.4，C错误；
当a＝0.3，c＝0.2时，a－c＝0.1，D正确．
故选ABD．]
2．(2025·武威市期末)一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X．
(1)求X的分布列；
(2)求X的均值和方差．
[解]　(1)X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
故X的分布列为
X 0 1 2
P
(2)由(1)知，E(X)＝0×＋1×＋2×，
所以D(X)＝．
【教用·备选题】
1．设离散型随机变量X的分布列为
(1)求2X＋1的分布列；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列．
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
[解]　(1)由分布列的性质知，
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3．
列表为
从而2X＋1的分布列为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)由(1)知m＝0.3，列表为
所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，
故η＝|X－1|的分布列为
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
2．(2025·台州期末)已知离散型随机变量X的分布列P＝ak(k＝1，2，3，4，5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P；
(3)求随机变量η＝|5X－2|的分布列及方差．
[解]　(1)因为离散型随机变量X的分布列P＝ak(k＝1，2，3，4，5)，
所以a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝，
故常数a的值为．
(2)P．
(3)由题意可知，η的所有可能取值为0，1，2，3，
P(η＝0)＝P，
P(η＝1)＝P，
P(η＝2)＝P，
P(η＝3)＝P(X＝1)＝，
所以η的分布列为
η 0 1 2 3
P
所以E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×，
D(η)＝．
3．(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．
[解]　(1)设甲学校在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率P＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2
＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6．
(2)依题可知，X 的可能取值为0，10，20，30，所以P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06．
即X 的分布列为
E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13．
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
考点三　均值与方差在决策问题中的应用
[典例3]　甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进1次得2分，否则得0分．已知甲每次投进的概率为每次投篮相互独立.乙第1次投篮，投进的概率为从第2次投篮开始，若前1次投进，则该次投进的概率若前1次未投进，则该次投进的概率．
(1)求甲投篮3次得2分的概率；
(2)若乙投篮3次得分为X，求X的分布列和数学期望；
(3)比较甲、乙两人本次比赛的投篮水平．
[解]　(1)甲投篮3次得2分，即只投进1次，概率为P＝．
(2)由题意，知X的所有可能取值为0，2，4，6．
P(X＝0)＝，P(X＝2)＝，
P(X＝4)＝，P(X＝6)＝．
所以随机变量X的分布列为
X 0 2 4 6
P
E(X)＝0×＋2×＋4×＋6×＝3．
(3)设甲投篮3次的得分为Y，
则Y＝0，2，4，6，且．
所以E(Y)＝2×3×＝3，
D(Y)＝22×3×＝3．
由(2)，得D(X)＝02×＋22×＋42×＋62×．
因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，P(X＝6)>P(Y＝6)＝，所以从最终得分的均值方面分析，甲、乙两人的投篮水平相当；从最终得分的方差方面分析，甲的投篮水平更稳定；从概率方面分析，乙得6分的可能性更大．(答案不唯一，言之有理即可)
易错提醒：随机变量的均值和方差从整体上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
【教用·通性通法】
1．决策问题一般有三种途径：
(1)利用概率：若概率越大，则事件发生的可能性越大，而选择概率大的好还是选择概率小的好，要根据具体问题而定．
(2)利用均值：随机变量的均值反映了随机变量的平均水平，究竟是均值大的好还是均值小的好，也要根据具体问题而定，如经济收入的均值是越大越好，生产中的次品数是均值越小越好．
(3)利用方差：方差反映了随机变量偏离平均值的程度，方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中于均值附近．
2．在做决策时，一般能通过概率进行决策的优先用概率，不能用概率决策的，再比较均值，当均值相等时，再比较方差(或标准差)．
[多维变迁]
(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
[解]　(1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4．
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．
因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
【教用·备选题】
某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元、20万元、40万元，且P(X＝20)＝0.3，E(X)＝30．
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元、20万元、30万元，其概率依次为0.3，0.4，0.3．
(1)请写出方案一的分布列，并求方差D(X)；
(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．
[解]　(1)设P(X＝0)＝a，P(X＝40)＝b，依题意得a＋b＋0.3＝1，①
又E(X)＝0×a＋20×0.3＋40b＝30，②
由①②解得a＝0.1，b＝0.6．
所以X的分布列为
则D(X)＝(0－30)2×0.1＋(20－30)2×0.3＋(40－30)2×0.6＝180．
X 0 20 40
P 0.1 0.3 0.6
(2)由题意得Y的分布列为
则E(Y)＝10×0.3＋20×0.4＋30×0.3＝20，
D(Y)＝(10－20)2×0.3＋(20－20)2×0.4＋(30－20)2×0.3＝60．
由E(X)>E(Y)可知，采用投放平台广告收益均值较大，又D(X)>D(Y)，说明投放平台广告的风险较高．
综上所述，如果公司期望高收益，应选择投放平台广告；如果公司期望收益稳定，应选择投放传统广告．
Y 10 20 30
P 0.3 0.4 0.3
微点突破16　均值、方差的单调性、最值(范围)问题
关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求参数的范围．
[典例4]　(1)(2025·重庆期末)设0A．D(X)增大
B．D(X)减小
C．D(X)先增大后减小
D．D(X)先减小后增大
X 0 a 2
P
√
(2)(2025·海宁期末)已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 －1
P a b c
其中满足a＝b＋c，则D(X)的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
√
(1)D　(2)B　[(1)由题意可知，E(X)＝0×a＋2×，
所以D(X)＝[(a－1)2＋3]，
又因为0(2)因为a＋b＋c＝1，且a＝b＋c，
所以可得0此时E(X)＝1×b－1×c＝－2c，
所以D(X)＝＋c×＋c×，
则当c＝时，D(X)取得最大值，最大值为．
故选B．]
【教用·备选题】
(多选)已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X＝0，a，2，根据以往销售经验可得0X 0 a 2
P b
下列结论正确的是(　　)
A．b＝
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C．D(X)min＝
D．当D(X)最小时，E(X)＝
√
√
√
ABC　[由题意得＝1，所以b＝，故选项A正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为，故选项B正确；随机变量X的期望E(X)＝0×＋a×＋2×(a＋1)，可知方差D(X)＝×(2a2－2a＋5)＝，当a＝时，D(X)min＝，故选项C正确；当D(X)最小时，a＝，此时E(X)＝0×＋2×，故选项D错误．故选ABC．]
1．(链接考点一)(2025·保定期末)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则q的值为(　　)
√
X 0 1 2 3
P 0.3－q 0.12 0.9－2q 0.16
A．0.16 B．0.09
C．0.59 D．
A　[由离散型随机变量X的分布列，得0.3－q＋0.12＋0.9－2q＋0.16＝1，解得q＝0.16，
满足0.3－q>0，0.9－2q>0，
∴q＝0.16．故选A．]
2．(链接考点二)(2026·渭南模拟)已知随机变量X满足E(3X＋1)＝10，D()＝2，则(　　)
A．E(X)＝31，D(X)＝4
B．E(X)＝3，D(X)＝
C．E(X)＝3，D(X)＝1
D．E(X)＝31，D(X)＝1
√
C　[因为E(3X＋1)＝10，
所以3E(X)＋1＝10，
解得E(X)＝3，
因为D()＝2，
所以2D(X)＝2，
解得D(X)＝1．
故选C．]
3．(链接考点三)(人教A版选择性必修第三册P67练习T3改编)甲、乙两人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，分布列分别为
甲生产废品数的分布列
X 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
乙生产废品数的分布列
Y 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是______________．
乙　
乙　[E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，
∵E(Y)4．(链接考点二)(2025·全国一卷)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)＝______________．
　
　[X的所有可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×6＝，P(X＝3)＝×6＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
一、单项选择题
1．在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是
(　　)
A．8 B．10
C．12 D．14
√
课时作业(七十七)　离散型随机变量及其分布列、数字特征
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C　[选手甲在三次中距离投篮中可能都不中，得0分，中一次，得2分，中两次，得4分，中三次，得6分，故总得分ξ的所有可能取值为0，2，4，6，所以总得分ξ的所有可能取值的和为12．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
2．(2025·南京期末)若随机变量ξ的分布列如下表：
则P(|ξ|<2)的值为(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.55 D．0.85
ξ －2 －1 1 2 3
P 0.2 0.1 2m 0.25 m
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
B　[由离散型随机变量ξ的分布列的性质，得0.2＋0.1＋2m＋0.25＋m＝1，
∴3m＝0.45，解得m＝0.15，
∴P(|ξ|<2)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝0.1＋2m＝0.1＋2×0.15＝0.4．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
3．(2026·大庆模拟)随机变量X的分布列如表，则方差D(X)＝(　　)
A． B．
C． D．
√
X 0 1 2
P a 3a
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C　[因为a＋＋3a＝1，所以a＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×，
则D(X)＝．
故选C．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
4．(2025·惠州期末)已知离散型随机变量X的分布列如表：
若离散型随机变量Y＝2X＋1，则E(Y)＝(　　)
A． B．
C． D．
X 0 1 2 3
P a 5a
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C　[根据离散型随机变量概率分布列的性质可得概率和为1，即a＋＝1，解得a＝．
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×，
又因为离散型随机变量Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1，
即E(Y)＝2×．
故选C．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
二、多项选择题
5．(2025·西安市长安区校级月考)下列随机变量中属于离散型随机变量的是(　　)
A．高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X
B．测量一个年级所有学生的体重，在60 kg~70 kg范围内的体重记为X
C．测量全校所有同学的身高，在170 cm~175 cm范围内的人数记为X
D．某电子元件的寿命X
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
AC　[半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，选项A正确；
体重无法一一列举，选项B错误；
人数可以列举，选项C正确；
某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，选项D错误．故选AC．]
题号
1
3
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8
7
9
10
6．(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　)
A．q＝0.1
B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8
D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
√
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
√
√
题号
1
3
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2
4
6
8
7
9
10
ACD　[由离散型随机变量X的分布列的性质得：
q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，
E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，
∵离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，
∴E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2．故选ACD．]
题号
1
3
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6
8
7
9
10
三、填空题
7．(人教A版选择性必修第三册P71习题7.3T2)现要发行10 000 张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1 000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1 000元的彩票5张．1张彩票中奖金额的均值是______________元．
2　
题号
1
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6
8
7
9
10
2　[由题意，设X表示1张彩票中奖的金额，则P(X＝2)＝＝0.1，P(X＝10)＝＝0.03，P(X＝50)＝＝0.01，P(X＝100)＝＝0.005，P(X＝1 000)＝＝0.000 5，P(X＝0)＝1－(0.1＋0.03＋0.01＋0.005＋0.000 5)＝0.854 5，所以X的分布列为
X 0 2 10 50 100 1 000
P 0.854 5 0.1 0.03 0.01 0.005 0.000 5
所以E(X)＝0×0.854 5＋2×0.1＋10×0.03＋50×0.01＋100×0.005＋1 000×0.000 5＝2，即1张彩票中奖金额的均值是2元．]
题号
1
3
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4
6
8
7
9
10
8．(2026·上海模拟)某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为______________．
24
题号
1
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7
9
10
24　[由题意，可得X的所有可能取值为190，150，110，
P(X＝190)＝，
P(X＝150)＝，P(X＝110)＝，
所以E(X)＝190×＋150×＋110×＝158，
所以标准差为
＝24．]
题号
1
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10
四、解答题
9．(2025·天津滨海新区期末)甲同学参加数学、物理2门课程的考试，假设甲同学在这2门课程考试中取得优秀成绩的概率分别是，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．
(1)求甲同学2门课程均未取得优秀成绩的概率；
(2)求甲同学取得优秀成绩的课程数X的分布列及均值．
题号
1
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10
[解]　(1)根据题意，可得甲同学2门课程均未取得优秀成绩的概率为．
(2)根据题意，可得X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
题号
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10
所以X的分布列为
所以E(X)＝0×＋1×＋2×．
X 0 1 2
P
题号
1
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9
10
10．某投资公司准备在2026年年初将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为；
题号
1
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2
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8
7
9
10
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为．
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
题号
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10
[解]　若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150．则X1的分布列为
X1 300 －150
P
∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元)，
D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，
－300，0．则X2的分布列为
X2 500 －300 0
P
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)，D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000．
∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)这说明虽然项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
谢谢！课时作业(七十七)　离散型随机变量及其分布列、数字特征
一、单项选择题
1．在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是(　　)
A．8 B．10
C．12 D．14
2．(2025·南京期末)若随机变量ξ的分布列如下表：
ξ －2 －1 1 2 3
P 0.2 0.1 2m 0.25 m
则P(|ξ|＜2)的值为(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.55 D．0.85
3．(2026·大庆模拟)随机变量X的分布列如表，则方差D(X)＝(　　)
X 0 1 2
P a 3a
A． B．
C． D．
4．(2025·惠州期末)已知离散型随机变量X的分布列如表：
X 0 1 2 3
P a 5a
若离散型随机变量Y＝2X＋1，则E(Y)＝(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题
5．(2025·西安市长安区校级月考)下列随机变量中属于离散型随机变量的是(　　)
A．高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X
B．测量一个年级所有学生的体重，在60 kg～70 kg范围内的体重记为X
C．测量全校所有同学的身高，在170 cm～175 cm范围内的人数记为X
D．某电子元件的寿命X
6．(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　)
A．q＝0.1
B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8
D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
三、填空题
7．(人教A版选择性必修第三册P71习题7.3T2)现要发行10 000 张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1 000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1 000元的彩票5张．1张彩票中奖金额的均值是________元．
8．(2026·上海模拟)某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为________．
四、解答题
9．(13分)(2025·天津滨海新区期末)甲同学参加数学、物理2门课程的考试，假设甲同学在这2门课程考试中取得优秀成绩的概率分别是，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．
(1)求甲同学2门课程均未取得优秀成绩的概率；
(2)求甲同学取得优秀成绩的课程数X的分布列及均值．
10．(15分)某投资公司准备在2026年年初将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为和．
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
课时作业(七十七)
1．C　[选手甲在三次中距离投篮中可能都不中，得0分，中一次，得2分，中两次，得4分，中三次，得6分，故总得分ξ的所有可能取值为0，2，4，6，所以总得分ξ的所有可能取值的和为12．]
2．B　[由离散型随机变量ξ的分布列的性质，得0.2＋0.1＋2m＋0.25＋m＝1，
∴3m＝0.45，解得m＝0.15，
∴P(|ξ|<2)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝0.1＋2m＝0.1＋2×0.15＝0.4．
故选B．]
3．C　[因为a＋＋3a＝1，所以a＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×，
则D(X)＝×××．
故选C．]
4．C　[根据离散型随机变量概率分布列的性质可得概率和为1，即a＋＋5a＋＝1，解得a＝．
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×，
又因为离散型随机变量Y＝2X＋1，
所以E(Y)＝2E(X)＋1，
即E(Y)＝2×＋1＝．
故选C．]
5．AC　[半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，选项A正确；
体重无法一一列举，选项B错误；
人数可以列举，选项C正确；
某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，选项D错误．
故选AC．]
6．ACD　[由离散型随机变量X的分布列的性质得：
q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，
E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，
∵离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，
∴E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2．故选ACD．]
7.2　[由题意，设X表示1张彩票中奖的金额，则P(X＝2)＝＝0.1，P(X＝10)＝＝0.03，P(X＝50)＝＝0.01，
P(X＝100)＝＝0.005，
P(X＝1 000)＝＝0.000 5，
P(X＝0)＝1－(0.1＋0.03＋0.01＋0.005＋0.000 5)＝0.854 5，所以X的分布列为
X 0 2 10 50 100 1 000
P 0.854 5 0.1 0.03 0.01 0.005 0.000 5
所以E(X)＝0×0.854 5＋2×0.1＋10×0.03＋50×0.01＋100×0.005＋1 000×0.000 5＝2，即1张彩票中奖金额的均值是2元．]
8.24　[由题意，可得X的所有可能取值为190，150，110，
P(X＝190)＝，P(X＝150)＝，P(X＝110)＝，
所以E(X)＝190×＋150×＋110×＝158，
所以标准差为
＝24．]
9．解：(1)根据题意，可得甲同学2门课程均未取得优秀成绩的概率为×．
(2)根据题意，可得X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝××，
P(X＝2)＝×，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×．
10．解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150．则X1的分布列为
X1 300 －150
P
∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元)，
D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000．
若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，－300，0．则X2的分布列为
X2 500 －300 0
P
∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)，
D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000．
∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)这说明虽然项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
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