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北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.1.1认识实数第二章实数北师大版八年级上册2.1认识实数练习题【核心知识点回顾】1.实数的定义：有理数和无理数统称为实数。实数与数轴上的点一一对应。2.有理数：整数和分数的统称，有限小数或无限循环小数都可以化为分数，属于有理数。3.无理数：无限不循环小数。常见四类：①开方开不尽的数（如$$\sqrt{2}、\sqrt{3}$$）；②特殊常数（如$$\pi$$）；③无限不循环小数；④含无理数的简单运算结果。4.实数性质：实数分为正实数、0、负实数；实数具有相反数、绝对值、倒数性质，有理数的运算法则在实数范围内同样适用。###一、选择题（每题4分，共20分）1.下列各数中，属于无理数的是（）A. 3.14 B. $$\sqrt{4}$$ C. $$\sqrt{5}$$ D. $$-\frac{1}{3}$$2.下列说法正确的是（）A.无限小数都是无理数B.无理数都是无限小数C.带根号的数都是无理数D.实数分为正实数和负实数3.在实数$$0、-\sqrt{2}、\frac{22}{7}、3.1415、\pi$$中，无理数的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.与数轴上的点一一对应的数是（）A.整数B.有理数C.无理数D.实数5.下列实数中，最小的数是（）A. $$-\sqrt{3}$$ B. 0 C. -1 D. 2###二、填空题（每题4分，共20分）1. ________和________统称为实数。2.写出一个大于2且小于3的无理数：________。3.实数$$\sqrt{7}-3$$的相反数是________。4.绝对值等于$$\sqrt{5}$$的数是________。5.在实数范围内，最小的非负数是________。###三、解答题（共60分）1.（20分）将下列各数填入对应的集合内：$$-5、0、\frac{3}{4}、\sqrt{6}、\sqrt{9}、3.14、\pi、0.1010010001\cdots$$（相邻两个1之间0的个数依次增加1）有理数集合：｛｝；无理数集合：｛｝2.（20分）比较下列各组实数的大小：（1）$$\sqrt{10}$$与3；（2）$$-\sqrt{2}$$与$$-1.5$$3.（20分）已知实数$$a=\sqrt{5}-2$$，求$$a$$的相反数和绝对值。###参考答案与解析选择题答案：1.C 2.B 3.B 4.D 5.A填空题答案：1.有理数、无理数2.$$\sqrt{5}$$（答案不唯一）3.$$3-\sqrt{7}$$ 4.$$\pm\sqrt{5}$$ 5.0解答题解析1.有理数集合：$$-5、0、\frac{3}{4}、\sqrt{9}、3.14$$；无理数集合：$$\sqrt{6}、\pi、0.1010010001\cdots$$。解析：$$\sqrt{9}=3$$是整数，属于有理数；无限不循环小数、开方开不尽的数、$$\pi$$均为无理数。2.（1）$$\sqrt{10}\gt\sqrt{9}=3$$，故$$\sqrt{10}\gt3$$；（2）$$\sqrt{2}\approx1.414\lt1.5$$，负数比较大小，绝对值大的数更小，故$$-\sqrt{2}\gt-1.5$$。3.相反数：$$-(\sqrt{5}-2)=2-\sqrt{5}$$；因为$$\sqrt{5}\approx2.236$$，$$\sqrt{5}-2\gt0$$，正数的绝对值是本身，故$$|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2$$。###易错知识总结1.无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数；2.带根号的数不一定是无理数，若开方能得整数或分数，即为有理数；3.负数绝对值为其相反数，比较负实数大小需先比较绝对值；4. 0是实数，既不是正数也不是负数，是最小的非负数。通过阅读课本，了解无理数的概念；会区分有理数与无理数，发展推理能力．
通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性，尝试用计算器对无理数进行计算并感知
通过小组交流讨论与探索活动，充分调动学生参与的积极性，发展合作精神与钻研精神．
旧识回顾
什么叫有理数？
整数(正整数、0、负整数)和分数统称为有理数
故事导入
公元前5—6世纪，古希腊哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯发现了毕达哥拉斯定理（也就是勾股定理），并因此受到众人拥护，创立了毕达哥拉斯学派.这个学派的信条是：“万物皆数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比(也就是我们现在说的有理数)”.
希伯索斯（Hippsaus）作为毕达哥拉斯的得意门生，自然也是对其敬仰万分.直到有一天，希伯索斯在演算中发现一个惊天的事实：一个边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比表示.这个奇怪数字的发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌.
希腊数学界的人害怕希伯索斯的发现动摇他们的统治地位，严令希伯索斯不得外传，但希伯索斯坚持将这一事实公布于众，为此他不停地遭受到迫害，最后竟被沉入 了大海.一代传奇的数学家，从此陨落.
究竟是怎样奇怪的数字，导致年轻的数学家丢掉了性命呢？
思考
(1)设大正方形的边长为a，a满足什么条件
(1) a是正方形的边长，所以a肯定是____数．
正
因为两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，
所以新拼接后的大正方形的面积为____，
所以a2=2.
2
知识点 不是有理数的数
1
1
1
1
a
(2)a可能是整数吗 说说你的理由.
(2)因为 a2 = 2，12 = 1，22 = 4，
所以 1 < a2 < 4，
所以1 < a < 2，
所以 a 一定不是整数.
知识点 不是有理数的数
1
1
1
1
a
(3)a可能是分数吗 说说你的理由.
① a是分母为2的分数吗？
② a是分母为3的分数吗？
③ a是分母为4的分数吗？
知识点 不是有理数的数
1
1
1
1
a
事实上，满足等式a2=2的a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数.
知识点 不是有理数的数
思考
(1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
(2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件
(3)b是有理数吗
(1)两条直角边分别为 1 和 2，
根据勾股定理，得 12 + 22 = 5，
所以该正方形的面积是 5.
知识点 不是有理数的数
思考
(1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
(2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件
(3)b是有理数吗
(2) b2 = 5.
(3) ① 因为22=4，32=9，4<5<9，
所以b不可能是整数.
② 没有最简分数的平方是 5，故b不可能是分数.
知识点 不是有理数的数
在上面的两个问题中，数a，b确实存在，但都不是有理数.
知识点 不是有理数的数
a2=2
b2 = 5
（1）如图，这3个正方形的边长之间有怎样的大小
关系呢？
1
1
a
a
2
2
面积
为2
1＜a ＜2
知识点 不是有理数的数
（2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索。
思考 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
（3）小明将他的探索过程整理如下：
边长a 面积S
111.961.988 11.999 3961.999 961 64知识点 不是有理数的数
1.41.411.4141.414 2a的整数部分是1，十分位是4，百分位是1，千分位是4
还可以继续算下去吗？a 可能是有限小数吗？
能无限进行下去，所以a不可能是有限小数.
知识点 不是有理数的数
(4)面积为5的正方形的边长b的值是多少 b可能是有限小数吗
利用刚刚的方法可以算得：b=2.236067978…，
它不是有限小数.
知识点 不是有理数的数
事实上，a=1.414 213 56…，b=2.236 067 977…，它们都不是有理数，都是无限不循环小数.
知识点 不是有理数的数
例1 如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能分数吗？
A
C
D
2
h
解：因为h =2 -1 =3，
所以h不可能是整数，也不可能是分数.
知识点 不是有理数的数
知识点1 认识非有理数
1.已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝5，那么斜边AB的长是(　　)
A.整数　　 B.分数
C.有理数　　 D.非有理数
返回
D
2.以下各正方形的边长不是有理数的是(　　)
A.面积为25的正方形
B.面积为的正方形
C.面积为8的正方形
D.面积为1.44的正方形
返回
C
3. 已知一个等边三角形的边长为4，则这个三角形的高为　　 　　小数.(填“无限循环”或“无限不循环”)
返回
无限不循环
知识点2 非有理数的估算
4.某中学实践教育基地有一块正方形菜地，该菜地的面积是21 m2，现决定把此正方形菜地的边长增加1 m，则新的正方形菜地的边长范围是(　　)
A.4 m与5 m之间　　 B.5 m与6 m之间
C.6 m与7 m之间　　 D.7 m与8 m之间
返回
B
5. 面积为17π的圆，它的半径的整数部分是　　　，十分位是　　　，百分位是　　　，千分位是　　　.
返回
4
1
2
3
6.［2026温州期中］如图，每个小正方形的边长
均为1，可以得到每个小正方形的面积为1.
(1)图中阴影部分的面积是多少？
(2)估计阴影部分正方形的边长的值在哪两个整数之间.
返回
【解】S阴影＝2×2＋×1×3×4＝4＋6＝10.
【解】因为32＜10＜42，所以边长的值在3与4之间.
7. 在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，若量得溢出水的体积为34 cm3，则该铁块棱长大小的范围是(　　)
A.2 cm和3 cm之间　　 B.3 cm和4 cm之间
C.4 cm和5 cm之间　　 D.5 cm和6 cm之间
返回
B
8.［2026成都青羊区期中］如图所示，数轴上的点A所表示的数为a，则数a为(　　)
A.有理数　　
B.无限不循环小数
C.－4.5　　
D.不存在
返回
B
9. 为了培养学生的爱国主义情怀，激发青少年报效祖国、奉献社会、服务人民的责任心和使命感，某校举办了“小小贺卡，军民情深”祝福活动.小芳制作了一张面积为225 cm2的正方形贺卡.现有一个长方形信封，长、宽之比为3:2，面积为420 cm2，小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明你的判断.
返回
【解】因为正方形贺卡的面积为225 cm2，
所以正方形贺卡的边长为15 cm.
设长方形信封的长为3x cm，宽为2x cm.
因为长方形信封的面积为420 cm2，
所以2x 3x＝420.所以x2＝70.
所以8＜x＜9.所以16＜2x＜18.
所以小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封.
返回
不是有理数的数
借助计算器探索不是有理数的数的取值范围
不是有理数的数的存在

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