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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.1.2一定是直角三角形吗第一章勾股定理北师大版八年级上册1.2一定是直角三角形吗练习题###核心知识点回顾本节重点学习勾股定理的逆定理，也是判定直角三角形的重要方法。如果三角形的三边长$$a、b、c$$满足关系式$$a^2+b^2=c^2$$，那么这个三角形是直角三角形，且最长边$$c$$所对的角为直角。同时，满足该关系的正整数组$$(a,b,c)$$叫做勾股数，常见勾股数有3、4、5；5、12、13；6、8、10等，勾股数的正整数倍依然是勾股数。解题关键是先确定三角形最长边，再验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方。###一、选择题（每题4分，共20分）1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A. 2、3、4 B. 3、4、6 C. 5、12、13 D. 4、6、72.下列各组数中，不属于勾股数的是（）A. 6、8、10 B. 7、24、25 C. 9、12、15 D. 10、12、143.一个三角形三边长为9、12、15，则该三角形最大内角的度数为（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°4.若三角形三边长之比为5:12:13，则这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5.已知三角形三边长为$$\sqrt{3}$$、2、$$\sqrt{7}$$，该三角形的形状是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法判断###二、填空题（每题4分，共20分）1.勾股定理的逆定理：若三角形三边长$$a、b、c$$满足________，则这个三角形为直角三角形。2.写出一组大于10的常见勾股数：________。3.三角形三边长为8、15、17，该三角形的面积为________。4.若一个三角形的三边长为1.5、2、2.5，这个三角形________（填“是”或“不是”）直角三角形。5.已知三角形两边长为6、8，第三边长为________时，该三角形为直角三角形。###三、解答题（共60分）1.（20分）判断下列三组线段能否构成直角三角形，并说明理由：（1）7、24、25；（2）8、15、16；（3）9、40、41。2.（20分）已知一个三角形的三边长分别为12、16、20，求证该三角形为直角三角形，并求出三角形的周长和面积。3.（20分）如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，∠B=90°，连接AC，求证△ACD是直角三角形。###参考答案与简要解析选择题：1.C 2.D 3.C 4.B 5.A填空题：1.$$a^2+b^2=c^2$$ 2.15、8、17（答案不唯一）3.60 4.是5.10或$$2\sqrt{7}$$解答题：1.（1）$$7^2+24^2=25^2$$，是直角三角形；（2）$$8^2+15^2≠16^2$$，不是直角三角形；（3）$$9^2+40^2=41^2$$，是直角三角形。2.最长边为20，$$12^2+16^2=20^2$$，满足逆定理，为直角三角形；周长=12+16+20=48，面积=$$\frac{1}{2}×12×16=96$$。3.在Rt△ABC中，$$AC^2=AB^2+BC^2=25$$，AC=5；在△ACD中，$$5^2+12^2=13^2$$，满足勾股逆定理，故△ACD为直角三角形。###易错总结利用逆定理判定直角三角形时，必须先找准最长边，避免用长边平方加短边平方验证；已知两边求第三边判定直角三角形时，需分第三边为斜边或直角边两种情况，防止漏解；小数、分数边长也可判定直角三角形，勾股数仅限正整数。通过学习勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念，能根据所给定三角形三边的条件判断三角形是不是直角三角形
通过经历勾股定理的逆向思维所推出的勾股定理逆定理的理解过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力．
通过体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系
下面每组数分别是一个三角形的三边长a，b，c，而且都满足a2+b2=c2：
3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25.
分别以每组数为三边长画出三角形(可借助尺规作图)，它们都是直角三角形吗
知识点1 直角三角形的判定条件
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7
① 3，4，5满足a2+b2=c2，量得较长边c所对的角的度数为90°；
② 5，12，13满足a2+b2=c2，量得较长边c所对的角的度数为90°；
③ 7，24，25满足a2+b2=c2，量得较长边c所对的角的度数为90°；
④ 8，15，17满足a2+b2=c2 ，量得较长边c所对的角的度数为90°.
知识点1 直角三角形的判定条件
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所以以上四种情况都可以构成直角三角形.
如果三角形三条边的长度 a，b，c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
知识点1 直角三角形的判定条件
符号语言：
在△ABC中，因为a2 +b2 =c2 .
所以△ABC是直角三角形，且∠C=90°.
C
B
A
a
b
c
勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：
知识点1 直角三角形的判定条件
AC2 +BC2 =AB2
勾股定理
勾股定理的逆定理
直角三角形的性质
直角三角形的判定
数
形
C
B
A
例1 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？
解：在△ ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，
所以△ ABD是直角三角形，∠A是直角.
在△ BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，
所以△ BCD是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
知识点1 直角三角形的判定条件
4
3
5
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A
B
C
D
跟踪训练 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a=15， b=8，c=17；
解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，
由勾股定理的逆定理可知，这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角.
知识点1 直角三角形的判定条件
跟踪训练 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(2) a=13，b=14，c=15.
解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，
由勾股定理的逆定理可知，这个三角形不是直角三角形.
知识点1 直角三角形的判定条件
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；6，8，10；
7，24，25；8，15，17等.
知识点2 勾股数
注意：勾股数应具备两个条件：
(1)这三个数均为正整数；
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方.
关于勾股数的重要结论：若a，b，c是一组勾股数，则
①na，nb，nc(n为正整数)也是一组勾股数，因此勾股数有无数组；
②以na，nb，nc(n为正数)为边长的三角形一定是直角三角形.
知识点2 勾股数
跟踪训练 下列几组数中是勾股数的是 .(填序号)
① ，，；② 0.3，0.4，0.5；③ 32，42，52；
④ 3，4，5； ⑤ 6，7，8； ⑥ 5，12，13.
知识点2 勾股数
④ ⑥
回顾勾股定理的学习过程，你积累了哪些研究问题的经验和方法
知识点2 勾股数
知识点1 直角三角形的判定
1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是(　　)
A.a∶b∶c＝5∶12∶13
B.∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5
C.a＝9k，b＝40k，c＝41k(k＞0)
D.a＝2，b＝3，c＝4
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D
2.如图，在由小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是(　　)
A.点A　　
B.点B　　
C.点C　　
D.点D
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(第2题)
D
3. 已知△ABC中，AB＝k，AC＝k＋1，BC＝3，当k＝　　　　时，∠B＝90°.
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4
4.如图，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是 　　　　.
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(第4题)
知识点2 勾股数
5.下列各组数中，是勾股数的是(　　)
A.4，5，6　　 B.1，2，3
C.1.5，2，2.5　　 D.9，40，41
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D
6.［2025扬州］清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；….根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　　　　　　.
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11，60，61
知识点3 直角三角形判定的应用
7.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于A，B处，且相距20海里，已知甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船的航行方向是(　　)
A.北偏东50°
B.北偏东45°
C.南偏东50°
D.南偏东60°
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A
8.［2026徐州期中］如图，把一块△ABC土地划出一个△ACD后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米，其中∠ACB＝90°.
(1)判断△ACD的形状，并说明理由；
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【解】△ACD是直角三角形.
理由：因为∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米，
所以由勾股定理得AC＝5米.又因为CD＝3米，AD＝4米，所以AD2＋CD2＝25＝AC2，所以△ACD是直角三角形，∠ADC＝90°.
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(2)求图中阴影部分土地的面积.
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【解】图中阴影部分土地的面积＝AC×BC－AD×CD＝×5×12－×4×3＝24(平方米).
9.［华师一附中自主招生］已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4＋2b4＋c4＝2a2c2＋2b2c2，则△ABC是(　　)
A.等腰三角形　　 B.等腰直角三角形
C.直角三角形　　 D.等腰三角形或直角三角形
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B
勾股定理的逆定理
判断三角形的形状、解决简单的实际问题
如果三角形三条边的长度a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
测量两边的平方和等于第三边的平方的三角形的内角
内容
应用
探索、验证方法

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