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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.1.1.2勾股定理的图形验证第一章勾股定理北师大版八年级上册1.1.2勾股定理的图形验证练习题###核心知识点回顾勾股定理的图形验证，核心是面积割补法，依据“图形割补前后总面积不变”的原理，通过拼接、分割直角三角形和正方形，数形结合证明勾股定理$$a^2+b^2=c^2$$。课本重点验证方法为赵爽弦图、大正方形拼接法，解题关键是准确表示各部分图形面积，通过面积等量关系推导边长平方关系。###一、选择题（每题4分，共20分）1.赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，其核心验证原理是（）A.直角三角形内角和为180°B.图形割补面积不变C.三角形全等性质D.正方形边长相等2.赵爽弦图中，直角三角形直角边为$$a、b$$（$$a>b$$），斜边为$$c$$，则中间小正方形的边长为（）A. $$a+b$$ B. $$a-b$$ C. $$c$$ D. $$a-b+c$$3.用四个全等直角三角形拼成大正方形，大正方形面积为25，直角三角形两直角边乘积为12，则小正方形面积为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.下列图形中，不能用于验证勾股定理的是（）A.赵爽弦图B.总统证法直角梯形图C.任意三角形拼接图D.边长分割正方形图5.赵爽弦图中，若直角边$$a=3$$，$$b=5$$，则大正方形面积为（）A. 16 B. 25 C. 34 D. 64###二、填空题（每题4分，共20分）1.勾股定理图形验证的核心思想是________，通过面积相等推导边长平方关系。2.赵爽弦图中，大正方形面积=四个全等直角三角形面积和+________。3.直角三角形直角边为6、8，用赵爽弦图拼接后，中间小正方形的面积为________。4.总统证法利用________图形的面积公式，拆分推导勾股定理。5.若赵爽弦图大正方形面积为13，小正方形面积为1，则单个直角三角形面积为________。###三、解答题（共60分）1.（20分）利用赵爽弦图完整推导证明勾股定理。已知：四个全等直角三角形直角边为$$a、b$$，斜边为$$c$$，拼接成大正方形，求证：$$a^2+b^2=c^2$$。2.（20分）如图，用两个全等直角三角形和一个等腰直角三角形拼成直角梯形（总统证法图形），直角三角形直角边为$$a、b$$，斜边为$$c$$，通过梯形面积公式验证勾股定理。3.（20分）已知赵爽弦图中，小正方形边长为2，直角三角形短直角边为4，求大正方形的面积。###参考答案与简要解析选择题：1.B 2.B 3.A 4.C 5.C填空题：1.面积割补法2.小正方形面积3.4 4.直角梯形5.3解答题：1.大正方形边长为$$c$$，面积为$$c^2$$；四个直角三角形总面积为$$4×\frac{1}{2}ab=2ab$$，小正方形边长为$$a-b$$，面积为$$(a-b)^2$$。由面积相等得：$$c^2=2ab+(a-b)^2$$，化简得$$c^2=a^2+b^2$$，定理得证。2.梯形上底$$a$$、下底$$b$$、高$$a+b$$，梯形面积$$S=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$$。梯形面积也等于三个三角形面积和：$$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$$，化简等式即可推出$$a^2+b^2=c^2$$。3.由题意得长直角边=4+2=6，单个直角三角形面积$$\frac{1}{2}×4×6=12$$，四个三角形总面积48，小正方形面积4，大正方形面积=48+4=52。###易错总结图形验证勾股定理的核心是找准各图形边长与直角三角形三边的对应关系，切勿混淆大、小正方形边长；推导时需规范面积公式，完整完成化简步骤，避免跳过关键推导环节导致解题失误。经历运用拼图的方法说明勾股定理的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的能力．
通过教师讲解，能熟练运用勾股定理解决实际问题，进一步体会数学与现实生活的紧密联系
教学重难点教学重点,勾股定理的验证．
问题 上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？
勾股定理的验证方法有很多种，你有自己的方法吗？
直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.
问题 分别以直角三角形的三条边（a＜b）为边向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗
思考
为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到下面两幅图.
(1)将所有三角形和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来.
知识点1 勾股定理的验证
思考
为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到下面两幅图.
(1)将所有三角形和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来.
知识点1 勾股定理的验证
(1)图中正方形的面积由小到大依
次表示为a2，b2，c2，(a+b) 2；
三角形的面积都表示为ab.
a2
b2
c2
(a+b) 2
ab
ab
ab
ab
思考
为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到下面两幅图.
(1)将所有三角形和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来.
知识点1 勾股定理的验证
(1)图中正方形的面积由小到大依
次表示为(b-a) 2，a2，b2，c2；
三角形的面积都表示为ab.
(b-a) 2
a2
b2
c2
ab
(2)图中正方形 ABCD 的面积，你有哪些表示方式？
(2)图中正方形 ABCD的面积表示为(a+b) 2
或ab×4+c2=2ab+c2.
知识点1 勾股定理的验证
ab
ab
ab
ab
(a+b) 2
c2
(3)你能利用下图验证勾股定理吗
知识点1 勾股定理的验证
(3)能.图中正方形 ABCD 的面积不变，
即(a+b)2=2ab+c2，
所以a2+b2=c2.
a2+b2+2ab
(2)图中正方形 ABCD 的面积，你有哪些表示方式？
(2)图中正方形 ABCD的面积表示为(b-a) 2
或cab×4=c2-2ab.
知识点1 勾股定理的验证
ab
ab
ab
ab
(b-a) 2
c2
知识点1 勾股定理的验证
(3)你能分别下图验证勾股定理吗
a2+b2-2ab
(3)能.图中正方形 ABCD 的面积不变，
即(b-a)2=c2-2ab，
所以a2+b2=c2.
勾股定理在我国有着悠久的历史.汉末三国初数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实.开方除之，即弦.”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理.后人通常把左图称为“赵爽弦图”.
知识点1 勾股定理的验证
2002年国际数学家大会会标的主要图案(如右图)就取材于此图.
例1 伽菲尔德的“总统证法”：如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2 =c2.
知识点1 勾股定理的验证
证明：
因为S梯形=(a+b)(a+b)=(a2+b2+2ab)，
S梯形=ab+ab+c2= (2ab+c2)，
所以(a2+b2+2ab)= (2ab+c2)，
即a2+b2=c2 .
例2 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公
路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m;过了10 s，测得汽车与他相距500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s的平均速度吗
知识点2 勾股定理的应用
公路
B
C
A
400m
500m
解：根据题意画图，其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置.
由于王叔叔距离公路400 m，因此∠C是直角.
由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，
即 5002=BC2+4002，
所以BC=300.
蓝方汽车10 s行驶了300 m，
那么它平均每秒行驶300÷10=30(m)，
即蓝方汽车这10 s的平均速度为30 m/s.
知识点2 勾股定理的应用
公路
B
C
A
400m
500m
运用勾股定理解决实际问题的一般思路：
知识点2 勾股定理的应用
实际问题
确定所求线段在直角三角形中
抽象出几何图形
求得线段长
数学建模
确定直角边和斜边
回归
利用勾股定理建立方程
知识点1 勾股定理的验证
1.勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一.下列图形中可以证明勾股定理的有(　　)
A.①③　　
B.②③　　
C.②④　　
D.①④
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D
2.［2026南京期中］如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，点E为AC上一点，连接BE，DE，DE的延长线交AB于点F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°.
(1)试说明：DF⊥AB.
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【解】因为AC⊥BD，∠CAD＝45°，所以易得△ACD为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°.所以AC＝DC.又因为AB＝DE，所以AB2－AC2＝DE2－DC2，所以BC2＝EC2，所以BC＝EC，所以△ABC≌△DEC.所以∠BAC＝∠EDC.又因为∠EDC＋∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，所以∠AEF＋∠BAC＝90°，所以∠AFE＝90°，所以DF⊥AB.
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(2)利用图中阴影部分的面积完成勾股定理的验证.已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，试说明：a2＋b2＝c2.
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【解】因为S△BCE＋S△ACD＝S△ABD－S△ABE，DE＝AB＝c，CE＝BC＝a，AC＝CD＝b，所以a2＋b2＝ c DF－ c EF＝ c (DF－EF)＝ c DE＝c2，所以a2＋b2＝c2.
知识点2 勾股定理的应用
3. 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈(如图，1丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，竹梢抵地处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为(　　)
A.4.55尺　　
B.5.45尺　　
C.4.2尺　　
D.5.8尺
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C
4.如图，已知钓鱼竿AC的长为10 m，露在水上的鱼线BC长为6 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′的长度为8 m，若A，B，B′三点在同一直线上，则BB′的长为(　　)
A.4 m　　
B.3 m　　
C.2 m　　
D.1 m
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(第4题)
C
5. 2026年1月19日，神舟二十号飞船返回舱在东风着陆场成功着陆.为此，某校组织了一次以“指尖上的航模 蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演.如图，小烨控制的无人
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(第5题)
机在距离地面18米高的点D处(CD＝18米)，空中点A处有一只风筝，无人机上的测距仪测得AD＝17米，点A与点D之间的水平距离AE＝15米，已知AE⊥CD于点E，AB＝CE，则风筝离地面的高度AB是　　　　　　.
10米
6.一辆装满货物、宽为1.6 m的卡车，欲通过如图所示的隧道(隧道上半部分是以AB为直径的半圆)，则卡车的高度必须低于(　　)
A.3.0 m　　
B.2.9 m　　
C.2.8 m　　
D.2.7 m
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(第6题)
B
【点拨】1.6÷2＝0.8(m).如图，取AB的中点O，在OB上截取OE＝0.8 m，过点E作AB的垂线，交半圆于点F，交CD于点G，连接OF，则OF＝1 m，在Rt△OEF中，由勾股定理可得EF＝0.6 m，则FG＝0.6＋2.3＝2.9(m).则卡车的高度必须低于2.9 m.
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7.如图，一只小猫沿着斜立在墙边的木板往上爬，木板底端距离墙脚0.7 m，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3 m，木板顶端向下滑了0.9 m，则小猫在木板上爬了　　　　m.
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(第7题)
2.5
8. ［2026盐城期中］第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1 700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直
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角三角形(△DAE，△ABF，△BCG，△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接BE，CE.若△CDE的面积是△ABE面积的9倍，小正方形EFGH的面积是16，则大正方形ABCD的面积为　　　　.
40
9. ［2026成都外国语学校期中］如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340 km的B处有一台风中心，沿BC方向以
15 km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160 km.
(1)台风中心经过多长时间从B点移动到D点？
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【解】由题意可知，AD⊥BC，AB＝340 km，AD＝160 km，所以由勾股定理易得BD＝300 km.
因为300÷15＝20，
所以台风中心经过20 h从B点移动到D点.
(2)如果在距台风中心200 km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间为多少小时？
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【解】如图，在射线BC上取点E，F，连接AE，AF，使得AE＝AF＝200 km.
又因为AD⊥BC，所以EF＝2ED.
在Rt△AED中，由勾股定理易得ED＝120 km，
所以EF＝2ED＝240 km.
因为240÷15＝16，
所以A市受到台风影响的时间为16 h.
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勾股定理
解决简单的实际问题
已知直角三角形的两边长求第三边长
割补法
应用
验证方法

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