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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.1.3勾股定理的应用第一章勾股定理北师大版八年级上册1.3勾股定理的应用练习题###核心知识点回顾本节主要利用勾股定理及其逆定理解决实际生活与几何综合问题。解题核心思想是：把不规则、立体、生活场景问题，转化为直角三角形模型。常见题型包括：立体图形最短路径问题、折叠问题、航海测距问题、竹竿穿墙、高度测量、四边形求边长等。若题目中无直角，需要通过作垂线构造直角三角形，再利用$$a^2+b^2=c^2$$列式求解。###一、选择题（每题4分，共20分）1.一架梯子长13米，斜靠在墙上，梯子底端离墙5米，则梯子顶端离地高度为（）A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米2.一只蚂蚁从棱长为2的正方体底面一角爬到顶面对角一角，最短路径长度为（）A. $$2\sqrt{2}$$ B. $$2\sqrt{5}$$ C. 4 D. 63.小河宽度未知，岸边一点正对对岸树底，沿河岸走8米，此时距离树顶10米，树高忽略不计，则河宽为（）A. 4米B. 6米C. 8米D. 10米4.长方形纸片长8、宽6，沿对角线折叠后，重合部分三角形的斜边长为（）A. 6 B. 8 C. 10 D. 125.下列实际问题，不能用勾股定理直接求解的是（）A.求斜坡竖直高度B.求任意三角形周长C.求立体最短路径D.求航海直线距离###二、填空题（每题4分，共20分）1.解决立体图形最短路径问题的方法是________，将立体图形转化为平面图形。2.一棵树在离地面3米处折断，树顶落地距离树根4米，则树原高为________米。3.圆柱高12，底面半径$$\frac{5}{\pi}$$，侧面展开后最短路径长为________。4.轮船先向东航行9km，再向北航行12km，此时距离出发点________km。5.直角三角形门框高4m、宽3m，能通过的最长直竹竿长度为________m。###三、解答题（共60分）1.（20分）台风过后，一棵竖直的大树折断，折断处距地面5米，树尖落地后距树根12米，求这棵大树折断前的总高度。2.（20分）有一个无盖长方体木箱，长6cm、宽4cm、高3cm，一只蚂蚁在木箱外底面顶点，想爬到对面顶面顶点，求最短爬行距离。3.（20分）如图，一艘船从A港出发，向正北方向航行16km到达B点，发现偏向，随即向正东方向航行12km到达C点，求C点距离A港的直线距离。###参考答案与简要解析选择题：1.C 2.B 3.B 4.C 5.B填空题：1.侧面展开（展平）2.8 3.13 4.15 5.5解答题：1.折断部分为斜边：$$\sqrt{5^2+12^2}=13$$米，原高=5+13=18米。2.长方体展平有三种情况，计算得最短路径为$$\sqrt{(6+4)^2+3^2}=\sqrt{109}$$cm（或对比其余展平方式，取最小值）。3.构建Rt△ABC，∠B=90°，$$AC=\sqrt{16^2+12^2}=20$$km，即C点距A港20km。###易错总结勾股定理应用的核心是构造直角三角形；立体最短路径必须展平为平面，切勿直接用空间边长计算；大树折断、梯子滑动问题中，斜边为变化的倾斜边长，需区分固定边长与变动边长；做题优先找直角、定斜边，再代入公式计算。通过将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题
通过观察图形、探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题
渗透数学建模的思想．教学重难点教学重点,立体图形、平面图形中的最短路径问题
旧识回顾
1．勾股定理的内容是什么？
2．勾股定理的逆定理的内容是什么？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋ b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
问题导入
“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
思考
(1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗
(1)能.若卷尺足够长，则只要量得AD，BC，AB，BD，AC 的长，
然后验证 AD2+AB2是否等于BD2及BC2+AB2是否等于AC2即可.
知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直
(2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm.边 AD垂直于边AB吗
(2)边AD垂直于边AB.
因为AD2+AB2=302+402=2 500，BD2=502=2 500，
所以AD2+AB2= BD2，
所以△ABD 为直角三角形，且∠A=90°，
所以AD⊥AB.
知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直
(3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗
(3)他能检验边AD是否垂直于边AB.
如在边AB，AD上各量出一段较短的线段AB′，AD′的长度，连接B′D′，再量出线段B′D′的长度，
若B′D′2=AB′2+AD′2，则边AD垂直于边AB；
否则，边AD不垂直于边 AB.
同样的方法可检验边BC是否垂直于边AB.
知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直
B′
D′
跟踪训练 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的？
知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直
解：图(2)正确.因为7 2 +24 2 =25 2，15 2 +20 2 =25 2 ，
所以只有图(2)中摆成的两个三角形是直角三角形.
思考 如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗
知识点2 勾股定理的应用
A E D
F
G
B C
解：设DF=x cm，则EF=FC=DC-DF=(8-x)cm.
因为点E是AD的中点，所以DE=AD=4 cm.
在Rt△DEF中，由勾股定理，得
DE 2 +DF 2 =EF 2 ，即4 2 +x 2 =(8-x) 2，解得x=3，
所以DF的长为3 cm.
例1 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何 (选自《九章算术》)
题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少
注：“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈=10尺。
知识点2 勾股定理的应用
解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为(x+1)尺.
由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺.
在Rt△OAC中，由勾股定理，得
AC +OA =OC ，
即 5 +x =(x+1) .
解得 x=12.
12+1=13.
因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.
知识点2 勾股定理的应用
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
(1)读懂题意，分析已知、未知间的关系；
(2)构造直角三角形；
(3)利用勾股定理等列方程；
(4)解决实际问题.
知识点2 勾股定理的应用
跟踪训练 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何
题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高 则折断处离地面的高度为 尺.
知识点2 勾股定理的应用
解析：设折断处离地面的高度AC为x尺，则AB=(10-x)尺.
由题意可得AC⊥BC，所以∠ACB=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC +BC =AB ，
即x +4 =(10-x) ，解得x=，
所以折断处离地面的高度为尺.
知识点2 勾股定理的应用
跟踪训练 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何
题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高 则折断处离地
面的高度为 尺.
知识点2 勾股定理的应用
知识点1 在几何中的应用
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，若△ABD的面积为10，则CD的长为(　　)
A.3　　
B.4　　
C.5　　
D.4.5
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(第1题)
A
【点拨】因为∠C＝90°，△ABD的面积为10，所以DA BC＝10.因为DA＝5，所以BC＝4，所以CD2＝DB2－BC2＝9，所以CD＝3.
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(第1题)
2.如图，在长方形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则AE的长度为(　)
A.3 cm　　
B.4 cm　　
C. cm　　
D. cm
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(第2题)
C
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则AC 边上的高BD的长为(　　)
A.8　　
B.8.8　　
C.9.6　
D.10
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(第3题)
C
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知识点2 在实际问题中的应用
4.如图，这是一个装饮品的圆柱形玻璃杯，现测得其内径为
5 cm，高为12 cm，有一支长为15 cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露在杯口外的长度最少
为(　 )
A.1 cm　　 B.2 cm　　
C.3 cm　　 D.不能确定
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B
5. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地2.1米(AB＝2.1米)，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米(BC＝1.2米)的地方时，感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于(　　)
A.1.2米
B.1.3米
C.1.5米
D.2米
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B
6.［2026深圳期中］某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为∠DAF时，顶部边缘D处离桌面的高度DE为20 cm，此时底部边缘A处与E处之间的距离AE为15 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时(B是D的对应点)，顶部边缘B处到桌面的距离BC为7 cm，则底部边缘A处与C处之间的距离AC为( )
A.13 cm
B.15 cm
C.20 cm
D.24 cm
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D
7. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体
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C的升降.实验初始状态如图①所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm.(实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计)
(1)求绳子的总长度；
【解】根据题意得AC＝8 dm，BC＝6 dm，∠ACB＝90°，所以由勾股定理得AB＝10 dm，所以AB＋AC＝10＋8＝18 (dm).所以绳子的总长度为18 dm.
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(2)如图②，若物体C升高7 dm，求滑块B向左滑动的距离.
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【解】如图所示.
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2－AD2＝(10＋7)2－82＝225，所以BD＝15 dm，
所以BE＝BD－DE＝15－6＝9(dm).
所以滑块B向左滑动的距离为9dm.
8. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5 m、长13 m、宽2 m的楼梯铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮忙计算一下，铺完这个楼梯至少需要　　　　元.
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(第8题)
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勾股定理的应用
解决其他的实际问题
解决折纸问题、古文化问题
判断两直线是否垂直
勾股定理
勾股定理的逆定理

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