资源简介

*第79课时　概率与统计的综合问题(进阶课)
[总体概览]　近几年高考特别注重对概率和统计结合、概率和其他知识(如数列与函数)结合的综合考查，通常以实际问题为背景，通过构建数学模型，突出考查统计与概率思想、数据处理能力和应用意识．复习备考时，要把基础知识理解透彻，在情境问题中能够发现考查的本质问题．
(1)注重情境，注重审题
考查概率、统计的试题多以生产生活中的实际问题为背景，阅读量大，首先根据文字信息、图表信息了解考查的知识点，再结合考查目标，理解图文的内在含义，最后整合有效信息，明确数据关系．对题目的准确理解，找到数学模型是解答题目的关键．
(2)关注素材，注重图表
图表语言具有直观、简洁、信息量大等特点，高考试题经常以图表作为情境材料呈现，准确读表(图)、识表(图)和用表(图)的能力至关重要，要从图表中获取有效信息，灵活运用图表信息作出统计推断和决策．
(3)关注生活，注重应用
多关注生活背景、社会现实、经济建设、科技发展、体育精神等各个方面，培养和提升数据处理能力、数学建模能力，培养用数据说话的理性思维．
(4)重视交汇，提升能力
统计与概率具有广泛应用性，一方面，统计和概率、计数原理等知识可以有机结合，即以统计知识为背景，以频率来估计概率或计数为基础，过渡到概率问题；另一方面，统计与概率可以和其他数学知识相结合，如可以和函数、数列、不等式等结合．因此在复习备考中，有必要针对统计与概率和其他知识相结合的问题进行训练．
类型一　统计图表与概率
[典例1]　某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示．
(1)求m的值；
(2)以每一组数据的中间值为代表，估计本次成绩的平均值；
(3)若采用分层按比例抽样的方法从成绩在[40，70)的同学中抽取8名同学的成绩进行失分分析，如果从抽到的8名同学中不放回地抽取3份试卷，记得到分数在[50，60)内的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
通性通法：频率分布直方图与概率的综合问题有两个考查方向：(1)通过阅读频率分布直方图，寻找规律的统计类或综合类问题，用样本估计总体，特别是平均数、方差的计算等；(2)以综合事件为载体，通过对事件进行分解求事件发生的概率，也可能通过随机变量的分布研究期望和方差，进行统计决策等．
类型二　回归分析与概率
[典例2]　已知电商平台统计的连续5天某商品的点击量(单位：万次)如下：
样本号i 1 2 3 4 5
第xi天 1 2 3 4 5
点击量yi 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9
(1)建立点击量y关于天数x的经验回归方程，并预测第6天的点击量；
(2)已知点击该商品的用户来自移动端的概率为，来自PC端的概率为，且来自移动端的用户最终下单的概率为，来自PC端的用户最终下单的概率为，如果用户甲点击该商品后最终下单了，求用户甲来自移动端的概率．
附：经验回归方程＝x＋，其中＝＝－．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
通性通法：破解概率与回归分析的综合问题的关键：(1)求两个变量的平均值；(2)能根据已知数据求回归方程；(3)能利用概率公式、离散型随机变量的分布列等处理数据．
类型三　独立性检验与概率
[典例3]　某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表：
单位：人
年龄 周平均锻炼时长 合计
少于4小时 不少于4小时
50岁以下 40 60 100
50岁以上(含50) 25 75 100
合计 65 135 200
(1)试根据α＝0.05的χ2独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？(χ2精确到0.001)
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷．记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式及数据：
χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
通性通法：高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，解决独立性检验问题，要注意“三关”：假设关、公式关、对比关．解决概率问题要准确地把握题中所涉及的事件，明确所求问题所属的事件类型．
第79课时　概率与统计的综合问题
(进阶课)
类型一
典例1　解：(1)根据题意知，(m＋2m＋0.015＋0.020×2＋0.030)×10＝1，解得m＝0.005．
(2)若以每一组数据的中间值为代表，则估计本次考试的平均成绩为
＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.1＝72.5．
(3)根据频率分布直方图知，全校同学中成绩在[40，50)，[50，60)，[60，70)各段的同学人数比例为1∶3∶4，所以样本中三段分数的同学人数分别为1，3，4，
所以随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，
则P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝．
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×．
类型二
典例2　解：(1)＝1.47，
则＝4.7－1.47×3＝0.29，
所以y关于x的经验回归方程为＝1.47x＋0.29，
当x＝6时，＝1.47×6＋0.29＝9.11．
故预测第6天的点击量约为9.11万次．
(2)设事件A为“用户来自移动端”，事件B为“用户甲下单”，
则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝××，
所以P(A|B)＝．
类型三
典例3　解：(1)零假设为H0：周平均锻炼时长与年龄无关．
由2×2列联表中的数据，可得χ2＝≈5.128，
∴χ2≈5.128>3.841＝x0.05，
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．
(2)抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有5×＝2(人)，不少于4小时的有5×＝3(人)，
所以X所有可能的取值为1，2，3，
所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×．
1 / 4(共73张PPT)
第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布
*第79课时　概率与统计的综合问题(进阶课)
[总体概览]　近几年高考特别注重对概率和统计结合、概率和其他知识(如数列与函数)结合的综合考查，通常以实际问题为背景，通过构建数学模型，突出考查统计与概率思想、数据处理能力和应用意识．复习备考时，要把基础知识理解透彻，在情境问题中能够发现考查的本质问题．
(1)注重情境，注重审题
考查概率、统计的试题多以生产生活中的实际问题为背景，阅读量大，首先根据文字信息、图表信息了解考查的知识点，再结合考查目标，理解图文的内在含义，最后整合有效信息，明确数据关系．对题目的准确理解，找到数学模型是解答题目的关键．
(2)关注素材，注重图表
图表语言具有直观、简洁、信息量大等特点，高考试题经常以图表作为情境材料呈现，准确读表(图)、识表(图)和用表(图)的能力至关重要，要从图表中获取有效信息，灵活运用图表信息作出统计推断和决策．
(3)关注生活，注重应用
多关注生活背景、社会现实、经济建设、科技发展、体育精神等各个方面，培养和提升数据处理能力、数学建模能力，培养用数据说话的理性思维．
(4)重视交汇，提升能力
统计与概率具有广泛应用性，一方面，统计和概率、计数原理等知识可以有机结合，即以统计知识为背景，以频率来估计概率或计数为基础，过渡到概率问题；另一方面，统计与概率可以和其他数学知识相结合，如可以和函数、数列、不等式等结合．因此在复习备考中，有必要针对统计与概率和其他知识相结合的问题进行训练．
类型一　统计图表与概率
[典例1]　某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示．
(1)求m的值；
(2)以每一组数据的中间值为代表，估计本次成绩的平均值；
(3)若采用分层按比例抽样的方法从成绩在[40，70)的同学中抽取8名同学的成绩进行失分分析，如果从抽到的8名同学中不放回地抽取3份试卷，记得到分数在[50，60)内的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
[解]　(1)根据题意知，(m＋2m＋0.015＋0.020×2＋0.030)×10＝1，解得m＝0.005．
(2)若以每一组数据的中间值为代表，则估计本次考试的平均成绩为
＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.1＝72.5．
(3)根据频率分布直方图知，全校同学中成绩在[40，50)，[50，60)，[60，70)各段的同学人数比例为1∶3∶4，
所以样本中三段分数的同学人数分别为1，3，4，
所以随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，
则P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝．
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×．
通性通法：频率分布直方图与概率的综合问题有两个考查方向：(1)通过阅读频率分布直方图，寻找规律的统计类或综合类问题，用样本估计总体，特别是平均数、方差的计算等；(2)以综合事件为载体，通过对事件进行分解求事件发生的概率，也可能通过随机变量的分布研究期望和方差，进行统计决策等．
【教用·备选题】
(2025·昭通月考)甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图．且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”．
(1)求这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望；
(3)现在市场上这种塑胶配件由甲、乙、丙三个汽车配件厂供应，由长期的经验知，乙、丙两家的“优秀品”率分别为0.60，0.30，三家产品数在市场中所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起，从中抽取一件，在已知取到的为优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率是多少？
[解]　(1)根据频率分布直方图的性质可得，
(0.010＋0.015＋0.035＋m＋0.010)×10＝1，解得m＝0.030，
则平均值＝55×0.01×10＋65×0.015×10＋75×0.035×10＋85×0.03×10＋95×0.01×10＝76.5．
(2)由题意知，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率p＝(m＋0.010)×10＝0.4，
易知随机变量X满足二项分布X~B(3，0.4)，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝×(1－0.4)3＝0.216，
P(X＝1)＝×(1－0.4)2×0.4＝0.432，
P(X＝2)＝×(1－0.4)×0.42＝0.288，
P(X＝3)＝×0.43＝0.064，
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.216 0.432 0.288 0.064
E(X)＝3×0.4＝1.2．
(3)设事件A表示“取到的产品为优秀品”，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，
由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，P(A|B1)＝0.4，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝0.3．
由全概率公式，得P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.4＋0.3×0.6＋0.5×0.3＝0.41．
由贝叶斯公式，得P(B1|A)＝．
类型二　回归分析与概率
[典例2]　已知电商平台统计的连续5天某商品的点击量(单位：万次)如下：
样本号i 1 2 3 4 5
第xi天 1 2 3 4 5
点击量yi 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9
并计算得，＝4.7．
(1)建立点击量y关于天数x的经验回归方程，并预测第6天的点击量；
(2)已知点击该商品的用户来自移动端的概率为来自PC端的概率为且来自移动端的用户最终下单的概率为来自PC端的用户最终下单的概率为，如果用户甲点击该商品后最终下单了，求用户甲来自移动端的概率．
附：经验回归方程．
[解]　(1)＝1.47，
则＝4.7－1.47×3＝0.29，
所以y关于x的经验回归方程为＝1.47x＋0.29，
当x＝6时，＝1.47×6＋0.29＝9.11．
故预测第6天的点击量约为9.11万次．
(2)设事件A为“用户来自移动端”，事件B为“用户甲下单”，
则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝，所以P(A|B)＝，
故如果用户甲点击该商品后最终下单了，用户甲来自移动端的概率为．
通性通法：破解概率与回归分析的综合问题的关键：(1)求两个变量的平均值；(2)能根据已知数据求回归方程；(3)能利用概率公式、离散型随机变量的分布列等处理数据．
【教用·备选题】
(2025·青岛调研)“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某公司对A型充电桩进行生产投资，所获得的利润有如表统计数据，并计算得)＝30．
A型充电桩投资 金额x/百万元 3 4 6 7 9 10
所获利润y/ 百万元 1.5 2 3 4.5 6 7
(1)已知可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，求其经验回归方程；
(2)规定若所获利润y与投资金额x的比值不低于对应的投入额为“优秀投资额”，记2分，若所获利润与投资金额x的比值低于则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，若所获利润，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分．现从表中6个投资金额中任意选2个，用X表示记分之和，求X的分布列及数学期望．
附：在经验回归方程中，
．
[解]　(1)由题表知，＝6.5，
＝4，
(xi－)2＝(3－6.5)2＋(4－6.5)2＋(6－6.5)2＋(7－6.5)2＋(9－6.5)2＋(10－6.5)2＝37.5，
因此＝0.8，
则＝4－0.8×6.5＝－1.2，
所以所求经验回归方程为＝0.8x－1.2．
(2)由题表知，，
因此“优秀投资额”有2个，“良好投资额”有1个，“不合格投资额”有3个，
X的可能取值为0，1，2，3，4，
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝，
所以X的分布列为
则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×．
X 0 1 2 3 4
P
类型三　独立性检验与概率
[典例3]　某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表：
单位：人
年龄 周平均锻炼时长 合计
少于4小时 不少于4小时
50岁以下 40 60 100
50岁以上(含50) 25 75 100
合计 65 135 200
(1)试根据α＝0.05的χ2独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？( χ2精确到0.001)
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷．记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式及数据：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
[解]　(1)零假设为H0：周平均锻炼时长与年龄无关．
由2×2列联表中的数据，可得χ2＝≈5.128，
∴χ2≈5.128>3.841＝x0.05，
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．
(2)抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有5×＝2(人)，不少于4小时的有5×＝3(人)，
所以X所有可能的取值为1，2，3，
所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×．
通性通法：高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，解决独立性检验问题，要注意“三关”：假设关、公式关、对比关．解决概率问题要准确地把握题中所涉及的事件，明确所求问题所属的事件类型．
【教用·备选题】
(2026·南通模拟)跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能，抑制人体癌细胞生长和繁殖．为了解人们是否喜欢跑步，某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如表．
单位：人
性别 是否喜欢跑步 合计
喜欢 不喜欢
男 12 8 20
女 10 10 20
合计 22 18 40
(1)试根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，分析人们对跑步的喜欢情况是否与性别有关？
(2)该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为．对于下周(周一～周五)上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司(无论周四是否准时到达公司)．设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
[解]　(1)零假设为H0：人们对跑步的喜欢情况与性别无关．
根据题意，由2×2列联表中的数据，可得χ2＝≈ 0.404<3.841＝x0.05，
根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为人们对跑步的喜欢情况与性别无关．
(2)由题意，随机变量X的所有可能取值分别为1，2，3，4，
可得P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝，
所以X的分布列为
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×．
X 1 2 3 4
P
【教用·微点突破】
概率与函数、数列
在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式、数列的有关性质去实现．
一、概率与函数
[典例1]　小甲参加商场举行的玩游戏换代金券的活动．若参与A游戏，则每次胜利可以获得该商场150元的代金券；若参与B游戏，则每次胜利可以获得该商场200元的代金券；若参与C游戏，则每次胜利可以获得该商场300元的代金券．已知每参与一次游戏需要成本100元，且小甲每次游戏胜利与否相互独立．
(1)若小甲参加4次A游戏，每次获胜的概率为p(0(2)在(1)的条件下，记小甲参加A，B，C游戏获胜的概率分别为p0．若小甲只玩一次游戏，试通过计算说明，选择哪种游戏小甲获利的均值最大？
[解]　(1)依题意，小甲获胜3次、失败1次，
则F(p)＝p3(1－p)＝－4p4＋4p3，0故F'(p)＝－16p3＋12p2＝4p2(－4p＋3)．
令F'(p)＝0，解得p＝，故当p∈时，F'(p)>0，当p∈时，F'(p)<0，则F(p)在内单调递减，所以函数F(p)的极大值点p0＝．
(2)由(1)可知，小甲参加A，B，C游戏获胜的概率分别为，设随机变量Z1，Z2，Z3分别为小甲参加一次A，B，C游戏的获利．
若小甲参加A游戏，此时小甲获利的均值E(Z1)＝×50＋×(－100)＝－25；
若小甲参加B游戏，此时小甲获利的均值E(Z2)＝×100＋×(－100)＝－；
若小甲参加C游戏，此时小甲获利的均值E(Z3)＝×200＋×(－100)＝．
因为E(Z1)通性通法：概率与函数交汇问题常需根据题意列出某个事件发生的概率表达式，表达式中通常含有未知数，此时可将概率表达式看作函数，通常会利用导数判断函数的单调性，进而确定概率的最值等．
二、概率与数列
[典例2]　(多选)甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．从一个人传球到另一个人称传球一次．若传球开始时甲持球，记传球n次后球仍回到甲手里的概率为Pn，则下列结论正确的是(　　)
A．P2＝ B．P4＝
C．Pn＝(1－Pn-1) D．Pn＝
√
√
√
ACD　[A选项，第一次传球后到乙或丙手里，故P1＝0，第二次传球，球有的概率回到甲手里，故P2＝，A正确；
C选项，Pn-1为传球(n－1)次后球仍回到甲手里的概率，要想传球n次后球仍回到甲手里，则第(n－1)次传球后球不在甲手里，在乙或丙手里，且下一次传球有的概率回到甲手里，故Pn＝(1－Pn-1)，C正确；
D选项，由C选项知Pn＝(1－Pn-1)，
即Pn＝－，
设Pn＋λ＝－(Pn-1＋λ)，
故Pn＝－λ，
所以－λ＝，解得λ＝－，
故Pn－，
又P1－≠0，
所以是首项为－，公比为－的等比数列，故Pn－，
故Pn＝，D正确；
B选项，由D选项可知P4＝，B错误．]
通性通法：在概率问题中，经常出现“承上启下”的概率关系，也就是说，第n＋1(n∈N*)步的概率Pn+1与第n步的概率Pn之间有着十分紧密的关系，这种关系正是数列研究的对象问题．解决这类题的步骤如下：
(1)厘清初始事件的概率P1(或P0)；
(2)利用事件关系寻求第n步的概率Pn与第n＋1步的概率Pn+1之间的关系，即递推关系Pn+1＝f (Pn)；
(3)利用数列的相关知识，由已知P1与Pn+1＝f (Pn)求出通项公式Pn．
【教用·备选题】
1．(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
(2)设函数f (c)＝p(c)＋q(c)．当c∈[95，105]时，求f (c)的解析式，并求f (c)在区间[95，105]上的最小值．
[解]　(1)由题图知(100－95)×0.002＝1%>0.5%，所以95设X为患病者的该指标，则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，
解得c＝97.5．
设Y为未患病者的该指标，
则q(c)＝P(Y>c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%．
(2)当95≤c≤100时，
p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，
q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，
所以f (c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；
当100p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，
q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，
所以f (c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98．
综上所述，f (c)＝
由一次函数的单调性知，函数f (c)在[95，100]上单调递减，在(100，105]上单调递增，作出f (c)在区间[95，105]上的大致图象(图略)，可得f (c)在区间[95，105]上的最小值f (c)min＝f (100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02．
2．(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(qi．记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．
[解]　(1)记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则A＝BA＋A，
所以P(A)＝P(BA＋A)＝P(BA)＋P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6．
(2)设第i次投篮的人是甲的概率为pi，由题意可知，p1＝，pi+1＝pi×0.6＋(1－pi)×(1－0.8)，
即pi+1＝0.4pi＋0.2＝，
所以pi+1－，
又p1－，
所以数列为公比的等比数列，
所以pi－，
所以pi＝．
(3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi．
Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，
则E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，
由(2)知，pi＝，
所以E(Y)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn＝
＝＝．
1．(2025·乳山市期中)为了研究高二学生每天整理数学错题的情况，学校在高二级部学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学成绩与整理数学错题情况，统计数据如下．
单位：人
课时作业(七十九)　概率与统计的综合问题(进阶课)
每天整理 错题情况 数学成绩 合计
优秀 不优秀
每天都整理数学错题人数 55 20 75
不是每天都整理数学错题人数 30 45 75
合计 85 65 150
(1)依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析数学成绩优秀是否与每天整理数学错题有关？
(2)从调查的不是每天都整理数学错题的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
参考数据：
α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
[解]　(1)零假设为H0：数学成绩优秀与每天整理数学错题无关．
由2×2列联表中的数据，得
χ2＝≈16.968>10.828＝x0.001，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为数学成绩优秀与每天整理数学错题有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．
(2)由题易知采用分层随机抽样的10人中，成绩优秀的有4人，成绩不优秀的有6人，
随机变量X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×．
2．(2025·仁怀市期中)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．
(1)求图中x的值；
(2)从成绩不低于80分的学生中随机
选取2人，该2人中成绩在90分以上
(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列
及数学期望．
[解]　(1)利用频率分布直方图的频率性质可得(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x＝0.018．
(2)分数在[80，90)，[90，100]的人数分别是
50×0.018×10＝9(人)，50×0.006×10＝3(人)．
所以ξ的可能取值为0，1，2．
则P(ξ＝0)＝，
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝，
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×．
3．网络营销是利用互联网和数字技术开展的一种营销方式，包括电子商务营销、搜索引擎营销、社交媒体营销等多种形式．通过网络营销，商家可以更加直接高效地与消费者进行交流和互动，提高品牌名誉度和市场份额．视频营销成为一种网络营销“新宠”．某礼品店应用视频营销销售礼品，2025年1月到8月出售的礼盒数量及利润情况的相关数据如表所示．
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月
月销售量x/千个 3 4 5 6 7 9 10 12
月利润y/万元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1
(1)求出月利润y(单位：万元)关于月销售量x(单位：千个)的经验回归方程(精确到0.01)，并估计月利润不小于12.4万元时月销售量的最小值．
(2)2026年元旦前夕，该店售卖装有吉祥物“琮琮”“宸宸”和“莲莲”玩偶的三款礼盒，小丽同学购买了5个装有“琮琮”玩偶的礼盒，4个装有“宸宸”玩偶的礼盒，3个装有“莲莲”玩偶的礼盒，从中随机选出3个作为元旦礼物赠送给同学．用X表示3个礼盒中装有“宸宸”玩偶的礼盒个数，求X的分布列和数学期望．
参考数据：xi yi＝379.5．
附：经验回归方程．
[解]　(1)因为xi＝7，yi＝6，根据参考数据可得，
≈0.64，
所以＝6－0.64×7＝1.52，故月利润y关于月销售量x的经验回归方程为＝0.64x＋1.52，月利润不小于12.4万元，即＝0.64x＋1.52≥12.4，可得x≥17，所以月利润不小于12.4万元时月销售量的最小值为17千个．
(2)X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，
故X的分布列为
则数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1．
X 0 1 2 3
P
谢谢！课时作业(七十九)　概率与统计的综合问题(进阶课)
1．(15分)(2025·乳山市期中)为了研究高二学生每天整理数学错题的情况，学校在高二级部学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学成绩与整理数学错题情况，统计数据如下．
单位：人
每天整理 错题情况 数学成绩 合计
优秀 不优秀
每天都整理数 学错题人数 55 20 75
不是每天都整理 数学错题人数 30 45 75
合计 85 65 150
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
参考数据：
α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(1)依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析数学成绩优秀是否与每天整理数学错题有关？
(2)从调查的不是每天都整理数学错题的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．
2．(15分)(2025·仁怀市期中)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．
(1)求图中x的值；
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
3．(15分)网络营销是利用互联网和数字技术开展的一种营销方式，包括电子商务营销、搜索引擎营销、社交媒体营销等多种形式．通过网络营销，商家可以更加直接高效地与消费者进行交流和互动，提高品牌名誉度和市场份额．视频营销成为一种网络营销“新宠”．某礼品店应用视频营销销售礼品，2025年1月到8月出售的礼盒数量及利润情况的相关数据如表所示．
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月
月销售量x/千个 3 4 5 6 7 9 10 12
月利润y/万元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1
(1)求出月利润y(单位：万元)关于月销售量x(单位：千个)的经验回归方程(精确到0.01)，并估计月利润不小于12.4万元时月销售量的最小值．
(2)2026年元旦前夕，该店售卖装有吉祥物“琮琮”“宸宸”和“莲莲”玩偶的三款礼盒，小丽同学购买了5个装有“琮琮”玩偶的礼盒，4个装有“宸宸”玩偶的礼盒，3个装有“莲莲”玩偶的礼盒，从中随机选出3个作为元旦礼物赠送给同学．用X表示3个礼盒中装有“宸宸”玩偶的礼盒个数，求X的分布列和数学期望．
课时作业(七十九)
1．解：(1)零假设为H0：数学成绩优秀与每天整理数学错题无关．
由2×2列联表中的数据，得χ2＝
≈16.968>10.828＝x0.001，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为数学成绩优秀与每天整理数学错题有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．
(2)由题易知采用分层随机抽样的10人中，成绩优秀的有4人，成绩不优秀的有6人，
随机变量X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×．
2．解：(1)利用频率分布直方图的频率性质可得(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x＝0.018．
(2)分数在[80，90)，[90，100]的人数分别是
50×0.018×10＝9(人)，50×0.006×10＝3(人)．
所以ξ的可能取值为0，1，2．则P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝，
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×．
3．解：(1)因为xi＝7，yi＝6，根据参考数据可得，
≈0.64，
所以＝6－0.64×7＝1.52，
故月利润y关于月销售量x的经验回归方程为＝0.64x＋1.52，
月利润不小于12.4万元，即＝0.64x＋1.52≥12.4，可得x≥17，所以月利润不小于12.4万元时月销售量的最小值为17千个．
(2)X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1．
1 / 4

展开更多......

收起↑